181. Случай одной степени свободы. Продолжим начатое в п. п. 177-179 изучение некоторых вопросов, связанных с интегрированием консервативных и обобщенно консервативных систем. Будем изучать системы, движения которых обладают описанным ниже свойством периодичности. Для таких систем Делонэ предложил специальный выбор постоянных импульсов ${\alpha }_i^{\ast }(i=1,2,\dots ,n)$ в характеристической функции Гамильтона п. 178. Эти новые импульсы представляют собой $n$ независимых функций от набора величин ${\alpha }_i$, появляющихся при нахождении полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби. Они называются действиями (точные определения см. далее) и ниже чаще всего будут обозначаться $I_i$. Канонически сопряженные к ним координаты $w_i$ называются угловыми переменными. Переменные действие-угол $I_i,w_i$ весьма удобны для описания движений, обладающих свойством периодичности. Они находят широкое применение в теории возмущений.

Чтобы понять сущность метода Делонэ, целесообразно сначала рассмотреть случай системы с одной степенью свободы. Фазовое пространство такой системы является двумерной плоскостью $q,p$, и периодические движения могут быть двух различных типов.

В движениях первого типа функции $q(t),p(t)$ являются периодическими функциями с одним и тем же периодом. Точка, изображающая движение в фазовой плоскости, описывает замкнутую кривую. В этом случае говорят, что имеет место случай колебаний. Примером могут служить колебания маятника, рассмотренные в п. п. 93-96. На рис. 94 им отвечают замкнутые фазовые кривые, окружающие особые точки типа центр.

В движениях второго типа сама величина $q(t)$ не является периодической функцией, но когда она увеличивается или уменьшается на величину $q_0$, конфигурация системы не меняется. Здесь фазовые кривые $p=p(q)$ незамкнуты и имеют период $q_0$ по $q$. Периодические движения второго типа называют вращениями. Простейшим примером может служить движение твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Координата $q$ здесь является углом поворота тела, и ее изменение на величину $q_0=2\pi$ не изменяет положения тела. На рис. 94 случаю вращений отвечают незамкнутые фазовые кривые, заполняющие части плоскости, лежащие выше и ниже сепаратрис.

Пусть $H=H(q,p)$ — функция Гамильтона системы с одной степенью свободы, причем $\frac{\partial H}{\partial p}eq0$. Тогда, согласно п. 177-179, характеристическая функция Гамильтона $V=V(q,\alpha )$, где $\alpha =h$ — постоянная

интеграла $H=h$. Из формул (17) п. 178 имеем
$$p=\frac{\partial V}{\partial q}.$$

Вместо $\alpha$ введем величину $I$ по формуле
$$I=\frac{1}{2\pi }\oint pdq,$$

где интеграл берется по полному циклу изменения $q$ (цикла колебания или вращения, смотря по тому, какому случаю отвечает фазовая кривая, определяемая уравнением $H(q,p)=h)$. Величина $I$ называется переменной действие. Из (2) видно, что $I$ — это поделенная на $2\pi$ площадь, ограниченная замкнутой фазовой кривой, в случае колебаний или площадь, заключенная между фазовой кривой и отрезком оси $q$ длины $q_0$, в случае вращений.
Подставив (1) в (2), получим
$$I=\frac{1}{2\pi }\oint \frac{\partial V(q,\alpha )}{\partial q}dq,$$
т. е. $I=I(\alpha )$. При условии $\frac{dI}{d\alpha }eq0$ из (3) находим $\alpha =\alpha (I)$. И тогда (см. п. 178) получаем новую функцию Гамильтона $H=\alpha (I)$. Производящая функция унивалентного канонического преобразования $q,p\to w,I$, вводящего переменные действие-угол, будет функцией $q,I:V=V(q,\alpha (I))$. Угловая переменная $w$ определяется равенством
$$w=\frac{\partial V}{\partial I}.$$

Таким образом, алгоритм введения переменных действие-угол в гамильтоновой системе с одной степенью свободы выглядит так. Из уравнения $H(q,p)=h$ находим функцию $p=p(q,h)$, а затем вычисляем переменную $I$ как функцию $h$ :
$$I=\frac{1}{2\pi }\oint p(q,h)dq.$$

Обращение функции $I=I(h)$ дает $h=h(I)$. Производящая функция $V(q,I)$, задающая замену $q,p\to w,I$, определяется равенством
$$V(q,I)=\int p(q,h(I))dq.$$

