77. Моменты инерции относительно осей, проходящих через одну и ту же точку. Рассмотрим ось $u$, проходящую через начало системы координат Oxyz. Косинусы углов, образуемых осью $u$ с осями $Ox,Oy,Oz$, обозначим соответственно $\alpha ,\beta ,\gamma$. Тогда (рис. 80)
$$\begin{array}{c}{J}_u=\sum _{u=1}^N{m}_u{\rho }_u^2=\sum _{u=1}^N{m}_u[(x_u^2+y_u^2+z_u^2)-{(x_u\alpha +y_u\beta +z_u\gamma )}^2]=\\ =\sum _{u=1}^N{m}_u[(1-{\alpha }^2)x_u^2+(1-{\beta }^2)y_u^2+(1-{\gamma }^2)z_u^2-\\ -2\alpha \beta x_u{y}_u-2\alpha \gamma x_u{z}_u-2\beta \gamma y_u{z}_u].\end{array}$$

На основании тождества ${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2=1$ заменяем $1-{\alpha }^2,1-{\beta }^2$, $1-{\gamma }^2$ соответственно на ${\beta }^2+{\gamma }^2,{\alpha }^2+{\gamma }^2,{\alpha }^2+{\beta }^2$ и приводим подобные

члены в выражении, стоящем в квадратных скобках. Получаем
$$J_u=J_x{\alpha }^2+J_y{\beta }^2+J_z{\gamma }^2-2J_{xy}\alpha \beta -2J_{xz}\alpha \gamma -2J_{yz}\beta \gamma ,$$

где введены следующие обозначения:
$$\begin{array}{c}{J}_x=\sum _{u=1}^N{m}_u(y_u^2+z_u^2),J_y=\sum _{u=1}^N{m}_u(z_u^2+x_u^2)\\ J_z=\sum _{u=1}^N{m}_u(x_u^2+y_u^2)\\ J_{xy}=\sum _{u=1}^N{m}_u{x}_u{y}_u,J_{xz}=\sum _{u=1}^N{m}_u{x}_u{z}_u,J_{yz}=\sum _{u=1}^N{m}_u{y}_u{z}_u.\end{array}$$

Величины (2), (3), очевидно, не зависят от выбора оси $u$. Величины (2) называются осевыми моментами инерциu: $J_x$ — это момент инерции относительно оси $Ox,J_y$ — относительно оси $Oy$ и $J_z$ — относительно оси $Oz$. Величины (3) называются центробежными моментами инерии. Осевой момент инерции представляет собой меру инертности системы при ее вращении вокруг соответствующей оси. Центробежные моменты инерции можно трак-
Рис. 80
товать как меру неуравновешенности масс системы: они характеризуют несимметричность распределения масс относительно координатных плоскостей.

Для различных точек $O$ осевые и центробежные моменты инерции различны. Они изменяются также при повороте системы координат $Oxyz$ вокруг рассматриваемой точки $O$. Можно показать, что при повороте величины (2), (3) изменяются в соответствии с формулами, определяющими симметрический тензор второго ранга. Матрица $\mathbf{J}$ вида
$$\mathbf{J}=\Vert \begin{array}{ccc}{J}_x& -J_{xy}& -J_{xz}\\ -J_{xy}& J_y& -J_{yz}\\ -J_{xz}& -J_{yz}& J_z\end{array}\Vert$$

определяет тензор второго ранга, который называют тензором инериии системы для точки $O$.

78. Эллипсоид инерции. Главные оси инерции. Формула (1) допускает наглядную геометрическую интерпретацию. На оси $u$ отложим по обе стороны от точки $O$ отрезки такой длины $ON$ (рис. 80), что
$$ON=1/\sqrt{J_u},$$

и найдем геометрическое место точек $N(x,y,z)$. Имеем
$$\alpha =\sqrt{J_u}x,\beta =\sqrt{J_u}y,\gamma =\sqrt{J_u}z.$$

Подставив эти значения $\alpha ,\beta$ и $\gamma$ в равенство (1), получим
$$J_x{x}^2+J_y{y}^2+J_z{z}^2-2J_{xy}xy-2J_{xz}xz-2J_{yz}yz=1.$$

Поверхность второго порядка (5) — эллипсоид. Действительно, отрезок $ON$ имеет конечную длину, так как $J_u⩾\delta >0$. Исключение составляет предельный случай, когда все точки $P_u$ лежат на одной прямой (например, случай бесконечно тонкого стержня). Тогда момент инерции $J_u=0$, и эллипсоид инерции превращается в цилиндр.

