181. Случай одной степени свободы. Продолжим начатое в п. п. 177-179 изучение некоторых вопросов, связанных с интегрированием консервативных и обобщенно консервативных систем. Будем изучать системы, движения которых обладают описанным ниже свойством периодичности. Для таких систем Делонэ предложил специальный выбор постоянных импульсов $\alpha_{i}^{*}(i=1,2, \ldots, n)$ в характеристической функции Гамильтона п. 178. Эти новые импульсы представляют собой $n$ независимых функций от набора величин $\alpha_{i}$, появляющихся при нахождении полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби. Они называются действиями (точные определения см. далее) и ниже чаще всего будут обозначаться $I_{i}$. Канонически сопряженные к ним координаты $w_{i}$ называются угловыми переменными. Переменные действие-угол $I_{i}, w_{i}$ весьма удобны для описания движений, обладающих свойством периодичности. Они находят широкое применение в теории возмущений.

Чтобы понять сущность метода Делонэ, целесообразно сначала рассмотреть случай системы с одной степенью свободы. Фазовое пространство такой системы является двумерной плоскостью $q, p$, и периодические движения могут быть двух различных типов.

В движениях первого типа функции $q(t), p(t)$ являются периодическими функциями с одним и тем же периодом. Точка, изображающая движение в фазовой плоскости, описывает замкнутую кривую. В этом случае говорят, что имеет место случай колебаний. Примером могут служить колебания маятника, рассмотренные в п. п. 93-96. На рис. 94 им отвечают замкнутые фазовые кривые, окружающие особые точки типа центр.

В движениях второго типа сама величина $q(t)$ не является периодической функцией, но когда она увеличивается или уменьшается на величину $q_{0}$, конфигурация системы не меняется. Здесь фазовые кривые $p=p(q)$ незамкнуты и имеют период $q_{0}$ по $q$. Периодические движения второго типа называют вращениями. Простейшим примером может служить движение твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Координата $q$ здесь является углом поворота тела, и ее изменение на величину $q_{0}=2 \pi$ не изменяет положения тела. На рис. 94 случаю вращений отвечают незамкнутые фазовые кривые, заполняющие части плоскости, лежащие выше и ниже сепаратрис.

Пусть $H=H(q, p)$ — функция Гамильтона системы с одной степенью свободы, причем $\frac{\partial H}{\partial p}
eq 0$. Тогда, согласно п. 177-179, характеристическая функция Гамильтона $V=V(q, \alpha)$, где $\alpha=h$ — постоянная

интеграла $H=h$. Из формул (17) п. 178 имеем
\[
p=\frac{\partial V}{\partial q} .
\]

Вместо $\alpha$ введем величину $I$ по формуле
\[
I=\frac{1}{2 \pi} \oint p d q,
\]

где интеграл берется по полному циклу изменения $q$ (цикла колебания или вращения, смотря по тому, какому случаю отвечает фазовая кривая, определяемая уравнением $H(q, p)=h)$. Величина $I$ называется переменной действие. Из (2) видно, что $I$ — это поделенная на $2 \pi$ площадь, ограниченная замкнутой фазовой кривой, в случае колебаний или площадь, заключенная между фазовой кривой и отрезком оси $q$ длины $q_{0}$, в случае вращений.
Подставив (1) в (2), получим
\[
I=\frac{1}{2 \pi} \oint \frac{\partial V(q, \alpha)}{\partial q} d q,
\]
т. е. $I=I(\alpha)$. При условии $\frac{d I}{d \alpha}
eq 0$ из (3) находим $\alpha=\alpha(I)$. И тогда (см. п. 178) получаем новую функцию Гамильтона $H=\alpha(I)$. Производящая функция унивалентного канонического преобразования $q, p \rightarrow w, I$, вводящего переменные действие-угол, будет функцией $q, I: V=V(q, \alpha(I))$. Угловая переменная $w$ определяется равенством
\[
w=\frac{\partial V}{\partial I} .
\]

Таким образом, алгоритм введения переменных действие-угол в гамильтоновой системе с одной степенью свободы выглядит так. Из уравнения $H(q, p)=h$ находим функцию $p=p(q, h)$, а затем вычисляем переменную $I$ как функцию $h$ :
\[
I=\frac{1}{2 \pi} \oint p(q, h) d q .
\]

Обращение функции $I=I(h)$ дает $h=h(I)$. Производящая функция $V(q, I)$, задающая замену $q, p \rightarrow w, I$, определяется равенством
\[
V(q, I)=\int p(q, h(I)) d q .
\]

Неявно замена $q, p \rightarrow w, I$ задается формулами
\[
p=\frac{\partial V}{\partial q}, \quad w=\frac{\partial V}{\partial I} .
\]

Новая функция Гамильтона
\[
\mathcal{H}=\mathcal{H}(I)=h(I) .
\]

В переменных действие-угол уравнения движения будут такими:
\[
\frac{d I}{d t}=-\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial w}=0, \quad \frac{d w}{d t}=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial I}=\omega(I) .
\]

Отсюда следует, что
\[
I=I_{0}=\text { const }, \quad w=\omega\left(I_{0}\right) t+w_{0} .
\]

Величина $\omega$ называется частотой рассматриваемого периодического движения. Существенно то, что процедура получения величины $\omega$ не потребовала ничего, кроме квадратур и разрешения уравнений относительно некоторых переменных.