Неявно замена $q,p\to w,I$ задается формулами
$$p=\frac{\partial V}{\partial q},w=\frac{\partial V}{\partial I}.$$

Новая функция Гамильтона
$$\mathcal{H}=\mathcal{H}(I)=h(I).$$

В переменных действие-угол уравнения движения будут такими:
$$\frac{dI}{dt}=-\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial w}=0,\frac{dw}{dt}=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial I}=\omega (I).$$

Отсюда следует, что
$$I=I_0=\text{ const },w=\omega \left(I_0\right)t+w_0.$$

Величина $\omega$ называется частотой рассматриваемого периодического движения. Существенно то, что процедура получения величины $\omega$ не потребовала ничего, кроме квадратур и разрешения уравнений относительно некоторых переменных.

Отметим, что когда координата $q$ совершает полный цикл изменения (в случае колебаний или вращений), то угловая переменная $w$ возрастает на $2\pi$. В самом деле, обозначая через $\mathrm{\Delta }w$ приращение $w$ за цикл изменения $q$, имеем, с учетом (4),
$$\mathrm{\Delta }w=\oint \frac{\partial w}{\partial q}dq=\oint \frac{{\partial }^{2}V}{\partial I\partial q}.$$

Вынеся производную по $I$ за знак интеграла и приняв во внимание формулу (3), получим
$$\mathrm{\Delta }w=\frac{\partial }{\partial I}\oint \frac{\partial V}{\partial q}dq=\frac{\partial }{\partial I}(2\pi I)=2\pi .$$

Это поясняет название величины $w$ угловой переменной. За один цикл величина $w$ изменяется на $2\pi$, и налицо полная аналогия с вращением тела вокруг оси (частота $\omega$ — аналог угловой скорости тела, $w-$ аналог угла его поворота вокруг оси).
ПРИМЕР 1 (ТВЕРДОЕ ТЕЛО, ВРАЩАЮЩЕЕСЯ ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ). Будем считать, что моменты внешних сил отсутствуют. Тогда, если $A$ — момент инерции тела относительно оси вращения, а $\phi$ — угол его поворота вокруг оси, то
$$T=\frac{1}{2}A{\dot{\phi }}^2,\mathrm{\Pi }=0;p_{\phi }=A\dot{\phi },H=\frac{p_{\phi }^2}{2A}.$$

Считая, что $\dot{\phi }>0$, из уравнения $H=h$ находим $p_{\phi }=\sqrt{2Ah}u$, следовательно,
$$\begin{array}{c}I=\frac{1}{2\pi }\oint p_{\phi }d\phi =\frac{\sqrt{2Ah}}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }d\phi =\sqrt{2Ah}\\ V=\int p_{\phi }d\phi =I\phi ,w=\frac{\partial V}{\partial I}=\phi ,p_{\phi }=\frac{\partial V}{\partial \phi }=I;\\ \mathcal{H}=\frac{I^2}{2A},\omega =\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial I}=\frac{I}{A}.\end{array}$$

ПРИМЕР 2 (ГАРмонИчеСКИй осцилЛЯтор чАСтоты $\omega$ ). Функцию Гамильтона возьмем в виде
$$H=\frac{1}{2}\omega (q^2+p^2).$$

Из уравнения $H=h$ имеем $p=\pm \sqrt{\frac{2h}{\omega }-q^2}$. Если в правой части равенства
$$I=\frac{1}{2\pi }\oint pdq$$

сделать замену $q=\sqrt{\frac{2h}{\omega }}\sin x$, то получим
$$I=\frac{h}{\pi \omega }{\int }_0^{2\pi }{\cos }^{2}xdx=\frac{h}{\omega },$$

то есть
$$\mathcal{H}=\omega I\text{. }$$

Для производщей функции замены $q,p\to w,I$ имеем выражение
$$V=\pm \int \sqrt{\frac{2h}{\omega }-q^2}dq=\pm \int \sqrt{2I-q^2}dq.$$

Из формул (7) находим замену, вводящую переменные действие-угол, в виде
$$q=\sqrt{2I}\sin w,p=\sqrt{2I}\cos w.$$

С заменой (11) мы уже встречались ранее в примере 6 n. 170.

