186. Предварительные замечания. Точное интегрирование дифференциальных уравнений движения реальной механической системы возможно только в очень редких случаях. Эти случаи являются скорее исключением, чем правилом. Поэтому разработано много методов, позволяющих проводить приближенное исследование систем, уравнения движения которых не могут быть решены точно, но в то же время некоторая упрощенная задача, называемая невозмущенной задачей, допускает точное решение. Совокупность этих методов образует теорию возмущений, которая находит самое широкое применение во всех областях науки и техники, где рассматриваются процессы, описываемые дифференциальными уравнениями.

В теории возмущений предполагается, что различие между реальной (возмущенной) системой и ее упрощенной (невозмущенной) моделью можно рассматривать как малые возмущения. Возмущения появляются, например, за счет того, что к основным силам, приложенным к точкам механической системы, добавляются некоторые другие силы, являющиеся в определенном смысле малыми по сравнению с основными силами. Например, если пренебречь влиянием Солнца и считать Землю и Луну материальными точками, то невозмущенной задачей о движении Луны вокруг Земли будет задача двух тел (материальных точек). Влияние притяжения Солнца и отличие Земли и Луны от точечных масс можно считать малыми и отнести к возмущающим воздействиям, которые можно учесть методами теории возмущений.

Бывает и так, что уравнения движения механической системы очень сложны и получить их точное решение нельзя, но можно подобрать другую систему, которая в определенном смысле почти такая же, как и исходная, но ее уравнения движения могут быть проинтегрированы точно. Различие между исходной и таким образом подобранной системой приводит к появлению малых возмущений.

В механике тщательно изучаются системы, уравнения движения которых точно интегрируются. Это связано с тем, что интегрируемые задачи часто используются в качестве невозмущенных в более сложных, но реальных и нужных задачах.

Методы теории возмущений позволяют исследовать движение механических систем, как правило, на конечном (хотя иногда и очень большом) интервале времени.

В этом параграфе мы рассмотрим некоторые вопросы применения канонических преобразований в теории возмущений систем, движение которых описывается дифференциальными уравнениями Гамильтона.

187. Вариация постоянных в задачах механики. Предположим, что в уравнениях движения механической системы
\[
\frac{d q_{i}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}}, \quad \frac{d p_{i}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}, \quad(i=1,2, \ldots, n)
\]

функция Гамильтона $H\left(q_{i}, p_{i}, t\right)$ может быть представлена в виде суммы
\[
H=H_{0}+H_{1},
\]

причем дифференциальные уравнения (1) с функцией $H=H_{0}$
\[
\frac{d q_{i}}{d t}=\frac{\partial H_{0}}{\partial p_{i}}, \quad \frac{d p_{i}}{d t}=-\frac{\partial H_{0}}{\partial q_{i}} \quad(i=1,2, \ldots, n)
\]

могут быть проинтегрированы в замкнутой форме. Пусть решение системы (3) записано в виде
\[
\begin{array}{l}
q_{i}=q_{i}\left(q_{10}, \ldots, q_{n 0}, p_{10}, \ldots, p_{n 0}, t\right), \\
p_{i}=p_{i}\left(q_{10}, \ldots, q_{n 0}, p_{10}, \ldots, p_{n 0}, t\right),
\end{array}
\]

где $q_{i 0}$ и $p_{i 0}-$ значения величин $q_{i}, p_{i}$ в начальный момент $t=0$. Для интегрирования уравнений (1) сделаем в них замену переменных по формулам (4), принимая величины $q_{i 0}, p_{i 0}$ за новые переменные. Так мы приходим к проблеме вариации произвольных постоянных в задачах механики, описываемых каноническими уравнениями Гамильтона (1).

Формулы (4) задают (см. п. 171) унивалентное каноническое преобразование. Это преобразование имеет обратное:
\[
\begin{array}{l}
q_{i 0}=q_{i 0}\left(q_{1}, \ldots, q_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}, t\right), \\
p_{i 0}=p_{i 0}\left(q_{1}, \ldots, q_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}, t\right),
\end{array}
\]

которое также является унивалентным каноническим преобразованием. Следовательно, скобки Пуассона функций (5) удовлетворяют равенствам (см. п. 169)
\[
\left(q_{i 0}, q_{k 0}\right)=0, \quad\left(p_{i 0}, p_{k 0}\right)=0, \quad\left(q_{i 0}, p_{k 0}\right)=\delta_{i k} .
\]

Кроме того, функции (5), являясь интегралами системы (3), удовлетворяют, согласно п. 167 , равенствам
\[
\frac{\partial q_{i 0}}{\partial t}+\left(q_{i 0}, H_{0}\right)=0, \quad \frac{\partial p_{i 0}}{\partial t}+\left(p_{i 0}, H_{0}\right)=0 .
\]

Найдем производные по времени новых переменных $q_{i 0}, p_{i 0}$ в силу уравнений движения (1). Дифференцируя выражения (5) и учитывая равенства (7) и (2), получаем
\[
\begin{aligned}
\frac{d q_{i 0}}{d t} & =\frac{\partial q_{i 0}}{\partial t}+\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{\partial q_{i 0}}{\partial q_{k}} \frac{d q_{k}}{d t}+\frac{\partial q_{i 0}}{\partial p_{k}} \frac{d p_{k}}{d t}\right)=\frac{\partial q_{i 0}}{\partial t}+\left(q_{i 0}, H\right)= \\
& =-\left(q_{i 0}, H_{0}\right)+\left(q_{i 0}, H\right)=\left(q_{i 0}, H-H_{0}\right)=\left(q_{i 0}, H_{1}\right) \\
\frac{d p_{i 0}}{d t} & =\frac{\partial p_{i 0}}{\partial t}+\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{\partial p_{i 0}}{\partial q_{k}} \frac{d q_{k}}{d t}+\frac{\partial p_{i 0}}{\partial p_{k}} \frac{d p_{k}}{d t}\right)=\frac{\partial p_{i 0}}{\partial t}+\left(p_{i 0}, H\right)= \\
& =-\left(p_{i 0}, H_{0}\right)+\left(p_{i 0}, H\right)=\left(p_{i 0}, H-H_{0}\right)=\left(p_{i 0}, H_{1}\right) .
\end{aligned}
\]

