77. Моменты инерции относительно осей, проходящих через одну и ту же точку. Рассмотрим ось $u$, проходящую через начало системы координат Oxyz. Косинусы углов, образуемых осью $u$ с осями $O x, O y, O z$, обозначим соответственно $\alpha, \beta, \gamma$. Тогда (рис. 80)
\[
\begin{array}{c}
J_{u}=\sum_{
u=1}^{N} m_{
u} \rho_{
u}^{2}=\sum_{
u=1}^{N} m_{
u}\left[\left(x_{
u}^{2}+y_{
u}^{2}+z_{
u}^{2}\right)-\left(x_{
u} \alpha+y_{
u} \beta+z_{
u} \gamma\right)^{2}\right]= \\
=\sum_{
u=1}^{N} m_{
u}\left[\left(1-\alpha^{2}\right) x_{
u}^{2}+\left(1-\beta^{2}\right) y_{
u}^{2}+\left(1-\gamma^{2}\right) z_{
u}^{2}-\right. \\
\left.-2 \alpha \beta x_{
u} y_{
u}-2 \alpha \gamma x_{
u} z_{
u}-2 \beta \gamma y_{
u} z_{
u}\right] .
\end{array}
\]

На основании тождества $\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}=1$ заменяем $1-\alpha^{2}, 1-\beta^{2}$, $1-\gamma^{2}$ соответственно на $\beta^{2}+\gamma^{2}, \alpha^{2}+\gamma^{2}, \alpha^{2}+\beta^{2}$ и приводим подобные

члены в выражении, стоящем в квадратных скобках. Получаем
\[
J_{u}=J_{x} \alpha^{2}+J_{y} \beta^{2}+J_{z} \gamma^{2}-2 J_{x y} \alpha \beta-2 J_{x z} \alpha \gamma-2 J_{y z} \beta \gamma,
\]

где введены следующие обозначения:
\[
\begin{array}{c}
J_{x}=\sum_{
u=1}^{N} m_{
u}\left(y_{
u}^{2}+z_{
u}^{2}\right), \quad J_{y}=\sum_{
u=1}^{N} m_{
u}\left(z_{
u}^{2}+x_{
u}^{2}\right) \\
J_{z}=\sum_{
u=1}^{N} m_{
u}\left(x_{
u}^{2}+y_{
u}^{2}\right) \\
J_{x y}=\sum_{
u=1}^{N} m_{
u} x_{
u} y_{
u}, \quad J_{x z}=\sum_{
u=1}^{N} m_{
u} x_{
u} z_{
u}, \quad J_{y z}=\sum_{
u=1}^{N} m_{
u} y_{
u} z_{
u} .
\end{array}
\]

Величины (2), (3), очевидно, не зависят от выбора оси $u$. Величины (2) называются осевыми моментами инерциu: $J_{x}$ – это момент инерции относительно оси $O x, J_{y}$ – относительно оси $O y$ и $J_{z}$ – относительно оси $O z$. Величины (3) называются центробежными моментами инерии. Осевой момент инерции представляет собой меру инертности системы при ее вращении вокруг соответствующей оси. Центробежные моменты инерции можно трак-
Рис. 80
товать как меру неуравновешенности масс системы: они характеризуют несимметричность распределения масс относительно координатных плоскостей.

Для различных точек $O$ осевые и центробежные моменты инерции различны. Они изменяются также при повороте системы координат $O x y z$ вокруг рассматриваемой точки $O$. Можно показать, что при повороте величины (2), (3) изменяются в соответствии с формулами, определяющими симметрический тензор второго ранга. Матрица $\mathbf{J}$ вида
\[
\mathbf{J}=\left\|\begin{array}{ccc}
J_{x} & -J_{x y} & -J_{x z} \\
-J_{x y} & J_{y} & -J_{y z} \\
-J_{x z} & -J_{y z} & J_{z}
\end{array}\right\|
\]

определяет тензор второго ранга, который называют тензором инериии системы для точки $O$.