182. Переменные действие-угол в задаче о движении маятника. Задача о движении маятника подробно исследована в п. п. 93-96. Несколько изменяя принятые там обозначения, напишем дифференциальное уравнение, описыващее движения маятника, в виде
$$\ddot{q}+{\omega }_0^2\sin q=0.$$

Это уравнение второго порядка может быть представлено в виде системы двух гамильтоновых дифференциальных уравнений первого порядка с функцией Гамильтона
$$H=\frac{1}{2}{p}^2-{\omega }_0^2\cos q.$$

Для введения переменных действие-угол случай колебаний и вращений маятника надо рассмотреть отдельно.

В случае колебний константа интеграла энергии $H=h$ удовлетворяет неравенствам $-{\omega }_0^2<h<{\omega }_0^2$. Пусть $\beta$ — амплитуда колебаний. Тогда, если $k_1=\sin \frac{\beta }{2}$, то
$$h=2{\omega }_0^2{k}_1^2-{\omega }_0^2,$$

а действие $I$ вычисляется по формуле
$$I=\frac{1}{2\pi }\oint pdq=4\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{\beta }pdq,$$

причем в последнем интеграле
$$p=2{\omega }_0\sqrt{k_1^2-{\sin }^2\frac{q}{2}}.$$

Введя вместо $q$ переменную $\psi$ по формуле
$$\psi =\arcsin (\frac{1}{k_1}\sin \frac{q}{2}),$$

выражение (15) можно переписать в виде
$$\begin{array}{l}I=\frac{8{\omega }_0}{\pi }{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{k_1^2{\cos }^2\psi }{\sqrt{1-k_1^2{\sin }^2\psi }}d\psi =\frac{8{\omega }_0}{\pi }[{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{1-k_1^2{\sin }^2\psi }d\psi -\\ -(1-k_1^2){\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{d\psi }{\sqrt{1-k_1^2{\sin }^2\psi }}]\text{, }\end{array}$$

т. e.
$$I=\frac{8{\omega }_0}{\pi }[E\left(k_1\right)-(1-k_1^2)K\left(k_1\right)],$$

где $K$ и $E$ — полные эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно.

Равенство (19) определяет $I$ как функцию $k_1$. Продифференцировав обе его части по $k_1$, получим, при учете формул (21) п. 95 ,
$$\frac{\partial I}{\partial k_1}=\frac{8{\omega }_0}{\pi }{k}_{1}K\left(k_1\right).$$

Отсюда видно, что $\frac{\partial I}{\partial k_1}eq0$ и, следовательно, на основании теоремы о неявной функции, равенство (19) разрешимо относительно $k_1$, причем для производной функции $k_1$ по $I$ имеем выражение
$$\frac{\partial k_1}{\partial I}=\frac{\pi }{8{\omega }_0{k}_{1}K\left(k_1\right)}.$$

Новая функция Гамильтона $\mathcal{H}$ зависит только от $I$, она определяется из (14) и (19). Отбросив несущественную постоянную $-{\omega }_0^2$, получим, что
$$\mathcal{H}=2{\omega }_0^2{k}_1^2,$$

где $k_1=k_1(I)$ — обратная к $I\left(k_1\right)$ функция, определяемая из (19).
Из $(21),(22)$ находится частота колебаний
$${\omega }_1=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial I}=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial k_1}\cdot \frac{\partial k_1}{\partial I}=\frac{\pi {\omega }_0}{2K\left(k_1\right)}.$$

Для периода колебаний $\tau =\frac{2\pi }{{\omega }_1}$ получаем выражение $\tau =\frac{4K\left(k_1\right)}{{\omega }_0}$, совпадающее с выражением, полученным в п. 96.

Для производящей функции (6) канонического преобразования $q,p\to w,I$ после замены переменных (17) получаем выражение
$$V(q,I)=4{\omega }_0[E(\psi ,k_1)-(1-k_1^2)F(\psi ,k_1)],$$

где $F$ и $E$ — эллиптические интегралы первого и второго рода (см. п. 95$),\psi$ определена равенством (17), а $k_1=k_1(I)$ — равенством (19).