Отметим, что когда координата $q$ совершает полный цикл изменения (в случае колебаний или вращений), то угловая переменная $w$ возрастает на $2 \pi$. В самом деле, обозначая через $\Delta w$ приращение $w$ за цикл изменения $q$, имеем, с учетом (4),
\[
\Delta w=\oint \frac{\partial w}{\partial q} d q=\oint \frac{\partial^{2} V}{\partial I \partial q} .
\]

Вынеся производную по $I$ за знак интеграла и приняв во внимание формулу (3), получим
\[
\Delta w=\frac{\partial}{\partial I} \oint \frac{\partial V}{\partial q} d q=\frac{\partial}{\partial I}(2 \pi I)=2 \pi .
\]

Это поясняет название величины $w$ угловой переменной. За один цикл величина $w$ изменяется на $2 \pi$, и налицо полная аналогия с вращением тела вокруг оси (частота $\omega$ — аналог угловой скорости тела, $w-$ аналог угла его поворота вокруг оси).
ПРИМЕР 1 (ТВЕРДОЕ ТЕЛО, ВРАЩАЮЩЕЕСЯ ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ). Будем считать, что моменты внешних сил отсутствуют. Тогда, если $A$ — момент инерции тела относительно оси вращения, а $\varphi$ — угол его поворота вокруг оси, то
\[
T=\frac{1}{2} A \dot{\varphi}^{2}, \quad \Pi=0 ; \quad p_{\varphi}=A \dot{\varphi}, \quad H=\frac{p_{\varphi}^{2}}{2 A} .
\]

Считая, что $\dot{\varphi}>0$, из уравнения $H=h$ находим $p_{\varphi}=\sqrt{2 A h} u$, следовательно,
\[
\begin{array}{c}
I=\frac{1}{2 \pi} \oint p_{\varphi} d \varphi=\frac{\sqrt{2 A h}}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} d \varphi=\sqrt{2 A h} \\
V=\int p_{\varphi} d \varphi=I \varphi, \quad w=\frac{\partial V}{\partial I}=\varphi, \quad p_{\varphi}=\frac{\partial V}{\partial \varphi}=I ; \\
\mathcal{H}=\frac{I^{2}}{2 A}, \quad \omega=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial I}=\frac{I}{A} .
\end{array}
\]

ПРИМЕР 2 (ГАРмонИчеСКИй осцилЛЯтор чАСтоты $\omega$ ). Функцию Гамильтона возьмем в виде
\[
H=\frac{1}{2} \omega\left(q^{2}+p^{2}\right) .
\]

Из уравнения $H=h$ имеем $p= \pm \sqrt{\frac{2 h}{\omega}-q^{2}}$. Если в правой части равенства
\[
I=\frac{1}{2 \pi} \oint p d q
\]

сделать замену $q=\sqrt{\frac{2 h}{\omega}} \sin x$, то получим
\[
I=\frac{h}{\pi \omega} \int_{0}^{2 \pi} \cos ^{2} x d x=\frac{h}{\omega},
\]

то есть
\[
\mathcal{H}=\omega I \text {. }
\]

Для производщей функции замены $q, p \rightarrow w, I$ имеем выражение
\[
V= \pm \int \sqrt{\frac{2 h}{\omega}-q^{2}} d q= \pm \int \sqrt{2 I-q^{2}} d q .
\]

Из формул (7) находим замену, вводящую переменные действие-угол, в виде
\[
q=\sqrt{2 I} \sin w, \quad p=\sqrt{2 I} \cos w .
\]

С заменой (11) мы уже встречались ранее в примере 6 n. 170.

182. Переменные действие-угол в задаче о движении маятника. Задача о движении маятника подробно исследована в п. п. 93-96. Несколько изменяя принятые там обозначения, напишем дифференциальное уравнение, описыващее движения маятника, в виде
\[
\ddot{q}+\omega_{0}^{2} \sin q=0 .
\]

Это уравнение второго порядка может быть представлено в виде системы двух гамильтоновых дифференциальных уравнений первого порядка с функцией Гамильтона
\[
H=\frac{1}{2} p^{2}-\omega_{0}^{2} \cos q .
\]

Для введения переменных действие-угол случай колебаний и вращений маятника надо рассмотреть отдельно.

В случае колебний константа интеграла энергии $H=h$ удовлетворяет неравенствам $-\omega_{0}^{2}<h<\omega_{0}^{2}$. Пусть $\beta$ — амплитуда колебаний. Тогда, если $k_{1}=\sin \frac{\beta}{2}$, то
\[
h=2 \omega_{0}^{2} k_{1}^{2}-\omega_{0}^{2},
\]

а действие $I$ вычисляется по формуле
\[
I=\frac{1}{2 \pi} \oint p d q=4 \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{\beta} p d q,
\]

причем в последнем интеграле
\[
p=2 \omega_{0} \sqrt{k_{1}^{2}-\sin ^{2} \frac{q}{2}} .
\]

Введя вместо $q$ переменную $\psi$ по формуле
\[
\psi=\arcsin \left(\frac{1}{k_{1}} \sin \frac{q}{2}\right),
\]

выражение (15) можно переписать в виде
\[
\begin{array}{l}
I=\frac{8 \omega_{0}}{\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{k_{1}^{2} \cos ^{2} \psi}{\sqrt{1-k_{1}^{2} \sin ^{2} \psi}} d \psi=\frac{8 \omega_{0}}{\pi}\left[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-k_{1}^{2} \sin ^{2} \psi} d \psi-\right. \\
\left.-\left(1-k_{1}^{2}\right) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d \psi}{\sqrt{1-k_{1}^{2} \sin ^{2} \psi}}\right] \text {, } \\
\end{array}
\]

т. e.
\[
I=\frac{8 \omega_{0}}{\pi}\left[E\left(k_{1}\right)-\left(1-k_{1}^{2}\right) K\left(k_{1}\right)\right],
\]

где $K$ и $E$ — полные эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно.

