Главная > ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА (А.П.Маркеев)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

212. Теорема Делонэ-Бертрана. Рассмотрим систему материальных точек Pu(u=1,2,,N) с идеальными обратимыми связями. Первоначально она покоится, но в некоторый момент внезапно приводится в движение заданной системой ударных импульсов Iu. В результате удара точка Pu получает скорость vu(1), а система приобретает кинетическую энергию T(1). Наложим теперь на систему новые дополнительные связи, также идеальные и обратимые. Тогда точки Pu системы под действием тех же импульсов Iu приобретают, вообще говоря, другие скорости vu(2), а система — кинетическую энергию T(2).

Новые скорости vu(2) являются кинематически возможными как для системы с увеличенным числом связей, так и для первоначальной системы. Поэтому из принципа Журдена, согласно соотношению (15) п. 206, следует справедливость следующих двух равенств:
u=1N(Iumuvu(1))vu(2)=0,u=1N(Iumuvu(2))vu(2)=0.

Из этих равенств следует, что
u=1Nmu(vu(1)vu(2))vu(2)=0,

или
12u=1Nmuvu(1)212u=1Nmuvu(2)2=12u=1Nmu(vu(1)vu(2))2,
T. e.
T(1)T(2)=12u=1Nmu(vu(1)vu(2))2>0.

Последнее соотношение означает, что для систем с идеальными обратимыми связями имеет место следующее утверждение.
Теорема (Делонэ-Бертрана). Если точки материальной системы получают заданные импульсы, то кинетическая энергия в возникающем движении будет больше, чем кинетическая энергия, которую приобрела бы система при тех же импульсах, если бы к первоначальным связям системы были добавлены новые связи.

Иными словами, добавление новых связей при тех же импульсах приводит к уменьшению послеударной величины кинетической энергии.

ПРимеР 1. Иллюстрацией к теореме могут служить примеры 2 и 3 из n. 196 (см. также п. 197). Для свободного стержня имеем T(1)=2I2m. Если же один из концов стержня закрепить, то T(2)=3I22m. Поэтому T(1)T(2)=43, т. е. (при заданном импульсе I) наложение связи (закрепление конца стержня) уменьшило кинетическую энергию.

Содержание теоремы Делонэ-Бертрана можно выразить еще следующим образом. Рассмотрим кинематическое состояние системы после действия заданных ударных импульсов как одно из кинематических состояний системы с увеличенным числом связей. Тогда среди бесконечного множества таких состояний системы истинное послеударное кинематическое состояние выделяется тем, что для него кинетическая энергия имеет максимальное значение при тех же импульсах.
ПРимеР 2. Определим при помощи теоремы Делонэ-Бертрана послеударное кинематическое состояние стержня в примере 2 n. 196.

Кинематическое состояние стержня вполне определится, если найти его послеударную угловую скорость ω и положение мгновенного центра скоростей.

Мысленно наложим на стержень новую связь, шарнирно «закрепив» его в точке, лежащей слева от центра масс стержня на расстоянии x от него (рис. 146). Согласно теореме Делонэ-Бертрана, истинное положение мгновенного центра скоростей после удара найдется из условий максимума кинетической энергии как функиии х при заданной величине импульса I.

Теорема об изменении кинетического момента дает следующее соотношение между ω и x :
Jω=I(l2+x),J=112ml2+mx2.

Для кинетической энергии стержня T=Jω22 с учетом (1) имеем выражение
T=3I22mf(x),f(x)=(l+2x)2l2+12x2.

Из условия dTdx=0 находим x=l6 и из (1) получаем ω=6Iml.
Пусть vu — кинематически возможные послеударные скорости точек первоначально покоящейся системы. Согласно теореме об изменении кинетической энергии при импульсивном движении, величины vu

и ударные импульсы Iu связаны равенством (см. формулу (10) п. 197):
u=1Nmuvu2=u=1NIuvu.

Поэтому теореме Делонэ-Бертрана можно дать такую формулировку: кинетическая энергия, сообщаемая системе с идеальными обратимыми связями заданными импульсами Iu, есть максимум при условии (3).
ПРИМЕР 3 (СМ. ТАКЖЕ П. 198). К покоящемуся свободному твердому телу приложены ударные импульсы с главным вектором S(e) и главным моментом L(e) относительно центра масс тела. Определим кинематическое состояние тела после удара при помощи теоремы ДелонэБертрана.

Пусть m — масса тела, A,B,C — его главные центральные моменты инериии, vG и ω — скорость центра масс тела и его угловая скорость после удара. В системе координат Gxуz, образованной главными центральными осями инериии, имеем: S(e)=(Sx,Sy,Sz), L(e)=(Lx,Ly,Lz),vG=(vGx,vGy,vGz),ω=(p,q,r). воoтветствии с теоремой Делонэ-Бертрана, в послеударном состоянии тела величина
T=12m(vGx2+vGy2+vGz2)+12(Ap2+Bq2+Cr2)

является максимальной при условии (3), которое в рассматриваемом случае, согласно формуле (5) п. 198, может быть записано в виде
SxvGx+SyvGy+SzvGz+Lxp+Lyq+Lzr=2T.