78. Эллипсоид инерции. Главные оси инерции. Формула (1) допускает наглядную геометрическую интерпретацию. На оси $u$ отложим по обе стороны от точки $O$ отрезки такой длины $O N$ (рис. 80), что
\[
O N=1 / \sqrt{J_{u}},
\]

и найдем геометрическое место точек $N(x, y, z)$. Имеем
\[
\alpha=\sqrt{J_{u}} x, \quad \beta=\sqrt{J_{u}} y, \quad \gamma=\sqrt{J_{u}} z .
\]

Подставив эти значения $\alpha, \beta$ и $\gamma$ в равенство (1), получим
\[
J_{x} x^{2}+J_{y} y^{2}+J_{z} z^{2}-2 J_{x y} x y-2 J_{x z} x z-2 J_{y z} y z=1 .
\]

Поверхность второго порядка (5) – эллипсоид. Действительно, отрезок $O N$ имеет конечную длину, так как $J_{u} \geqslant \delta>0$. Исключение составляет предельный случай, когда все точки $P_{
u}$ лежат на одной прямой (например, случай бесконечно тонкого стержня). Тогда момент инерции $J_{u}=0$, и эллипсоид инерции превращается в цилиндр.

Эллипсоид (5) называется эллипсоидом инерции системы для точки $O$. Если точка $O$ совпадает с центром масс, то эллипсоид (5) называется центральным эллипсоидом инерции. При повороте системы координат $O x y z$ уравнение эллипсоида инерции меняется. Главные оси эллипсоида инерции называются главными осями инерции системы для точки $O$. В системе координат $O x_{*} y_{*} z_{*}$, оси которой направлены по главным осям эллипсоида инерции, уравнение (5) имеет вид
\[
A x_{*}^{2}+B y_{*}^{2}+C z_{*}^{2}=1 .
\]

В этой системе координат центробежные моменты инерции равны нулю: $J_{x_{*} y_{*}}=J_{x_{*} z_{*}}=J_{y_{*} z_{*}}=0$. Величины $A, B, C$ – моменты инерции относительно главных осей $O x_{*}, O y_{*}, O z_{*}$ соответственно. Они называются главными моментами инериии системы для точки $O$. Если точка $O$ совпадает с центром масс, то оси $O x_{*}, O y_{*}, O z_{*}$ называются главными центральными осями инерции, а величины $A, B, C$ – главными центральными моментами инериии.

Из аналитической геометрии известно, что для любого эллипсоида существуют главные оси. Величины $A, B, C$ являются собственными значениями матрицы (4). Если они различны, то главные оси определяются однозначно. Если эллипсоид инерции для точки $O$ является эллипсоидом вращения вокруг оси $O z_{*}$, то за его главные оси можно принять ось $O z_{*}$ и любые две ортогональные оси, лежащие в экваториальной плоскости эллипсоида. Если $A=B=C$, то все оси, проходящие через точку $O$, являются для нее главными.

Если эллипсоид инерции для точки $O$ построен, то момент инерции относительно какой-либо оси $u$ равен $1 / O N^{2}$, где $O N-$ отрезок, соединяющий точку $O$ с точкой пересечения оси $u$ с эллипсоидом. Наибольшую величину имеет момент инерции относительно наименьшей оси эллипсоида, а наименьшую – относительно наибольшей его оси.
ЗАмЕчание 2. Пусть при каком-либо выборе системы координат Охуz не все три центробежных момента инериии равны нулю, а только два из них, например $J_{x z}=J_{y z}=0$, а $J_{x y}
eq 0$. Покажем, что ось Оz будет главной. Чтобы убедиться в этом, надо показать, что систему координат Охуz можно повернуть на такой угол $\alpha$ вокруг оси $O z$, что в повернутой системе кординат $O x^{\prime} y^{\prime} z$ уже все центробежные моменты инерции будут равны нулю. Действительно, пусть система координат $O x^{\prime} y^{\prime} z$ получается из Оху поворотом вокруг оси $O z$ на угол $\alpha$ против часовой стрелки, если смотреть со стороны положительного направления оси $O z$. Тогда координты точки $P_{
u}$ в исходной и повернутой системах координт связаны соотношениями
\[
x_{
u}^{\prime}=x_{
u} \cos \alpha+y_{
u} \sin \alpha, \quad y_{
u}^{\prime}=-x_{
u} \sin \alpha+y_{
u} \cos \alpha, \quad z_{
u}^{\prime}=z_{
u} .
\]