Равенство (19) определяет $I$ как функцию $k_{1}$. Продифференцировав обе его части по $k_{1}$, получим, при учете формул (21) п. 95 ,
\[
\frac{\partial I}{\partial k_{1}}=\frac{8 \omega_{0}}{\pi} k_{1} K\left(k_{1}\right) .
\]

Отсюда видно, что $\frac{\partial I}{\partial k_{1}}
eq 0$ и, следовательно, на основании теоремы о неявной функции, равенство (19) разрешимо относительно $k_{1}$, причем для производной функции $k_{1}$ по $I$ имеем выражение
\[
\frac{\partial k_{1}}{\partial I}=\frac{\pi}{8 \omega_{0} k_{1} K\left(k_{1}\right)} .
\]

Новая функция Гамильтона $\mathcal{H}$ зависит только от $I$, она определяется из (14) и (19). Отбросив несущественную постоянную $-\omega_{0}^{2}$, получим, что
\[
\mathcal{H}=2 \omega_{0}^{2} k_{1}^{2},
\]

где $k_{1}=k_{1}(I)$ — обратная к $I\left(k_{1}\right)$ функция, определяемая из (19).
Из $(21),(22)$ находится частота колебаний
\[
\omega_{1}=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial I}=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial k_{1}} \cdot \frac{\partial k_{1}}{\partial I}=\frac{\pi \omega_{0}}{2 K\left(k_{1}\right)} .
\]

Для периода колебаний $\tau=\frac{2 \pi}{\omega_{1}}$ получаем выражение $\tau=\frac{4 K\left(k_{1}\right)}{\omega_{0}}$, совпадающее с выражением, полученным в п. 96.

Для производящей функции (6) канонического преобразования $q, p \rightarrow w, I$ после замены переменных (17) получаем выражение
\[
V(q, I)=4 \omega_{0}\left[E\left(\psi, k_{1}\right)-\left(1-k_{1}^{2}\right) F\left(\psi, k_{1}\right)\right],
\]

где $F$ и $E$ — эллиптические интегралы первого и второго рода (см. п. 95$), \psi$ определена равенством (17), а $k_{1}=k_{1}(I)$ — равенством (19).

Для угловой переменной $w$, согласно второй формуле из (7), имеем выражение
\[
\omega=\frac{\partial V}{\partial I}=\frac{\partial V}{\partial k_{1}} \frac{\partial k_{1}}{\partial I} .
\]

Дифференцирование обеих частей формулы (24) по $k_{1}$ дает равенство
\[
\frac{\partial V}{\partial k_{1}}=4 \omega_{0}\left[\frac{\partial E}{\partial k_{1}}+\frac{\partial E}{\partial \psi} \frac{\partial \psi}{\partial k_{1}}+2 k_{1} F-\left(1-k_{1}^{2}\right)\left(\frac{\partial F}{\partial k_{1}}+\frac{\partial F}{\partial \psi} \frac{\partial \psi}{\partial k_{1}}\right)\right] .
\]

Но из (17) следует, что
\[
\frac{\partial \psi}{\partial k_{1}}=-\frac{\sin \psi}{k_{1} \cos \psi}
\]

Используя эту формулу и соотношения $(13),(14),(19)$ и (20) из п. 95, равенство (26) можно преобразовать к виду
\[
\frac{\partial V}{\partial k_{1}}=4 \omega_{0} k_{1} F\left(\psi, k_{1}\right) .
\]

Учитывая (21) и (28), из формулы (25) находим, что
\[
\frac{2 K\left(k_{1}\right) w}{\pi}=F\left(\psi, k_{1}\right)=\int_{0}^{\psi} \frac{d x}{\sqrt{1-k_{1}^{2} \sin ^{2} x}},
\]
T. e.
\[
\psi=\operatorname{am} \frac{2 K\left(k_{1}\right) w}{\pi} .
\]

Теперь из (16), (17) и (29) получаем каноническое преобразование $q, p, \rightarrow w, I$, вводящее переменные действие-угол в случае колебаний маятника
\[
\begin{array}{l}
q=2 \arcsin \left[k_{1} \operatorname{sn}\left(\frac{2 K\left(k_{1}\right)}{\pi} w, k_{1}\right)\right], \\
p=2 \omega_{0} k_{1} \operatorname{cn}\left(\frac{2 K\left(k_{1}\right)}{\tau} w, k_{1}\right) .
\end{array}
\]

Это каноническое преобразование унивалентно и $2 \pi$-периодично по $w$. Оно преобразует функцию Гамильтона (13) к виду (22).