Пусть $H_{1}^{*}$ – это функция $H_{1}$, в которой сделана замена переменных (4). Тогда
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial H_{1}}{\partial q_{k}}=\sum_{l=1}^{n}\left(\frac{\partial H_{1}^{*}}{\partial q_{l 0}} \frac{\partial q_{l 0}}{\partial q_{k}}+\frac{\partial H_{1}^{*}}{\partial p_{l 0}} \frac{\partial p_{l 0}}{\partial q_{k}}\right), \\
\frac{\partial H_{1}}{\partial p_{k}}=\sum_{l=1}^{n}\left(\frac{\partial H_{1}^{*}}{\partial q_{l 0}} \frac{\partial q_{l 0}}{\partial p_{k}}+\frac{\partial H_{1}^{*}}{\partial p_{l 0}} \frac{\partial p_{l 0}}{\partial p_{k}}\right) .
\end{array}
\]

Используя эти равенства и соотношения (6), имеем
\[
\begin{aligned}
\left(q_{i 0}, H_{1}\right)= & \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{\partial q_{i 0}}{\partial q_{k}} \frac{\partial H_{1}}{\partial p_{k}}-\frac{\partial q_{i 0}}{\partial p_{k}} \frac{\partial H_{1}}{\partial q_{k}}\right)= \\
= & \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial q_{i 0}}{\partial q_{k}} \sum_{l=1}^{n}\left(\frac{\partial H_{1}^{*}}{\partial q_{l 0}} \frac{\partial q_{l 0}}{\partial p_{k}}+\frac{\partial H_{1}^{*}}{\partial p_{l 0}} \frac{\partial p_{l 0}}{\partial p_{k}}\right)- \\
& -\sum_{k=1}^{n} \frac{\partial q_{i 0}}{\partial p_{k}} \sum_{l=1}^{n}\left(\frac{\partial H_{1}^{*}}{\partial q_{l 0}} \frac{\partial q_{l 0}}{\partial q_{k}}+\frac{\partial H_{1}^{*}}{\partial p_{l 0}} \frac{\partial p_{l 0}}{\partial q_{k}}\right)= \\
= & \sum_{l=1}^{n} \frac{\partial H_{1}^{*}}{\partial q_{l 0}}\left(q_{i 0}, q_{l 0}\right)+\sum_{l=1}^{n} \frac{\partial H_{1}^{*}}{\partial p_{l 0}}\left(q_{i 0}, p_{l 0}\right)=\frac{\partial H_{1}^{*}}{\partial p_{i 0}} .
\end{aligned}
\]

Аналогично
\[
\left(p_{i 0}, H_{1}\right)=\sum_{l=1}^{n} \frac{\partial H_{1}^{*}}{\partial q_{l 0}}\left(p_{i 0}, q_{l 0}\right)+\sum_{l=1}^{n} \frac{\partial H_{1}^{*}}{\partial p_{l 0}}\left(p_{i 0}, p_{l 0}\right)=-\frac{\partial H_{1}^{*}}{\partial q_{i 0}} .
\]

Соотношения (11), (12) позволяют записать уравнения (8), (9) в виде
\[
\frac{d q_{i 0}}{d t}=\frac{\partial H_{1}^{*}}{\partial p_{i 0}}, \quad \frac{d p_{i 0}}{d t}=-\frac{\partial H_{1}^{*}}{\partial q_{i 0}} \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]

Таким образом, если $H=H_{0}$, то величины $q_{i 0}, p_{i 0}$ постоянны, а уравнения, описывающие их изменение, в системе с функцией Гамильтона $H_{0}+H_{1}$ имеют каноническую форму, причем соответствующая функция Гамильтона $H_{1}^{*}$ получается подстановкой в «возмущающую» функцию $H_{1}$ величин $q_{i}, p_{i}$ определяемых по формулам (4), отвечающим решению задачи Коши для «невозмущенной» задачи с функцией Гамильтона $H_{0}$.

Задачу о вариации произвольных постоянных для системы (1) можно рассмотреть и иначе. Пусть решение «невозмущенной» системы (3) найдено при помощи уравнения Гамильтона-Якоби
\[
\frac{\partial S}{\partial t}+H_{0}\left(q_{i}, \frac{\partial S}{\partial q_{i}}, t\right)=0 .
\]

Пусть $S=S\left(q_{1}, \ldots, q_{n}, \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}, t\right)$ – полный интеграл этого уравнения. Сделаем в уравнениях (1) каноническую замену переменных по формулам (9) п. 175, принимая полный интеграл $S$ за производящую функцию
\[
\frac{\partial S}{\partial q_{i}}=p_{i}, \quad \frac{\partial S}{\partial \alpha_{i}}=-\beta_{i} \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]

При такой замене переменных роль новых координат играют величины $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}$, а роль новых импульсов – величины $\beta_{1}, \ldots, \beta_{n}$. Новая функция Гамильтона $\mathcal{H}\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}, \beta_{1}, \ldots, \beta_{n}, t\right)$ вычисляется по формуле (см. п. 173)
\[
\mathcal{H}=H_{0}+H_{1}+\frac{\partial S}{\partial t} .
\]

Принимая во внимание уравнение (14), имеем отсюда $\mathcal{H}=H_{1}^{*}$, где теперь $H_{1}^{*}$ – это функция $H_{1}$, выраженная через переменные $\alpha_{i}, \beta_{i}, t$ согласно равенствам (15). Таким образом, новые переменные $\alpha_{i}, \beta_{i}$ $(i=1,2, \ldots, n)$, которые постоянны, если $H_{1} \equiv 0$, в «возмущенной» системе удовлетворяют каноническим уравнениям
\[
\frac{d \alpha_{i}}{d t}=\frac{\partial H_{1}^{*}}{\partial \beta_{i}}, \quad \frac{d \beta_{i}}{d t}=-\frac{\partial H_{1}^{*}}{\partial \alpha_{i}} \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]

Для получения решения системы (1) нужно из равенств (15) найти функции
\[
q_{i}=q_{i}\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}, \beta_{1}, \ldots, \beta_{n}, t\right), \quad p_{i}=p_{i}\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}, \beta_{1}, \ldots, \beta_{n}, t\right)
\]

и подставить в них величины $\alpha_{i}, \beta_{i}$, являющиеся решениями дифференциальных уравнений (16).