Используя равенство (7) и условие $J_{x z}=J_{y z}=0$, получаем
\[
\begin{array}{c}
J_{x^{\prime} z^{\prime}}=\sum_{
u=1}^{N} m_{
u} x_{
u}^{\prime} z_{
u}^{\prime}=\sum_{
u=1}^{N} m_{
u}\left(x_{
u} \cos \alpha+y_{
u} \sin \alpha\right) z_{
u}= \\
=\left(\sum_{
u=1}^{N} m_{
u} x_{
u} z_{
u}\right) \cos \alpha+\left(\sum_{
u=1}^{N} m_{
u} y_{
u} z_{
u}\right) \sin \alpha=J_{x z} \cos \alpha+J_{y z} \sin \alpha=0 .
\end{array}
\]

Аналогично получаем, что $J_{y^{\prime} z^{\prime}}=0$, т. е. центробежные моменты инерции, которые были равны нулю до поворота системы координат, остаются равными нулю при любом угле поворота вокруг оси Оz. Вычислим теперь третий центробежный момент инерции:
\[
\begin{array}{c}
J_{x^{\prime} y^{\prime}}=\sum_{
u=1}^{N} m_{
u} x_{
u}^{\prime} y_{
u}^{\prime}= \\
=\sum_{
u=1}^{N} m_{
u}\left(x_{
u} \cos \alpha+y_{
u} \sin \alpha\right)\left(-x_{
u} \sin \alpha+y_{
u} \cos \alpha\right)= \\
=-\frac{1}{2}\left(\sum_{
u=1}^{N} m_{
u}\left(x_{
u}^{2}-y_{
u}^{2}\right)\right) \sin 2 \alpha+\left(\sum_{
u=1}^{N} m_{
u} x_{
u} y_{
u}\right) \cos 2 \alpha .
\end{array}
\]

Замечая, что
\[
\sum_{
u=1}^{N}\left(x_{
u}^{2}-y_{
u}^{2}\right)=J_{y}-J_{x}
\]

и приравнивая $J_{x^{\prime} y^{\prime}}$ нулю, получаем уравнение для нахождения угла $\alpha$ :
\[
-\frac{1}{2}\left(J_{y}-J_{x}\right) \sin 2 \alpha+J_{x y} \cos 2 \alpha=0
\]

Если $J_{x}=J_{y}$, то $\alpha=\pi / 4$, если же $J_{x}
eq J_{y}$, то
\[
\alpha=\frac{1}{2} \operatorname{arctg} \frac{2 J_{x y}}{J_{y}-J_{x}} .
\]

Таким образом, ось $O z$, отвечающая общему индексу (в рассмотренном случае индексу z) равных нулю центробежных моментов инерции, является главной осью инерции для точки $O$.

УПРАжНЕНИЕ 2. Показать, что если между радиусом основания $R$ однородного прямого кругового конуса и его высотой $h$ выполняется соотношение $R=2 h$, то эллипсоид инерции конуса для его вершины есть сфера.

УПРАЖНЕНИЕ 3. Показать, что: а) главная ось инерции остается главной для всех своих точек тогда и только тогда, когда она является главной центральной осью инерции; б) если в системе есть ось материальной симметрии, то эта ось является главной центральной осью инерции; в) если у системы есть плоскость материальной симметрии, то любая прямая, перпендикулярная этой плоскости, является главной осью инерции системы для точки, в которой эта прямая пересекает плоскость симметрии; г) для однородного тела вращения ось вращения и любые две взаимно перпендикулярные и перпендикулярные ей оси образуют систему главных осей инерции.
79. Свойства главных моментов инерции. Не всякий эллипсоид может служить эллипсоидом инерции. Действительно, если за оси $O x_{*}, O y_{*}, O z_{*}$ приняты главные оси инерции для точки $O$, то уравнение эллипсоида инерции имеет вид (6), где
\[
\begin{array}{c}
A=\sum_{
u=1}^{N} m_{
u}\left(y_{*
u}^{2}+z_{*
u}^{2}\right), \quad B=\sum_{
u=1}^{N} m_{
u}\left(z_{*
u}^{2}+x_{*
u}^{2}\right), \\
C=\sum_{
u=1}^{N} m_{
u}\left(x_{*
u}^{2}+y_{*
u}^{2}\right) .
\end{array}
\]