Эллипсоид (5) называется эллипсоидом инерции системы для точки $O$. Если точка $O$ совпадает с центром масс, то эллипсоид (5) называется центральным эллипсоидом инерции. При повороте системы координат $Oxyz$ уравнение эллипсоида инерции меняется. Главные оси эллипсоида инерции называются главными осями инерции системы для точки $O$. В системе координат $O{x}_{\ast }{y}_{\ast }{z}_{\ast }$, оси которой направлены по главным осям эллипсоида инерции, уравнение (5) имеет вид
$$A{x}_{\ast }^2+B{y}_{\ast }^2+C{z}_{\ast }^2=1.$$

В этой системе координат центробежные моменты инерции равны нулю: $J_{x_{\ast }{y}_{\ast }}=J_{x_{\ast }{z}_{\ast }}=J_{y_{\ast }{z}_{\ast }}=0$. Величины $A,B,C$ — моменты инерции относительно главных осей $O{x}_{\ast },O{y}_{\ast },O{z}_{\ast }$ соответственно. Они называются главными моментами инериии системы для точки $O$. Если точка $O$ совпадает с центром масс, то оси $O{x}_{\ast },O{y}_{\ast },O{z}_{\ast }$ называются главными центральными осями инерции, а величины $A,B,C$ — главными центральными моментами инериии.

Из аналитической геометрии известно, что для любого эллипсоида существуют главные оси. Величины $A,B,C$ являются собственными значениями матрицы (4). Если они различны, то главные оси определяются однозначно. Если эллипсоид инерции для точки $O$ является эллипсоидом вращения вокруг оси $O{z}_{\ast }$, то за его главные оси можно принять ось $O{z}_{\ast }$ и любые две ортогональные оси, лежащие в экваториальной плоскости эллипсоида. Если $A=B=C$, то все оси, проходящие через точку $O$, являются для нее главными.

Если эллипсоид инерции для точки $O$ построен, то момент инерции относительно какой-либо оси $u$ равен $1/O{N}^2$, где $ON-$ отрезок, соединяющий точку $O$ с точкой пересечения оси $u$ с эллипсоидом. Наибольшую величину имеет момент инерции относительно наименьшей оси эллипсоида, а наименьшую — относительно наибольшей его оси.
ЗАмЕчание 2. Пусть при каком-либо выборе системы координат Охуz не все три центробежных момента инериии равны нулю, а только два из них, например $J_{xz}=J_{yz}=0$, а $J_{xy}eq0$. Покажем, что ось Оz будет главной. Чтобы убедиться в этом, надо показать, что систему координат Охуz можно повернуть на такой угол $\alpha$ вокруг оси $Oz$, что в повернутой системе кординат $O{x}^{\prime }{y}^{\prime }z$ уже все центробежные моменты инерции будут равны нулю. Действительно, пусть система координат $O{x}^{\prime }{y}^{\prime }z$ получается из Оху поворотом вокруг оси $Oz$ на угол $\alpha$ против часовой стрелки, если смотреть со стороны положительного направления оси $Oz$. Тогда координты точки $P_u$ в исходной и повернутой системах координт связаны соотношениями
$$x_u^{\prime }=x_u\cos \alpha +y_u\sin \alpha ,y_u^{\prime }=-x_u\sin \alpha +y_u\cos \alpha ,z_u^{\prime }=z_u.$$

Используя равенство (7) и условие $J_{xz}=J_{yz}=0$, получаем
$$\begin{array}{c}{J}_{x^{\prime }{z}^{\prime }}=\sum _{u=1}^N{m}_u{x}_u^{\prime }{z}_u^{\prime }=\sum _{u=1}^N{m}_u(x_u\cos \alpha +y_u\sin \alpha )z_u=\\ =\left(\sum _{u=1}^N{m}_u{x}_u{z}_u\right)\cos \alpha +\left(\sum _{u=1}^N{m}_u{y}_u{z}_u\right)\sin \alpha =J_{xz}\cos \alpha +J_{yz}\sin \alpha =0.\end{array}$$

Аналогично получаем, что $J_{y^{\prime }{z}^{\prime }}=0$, т. е. центробежные моменты инерции, которые были равны нулю до поворота системы координат, остаются равными нулю при любом угле поворота вокруг оси Оz. Вычислим теперь третий центробежный момент инерции:
$$\begin{array}{c}{J}_{x^{\prime }{y}^{\prime }}=\sum _{u=1}^N{m}_u{x}_u^{\prime }{y}_u^{\prime }=\\ =\sum _{u=1}^N{m}_u(x_u\cos \alpha +y_u\sin \alpha )(-x_u\sin \alpha +y_u\cos \alpha )=\\ =-\frac{1}{2}\left(\sum _{u=1}^N{m}_u(x_u^2-y_u^2)\right)\sin 2\alpha +\left(\sum _{u=1}^N{m}_u{x}_u{y}_u\right)\cos 2\alpha .\end{array}$$

Замечая, что
$$\sum _{u=1}^N(x_u^2-y_u^2)=J_y-J_x$$

и приравнивая $J_{x^{\prime }{y}^{\prime }}$ нулю, получаем уравнение для нахождения угла $\alpha$ :
$$-\frac{1}{2}(J_y-J_x)\sin 2\alpha +J_{xy}\cos 2\alpha =0$$

Если $J_x=J_y$, то $\alpha =\pi /4$, если же $J_{x}eq{J}_y$, то
$$\alpha =\frac{1}{2}\mathrm{arctg}\frac{2J_{xy}}{J_y-J_x}.$$

Таким образом, ось $Oz$, отвечающая общему индексу (в рассмотренном случае индексу z) равных нулю центробежных моментов инерции, является главной осью инерции для точки $O$.