Следует отметить, что при получении уравнений (13) и (16) нигде не предполагалась малость «возмущения» $H_{1}$. Однако изложенное выше решение задачи вариации произвольных постоянных наиболее полезно, когда величина $H_{1}$ мала по сравнению с $H_{0}$, например, если функция $H_{1}$ имеет порядок малости $\varepsilon$ и требуется найти решение системы (1) при малых значениях $\varepsilon$.
188. Классическая теория возмущений. Пусть функция Гамильтона $H$ в системе (1) может быть представлена в виде ряда по степеням малого параметра $\varepsilon$ :
\[
H=H_{0}+\varepsilon H_{1}+\ldots
\]

Будем считать, что при $\varepsilon=0$ система (1) интегрируема (т. е. мы можем получить ее общий интеграл), а канонически сопряженные переменные $q_{i}, p_{i}$ выбраны так, что функция Гамильтона $H_{0}$, соответствующая невозмущенной задаче, зависит только от импульсов, т. е.
\[
H_{0}=H_{0}\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right) .
\]

Так будет, например, в случае, когда невозмушенная система (1) интегрируется методом Якоби при помощи разделения переменных, а ее движения обладают свойством периодичности. Тогда $p_{i}$ это переменная действие (см. п. 183), а возмущение $H-H_{0}$, записанное в переменных действие-угол, будет $2 \pi$-периодическим по угловым переменным $q_{1}, \ldots, q_{n}$.
Невозмущенная система (1)
\[
\frac{d q_{i}}{d t}=\frac{\partial H_{0}}{\partial p_{i}}=\omega_{i}\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right), \quad \frac{d p_{i}}{d t}=0
\]

сразу интегрируется:
\[
p_{i}=p_{i 0}=\mathrm{const}, \quad q_{i}=\omega_{i}\left(p_{10}, \ldots, p_{n 0}\right) t+q_{i 0} .
\]

Для приближенного исследования движения при малых, но отличных от нуля значениях $\varepsilon$ в механике разработан специальный аппарат теории возмущений, основанный на применении канонических преобразований. Для простоты ограничимся здесь случаем консервативной или обобщенно консервативной системы с одной степенью свободы $(n=1)^{1}$. Функция Гамильтона (17) имеет вид
\[
H=H_{0}(p)+\varepsilon H_{1}(q, p)+\ldots,
\]

где $H_{1}$ можно представить в виде ряда Фурье
\[
H_{1}=\bar{H}_{1}(p)+\sum_{k=1}^{\infty}\left(a_{k}(p) \cos k q+b_{k}(p) \sin k q\right) .
\]

Здесь $\bar{H}_{1}(p)$ – среднее значение функции $H_{1}$ :
\[
\bar{H}_{1}(p)=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} H_{1}(q, p) d q .
\]

Будем искать каноническое преобразование $q, p \rightarrow q^{*}, p^{*}$, приводящее функцию Гамильтона (20) к виду
\[
\mathcal{H}=H_{0}^{*}\left(p^{*}\right)+\varepsilon^{2} H_{2}^{*}\left(q^{*}, p^{*}\right)+\ldots .
\]

Искомое преобразование близко к тождественному и задается формулами (см. п. 174)
\[
q^{*}=\frac{\partial S_{1}}{\partial p^{*}}, \quad p=\frac{\partial S_{1}}{\partial q},
\]

где
\[
S_{1}\left(q, p^{*}\right)=q p^{*}+\varepsilon S_{1}^{(1)}\left(q, p^{*}\right) .
\]

Неизвестную пока функцию $S_{1}^{(1)}$ подберем так, чтобы в новых переменных функция Гамильтона имела вид (22).
Подставив (24) в (23), получим соотношения
\[
q^{*}=q+\varepsilon \frac{\partial S_{1}^{(1)}\left(q, p^{*}\right)}{\partial p^{*}}, \quad p=p^{*}+\varepsilon \frac{\partial S_{1}^{(1)}\left(q, p^{*}\right)}{\partial q} .
\]

Отсюда с точностью до членов порядка $\varepsilon$ включительно находим замену переменных $q, p \rightarrow q^{*}, p^{*}$ в явной форме:
\[
q=q^{*}-\varepsilon \frac{\partial S_{1}^{(1)}\left(q^{*}, p^{*}\right)}{\partial p^{*}}, \quad p=p^{*}+\varepsilon \frac{\partial S_{1}^{(1)}\left(q^{*}, p^{*}\right)}{\partial q^{*}} .
\]

Так как валентность преобразования равна единице, а функция $S_{1}$ не зависит явно от $t$, то, согласно формуле (63) п. 174, новая функция

Гамильтона $\mathcal{H}$ получается из старой функции $H$, если в последней величины $q, p$ заменить их выражениями через новые переменные. Подставив $q, p$ из (25) в функцию (20), получим
\[
\begin{array}{c}
\mathcal{H}=H_{0}\left(p^{*}\right)+\varepsilon \bar{H}_{1}\left(p^{*}\right)+ \\
+\varepsilon\left[\omega\left(p^{*}\right) \frac{\partial S_{1}^{(1)}\left(q^{*}, p^{*}\right)}{\partial q^{*}}+\sum_{k=1}^{\infty}\left(a_{k}\left(p^{*}\right) \cos k q^{*}+b_{k}\left(p^{*}\right) \sin k q^{*}\right)\right]+\ldots
\end{array}
\]

Здесь
\[
\omega(p)=\frac{\partial H_{0}(p)}{\partial p} .
\]

Чтобы $\mathcal{H}$ имела вид (22), нужно в функции (26) уничтожить зависимые от $q^{*}$ члены порядка $\varepsilon$. Для этого надо положить
\[
S_{1}^{(1)}\left(q^{*}, p^{*}\right)=\frac{1}{\omega\left(p^{*}\right)} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{b_{k}\left(p^{*}\right) \cos k q^{*}-a_{k}\left(p^{*}\right) \sin k q^{*}}{k} .
\]

При таком выборе функции $S_{1}^{(1)}$ выражение, заключенное в квадратные скобки в формуле (26), тождественно равно нулю и новая функция Гамильтона будет иметь вид (22), причем
\[
H_{0}^{*}\left(p^{*}\right)=H_{0}\left(p^{*}\right)+\varepsilon \bar{H}_{1}\left(p^{*}\right) .
\]

Если теперь в функции (22) отбросить члены выше первого порядка малости по $\varepsilon$, то соответствующая система уравнений
\[
\frac{d q^{*}}{d t}=\frac{\partial H_{0}^{*}\left(p^{*}\right)}{\partial p^{*}}, \quad \frac{d p^{*}}{d t}=0
\]

сразу же интегрируется. Подставив ее решение в формулы преобразования (25), получим приближенное решение возмущенной системы исходных переменных $q, p$.

Мы рассмотрели теорию возмущений в первом приближении по $\varepsilon$. Аналогично можно рассмотреть и более высокие приближения.
189. О линейных гамильтоновых системах дифференциальных уравнений. Пусть в системе (1) функция Гамильтона не зависит от времени и система допускает решение, для которого величины $q_{i}, p_{i}(i=1,2, \ldots, n)$ постоянны. Это решение отвечает положению равновесия механической системы, имеющей уравнения движения (1).

Так как перенос начала координат является каноническим преобразованием (см. пример 5 п. 170), то, не ограничивая общности, можно считать, что это положение равновесия отвечает началу координат в фазовом пространстве $q_{1}, \ldots, q_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}$.