Теперь рассмотрим случай вращений, когда переменная $h$ интеграла энергии удовлетворяет неравенству $h>\omega_{0}^{2}$. Так как при замене $p$ на $-p$, а $q$ на $-q$ функция Гамильтона (13) не изменяется, то будем рассматривать только случай вращений при положительных $p$. Пусть при $t=0$ имеем $q=0, p=p_{0}>0$. Тогда
\[
h=\frac{1}{2} p_{0}^{2}-\omega_{0}^{2}=\frac{2 \omega_{0}^{2}}{k_{2}^{2}}-\omega_{0}^{2},
\]

где
\[
k_{2}^{2}=\frac{4 \omega_{0}^{2}}{p_{0}^{2}}=\frac{2 \omega_{0}^{2}}{\omega_{0}^{2}+h} \quad\left(0<k_{2}<1\right),
\]

а фазовая кривая $p=p(q, h)$ задается уравнением
\[
p=\frac{2 \omega_{0}}{k_{2}} \sqrt{1-k_{2}^{2} \sin ^{2} \frac{q}{2}} .
\]

Для действия $I$ имеем такое выражение:
\[
I=\frac{1}{2 \pi} \oint p d q=\frac{\omega_{0}}{\pi k_{2}} \int_{-\pi}^{\pi} \sqrt{1-k_{2}^{2} \sin ^{2} \frac{q}{2}} d q,
\]

или, если воспользоваться четностью подынтегрального выражения и сделать замену $q=2 x$,
\[
I=\frac{4 \omega_{0}}{\pi k_{2}} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-k_{2}^{2} \sin ^{2} x} d x,
\]
т. e.
\[
I=\frac{4 \omega_{0} E\left(k_{2}\right)}{\pi k_{2}} .
\]

Принимая во внимание формулы (21) п. 95, из (34) находим
\[
\frac{\partial I}{\partial k_{2}}=-\frac{4 \omega_{0} K\left(k_{2}\right)}{\pi k_{2}^{2}} .
\]

Так как $\frac{\partial I}{\partial k_{2}}
eq 0$, то равенство (34) разрешимо относительно $k_{2}$, причем для производной функции $k_{2}$ по $I$ имеем выражение
\[
\frac{\partial k_{2}}{\partial I}=-\frac{\pi k_{2}^{2}}{4 \omega_{0} K\left(k_{2}\right)} .
\]

Новая функция Гамильтона определяется из (31) и (34). Отбросив несущественную постоянную $-\omega_{0}^{2}$, получим
\[
\mathcal{H}=\frac{2 \omega_{0}^{2}}{k_{2}^{2}}
\]

где $k_{2}=k_{2}(I)$ — функция, обратная функции $I\left(k_{2}\right)$ из (34).
Учитывая (35), для частоты $\omega_{2}$ вращений получим такое же выражение:
\[
\omega_{2}=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial I}=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial k_{2}} \frac{\partial k_{2}}{\partial I}=\frac{\pi \omega_{0}}{k_{2} K\left(k_{2}\right)} .
\]

За промежуток времени, равный $\frac{2 \pi}{\omega_{2}}$, величина $q$ получает приращение $2 \pi$.
Для производящей функции (6) получаем выражение
\[
V(q, I)=\frac{4 \omega_{0}}{k_{2}} E\left(\frac{q}{2}, k_{2}\right) .
\]

Угловая переменная $w$ вводится при помощи равенства
\[
w=\frac{\partial V}{\partial I}=\frac{\partial V}{\partial k_{2}} \frac{\partial k_{2}}{\partial I}
\]

которое, при учете формул (35) и выражения (20) п. 95, преобразуется к виду
\[
\frac{K\left(k_{2}\right) w}{\pi}=F\left(\frac{q}{2}, k_{2}\right) .
\]

Отсюда и из (33) находим
\[
q=2 \operatorname{am}\left(\frac{K\left(k_{2}\right) w}{\pi}\right), \quad p=\frac{2 \omega_{0}}{k_{2}} \operatorname{dn}\left(\frac{K\left(k_{2}\right) w}{\pi}\right) .
\]

Здесь $k_{2}=k_{2}(I)$ из (34). Формулы (39) задают унивалентное каноническое преобразование $q, p \rightarrow w, I$, приводящее функцию Гамильтона (13) к виду (36).
183. 0 переменных действие-угол для системы с $n$ степенями свободы. Ограничимся лишь случаем, когда уравнение (13) п. 177, определяющее характеристическую функцию Гамильтона $V$, является уравнением с разделяющимися переменными. Тогда
\[
V=\sum_{i=1}^{n} V_{i}\left(q_{i}, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n-1}, h\right) .
\]

Отсюда и из формул (17) п. 178 получим
\[
p_{i}=\frac{\partial V}{\partial q_{i}}=\frac{\partial V_{i}}{\partial q_{i}}=p_{i}\left(q_{i}, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n-1}, h\right) \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]

Эти уравнения задают проекции траектории в $2 n$-мерном фазовом пространстве $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ на плоскости $q_{i}, p_{i}$ $(i=1,2, \ldots, n)$. Будем предполагать, что движение в каждой из плоскостей обладает свойством периодичности, т. е. в плоскости $q_{i}, p_{i}$ кривая (41) замкнута или периодична по $q_{i}$ с некоторым периодом $q_{i 0}$.