Для решения задачи об условном экстремуме используем метод неопределенных множителей Лагранжа. Составим функцию
F=Tλ(SxvGx+SyvGy+SzvGz+Lxp+Lyq+Lzr2T)==(1+2λ)Tλ(SxvGx+SyvGy+SzvGz+Lxp+Lyq+Lzr)

Приравняв нулю частные производные функиии F по vGx,vGy,vGz, p,q,r, получаем следующие уравнения:
(1+2λ)mvGx=λSx,(1+2λ)mvGy=λSy,(1+2λ)mvGz=λSz(1+2λ)Ap=λLx,(1+2λ)Bq=λLy,(1+2λ)Cr=λLz

Из (5) и (6) находим λ=1, a
vGx=Sxm,vGy=Sym,vGz=Szm,p=LxA,q=LyB,r=LzC,

что находится в соответствии с формулами (2) и (3) п. 198.
213. Теорема Томсона. Как мы видели в предыдущем пункте, теорема Делонэ-Бертрана позволяет свести задачу об импульсивном движении системы с идеальными обратимыми связями к задаче о нахождении максимума некоторой функции. Теорема Томсона, изучаемая ниже, сводит задачу об импульсивном движении к рассмотрению некоторого минимума.

Пусть точки Pu первоначально покоящейся системы под действием ударных импульсов Iu приобретают скорости vu. Если к системе приложить другие ударные импульсы, то ее состояние после удара будет, как правило, иным, нежели в первом случае: если vu — скорости точек системы во втором случае, то, вообще говоря, равенство vu=vu не будет выполняться для всех точек Pu. Пусть при этом новые импульсы таковы, что новые скорости vu удовлетворяют равенству
u=1NIuvu=u=1NIuvu.

Напишем уравнение (15) п. 206 для системы импульсов Iu и двух систем кинематически возможных скоростей vu и vu :
u=1N(Iumuvu)vu=0,u=1N(Iumuvu)vu=0.

Отсюда на основании условия (7) получаем равенство
u=1Nmu(vuvu)vu=0,

которое тождественными преобразованиями приводится к виду
12u=1Nmuvu212u=1Nmuvu2=12u=1Nmu(vuvu)2,
т. e.
TT=12u=1Nmu(vuvu)2>0.

Это означает, что для рассматриваемой системы материальных точек справедливо следующее утверждение.
Теорема (Томсона). Кинетическая энергия, которую приобретает система в действительности от приложенных импульсов, будет наименьшей из всех тех кинетических энергий, которые сообщили бы системе всевозможные импульсы, удовлетворяющие условию (7).

Доказательство.
Предположим, что находящаяся в покое система материальных точек Pu (u=1,2,,N) приводится
Рис. 160

в движение неизвестными ударными
импульсами, приложенными к некоторым заданным точкам системы P1,P2,,Pn(n<N), причем эти точки приобретают данные скорости vu(u=1,2,,n). К остальным точкам системы не приложено никаких активных ударных импульсов, их послеударные скорости обусловлены только наличием связей. В этом случае условию (7) можно удовлетворить, если новые импульсы подобрать так, чтобы выполнялись условия vu=vu для u=1,2,,n. Теореме Томсона можно, следовательно, дать такую формулировку: если некоторые точки системы внезапно приведены в движение с заданными скоростями, то кинетическая энергия, приобретенная системой, меньше, чем кинетическая энергия во всяком другом кинематически возможном состоянии, при котором указанные точки системы имеют заданные скорости.
Пример 1. Два одинаковых тонких однородных стержня АО и ОВ массы m и длины l каждый шарнирно соединены в точке O и находятся в покое перпендикулярно один другому. Кониу B стержня OB внезапно сообщатся скорость v, параллельная направлению OA (рис. 160). Определить кинематическое состояние стержней после удара.

При заданной скорости точки В послеударное кинематическое состояние стержней AO и ОВ вполне определяется их угловыми скоростями ω1uω2. Пусть v1 и v2 — скорости центров масс G1 и G2 стержней после удара. Тогда
T=12m(v12+v22)+124ml2(ω12+ω22).

Но из кинематических соотношений v0=v1+ω1×G1O=v+ω2×BO

uv2=v+ω2×BG2 следуют равенства
v1x=vω2l,v1y=ω1l2,v2x=vω2l2,v2y=0,

поэтому
T=12m[(v+ω2l)2+ω12l24+(v+ω2l2)2]+124ml2(ω12+ω22).

Из уравнений
Tω1=0,Tω2=0

находим ω1=0,ω2=9v8l. Таким образом, непосредственно после удара стержень АО находится в состоянии мгновенного поступательного движения, а стержень АО вращается по часовой стрелке с угловой скоростью 9v8l.
ПРИмер 2. К заданной точке свободного твердого тела приложен импульс, сообщающий этой точке данную скорость. Определить послеударное состояние тела.