Для угловой переменной $w$, согласно второй формуле из (7), имеем выражение
$$\omega =\frac{\partial V}{\partial I}=\frac{\partial V}{\partial k_1}\frac{\partial k_1}{\partial I}.$$

Дифференцирование обеих частей формулы (24) по $k_1$ дает равенство
$$\frac{\partial V}{\partial k_1}=4{\omega }_0[\frac{\partial E}{\partial k_1}+\frac{\partial E}{\partial \psi }\frac{\partial \psi }{\partial k_1}+2k_{1}F-(1-k_1^2)(\frac{\partial F}{\partial k_1}+\frac{\partial F}{\partial \psi }\frac{\partial \psi }{\partial k_1})].$$

Но из (17) следует, что
$$\frac{\partial \psi }{\partial k_1}=-\frac{\sin \psi }{k_1\cos \psi }$$

Используя эту формулу и соотношения $(13),(14),(19)$ и (20) из п. 95, равенство (26) можно преобразовать к виду
$$\frac{\partial V}{\partial k_1}=4{\omega }_0{k}_{1}F(\psi ,k_1).$$

Учитывая (21) и (28), из формулы (25) находим, что
$$\frac{2K\left(k_1\right)w}{\pi }=F(\psi ,k_1)={\int }_0^{\psi }\frac{dx}{\sqrt{1-k_1^2{\sin }^{2}x}},$$
T. e.
$$\psi =\mathrm{am}\frac{2K\left(k_1\right)w}{\pi }.$$

Теперь из (16), (17) и (29) получаем каноническое преобразование $q,p,\to w,I$, вводящее переменные действие-угол в случае колебаний маятника
$$\begin{array}{l}q=2\arcsin \left[k_1\mathrm{sn}(\frac{2K\left(k_1\right)}{\pi }w,k_1)\right],\\ p=2{\omega }_0{k}_1\mathrm{cn}(\frac{2K\left(k_1\right)}{\tau }w,k_1).\end{array}$$

Это каноническое преобразование унивалентно и $2\pi$-периодично по $w$. Оно преобразует функцию Гамильтона (13) к виду (22).

Теперь рассмотрим случай вращений, когда переменная $h$ интеграла энергии удовлетворяет неравенству $h>{\omega }_0^2$. Так как при замене $p$ на $-p$, а $q$ на $-q$ функция Гамильтона (13) не изменяется, то будем рассматривать только случай вращений при положительных $p$. Пусть при $t=0$ имеем $q=0,p=p_0>0$. Тогда
$$h=\frac{1}{2}{p}_0^2-{\omega }_0^2=\frac{2{\omega }_0^2}{k_2^2}-{\omega }_0^2,$$

где
$$k_2^2=\frac{4{\omega }_0^2}{p_0^2}=\frac{2{\omega }_0^2}{{\omega }_0^2+h}(0<k_2<1),$$

а фазовая кривая $p=p(q,h)$ задается уравнением
$$p=\frac{2{\omega }_0}{k_2}\sqrt{1-k_2^2{\sin }^2\frac{q}{2}}.$$

Для действия $I$ имеем такое выражение:
$$I=\frac{1}{2\pi }\oint pdq=\frac{{\omega }_0}{\pi k_2}{\int }_{-\pi }^{\pi }\sqrt{1-k_2^2{\sin }^2\frac{q}{2}}dq,$$

или, если воспользоваться четностью подынтегрального выражения и сделать замену $q=2x$,
$$I=\frac{4{\omega }_0}{\pi k_2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{1-k_2^2{\sin }^{2}x}dx,$$
т. e.
$$I=\frac{4{\omega }_{0}E\left(k_2\right)}{\pi k_2}.$$

Принимая во внимание формулы (21) п. 95, из (34) находим
$$\frac{\partial I}{\partial k_2}=-\frac{4{\omega }_{0}K\left(k_2\right)}{\pi k_2^2}.$$

Так как $\frac{\partial I}{\partial k_2}eq0$, то равенство (34) разрешимо относительно $k_2$, причем для производной функции $k_2$ по $I$ имеем выражение
$$\frac{\partial k_2}{\partial I}=-\frac{\pi k_2^2}{4{\omega }_{0}K\left(k_2\right)}.$$

Новая функция Гамильтона определяется из (31) и (34). Отбросив несущественную постоянную $-{\omega }_0^2$, получим
$$\mathcal{H}=\frac{2{\omega }_0^2}{k_2^2}$$

где $k_2=k_2(I)$ — функция, обратная функции $I\left(k_2\right)$ из (34).
Учитывая (35), для частоты ${\omega }_2$ вращений получим такое же выражение:
$${\omega }_2=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial I}=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial k_2}\frac{\partial k_2}{\partial I}=\frac{\pi {\omega }_0}{k_{2}K\left(k_2\right)}.$$

За промежуток времени, равный $\frac{2\pi }{{\omega }_2}$, величина $q$ получает приращение $2\pi$.
Для производящей функции (6) получаем выражение
$$V(q,I)=\frac{4{\omega }_0}{k_2}E(\frac{q}{2},k_2).$$