В следующем пункте мы покажем, как, используя канонические преобразования, можно получить приближенное описание движения рассматриваемой системы вблизи ее положения равновесия. Для этого предварительно рассмотрим некоторые вопросы, связанные с линейными дифференциальными уравнениями Гамильтона с постоянными коэффициентами.

Линейную гамильтонову систему дифференциальных уравнений можно записать в виде
\[
\frac{d \boldsymbol{x}}{d t}=\mathbf{J H} \boldsymbol{x}, \quad \boldsymbol{x}^{\prime}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, x_{n+1}, \ldots, x_{2 n}\right),
\]

где $x_{k}, x_{n+k},(k=1,2, \ldots, n)$ – канонически сопряженные переменные ( $x_{k}$ – координаты, $x_{n+k}$ – импульсы). Как и в п. 168 , здесь принято обозначение
\[
\boldsymbol{J}=\left\|\begin{array}{cc}
\mathbf{0} & \mathbf{E}_{n} \\
-\mathbf{E}_{n} & \mathbf{0}
\end{array}\right\| \quad\left(\mathbf{J}^{\prime}=\mathbf{J}^{-1}=-\mathbf{J}, \mathbf{J}^{2}=-\mathbf{E}_{2 n}, \operatorname{det} \mathbf{J}=1\right) .
\]

В системе (30) $\mathbf{H}$ – вещественная симметрическая матрица порядка $2 n$. Будем предполагать ее постоянной.
Рассмотрим характеристическое уравнение
\[
p(\lambda)=\operatorname{det}\left(\mathbf{J H}-\lambda \mathbf{E}_{2 n}\right)=0 .
\]

Теорема. Характеристический многочлен $p(\lambda)$ – четная функция $\lambda$. Доказательство.
Доказательство вытекает из цепочки равенств:
\[
\begin{array}{c}
p(\lambda)=\operatorname{det}\left(\mathbf{J H}-\lambda \mathbf{E}_{2 n}\right)=\operatorname{det}\left(\mathbf{J H}-\lambda \mathbf{E}_{2 n}\right)^{\prime}=\operatorname{det}\left(\mathbf{H}^{\prime} \mathbf{J}^{\prime}-\lambda \mathbf{E}_{2 n}\right)= \\
=\operatorname{det}\left(-\mathbf{H} \mathbf{J}-\lambda \mathbf{E}_{2 n}\right)=\operatorname{det}\left(\mathbf{J}^{2} \mathbf{H} \mathbf{J}+\lambda \mathbf{J} \mathbf{E}_{2 n} \mathbf{J}\right)=\operatorname{det} \mathbf{J}\left(\mathbf{J H}+\lambda \mathbf{E}_{2 n}\right) \mathbf{J}= \\
=\operatorname{det} \mathbf{J} \cdot \operatorname{det}\left(\mathbf{J H}+\lambda \mathbf{E}_{2 n}\right) \operatorname{det} \mathbf{J}=\operatorname{det}\left(\mathbf{J H}+\lambda \mathbf{E}_{2 n}\right)=p(-\lambda) .
\end{array}
\]

Таким образом, уравнение (31) содержит только четные степени $\lambda$. Поэтому если у него есть корень $\lambda=a$, то обязательно будет и корень $\lambda=-a$. Будем рассматривать только тот случай, когда уравнение (31) имеет только простые чисто мнимые корни. Обозначим

их $\lambda_{k}=i \sigma_{k}, \lambda_{n+k}=-i \sigma_{k}(i-$ мнимая единица, $k=1,2, \ldots, n)$. Назовем нормальной формой системы уравнений (30) такую систему канонических дифференциальных уравнений, которой соответствует функция Гамильтона ${ }^{1}$
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \sigma_{k}\left(y_{k}^{2}+y_{n+k}^{2}\right) .
\]

Найдем вещественное линейное унивалентное каноническое преобразование $x_{j} \rightarrow y_{j}(j=1,2, \ldots, 2 n)$, приводящее систему (30) к ее нормальной форме:
\[
\frac{d \boldsymbol{y}}{d t}=\mathbf{J H}^{*} \boldsymbol{y}, \quad \boldsymbol{y}^{\prime}=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}, y_{n+1}, \ldots, y_{2 n}\right),
\]

где, в соответствии с (32), $\mathbf{H}^{*}$ – вещественная диагональная матрица, элементы которой определены равенствами $h_{k k}^{*}=h_{n+k, n+k}^{*}=\sigma_{k}$ $(k=1,2, \ldots, n)$ Пусть
\[
\boldsymbol{x}=\mathbf{A} \boldsymbol{y}
\]
– искомое преобразование. Из (30), (33) и (34) следует, что постоянная матрица $\mathbf{A}$ должна удовлетворять матричному уравнению
\[
\mathbf{A J H}^{*}=\mathbf{J H A} .
\]

Ввиду каноничности преобразования (34) матрица $\mathbf{A}$ должна быть симплектической, т. е. она должна удовлетворять также и такому матричному уравнению:
\[
\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{J} \mathbf{A}=\mathbf{J} .
\]

Чтобы найти нормализующее преобразование (34), надо из бесчисленного множества решений уравнения (35) выбрать хотя бы одно вещественное, удовлетворяющее уравнению (36).
Решение уравнения (35) будем искать в виде $\mathbf{A}=\mathbf{B C}$, где
\[
\mathbf{C}=\left\|\begin{array}{rr}
i \mathbf{E}_{n} & \mathbf{E}_{n} \\
-i \mathbf{E}_{n} & \mathbf{E}_{n}
\end{array}\right\| .
\]

Тогда из (35) получаем уравнение для матрицы B:
\[
\mathbf{B D}=\mathbf{J H B},
\]

где D – диагональная форма матрицы JH. Для ее диагональных элементов имеют место равенства $d_{k k}=-d_{n+k, n+k}=i \sigma_{k}$ $(k=1,2, \ldots, n)$. Таким образом, матрица $\mathbf{B}$ приводит матрицу $\mathbf{J H}$ к диагональной форме. Она строится следующим образом ${ }^{1}$. Ее столбцами служат собственные векторы матрицы JH. Именно, пусть $k$-й столбец матрицы В есть собственный нектор $e_{k}$, соответствующий собственному числу $\lambda_{k}=i \sigma_{k}$, а $(n+k)$-й столбец есть собственный вектор $e_{n+k}$, соответствующий собственному числу $\lambda_{n+k}=-i \sigma_{k}$ $(k=1,2, \ldots, n)$.