Главные моменты инерции (как, впрочем, и осевые моменты инерции (2)) удовлетворяют неравенствам треугольника
\[
A+B \geqslant C, \quad A+C \geqslant B, \quad B+C \geqslant A .
\]

Проверим первое из этих неравенств. Имеем
\[
\begin{array}{c}
A+B=\sum_{
u=1}^{N} m_{
u}\left(x_{*
u}^{2}+y_{*
u}^{2}+2 z_{*
u}^{2}\right)= \\
=\sum_{
u=1}^{N} m_{
u}\left(x_{*
u}^{2}+y_{*
u}^{2}\right)+2 \sum_{
u=1}^{N} m_{
u} z_{*
u}^{2}=C+2 \sum_{
u=1}^{N} m_{
u} z_{*
u}^{2} \geqslant C,
\end{array}
\]

причем знак равенства возможен только для случая, когда все точки системы лежат в плоскости $O x_{*} y_{*}$, т. е. когда $z_{*
u}=0$ для всех $
u$. Второе и третье неравенства из (8) провернются аналогично.

Для графического представления области допустимых значений моментов инерции введем обозначения $\theta_{A}=A / B, \theta_{C}=C / B$. Неравенства (8) запишутся в виде
\[
\theta_{A}+1 \geqslant \theta_{C}, \quad \theta_{A}+\theta_{C} \geqslant 1, \quad 1+\theta_{C} \geqslant \theta_{A} .
\]

Область допустимых значений параметров показана на рис. 81 штриховкой. Она представляет собой бесконечную полосу, лежащую между параллельными прямыми $\theta_{A}+1=\theta_{C}$ и $1+\theta_{C}=\theta_{A}$ и расположенную правее и выше прямой $\theta_{A}+\theta_{C}=1$. Участки границы области допустимых значений параметров $\theta_{A}+1=\theta_{C}, \theta_{A}+\theta_{C}=1$ и $1+\theta_{C}=\theta_{A}$ отвечают системам материальных точек, лежащим соответственно в плоскостях $O x_{*} y_{*}, O x_{*} z_{*}$ и $O y_{*} z_{*}$. Точка $(1,0)$ на
Рис. 81
рис. 81 , точка $(0,1)$ и бесконечно удаленные точки прямых $\theta_{A}+1=\theta_{C}$, $1+\theta_{C}=\theta_{A}$ отвечают системам материальных точек, лежащим соответственно на осях $O z_{*}, O x_{*}$ и $O y_{*}$.

УПРАжненИЕ 4. Показать, что симметрическую матрицу, образованную элементами $J_{i j} \quad\left(i, j=1,2,3 ; J_{i j}=J_{j i}\right)$, можно рассматривать как матрицу тензора инерции реального твердого тела тогда и только тогда, когда одновременно выполняются неравенства ${ }^{1}$
\[
\begin{array}{c}
x_{1}>0, \quad x_{1} x_{2}-J_{12}^{2}>0, \\
x_{1} x_{2} x_{3}-x_{1} J_{23}^{2}-x_{2} J_{13}^{2}-x_{3} J_{12}^{2}-2 J_{12} J_{13} J_{23}>0,
\end{array}
\]

где
\[
x_{1}=\frac{J_{22}+J_{33}-J_{11}}{2}, \quad x_{2}=\frac{J_{11}+J_{33}-J_{22}}{2}, \quad x_{3}=\frac{J_{11}+J_{22}-J_{33}}{2} .
\]