Так как в случае (40) происходит полное разделение переменных, то при фиксированных величинах $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n-1}, h$ движения в плоскостях $q_{i}, p_{i}(i=1,2, \ldots, n)$ независимы и каждое из них можно исследовать, как это было сделано в п. 181 в случае одной степени свободы. Имеем
\[
I_{i}=\frac{1}{2 \pi} \oint p_{i} d q_{i}=\frac{1}{2 \pi} \oint \frac{\partial V}{\partial q_{i}} d q_{i} \quad(i=1,2, \ldots, n),
\]

где интеграл берется по полному циклу периодического движения (колебания или вращения, смотря по тому, какой случай имеет место). Равенства (42) определяют $n$ функций $I_{i}=I_{i}\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n-1}, h\right)$. Эти функции независимы в силу независимости пар $q_{i}, p_{i} \quad(i=1,2, \ldots, n)$. Величины $I_{1}, I_{2}, \ldots, I_{n}$ можно принять за новые импульсы (вместо $\left.\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n-1}, h\right)$. Тогда
\[
\begin{array}{l}
\alpha_{1}=f_{1}\left(I_{1}, I_{2}, \ldots, I_{n}\right), \quad \alpha_{2}=f_{2}\left(I_{1}, I_{2}, \ldots, I_{n}\right), \ldots, \\
\alpha_{n-1}=f_{n-1}\left(I_{1}, I_{2}, \ldots, I_{n}\right), \quad \alpha_{n}=f_{n}\left(I_{1}, I_{2}, \ldots, I_{n}\right) . \\
\end{array}
\]

Если эти величины подставить в (40), то получим
\[
V=V\left(q_{1}, \ldots, q_{n}, I_{1}, \ldots, I_{n}\right) .
\]

Соотношения
\[
p_{i}=\frac{\partial V}{\partial q_{i}}, w_{i}=\frac{\partial V}{\partial I_{i}} \quad(i=1,2, \ldots, n)
\]

неявно задают унивалентное каноническое преобразование от исходных переменных $q_{i}, p_{i}$ к переменным действие-угол $I_{i}, w_{i}$. Новая функция Гамильтона имеет вид
\[
\mathcal{H}=f_{n}\left(I_{1}, I_{2}, \ldots, I_{n}\right) .
\]

Все новые координаты (углы $w_{i}$ ) являются циклическими.
В новых переменных уравнения движения будут такими:
\[
\frac{d I_{i}}{d t}=0, \frac{d w_{i}}{d t}=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial I_{i}}=\omega_{i}\left(I_{1}, I_{2}, \ldots, I_{n}\right) \quad(i=1,2, \ldots, n),
\]

где $\omega_{i}$ — частота периодического движения (в плоскости $q_{i}, p_{i}$ ).

Как видим, метод Делонэ позволяет получить все частоты движения путем изучения функций $H$ и $V$, при этом не требуется полное исследование движения системы.

Покажем, что $i$-я угловая переменная $w_{i}$ за полный цикл изменения $j$-й координаты $q_{j}$ получает приращение
\[
\Delta w_{i}=2 \pi \delta_{i j},
\]

где $\delta_{i j}$ — символ Кронекера. Действительно, используя формулы и (43), находим
\[
\Delta w_{i}=\oint \frac{\partial w_{i}}{\partial q_{j}} d q_{j}=\oint \frac{\partial^{2} V}{\partial I_{i} \partial q_{j}} d q_{j}=\frac{\partial}{\partial I_{i}} \oint \frac{\partial V}{\partial q_{j}} d q_{j}=\frac{\partial}{\partial I_{i}}\left(2 \pi I_{j}\right)=2 \pi \delta_{i j} .
\]

ЗАМЕчаниЕ 4. Если координата $q_{i}$ циклическая, то соответствующий ей импуль $p_{i}$ постоянен, и траектория в плоскости $q_{i}, p_{i}$ будет прямой линией. Тогда движение в плоскости $q_{i}, p_{i}$ можно считать периодическим (вращательного типа) с любым периодом $q_{i 0}$. Удобно принять $q_{i 0}=2 \pi$. Тогда
\[
I_{i}=\frac{1}{2 \pi} \oint p_{i} d q_{i}=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} p_{i} d q_{i}=\frac{1}{2 \pi} p_{i} \int_{0}^{2 \pi} d q_{i}=p_{i},
\]
т. е. переменная действие $I_{i}$ в случае циклической координаты $q_{i}$ совпадает с импульсом $p_{i}$.
184. Переменные действие-угол в задаче двух тел. Задача двух тел изучалась в $§ 1$ гл. 8. Здесь будут рассмотрены переменные действие-угол в этой задаче. Будем использовать обозначения из $\S 1$ гл. 8. Орбиту считаем эллиптической (или, в частности, круговой). Расстояние $r$ точки $P$ от притягивающего центра $O$ удовлетворяет неравенствам $r_{1} \leqslant r \leqslant r_{2}$, где $r_{1}=a(1-e), r_{2}=a(1+e)$ ( $a$ — большая полуось орбиты, $e$ — ее эксцентриситет). Отсюда и из формул $\S 1$ гл. 8 следует, что
\[
r_{1}+r_{2}=2 a, \quad r_{1} r_{2}=a^{2}\left(1-e^{2}\right)=a p=\frac{a c^{2}}{k},
\]

где $p$ — параметр орбиты, $c$ — константа интеграла площадей, величина $k$ определена в п. 115 .