Собственные векторы определяются с точностью до множителя. Примем этот множитель вещественным и одинаковым для векторов $\boldsymbol{e}_{k}$ и $e_{n+k}$. Кроме того, соответствующие компоненты этих векторов выберем комплексно сопряженными. Такой выбор собственных векторов обеспечивает вещественность матрицы А. Произвольные множители собственных векторов определяются из условия их нормировки, которое получим из условия (36) каноничности преобразования (34).
Подставив $\mathbf{A}=\mathbf{B C}$ в уравнение (36), получим
\[
\mathbf{C}^{\prime} \mathbf{B}^{\prime} \mathbf{J B C}=\mathbf{J} .
\]

Обознатим матрицу $\mathbf{B}^{\prime} \mathbf{J} \mathbf{B}$ герез $\mathbf{F}$, ее элемент $f_{m l}$ равен скалярному произведению векторов $e_{m}$ и $\mathbf{J} e_{l}$ :
\[
f_{m l}=\left(e_{m} \cdot \mathbf{J} e_{l}\right) .
\]

Так как для любых двух векторов $\boldsymbol{a}$ и $\boldsymbol{b}$ справедливо равенство $(\boldsymbol{a} \cdot \mathbf{J} \boldsymbol{b})=-(\mathbf{J} \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})$, то матрица $\mathbf{F}$ кососимметрическая. Покажем еще, что $f_{m l}=0$, если $|m-l|
eq n$. Для этого рассмотрим очевидное равенство
\[
\left(e_{m} \cdot \mathbf{J}^{2} \mathbf{H} e_{l}\right)=\left(e_{m} \cdot \mathbf{H} \mathbf{J}^{2} e_{l}\right) .
\]

Преобразуя его левую и правую части, имеем последовательно
\[
\begin{aligned}
\left(\boldsymbol{e}_{m} \cdot \mathbf{J}^{2} \boldsymbol{H} e_{l}\right) & =\left(\mathbf{J}^{\prime} \mathbf{H}^{\prime} \boldsymbol{e}_{m} \cdot \mathbf{J} e_{l}\right), \\
\left(\boldsymbol{e}_{m} \cdot \mathbf{J} \mathbf{J H} e_{l}\right) & =-\left(\mathbf{J H} e_{m} \cdot \mathbf{J} e_{l}\right), \\
\left(\boldsymbol{e}_{m} \cdot \mathbf{J} \lambda_{l} \boldsymbol{e}_{\boldsymbol{l}}\right) & =-\left(\lambda_{m} \boldsymbol{e}_{m} \cdot \mathbf{J} e_{l}\right) .
\end{aligned}
\]

Последнее равенство можно переписать в виде
\[
\left(\lambda_{m}+\lambda_{l}\right) f_{m l}=0 .
\]

Так как, согласно упорядочению собственных чисел, введенному при построении матрицы $\mathbf{B}, \lambda_{m}+\lambda_{l}=0$ только в случае $|m-l|=n$, то из

равенства (40) следует, что $f_{m l}=0$, если $|m-l|
eq n$. Таким образом, матрица $\mathbf{B}^{\prime} \mathbf{J} \mathbf{B}$ имеет такую структуру:
\[
\mathbf{B}^{\prime} \mathbf{J B}=\left\|\begin{array}{cc}
\mathbf{0} & \mathbf{G} \\
-\mathbf{G} & \mathbf{0}
\end{array}\right\|,
\]

где $\mathbf{G}$ – диагональная матрица порядка $n$ с элементами $g_{k k}=\left(e_{k} \cdot \mathbf{J} e_{n+k}\right)$. Ни один из элементов $g_{k k}$ не равняется нулю, так как в противном случае определитель матрицы (41) равнялся бы нулю, a
\[
\operatorname{det} \mathbf{B}^{\prime} \mathbf{J} \mathbf{B}=\operatorname{det} \mathbf{B}^{\prime} \operatorname{det} \mathbf{J} \operatorname{det} \mathbf{B}=(\operatorname{det} \mathbf{B})^{2}
eq 0,
\]

так как матрица В составлена из собственных векторов, соответствующих различным собственным числам матрицы $\mathbf{J H}$.

Пусть $\boldsymbol{r}_{k}$ и $\boldsymbol{s}_{k}$ – действительная и мнимая части собственного вектора, соответствующего собственному числу $\lambda_{k}$. Тогда, учитывая комплексную сопряженность соответствующих компонент векторов $\boldsymbol{e}_{k}$ и $e_{n+k}$, получим для элементов матрицы $\mathbf{G}$ выражения
\[
g_{k k}=-2 i\left(\boldsymbol{r}_{k} \cdot \mathbf{J} s_{k}\right) \quad(k=1,2, \ldots, n) .
\]

Из равенств (37), (39) и (41) следует такое условие, обеспечивающее симплектичность матрицы $\mathbf{A}$ :
\[
4\left(\boldsymbol{r}_{k} \cdot \mathbf{J} s_{k}\right)=1 .
\]

Это равенство является, с одной стороны, условием нормировки собственного вектора $\boldsymbol{e}_{k}$, а с другой – условием выбора знака $\sigma_{k}$ в функции Гамильтона (32), который до сих пор был не определен. Действительно, приравняв в обеих частях уравнения $\mathrm{JH} e_{k}=i \sigma_{k} e_{k}\left(e_{k}=r_{k}+i s_{k}\right)$ действительную и мнимую части, получим систему уравнений для $r_{k}$ и $s_{k}$ :
\[
\mathbf{J H} \boldsymbol{r}_{k}=-\sigma_{k} \boldsymbol{s}_{k}, \quad \mathbf{J H} \boldsymbol{s}_{k}=\sigma_{k} \boldsymbol{r}_{k} .
\]

При одновременном изменении знаков $\sigma_{k}$ и компонент вектора $\boldsymbol{r}_{k}$ эта система уравнений не изменяется. Знак же скалярного произведения $\left(\boldsymbol{r}_{k} \cdot \mathbf{J} s_{k}\right)$ изменяется на противоположный. Поэтому равенству (43) можно всегда удовлетворить выбором знака $\sigma_{k}$ в функции Гамильтона (32) и соответствующей нормировкой собственного вектора $e_{k}$.

Произведя некоторые вычисления, получим, что $k$-м столбцом искомой матрицы А будет вектор $-2 s_{k}$, а $(n+k)$-м – вектор $2 r_{k}$.
190. Преобразование Биркгофа. Приближенное интегрирование гамильтоновой системы уравнений вблизи положения равновесия. Пусть начало координат фазового пространства отвечает

положению равновесия консервативной или обобщенно консервативной системы с $n$ степенями свободы. Предположим, что функция Гамильтона является аналитической в некоторой окрестности начала координат и ее разложение в ряд начинается с квадратичных членов:
\[
H=H_{2}+H_{3}+H_{4}+\ldots,
\]

где $H_{m}$ – однородный многочлен (форма) степени $m$ относительно координат и импульсов. Аддитивная постоянная (равная значению функции Гамильтона в положении равновесия) не влияет на уравнения движения и в разложении (44) отброшена.