Угловая переменная $w$ вводится при помощи равенства
$$w=\frac{\partial V}{\partial I}=\frac{\partial V}{\partial k_2}\frac{\partial k_2}{\partial I}$$

которое, при учете формул (35) и выражения (20) п. 95, преобразуется к виду
$$\frac{K\left(k_2\right)w}{\pi }=F(\frac{q}{2},k_2).$$

Отсюда и из (33) находим
$$q=2\mathrm{am}\left(\frac{K\left(k_2\right)w}{\pi }\right),p=\frac{2{\omega }_0}{k_2}\mathrm{dn}\left(\frac{K\left(k_2\right)w}{\pi }\right).$$

Здесь $k_2=k_2(I)$ из (34). Формулы (39) задают унивалентное каноническое преобразование $q,p\to w,I$, приводящее функцию Гамильтона (13) к виду (36).
183. 0 переменных действие-угол для системы с $n$ степенями свободы. Ограничимся лишь случаем, когда уравнение (13) п. 177, определяющее характеристическую функцию Гамильтона $V$, является уравнением с разделяющимися переменными. Тогда
$$V=\sum _{i=1}^n{V}_i(q_i,{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots {\alpha }_{n-1},h).$$

Отсюда и из формул (17) п. 178 получим
$$p_i=\frac{\partial V}{\partial q_i}=\frac{\partial V_i}{\partial q_i}=p_i(q_i,{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots {\alpha }_{n-1},h)(i=1,2,\dots ,n).$$

Эти уравнения задают проекции траектории в $2n$-мерном фазовом пространстве $q_1,q_2,\dots ,q_n,p_1,p_2,\dots ,p_n$ на плоскости $q_i,p_i$ $(i=1,2,\dots ,n)$. Будем предполагать, что движение в каждой из плоскостей обладает свойством периодичности, т. е. в плоскости $q_i,p_i$ кривая (41) замкнута или периодична по $q_i$ с некоторым периодом $q_{i0}$.

Так как в случае (40) происходит полное разделение переменных, то при фиксированных величинах ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots {\alpha }_{n-1},h$ движения в плоскостях $q_i,p_i(i=1,2,\dots ,n)$ независимы и каждое из них можно исследовать, как это было сделано в п. 181 в случае одной степени свободы. Имеем
$$I_i=\frac{1}{2\pi }\oint p_{i}d{q}_i=\frac{1}{2\pi }\oint \frac{\partial V}{\partial q_i}d{q}_i(i=1,2,\dots ,n),$$

где интеграл берется по полному циклу периодического движения (колебания или вращения, смотря по тому, какой случай имеет место). Равенства (42) определяют $n$ функций $I_i=I_i({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots {\alpha }_{n-1},h)$. Эти функции независимы в силу независимости пар $q_i,p_i(i=1,2,\dots ,n)$. Величины $I_1,I_2,\dots ,I_n$ можно принять за новые импульсы (вместо ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots {\alpha }_{n-1},h)$. Тогда
$$\begin{array}{l}{\alpha }_1=f_1(I_1,I_2,\dots ,I_n),{\alpha }_2=f_2(I_1,I_2,\dots ,I_n),\dots ,\\ {\alpha }_{n-1}=f_{n-1}(I_1,I_2,\dots ,I_n),{\alpha }_n=f_n(I_1,I_2,\dots ,I_n).\end{array}$$

Если эти величины подставить в (40), то получим
$$V=V(q_1,\dots ,q_n,I_1,\dots ,I_n).$$

Соотношения
$$p_i=\frac{\partial V}{\partial q_i},w_i=\frac{\partial V}{\partial I_i}(i=1,2,\dots ,n)$$

неявно задают унивалентное каноническое преобразование от исходных переменных $q_i,p_i$ к переменным действие-угол $I_i,w_i$. Новая функция Гамильтона имеет вид
$$\mathcal{H}=f_n(I_1,I_2,\dots ,I_n).$$

Все новые координаты (углы $w_i$ ) являются циклическими.
В новых переменных уравнения движения будут такими:
$$\frac{d{I}_i}{dt}=0,\frac{d{w}_i}{dt}=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial I_i}={\omega }_i(I_1,I_2,\dots ,I_n)(i=1,2,\dots ,n),$$

где ${\omega }_i$ — частота периодического движения (в плоскости $q_i,p_i$ ).