Как и в последнем примере n. 212 , за начало координат примем центр масс G тела, а за оси Gx,Gy,Gz — главные центральные оси инерции. Кинетическая энергия T тела после удара вычисляется по формуле (4) n. 212. Пусть a,b,c — координаты точки приложения импульса, а vx,vy,vz — заданные проекции вектора ее скорости на координатные оси. Тогда
vx=vGx+qcrb,vy=vGy+rapc,vz=vGz+pbqa.

Нахождение величин vGx,vGy,vGz,p,q,r, доставляющих минимум функции T при условиях (8), приводит к уравнениям
mvGx=λx,mvGy=λy,mvGz=λz,Ap=bλzcλy,Bq=cλxaλz,Cr=aλybλx,

где λx,λy,λz — неопределенные множители Лагранжа, которые определяются вместе с величинами vGx,vGy,vGz,p,q,r из системы девяти уравнений (8)-(10).

Отметим, что из формул (2), (3) п. 198 и уравнений (9), (10) следует, что λx,λy,λz — проекции неизвестного вектора ударного импульса на оси Gx, Gy, Gz.

Теореме Томсона можно дать истолкование, близкое по форме к данному в предыдущем пункте истолкованию теоремы ДелонэБертрана. Будем рассматривать послеударное кинематическое состояние системы, заданным точкам которой сообщены заданные скорости, как одно из послеударных состояний системы с увеличенным числом связей. Тогда среди бесконечного множества таких состояний истинное послеударное состояние выделяется тем, что оно дает наименьшую кинетическую энергию при тех же скоростях заданных точек системы.

Иными словами, добавление новых связей при тех же скоростях заданных точек системы приводит к увеличению ее послеударной кинетической энергии.

Сравнив теоремы Делонэ-Бертрана и Томсона, получим, что если заданы ударные импульсы, приложенные в данных точках системы, то послеударное состояние системы может быть найдено при решении задачи максимума кинетической энергии, если же заданы скорости точек приложения импульсов, то послеударное состояние находится как решение задачи минимума кинетической энергии при добавлении новых связей.
ПРимеР 3. Для иллюстрации рассмотрим два тонких однородных стержня AB и BC, связанных шарнирно в точке B. Стержни покоятся и составляют одну прямую (рис. 158). Внезапно точке C сообщается скорость v в направлении, перпендикулярном ВС. На основании вычислений, проведенных в примере 1 n. 207, можно получть, что при этом система из двух стержней приобретет кинетическую энергию T(1)=17mv2.

Теперь мысленно проведем второй эксперимент. Закрепим шарнирно точку A и приведем точку C в движение с прежней скоростью v. Использовав вычисления примера 3 n. 200, получим, что в этом случае приобретенная кинетическая энергия T(2)=748mv2.

И, наконеи, рассмотрим третий эксперимент. Кроме точки A закрепим шарнирно еще и точку B, а точке C опять сообщим ту же скорость v. Здесь после удара стержень А В остается в покое, и приобретенная кинетическая энергия T(3) равна послеударной кинетической энергии стержня ВС. Согласно примеру из п. 197, имеем T(3)=16mv2.

Так как 17<748<16, то T(1)<T(2)<T(3), т. е., в соответствии с теоремой Томсона, наложение связей при неизменной скорости точки C приводит к увеличению послеударной кинетической энергии.

Если же в трех рассмотренных экспериментах одинаковым будет ортогональный ВC ударный импульс I, то приобретенная кинетичес-

кая энергия будет, соответственно, такой: T(1)=7I24m,T(2)=12I27m, T(3)=3I22m. Так как 74>127>32, то T(1)>T(2)>T(3), т. е., в согласии с теоремой Делонэ-Бертрана, наложение новых связей привело к уменьшению послеударной кинетической энергии.
Пример 4. При помощи теоремы Томсона найдем положение мгновенного центра скоростей тонкого однородного стержня, правому кониу которого сообщена скорость v перпендикулярно стержню (рис. 146).

Эта задача рассмотрена в предыдущем пункте при помощи теоремы Делонэ-Бертрана. Здесь используем аналогичный подход. На стержень мысленно наложим связь, «закрепив» его при помощи шарнира в точке, отстоящей от центра масс O на расстоянии x. Тогда послеударная угловая скорость задается равенством ω=2vl+2x. Момент инериии J относительно оси вращения вычисляется по формуле (1). Для кинетической энергии стержня в его послеударном состоянии получим выражение
T=12Jω2=16mv2g(x),g(x)=l2+12x2(l+2x)2.

Согласно теореме Томсона, искомая величина x доставляет минимум величине кинетической энергии. Это дает x=l6, что совпадает c результатом предыдущего пункта.

Сравнивая формулы (2) и (11), видим, что g(x)=1f(x), т. е. теоремы Делонэ-Бертрана и Томсона привели к рассмотрению экстремума одной и той же функции от x.

1
Оглавление
email@scask.ru