Уравнению (1) п. 115 задачи двух тел соответствуют уравнения Лагранжа второго рода с функцией Лагранжа $L=T-\Pi$, где $T=\frac{1}{2} v^{2}$,

$\Pi=-\frac{k}{r}$. Для квадрата $v^{2}$ скорости точки $P$ имеем в сферических координатах (см. рис. 9) выражение (30) п. 9. Поэтому
\[
L=\frac{1}{2}\left(\dot{r}^{2}+r^{2} \sin ^{2} \theta \dot{\varphi}^{2}+r^{2} \dot{\theta}^{2}\right)+\frac{k}{r},
\]

обобщенные импульсом вычисляются по формулам
\[
p_{r}=\dot{r}, \quad p_{\varphi}=r^{2} \sin ^{2} \theta \dot{\varphi}, \quad p_{\theta}=r^{2} \dot{\theta},
\]

а функция Гамильтона $H=T+\Pi$ имеет вид
\[
H=\frac{1}{2}\left(p_{r}^{2}+\frac{p_{\varphi}^{2}}{r^{2} \sin ^{2} \theta}+\frac{p_{\theta}^{2}}{r^{2}}\right)-\frac{k}{r} .
\]

Координата $\varphi$ циклическая. Поэтому $p_{\varphi}=\alpha_{\varphi}=$ const, а характеристическая функция Гамильтона имеет вид
\[
V=\alpha_{\varphi} \varphi+\int p_{\theta} d \theta+\int p_{r} d r
\]

причем
\[
p_{\theta}^{2}+\frac{\alpha_{\varphi}^{2}}{\sin ^{2} \theta}=\alpha_{\theta}^{2}=\mathrm{const}, \quad p_{r}^{2}+\frac{\alpha_{\theta}^{2}}{r^{2}}-\frac{2 k}{r}=2 \alpha_{3}=\text { const. }
\]

Постоянная $2 \alpha_{3}$ равна константе $h$ интеграла энергии (7) из п. 117 и для эллиптической орбиты отрицательна.
Из (49) получаем выражение для величины $p_{r}^{2}$ :
\[
p_{r}^{2}=2 \alpha_{3}+\frac{2 k}{r}-\frac{\alpha_{\theta}^{2}}{r^{2}} \equiv-\frac{2 \alpha_{3}\left(r-r_{1}\right)\left(r_{2}-r\right)}{r^{2}} .
\]

Приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях $r$ в обеих частях последнего тождества дает соотношения между постоянными $\alpha_{\theta}, \alpha_{3}$ и величинами $r_{1}, r_{2}$ :
\[
r_{1}+r_{2}=-\frac{k}{\alpha_{3}}, \quad r_{1} r_{2}=-\frac{\alpha_{\theta}^{2}}{2 \alpha_{3}} .
\]

Сравнивая первые формулы из (45) и (51), получаем соотношение
\[
a=-\frac{k}{2 \alpha_{3}} .
\]

Сравнение же вторых формул из (45) и (51) при учете соотношения (52) приводит к равенству
\[
\alpha_{\theta}=c,
\]
т. е. постоянная $\alpha_{\theta}$ в (49) равна константе интеграла площадей.

Введем переменные действие $I_{r}, I_{\varphi}, I_{\theta}$. Так как $\varphi$ циклическая координата, то, согласно замечанию предыдущего пункта, имеем
\[
I_{\varphi}=p_{\varphi}=\alpha_{\varphi} .
\]

Величины $I_{\theta} I_{r}$ определяются равенствами:
\[
I_{\theta}=\frac{1}{2 \pi} \oint p_{\theta} d \theta, \quad I_{r}=\frac{1}{2 \pi} \oint p_{r} d r .
\]

Для вычисления первого из интегралов (55) заметим ${ }^{1}$, что в сферических координатах справедливо соотношение
\[
2 T=p_{r} \dot{r}+p_{\varphi} \dot{\varphi}+p_{\theta} \dot{\theta} .
\]

Если же в плоскости орбиты ввести полярные координаты $r,
u$ ( $
u$ — истинная аномалия), то $2 T=\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{
u}^{2}, p_{r}=\dot{r}, p_{
u}=r^{2} \dot{
u}$. Для импульса $p_{
u}$, при учете интеграла площадей $r^{2} \dot{
u}=c$ и формулы (53), имеем равенства $p_{
u}=c=\alpha_{\theta}$. Принимая это во внимание, выражение для удвоенной кинетической энергии $2 T=p_{r} \dot{r}+p_{
u} \dot{
u}$ можно записать в виде
\[
2 T=p_{r} \dot{r}+\alpha_{\theta} \dot{
u} .
\]

Из сравнения правых частей формул (56) и (57), при учете равенств (54), следует, что
\[
p_{\theta} d \theta=\alpha_{\theta} d
u-I_{\varphi} d \varphi .
\]

За один оборот точки $P$ по орбите угол $\theta$ совершает полный цикл его колебания, а углы $
u$ и $\varphi$ изменяются на $2 \pi$. Поэтому, принимая в расчет формулу (58), для первого из интегралов (55) получаем выражение $I_{\theta}=\alpha_{\theta}-I_{\varphi}$, т. е.
\[
\alpha_{\theta}=I_{\varphi}+I_{\theta} .
\]

Величина $p_{r}$ во втором из интегралов (55) положительна, когда $r$ увеличивается от $r_{1}$ до $r_{2}$, и отрицательна при уменьшении $r$ от $r_{2}$ до $r_{1}$.