Как видим, метод Делонэ позволяет получить все частоты движения путем изучения функций $H$ и $V$, при этом не требуется полное исследование движения системы.

Покажем, что $i$-я угловая переменная $w_i$ за полный цикл изменения $j$-й координаты $q_j$ получает приращение
$$\mathrm{\Delta }{w}_i=2\pi {\delta }_{ij},$$

где ${\delta }_{ij}$ — символ Кронекера. Действительно, используя формулы и (43), находим
$$\mathrm{\Delta }{w}_i=\oint \frac{\partial w_i}{\partial q_j}d{q}_j=\oint \frac{{\partial }^{2}V}{\partial I_i\partial q_j}d{q}_j=\frac{\partial }{\partial I_i}\oint \frac{\partial V}{\partial q_j}d{q}_j=\frac{\partial }{\partial I_i}\left(2\pi I_j\right)=2\pi {\delta }_{ij}.$$

ЗАМЕчаниЕ 4. Если координата $q_i$ циклическая, то соответствующий ей импуль $p_i$ постоянен, и траектория в плоскости $q_i,p_i$ будет прямой линией. Тогда движение в плоскости $q_i,p_i$ можно считать периодическим (вращательного типа) с любым периодом $q_{i0}$. Удобно принять $q_{i0}=2\pi$. Тогда
$$I_i=\frac{1}{2\pi }\oint p_{i}d{q}_i=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{p}_{i}d{q}_i=\frac{1}{2\pi }{p}_i{\int }_0^{2\pi }d{q}_i=p_i,$$
т. е. переменная действие $I_i$ в случае циклической координаты $q_i$ совпадает с импульсом $p_i$.
184. Переменные действие-угол в задаче двух тел. Задача двух тел изучалась в $\S 1$ гл. 8. Здесь будут рассмотрены переменные действие-угол в этой задаче. Будем использовать обозначения из $\mathrm{\S }1$ гл. 8. Орбиту считаем эллиптической (или, в частности, круговой). Расстояние $r$ точки $P$ от притягивающего центра $O$ удовлетворяет неравенствам $r_1⩽r⩽r_2$, где $r_1=a(1-e),r_2=a(1+e)$ ( $a$ — большая полуось орбиты, $e$ — ее эксцентриситет). Отсюда и из формул $\mathrm{\S }1$ гл. 8 следует, что
$$r_1+r_2=2a,r_1{r}_2=a^2(1-e^2)=ap=\frac{a{c}^2}{k},$$

где $p$ — параметр орбиты, $c$ — константа интеграла площадей, величина $k$ определена в п. 115 .

Уравнению (1) п. 115 задачи двух тел соответствуют уравнения Лагранжа второго рода с функцией Лагранжа $L=T-\mathrm{\Pi }$, где $T=\frac{1}{2}{v}^2$,

$\mathrm{\Pi }=-\frac{k}{r}$. Для квадрата $v^2$ скорости точки $P$ имеем в сферических координатах (см. рис. 9) выражение (30) п. 9. Поэтому
$$L=\frac{1}{2}({\dot{r}}^2+r^2{\sin }^2\theta {\dot{\phi }}^2+r^2{\dot{\theta }}^2)+\frac{k}{r},$$

обобщенные импульсом вычисляются по формулам
$$p_r=\dot{r},p_{\phi }=r^2{\sin }^2\theta \dot{\phi },p_{\theta }=r^2\dot{\theta },$$

а функция Гамильтона $H=T+\mathrm{\Pi }$ имеет вид
$$H=\frac{1}{2}(p_r^2+\frac{p_{\phi }^2}{r^2{\sin }^2\theta }+\frac{p_{\theta }^2}{r^2})-\frac{k}{r}.$$

Координата $\phi$ циклическая. Поэтому $p_{\phi }={\alpha }_{\phi }=$ const, а характеристическая функция Гамильтона имеет вид
$$V={\alpha }_{\phi }\phi +\int p_{\theta }d\theta +\int p_{r}dr$$

причем
$$p_{\theta }^2+\frac{{\alpha }_{\phi }^2}{{\sin }^2\theta }={\alpha }_{\theta }^2=\mathrm{const},p_r^2+\frac{{\alpha }_{\theta }^2}{r^2}-\frac{2k}{r}=2{\alpha }_3=\text{ const. }$$