УПРАжНЕНИЕ 2. Показать, что если между радиусом основания $R$ однородного прямого кругового конуса и его высотой $h$ выполняется соотношение $R=2h$, то эллипсоид инерции конуса для его вершины есть сфера.

УПРАЖНЕНИЕ 3. Показать, что: а) главная ось инерции остается главной для всех своих точек тогда и только тогда, когда она является главной центральной осью инерции; б) если в системе есть ось материальной симметрии, то эта ось является главной центральной осью инерции; в) если у системы есть плоскость материальной симметрии, то любая прямая, перпендикулярная этой плоскости, является главной осью инерции системы для точки, в которой эта прямая пересекает плоскость симметрии; г) для однородного тела вращения ось вращения и любые две взаимно перпендикулярные и перпендикулярные ей оси образуют систему главных осей инерции.
79. Свойства главных моментов инерции. Не всякий эллипсоид может служить эллипсоидом инерции. Действительно, если за оси $O{x}_{\ast },O{y}_{\ast },O{z}_{\ast }$ приняты главные оси инерции для точки $O$, то уравнение эллипсоида инерции имеет вид (6), где
$$\begin{array}{c}A=\sum _{u=1}^N{m}_u(y_{\ast u}^2+z_{\ast u}^2),B=\sum _{u=1}^N{m}_u(z_{\ast u}^2+x_{\ast u}^2),\\ C=\sum _{u=1}^N{m}_u(x_{\ast u}^2+y_{\ast u}^2).\end{array}$$

Главные моменты инерции (как, впрочем, и осевые моменты инерции (2)) удовлетворяют неравенствам треугольника
$$A+B⩾C,A+C⩾B,B+C⩾A.$$

Проверим первое из этих неравенств. Имеем
$$\begin{array}{c}A+B=\sum _{u=1}^N{m}_u(x_{\ast u}^2+y_{\ast u}^2+2z_{\ast u}^2)=\\ =\sum _{u=1}^N{m}_u(x_{\ast u}^2+y_{\ast u}^2)+2\sum _{u=1}^N{m}_u{z}_{\ast u}^2=C+2\sum _{u=1}^N{m}_u{z}_{\ast u}^2⩾C,\end{array}$$

причем знак равенства возможен только для случая, когда все точки системы лежат в плоскости $O{x}_{\ast }{y}_{\ast }$, т. е. когда $z_{\ast u}=0$ для всех $u$. Второе и третье неравенства из (8) провернются аналогично.

Для графического представления области допустимых значений моментов инерции введем обозначения ${\theta }_A=A/B,{\theta }_C=C/B$. Неравенства (8) запишутся в виде
$${\theta }_A+1⩾{\theta }_C,{\theta }_A+{\theta }_C⩾1,1+{\theta }_C⩾{\theta }_A.$$

Область допустимых значений параметров показана на рис. 81 штриховкой. Она представляет собой бесконечную полосу, лежащую между параллельными прямыми ${\theta }_A+1={\theta }_C$ и $1+{\theta }_C={\theta }_A$ и расположенную правее и выше прямой ${\theta }_A+{\theta }_C=1$. Участки границы области допустимых значений параметров ${\theta }_A+1={\theta }_C,{\theta }_A+{\theta }_C=1$ и $1+{\theta }_C={\theta }_A$ отвечают системам материальных точек, лежащим соответственно в плоскостях $O{x}_{\ast }{y}_{\ast },O{x}_{\ast }{z}_{\ast }$ и $O{y}_{\ast }{z}_{\ast }$. Точка $(1,0)$ на
Рис. 81
рис. 81 , точка $(0,1)$ и бесконечно удаленные точки прямых ${\theta }_A+1={\theta }_C$, $1+{\theta }_C={\theta }_A$ отвечают системам материальных точек, лежащим соответственно на осях $O{z}_{\ast },O{x}_{\ast }$ и $O{y}_{\ast }$.

УПРАжненИЕ 4. Показать, что симметрическую матрицу, образованную элементами $J_{ij}(i,j=1,2,3;J_{ij}=J_{ji})$, можно рассматривать как матрицу тензора инерции реального твердого тела тогда и только тогда, когда одновременно выполняются неравенства ${}^1$
$$\begin{array}{c}{x}_1>0,x_1{x}_2-J_{12}^2>0,\\ x_1{x}_2{x}_3-x_1{J}_{23}^2-x_2{J}_{13}^2-x_3{J}_{12}^2-2J_{12}{J}_{13}{J}_{23}>0,\end{array}$$

где
$$x_1=\frac{J_{22}+J_{33}-J_{11}}{2},x_2=\frac{J_{11}+J_{33}-J_{22}}{2},x_3=\frac{J_{11}+J_{22}-J_{33}}{2}.$$