Пусть характеристическое уравнение, соответствующее линеаризованной системе уравнений движения, задаваемой функцией Гамильтона $H_{2}$, имеет только простые чисто мнимые корни $\pm i \sigma_{k}$, $(k=1,2, \ldots, n)$. Тогда, как показано в предыдущем пункте, подходящим выбором канонически сопряженных переменных функцию $H_{2}$ можно представить в виде правой части равенства (32). Если еще сделать каноническую замену переменных ${ }^{1}$
\[
q_{k}=y_{k}-i y_{n+k}, \quad p_{k}=y_{k}+i y_{n+k} \quad(k=1,2, \ldots, n),
\]

то квадратичная часть ряда (44) будет иметь вид
\[
H_{2}=i \sum_{k=1}^{n} \sigma_{k} q_{k} p_{k} .
\]

Движение линеаризованной системы представляет собой суперпозицию колебаний $n$ гармонических осцилляторов с частотами $\left|\sigma_{k}\right|$, $(k=1,2, \ldots, n)$. Если в разложении (44) формы $H_{m}$ при $m \geqslant 3$ не равны тождественно нулю, то уравнения движения нелинейны. Чтобы исследовать движение в этом случае, упростим функцию Гамильтона (44) при помощи канонической замены переменных, носящей название преобразования Биркгофа.

Сделаем каноническую замену переменных $q_{k}, p_{k} \rightarrow q_{k}^{\prime}, p_{k}^{\prime}$, задаваемую формулами
\[
q_{k}^{\prime}=q_{k}+\frac{\partial S_{3}}{\partial p_{k}^{\prime}}, \quad p_{k}=p_{k}^{\prime}+\frac{\partial S_{3}}{\partial q_{k}} \quad(k=1,2, \ldots, n),
\]

где форму третьей степени $S_{3}\left(q_{k}, p_{k}^{\prime}\right)$ попытаемся подобрать так, чтобы в новых переменных функция Гамильтона не содержала членов третьей степени относительно $q_{k}^{\prime}, p_{k}^{\prime},(k=1,2, \ldots, n)$.

Функция $H_{3}\left(q_{k}, p_{k}\right)$ в (44) может быть записана в виде
\[
H_{3}=\sum_{
u_{1}+\ldots+\mu_{n}=3} h_{
u_{1}, \ldots, \mu_{n}} q_{1}^{
u_{1}} \ldots q_{n}^{
u_{n}} p_{1}^{\mu_{1}} \ldots p_{n}^{\mu_{n}},
\]

где коэффициенты $h_{
u_{1}, \ldots, \mu_{n}}$ постоянны. Величины $
u_{1}, \ldots, \mu_{n}$ – целые неотрицательные числа. Функцию $S_{3}$ ищем в виде, аналогичном (48):
\[
S_{3}=\sum_{
u_{1}+\ldots+\mu_{n}=3} s_{
u_{1}, \ldots, \mu_{n}} q_{1}^{
u_{1}} \ldots q_{n}^{
u_{n}} p_{1}^{\mu_{1}} \ldots p_{n}^{\mu_{n}},
\]

где постоянные коэффициенты $s_{
u_{1}, \ldots, \mu_{n}}$ подлежат выбору из условия обращения в нуль членов третьей степени в новой функции Гамильтона. Из (47) следует, что старые переменные $q_{k}, p_{k}$ являются аналитическими функциями в окрестности начала координат $q_{k}^{\prime}=0, p_{k}^{\prime}=0$ и представляются рядами
\[
q_{k}=q_{k}^{\prime}-\frac{\partial S_{3}\left(q_{k}^{\prime}, p_{k}^{\prime}\right)}{\partial p_{k}^{\prime}}+\ldots, \quad p_{k}=p_{k}^{\prime}+\frac{\partial S_{3}\left(q_{k}^{\prime}, p_{k}^{\prime}\right)}{\partial q_{k}^{\prime}}+\ldots,
\]

где обозначенные многоточием члены имеют степени выше второй относительно $q_{k}^{\prime}, p_{k}^{\prime},(k=1,2, \ldots, n)$. Подставив эти выражения в функцию (44), получим новую функцию Гамильтона в виде
\[
H^{\prime}=i \sum_{k=1}^{n} \sigma_{k} q_{k}^{\prime} p_{k}^{\prime}+i \sum_{k=1}^{n} \sigma_{k}\left(q_{k}^{\prime} \frac{\partial S_{3}}{\partial q_{k}^{\prime}}-p_{k}^{\prime} \frac{\partial S_{3}}{\partial p_{k}^{\prime}}\right)+H_{3}\left(q_{k}^{\prime}, p_{k}^{\prime}\right)+\ldots,
\]

где многоточием обозначены члены выше третьей степени относительно $q_{k}^{\prime}, p_{k}^{\prime}$.

Таким образом, квадратичная часть функции Гамильтона сохранила свою форму, а члены третьей степени $H_{3}^{\prime}$ приняли вид
\[
H_{3}^{\prime}=i \sum_{k=1}^{n} \sigma_{k}\left(q_{k}^{\prime} \frac{\partial S_{3}}{\partial q_{k}^{\prime}}-p_{k}^{\prime} \frac{\partial S_{3}}{\partial p_{k}^{\prime}}\right)+H_{3}\left(q_{k}^{\prime}, p_{k}^{\prime}\right) .
\]

Положим $H_{3}^{\prime} \equiv 0$. Принимая во внимание формулы (48), (49) и приравнивая в этом тождестве нулю коэффициент при $q_{1}^{\prime
u_{1}} \ldots q_{n}^{\prime
u_{n}} \times$ $\times p_{1}^{\prime \mu_{1}} \ldots p_{n}^{\prime \mu_{n}}$, получим уравнения для нахождения $s_{
u_{1}, \ldots, \mu_{n}}$ :
\[
\left[\sigma_{1}\left(
u_{1}-\mu_{1}\right)+\ldots+\sigma_{n}\left(
u_{n}-\mu_{n}\right)\right] s_{
u_{1}, \ldots, \mu_{n}}=i h_{
u_{1}, \ldots, \mu_{n}} .
\]

Справедливо соотношение
\[
\left|
u_{1}-\mu_{1}\right|+\ldots+\left|
u_{n}-\mu_{n}\right| \leqslant
u_{1}+\mu_{1}+\ldots+
u_{n}+\mu_{n}=3 .
\]