Постоянная $2{\alpha }_3$ равна константе $h$ интеграла энергии (7) из п. 117 и для эллиптической орбиты отрицательна.
Из (49) получаем выражение для величины $p_r^2$ :
$$p_r^2=2{\alpha }_3+\frac{2k}{r}-\frac{{\alpha }_{\theta }^2}{r^2}\equiv -\frac{2{\alpha }_3(r-r_1)(r_2-r)}{r^2}.$$

Приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях $r$ в обеих частях последнего тождества дает соотношения между постоянными ${\alpha }_{\theta },{\alpha }_3$ и величинами $r_1,r_2$ :
$$r_1+r_2=-\frac{k}{{\alpha }_3},r_1{r}_2=-\frac{{\alpha }_{\theta }^2}{2{\alpha }_3}.$$

Сравнивая первые формулы из (45) и (51), получаем соотношение
$$a=-\frac{k}{2{\alpha }_3}.$$

Сравнение же вторых формул из (45) и (51) при учете соотношения (52) приводит к равенству
$${\alpha }_{\theta }=c,$$
т. е. постоянная ${\alpha }_{\theta }$ в (49) равна константе интеграла площадей.

Введем переменные действие $I_r,I_{\phi },I_{\theta }$. Так как $\phi$ циклическая координата, то, согласно замечанию предыдущего пункта, имеем
$$I_{\phi }=p_{\phi }={\alpha }_{\phi }.$$

Величины $I_{\theta }{I}_r$ определяются равенствами:
$$I_{\theta }=\frac{1}{2\pi }\oint p_{\theta }d\theta ,I_r=\frac{1}{2\pi }\oint p_{r}dr.$$

Для вычисления первого из интегралов (55) заметим ${}^1$, что в сферических координатах справедливо соотношение
$$2T=p_r\dot{r}+p_{\phi }\dot{\phi }+p_{\theta }\dot{\theta }.$$

Если же в плоскости орбиты ввести полярные координаты $r,u$ ( $u$ — истинная аномалия), то $2T={\dot{r}}^2+r^2{\dot{u}}^2,p_r=\dot{r},p_u=r^2\dot{u}$. Для импульса $p_u$, при учете интеграла площадей $r^2\dot{u}=c$ и формулы (53), имеем равенства $p_u=c={\alpha }_{\theta }$. Принимая это во внимание, выражение для удвоенной кинетической энергии $2T=p_r\dot{r}+p_u\dot{u}$ можно записать в виде
$$2T=p_r\dot{r}+{\alpha }_{\theta }\dot{u}.$$

Из сравнения правых частей формул (56) и (57), при учете равенств (54), следует, что
$$p_{\theta }d\theta ={\alpha }_{\theta }du-I_{\phi }d\phi .$$

За один оборот точки $P$ по орбите угол $\theta$ совершает полный цикл его колебания, а углы $u$ и $\phi$ изменяются на $2\pi$. Поэтому, принимая в расчет формулу (58), для первого из интегралов (55) получаем выражение $I_{\theta }={\alpha }_{\theta }-I_{\phi }$, т. е.
$${\alpha }_{\theta }=I_{\phi }+I_{\theta }.$$

Величина $p_r$ во втором из интегралов (55) положительна, когда $r$ увеличивается от $r_1$ до $r_2$, и отрицательна при уменьшении $r$ от $r_2$ до $r_1$.

Принимая это во внимание и учитывая соотношения (50), выражение для $I_r$ можно записать в виде
$$I_r=\frac{\sqrt{-2{\alpha }_3}}{\pi }{\int }_{r_1}^{r_2}\frac{\sqrt{(r-r_1)(r_2-r)}}{r}dr.$$

Для вычисления интеграла в правой части этой формулы введем вместо $r$ новую переменную $x(r)$ по формуле
$$r=\frac{r_1+r_2{x}^2}{1+x^2}.$$

Тогда
$$\begin{array}{c}r-r_1=\frac{(r_2-r_1)x^2}{1+x^2},r_2-r=\frac{r_2-r_1}{1+x^2},dr=\frac{2(r_2-r_1)x}{{(1+x^2)}^2}dx,\\ x\left(r_1\right)=0,x\left(r_2\right)=+\mathrm{\infty }.\end{array}$$

Поэтому
$$I_r=\frac{2\sqrt{-2{\alpha }_3}{(r_2-r_1)}^2}{\pi }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{x^2}{(r_1+r_2{x}^2){(1+x^2)}^2}dx.$$