Принимая это во внимание и учитывая соотношения (50), выражение для $I_{r}$ можно записать в виде
\[
I_{r}=\frac{\sqrt{-2 \alpha_{3}}}{\pi} \int_{r_{1}}^{r_{2}} \frac{\sqrt{\left(r-r_{1}\right)\left(r_{2}-r\right)}}{r} d r .
\]

Для вычисления интеграла в правой части этой формулы введем вместо $r$ новую переменную $x(r)$ по формуле
\[
r=\frac{r_{1}+r_{2} x^{2}}{1+x^{2}} .
\]

Тогда
\[
\begin{array}{c}
r-r_{1}=\frac{\left(r_{2}-r_{1}\right) x^{2}}{1+x^{2}}, \quad r_{2}-r=\frac{r_{2}-r_{1}}{1+x^{2}}, \quad d r=\frac{2\left(r_{2}-r_{1}\right) x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} d x, \\
x\left(r_{1}\right)=0, \quad x\left(r_{2}\right)=+\infty .
\end{array}
\]

Поэтому
\[
I_{r}=\frac{2 \sqrt{-2 \alpha_{3}}\left(r_{2}-r_{1}\right)^{2}}{\pi} \int_{0}^{\infty} \frac{x^{2}}{\left(r_{1}+r_{2} x^{2}\right)\left(1+x^{2}\right)^{2}} d x .
\]

Подынтегральное выражение в (61) можно представить в виде
\[
\begin{array}{c}
\frac{x^{2}}{\left(r_{1}+r_{2} x^{2}\right)\left(1+x^{2}\right)^{2}}= \\
=\frac{1}{r_{2}-r_{1}}\left[\frac{r_{1}}{r_{2}-r_{1}} \cdot \frac{1}{1+x^{2}}-\frac{r_{1} r_{2}}{r_{2}-r_{1}} \cdot \frac{1}{r_{1}+r_{2} x^{2}}+\frac{1}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}\right] .
\end{array}
\]

Нo
\[
\int_{0}^{\infty} \frac{d x}{1+x^{2}}=\frac{\pi}{2}, \quad \int_{0}^{\infty} \frac{d x}{r_{1}+r_{2} x^{2}}=\frac{\pi}{2 \sqrt{r_{1} r_{2}}}, \quad \int_{0}^{\infty} \frac{d x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}=\frac{\pi}{4},
\]

поэтому после интегрирования и несложных преобразований формулу (61) можно записать в виде
\[
I_{r}=\frac{\sqrt{-2 \alpha_{3}}}{2}\left(r_{1}+r_{2}-2 \sqrt{r_{1} r_{2}}\right) .
\]

Принимая во внимание выражения (51) для $r_{1}+r_{2}$ и $r_{1} r_{2}$ и учитывая равенство (59), формуле (62) можно придать следующую форму:
\[
I_{r}=\frac{k}{\sqrt{-2 \alpha_{3}}}-\left(I_{\varphi}+I_{\theta}\right) .
\]

Но, согласно (47) и (49), $H=\alpha_{3}$. Поэтому, учитывая унивалентность канонического преобразования, вводящего переменные действие-угол, из (63) получаем следующее выражение для функции Гамильтона, записанной в переменных $I_{r}, I_{\varphi}, I_{\theta}$ :
\[
\mathcal{H}=-\frac{k^{2}}{2\left(I_{r}+I_{\varphi}+I_{\theta}\right)^{2}} .
\]

Угловые переменные, отвечающие переменным действие $I_{r}, I_{\varphi}, I_{\theta}$, обозначим через $w_{r}, w_{\varphi}, w_{\theta}$. Так как $\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial I_{r}}=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial I_{\varphi}}=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial I_{\theta}}$, то соответствующие им частоты $\omega_{r}, \omega_{\varphi}, \omega_{\theta}$ равны. Этого и следовало ожидать, так как изучаемое движение материальной точки по эллиптической орбите является периодическим (см. п. 121).
185. Элементы Делонэ. Введем новые переменные $I_{i}, w_{i}$ $(i=1,2,3)$, имеющие более ясный геометрический и механический смысл, нежели переменные $I_{r}, I_{\varphi}, I_{\theta}, w_{r}, w_{\varphi}, w_{\theta}$. Для этого сделаем замену переменных по формулам:
\[
\begin{array}{l}
w_{1}=w_{\varphi}-w_{\theta}, \quad w_{2}=w_{\theta}-w_{r}, \quad w_{3}=w_{r} \\
I_{1}=I_{\varphi}, \quad I_{2}=I_{\varphi}+I_{\theta}, \quad I_{3}=I_{r}+I_{\varphi}+I_{\theta} .
\end{array}
\]

При помощи какого-либо из критериев п. 169 можно проверить, что равенства (65), (66) задают унивалентное каноническое преобразование. В новых переменных функция Гамильтона принимает вид:
\[
\mathcal{H}=-\frac{k^{2}}{2 I_{3}^{2}} .
\]

Выясним смысл переменных $I_{i}, w_{i}(i=1,2,3)$. Из (52) и (67) с учетом того, что $H=\alpha_{3}$, находим
\[
I_{3}=\sqrt{k a} .
\]

Далее имеем
\[
\frac{d w_{3}}{d t}=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial I_{3}}=\frac{k^{2}}{I_{3}^{3}}=\frac{k^{2}}{(k a)^{3 / 2}}=\frac{\sqrt{k}}{a^{3 / 2}}=n,
\]