Отсюда и из (51) следует, что если величины $\sigma_{1}, \ldots, \sigma_{n}$ таковы, что для целых чисел $k_{1}, \ldots, k_{n}$, удовлетворяющих условию $0<\left|k_{1}\right|+\ldots+$ $+\left|k_{n}\right| \leqslant 3$, выполняется неравенство ${ }^{1}$
\[
k_{1} \sigma_{1}+\ldots+k_{n} \sigma_{n}
eq 0,
\]

то выбрав величины $s_{
u_{1}, \ldots, \mu_{n}}$ согласно формулам
\[
s_{
u_{1}, \ldots, \mu_{n}}=\frac{i h_{
u_{1}, \ldots, \mu_{n}}}{\sigma_{1}\left(
u_{1}-\mu_{1}\right)+\ldots+\sigma_{n}\left(
u_{n}-\mu_{n}\right)},
\]

получим новую функцию Гамильтона $H^{\prime}$ такой, что в ней будут отсутствовать члены третьей степени по $q_{k}^{\prime}, p_{k}^{\prime}$.

Можно было бы попытаться аналогичным образом при помощи еще одного канонического преобразования $q_{k}^{\prime}, p_{k}^{\prime} \rightarrow q_{k}^{\prime \prime}, p_{k}^{\prime \prime}$ уничтожить члены четвертой степени $H_{4}^{\prime \prime}$ в функции Гамильтона $H^{\prime \prime}$. Это, однако, не удастся сделать, и в новой функции Гамильтона останутся некоторые члены четвертой степени, имеющие вполне определенную структуру.

Если в системе нет резонанса до четвертого порядка включительно, т. е. неравенство (52) удовлетворяется при $0<\left|k_{1}\right|+\ldots+\left|k_{n}\right| \leqslant 4$, то в функции Гамильтона $H^{\prime \prime}$ можно уничтожить все члены четвертой степени, кроме тех, которые содержат $q_{k}^{\prime \prime}$ и $p_{k}^{\prime \prime}$ в одинаковых степенях. Действительно, уравнение (51) неразрешимо, если $
u_{k}=\mu_{k}$ при всех $k=1,2, \ldots, n$. Тогда в $H_{4}^{\prime \prime}$ останется совокупность одночленов вида
\[
\sum_{
u_{1}+
u_{2}+\ldots+
u_{n}=2} h_{
u_{1}, \ldots,
u_{n}}\left(q_{1}^{\prime \prime} p_{1}^{\prime \prime}\right)^{
u_{1}} \ldots\left(q_{n}^{\prime \prime} p_{n}^{\prime \prime}\right)^{
u_{n}} .
\]

И, вообще, методом математической индукции нетрудно показать, что если в системе нет резонансов до порядка $l$ включительно, т. е.
\[
k_{1} \sigma_{1}+\ldots+k_{n} \sigma_{n}
eq 0, \quad 0<\left|k_{1}\right|+\ldots+\left|k_{n}\right| \leqslant l,
\]

то существует каноническое преобразование $q_{k}=q_{k}^{*}+\ldots, p_{k}=p_{k}^{*}+\ldots$, задаваемое сходящимися в окрестности начала координат степенными рядами, такое, что функция Гамильтона (44), выраженная через $q_{k}^{*}, p_{k}^{*}$, имеет вид
\[
H^{*}=\bar{H}+\widetilde{H}\left(q_{k}^{*}, p_{k}^{*}\right),
\]

где $\bar{H}$ – многочлен степени не большей $l / 2$ от $n$ произведений $q_{1}^{*} p_{1}^{*}, \ldots, q_{n}^{*} p_{n}^{*}$, а $\widetilde{H}$ – сходящийся ряд по степеням $q_{k}^{*}, p_{k}^{*}$, начинающийся с членов, степень которых не меньше $l+1$. В этом случае говорят,

что функция Гамильтона приведена к нормальной форме Биркгофа с точностью до членов степени $l$ включительно.

Представление функции Гамильтона в виде (53) можно эффективно использовать для приближенного интегрирования канонических дифференциальных уравнений движения. Для этого пренебрежем в (53) членами $\widetilde{H}$, которые имеют более высокую степень относительно $q_{k}^{*}, p_{k}^{*}$, нежели функция $\bar{H}$. Тогда $H^{*}=\bar{H}$. Замечательно, что система канонических уравнений с функцией Гамильтона $H^{*}=\bar{H}\left(q_{1}^{*} p_{1}^{*}, \ldots, q_{n}^{*} p_{n}^{*}\right)$ сразу интегрируется. Действительно, положим $\tau_{k}=q_{k}^{*} p_{k}^{*}$. Тогда уравнения с функцией Гамильтона $\bar{H}$ запишутся в виде
\[
\frac{d q_{k}^{*}}{d t}=\frac{\partial \bar{H}}{\partial \tau_{k}} q_{k}^{*}, \quad \frac{d p_{k}^{*}}{d t}=-\frac{\partial \bar{H}}{\partial \tau_{k}} p_{k}^{*}, \quad(k=1,2, \ldots, n) .
\]

Отсюда следует, что $d \tau_{k} / d t=0$, т. е. $\tau_{k}=c_{k}=$ const $(k=1,2, \ldots, n)$. Подставив эти значения $\tau_{k}$ в уравнения (54), получим
\[
\frac{d q_{k}^{*}}{d t}=\Lambda_{k} q_{k}^{*}, \quad \frac{d p_{k}^{*}}{d t}=-\Lambda_{k} p_{k}^{*},
\]

где $\Lambda_{k}$ есть значение производной $\partial \bar{H} / \partial \tau_{k}$ при $\tau_{k}=c_{k}$. Из (55) следует, что
\[
\begin{array}{c}
q_{k}^{*}(t)=q_{k}^{*}(0) e^{\Lambda_{k} t}, \quad p_{k}^{*}(t)=p_{k}^{*}(0) e^{-\Lambda_{k} t}, \\
\left(q_{k}^{*}(0) p_{k}^{*}(0)=c_{k} ; k=1,2, \ldots, n\right) .
\end{array}
\]

Приближенное решение исходных уравнений получится из равенств (56) при помощи формул указанного выше канонического преобразования Биркгофа, выражающих старые переменные через новые. Несложно проверить, что в рассматриваемом случае чисто мнимых корней характеристического уравнения линеаризованной системы уравнений движения величины $\Lambda_{k}(k=1,2, \ldots, n)$ также будут чисто мнимыми, $\Lambda_{k}=i \Omega_{k}(k=1,2, \ldots, n)$, и, следовательно, старые переменные будут рядами синусов и косинусов аргументов, кратных $\Omega_{k} t$.

Если в системе вообще нет резонансов, то преобразование Биркгофа можно применить для нормализации функции Гамильтона до сколь угодно высокой степени ( $l \rightarrow \infty$ ). Нормализованная во всех степенях функция Гамильтона зависит только от переменных $\left(q_{k}^{*} p_{k}^{*}\right)$ $(k=1,2, \ldots, n)$. Тогда преобразованная система уравнений движения может быть проинтегрирована, причем для этого не надо пренебрегать в ее правых частях никакими членами. Казалось бы, что это должно означать локальную (в окрестности положения равновесия) интегрируемость уравнений движения. Однако это не так. Дело в том, что пре-

образование Биркгофа, нормализующее функцию Гамильтона во всех степенях, будет, как правило, расходящимся ${ }^{1}$.

В последние десятилетия разработаны новые способы применения канонических преобразований в теории возмущений, например метод Депри-Хори. С алгоритмической точки зрения он выгодно отличается от изложенных классических методов. Например, его применение не требует одной из самых громоздких процедур – обращения рядов, а формулы метода задаются рекуррентно, и необходимые преобразования могут быть достаточно просто реализованы на вычислительной машине ${ }^{1}$.
ПРИМЕР 1 (КолЕБАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКого мАЯТНИКА). Функция Гамильтона может быть (см. пример в п. 149) записана в виде
\[
H=\frac{1}{2 m l^{2}} p_{\varphi}^{2}-m g l \cos \varphi .
\]

Для удобства введем безразмерные переменные $\varphi^{\prime}, p_{\varphi}^{\prime}, t^{\prime}$ по формулам
\[
\varphi^{\prime}=\varphi, \quad p_{\varphi}^{\prime}=\frac{p_{\varphi}}{m l \sqrt{g l}}, \quad t^{\prime}=\sqrt{\frac{g}{l}} t .
\]

Замена $\varphi, p_{\varphi} \rightarrow \varphi^{\prime}, p_{\varphi}^{\prime}$ – каноническое преобразование с валентностью $c=\frac{1}{m l \sqrt{g l}}$ (см. пример 3 в п. 170). Учитывая еше, что введение вместо времени $t$ новой независимой переменной $t^{\prime}$ приводит $к$ делению функции Гамильтона на $\sqrt{g / l}$, получим, что уравнениям движения в безразмерных переменных (57) отвечает функция Гамильтона
\[
H=\frac{1}{2} p_{\varphi}{ }^{\prime 2}-\cos \varphi^{\prime} .
\]

Рассмотрим движение маятника в окрестности его положения равновесия $\varphi=0$. В этом случае $\varphi^{\prime}$ и $p_{\varphi}^{\prime}$ – малые величины. Разлагая функцию (58) в ряд по степеням $\varphi^{\prime}, p_{\varphi}^{\prime}$ и отбрасывая несущественный для уравнений движения постоянный член, получаем
\[
H=\frac{1}{2}\left(p_{\varphi}{ }^{2}+\varphi^{\prime 2}\right)-\frac{1}{24} \varphi^{\prime 4}+\ldots,
\]

где многоточием обозначены члены выше четвертой степени относительно $\varphi^{\prime}, p_{\varphi}{ }^{\prime}$. Если в разложении (59) пренебречь всеми неквадратичными членами, то уравнения движения станут линейными. В этом линейном приближении движение маятника представляет собой гармонические колебания. Чтобы выявить влияние нелинейностей в уравнениях движения, учтем в разложении (59) член – $(1 / 24) \varphi^{\prime 4}$ и для приближенного исследования нелинейных колебаний используем преобразование Биркгофа.
Сделав замену переменных (каноническую, с валентностью $c=2 i$ )
\[
q=\varphi^{\prime}-i p_{\varphi}{ }^{\prime}, \quad p=\varphi^{\prime}+i p_{\varphi}^{\prime},
\]

получим
\[
H=H_{2}+H_{4}+\ldots,
\]

где
\[
H_{2}=i q p, \quad H_{4}=-\frac{i}{192}\left(q^{4}+4 q^{3} p+6 q^{2} p^{2}+4 q p^{3}+p^{4}\right) .
\]

Несложные вычисления показывают, что преобразование Биркофа $q, p \rightarrow q^{*}, p^{*}$, задаваемое производящей функцией $q p^{*}+S_{4}\left(q, p^{*}\right)$, где
\[
S_{4}=\frac{1}{768} q^{4}+\frac{1}{96} q^{3} p^{*}-\frac{1}{96} q p^{* 3}-\frac{1}{768} p^{* 4},
\]

приводит функцию Гамильтона к виду
\[
H^{*}=i\left(q^{*} p^{*}\right)-\frac{i}{32}\left(q^{*} p^{*}\right)^{2},
\]

причем переменные $q$, p выражаются через $q^{*}$, p* по формулам
\[
q=q^{*}-\frac{1}{192}\left(2 q^{* 3}-6 q^{*} p^{* 2}-p^{* 3}\right), \quad p=p^{*}+\frac{1}{192}\left(q^{* 3}+6 q^{* 2} p^{*}-2 p^{* 3}\right) .
\]

В формулах (61), (62) отброшены члены, степень которых выше степени оставшихся членов.

Канонические уравнения с функцией Гамильтона (61) интегрируются. Если $q_{0}^{*}, p_{0}^{*}$ – начальные значения величин $q^{*}, p^{*}$, то
\[
q^{*}=q_{0}^{*} e^{i \Omega t^{\prime}}, \quad p^{*}=p_{0}^{*} e^{-i \Omega t^{\prime}},
\]

где введено обозначение
\[
\Omega=1-\frac{1}{16}\left(q_{0}^{*} p_{0}^{*}\right) .
\]

Приближенное решение задачи о нелинейных колебаниях маятника получается теперь из формул (57), (60), (62), выражающих исходные величины $\varphi, p_{\varphi}$ через новые переменные, в которых записано решение (63).

Пусть момент $t=0$ соответствует максимальному углу отклонения $\beta$ маятника от вертикали. Тодда из формул (57), (60), (62) следует, что с точностью до квадратов величины $\beta$ включительно
\[
\Omega=1-\frac{1}{16} \beta^{2} .
\]

С той же точностью для периода $\tau$ нелинейных колебаний маятника получаем выражение
\[
\tau=\frac{2 \pi}{\Omega} \sqrt{\frac{l}{g}}=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}\left(1+\frac{1}{16} \beta^{2}\right),
\]

которое совпадает с выражением, полученным в п. 96 (формула (28)) при помощи разложения в ряд точного значения периода колебаний маятника, записанного через полный эллиптический интеграл первого рода.