где $n$ — среднее движение (см. формулу (20) п. 121). То есть $w_{3}-$ это, с точностью до константы, средняя аномалия $n(t-\tau)$ (см. п. 122; $\tau$ — это время прохождения точки $P$ через перицентр). Полагая эту константу равной нулю, получаем, что
\[
w_{3}=n(t-\tau) .
\]

Теперь рассмотрим пару канонически сопряженных переменных $I_{2}, w_{2}$. Из (53), (59) и (66) следут, что $I_{2}=c$, т. е. $I_{2}$ — это величина кинетического момента точки $P$ относительно притягивающего центра. Но из (45) видно, что $c=\sqrt{k a\left(1-e^{2}\right)}$. Поэтому
\[
I_{2}=\sqrt{k a\left(1-e^{2}\right)} .
\]

Так как $\frac{d w_{2}}{d t}=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial I_{2}}=0$, то $w_{2}$ представляет собой некоторый постоянный угол, отсчитываемый в плоскости орбиты. Положим
\[
w_{2}=\omega,
\]

где (см. п. 123) $\omega$ — угловое расстояние перицентра от узла.
И, наконец, рассмотрим переменные $I_{1}, w_{1}$. Согласно (54) и (66), $I_{1}=\alpha_{\varphi}$, т. е. $I_{1}$ — это проекция кинетического момента точки $P$ на ось $O z$ (см. рис. 9 и 126). Учитывая еще, что $\frac{d w_{1}}{d t}=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial I_{1}}=0$, получаем, что $w_{1}$ — это некоторый постоянный угол, отсчитываемый в плоскости $O x y$. Примем, что $w_{1}$ совпадает с долготой восходящего узла $\Omega$. Таким образом (см. рис. 126 и формулу (70)):
\[
I_{1}=c \cos i=I_{2} \cos i=\sqrt{k a\left(1-e^{2}\right)} \cos i, \quad w_{1}=\Omega,
\]

где $i$ — наклонение орбиты.
Введенные канонически сопряженные переменные $I_{1}, \quad I_{2}, I_{3}$, $w_{1}, w_{2}, w_{3}$ называются каноническими переменными Делонэ или, кратко, элементами Делонэ. Следуя Делонэ, для них часто используются обозначения $H, G, L, h, g, l$ (не путать обозначения $H, L, h$ элементов Делонэ с обозначениями функций Гамильтона, Лагранжа и константы интеграла энергии!). Элементы Делонэ связаны с обычными элементами орбиты $\Omega, i, a, e, \omega, \tau$ следующими получаемыми из (68)-(72) соотношениями:
\[
\begin{array}{llrl}
L & =\sqrt{k a}, & & l=n(t-\tau), \\
G & =\sqrt{k a\left(1-e^{2}\right)}, & & g=\omega, \\
H & =\sqrt{k a\left(1-e^{2}\right)} \cos i, & h & =\Omega .
\end{array}
\]

В переменных Делонэ функция Гамильтона задачи двух тел записывается в виде
\[
\mathcal{H}=-\frac{k^{2}}{2 L^{2}} .
\]

Две системы канонических элементов Пуанкаре. Для многих приложений (например, связанных с исследованием движения планет) целесообразно иметь канонически сопряженные переменные, среди которых есть такие, которые малы для малых значений эксцентриситетов и наклонений орбит. Пуанкаре ввел две системы таких переменных. Их называют элементами Пуанкаре.

Первая система элементов Пуанкаре $\Lambda, \Gamma, Z, \lambda, \gamma, z$ связана с элементами Делонэ при помощи унивалентного канонического преобразования вида:
\[
\begin{array}{l}
\Lambda=L, \quad \Gamma=L-G, \quad Z=G-H, \\
\lambda=l+g+h, \quad \gamma=-g-h, \quad z=-h . \\
\end{array}
\]

Отсюда и из (73) получаем выражения элементов $\Lambda, \Gamma, Z, \lambda, \gamma, z$ через обычные элементы кеплеровской орбиты:
\[
\begin{array}{llrl}
\Lambda & =\sqrt{k a}, & & \lambda=n(t-\tau)+\omega+\Omega, \\
\Gamma & =\sqrt{k a}\left(1-\sqrt{1-e^{2}}\right), & & \gamma=-\omega-\Omega, \\
Z & =\sqrt{k a\left(1-e^{2}\right)}(1-\cos i), & & z=-\Omega .
\end{array}
\]

Для орбиты малого эксцентриситета и наклонения элементы $\Gamma$ и $Z$ будут величинами порядка $e^{2}$ и $i^{2}$ соответственно.

Во второй системе элементов Пуанкаре величины $\Lambda, \lambda$ — те же канонически сопряженные переменные, что и в первой системе, а остальные четыре элемента определяются формулами ( $\xi, p$ — импульсы, $\eta, q$ — координаты):
\[
\begin{array}{ll}
\xi=\sqrt{2 \Gamma} \cos \gamma, & \eta=\sqrt{2 \Gamma} \sin \gamma, \\
p=\sqrt{2 Z} \cos z, & q=\sqrt{2 Z} \sin z .
\end{array}
\]

Для орбиты малого эксцентриситета и наклонения величины $\xi, \eta$ и $p, q$ имеет порядок $e$ и $i$ соответственно.

И для первой, и для второй систем канонических элементов Пуанкаре функция Гамильтона задачи двух тел имеет вид
\[
\mathcal{H}=-\frac{k^{2}}{2 \Lambda^{2}} .
\]