Подынтегральное выражение в (61) можно представить в виде
$$\begin{array}{c}\frac{x^2}{(r_1+r_2{x}^2){(1+x^2)}^2}=\\ =\frac{1}{r_2-r_1}[\frac{r_1}{r_2-r_1}\cdot \frac{1}{1+x^2}-\frac{r_1{r}_2}{r_2-r_1}\cdot \frac{1}{r_1+r_2{x}^2}+\frac{1}{{(1+x^2)}^2}].\end{array}$$

Нo
$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{dx}{1+x^2}=\frac{\pi }{2},{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{dx}{r_1+r_2{x}^2}=\frac{\pi }{2\sqrt{r_1{r}_2}},{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{dx}{{(1+x^2)}^2}=\frac{\pi }{4},$$

поэтому после интегрирования и несложных преобразований формулу (61) можно записать в виде
$$I_r=\frac{\sqrt{-2{\alpha }_3}}{2}(r_1+r_2-2\sqrt{r_1{r}_2}).$$

Принимая во внимание выражения (51) для $r_1+r_2$ и $r_1{r}_2$ и учитывая равенство (59), формуле (62) можно придать следующую форму:
$$I_r=\frac{k}{\sqrt{-2{\alpha }_3}}-(I_{\phi }+I_{\theta }).$$

Но, согласно (47) и (49), $H={\alpha }_3$. Поэтому, учитывая унивалентность канонического преобразования, вводящего переменные действие-угол, из (63) получаем следующее выражение для функции Гамильтона, записанной в переменных $I_r,I_{\phi },I_{\theta }$ :
$$\mathcal{H}=-\frac{k^2}{2{(I_r+I_{\phi }+I_{\theta })}^2}.$$

Угловые переменные, отвечающие переменным действие $I_r,I_{\phi },I_{\theta }$, обозначим через $w_r,w_{\phi },w_{\theta }$. Так как $\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial I_r}=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial I_{\phi }}=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial I_{\theta }}$, то соответствующие им частоты ${\omega }_r,{\omega }_{\phi },{\omega }_{\theta }$ равны. Этого и следовало ожидать, так как изучаемое движение материальной точки по эллиптической орбите является периодическим (см. п. 121).
185. Элементы Делонэ. Введем новые переменные $I_i,w_i$ $(i=1,2,3)$, имеющие более ясный геометрический и механический смысл, нежели переменные $I_r,I_{\phi },I_{\theta },w_r,w_{\phi },w_{\theta }$. Для этого сделаем замену переменных по формулам:
$$\begin{array}{l}{w}_1=w_{\phi }-w_{\theta },w_2=w_{\theta }-w_r,w_3=w_r\\ I_1=I_{\phi },I_2=I_{\phi }+I_{\theta },I_3=I_r+I_{\phi }+I_{\theta }.\end{array}$$

При помощи какого-либо из критериев п. 169 можно проверить, что равенства (65), (66) задают унивалентное каноническое преобразование. В новых переменных функция Гамильтона принимает вид:
$$\mathcal{H}=-\frac{k^2}{2I_3^2}.$$

Выясним смысл переменных $I_i,w_i(i=1,2,3)$. Из (52) и (67) с учетом того, что $H={\alpha }_3$, находим
$$I_3=\sqrt{ka}.$$

Далее имеем
$$\frac{d{w}_3}{dt}=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial I_3}=\frac{k^2}{I_3^3}=\frac{k^2}{(ka{)}^{3/2}}=\frac{\sqrt{k}}{a^{3/2}}=n,$$

где $n$ — среднее движение (см. формулу (20) п. 121). То есть $w_3-$ это, с точностью до константы, средняя аномалия $n(t-\tau )$ (см. п. 122; $\tau$ — это время прохождения точки $P$ через перицентр). Полагая эту константу равной нулю, получаем, что
$$w_3=n(t-\tau ).$$

Теперь рассмотрим пару канонически сопряженных переменных $I_2,w_2$. Из (53), (59) и (66) следут, что $I_2=c$, т. е. $I_2$ — это величина кинетического момента точки $P$ относительно притягивающего центра. Но из (45) видно, что $c=\sqrt{ka(1-e^2)}$. Поэтому
$$I_2=\sqrt{ka(1-e^2)}.$$

Так как $\frac{d{w}_2}{dt}=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial I_2}=0$, то $w_2$ представляет собой некоторый постоянный угол, отсчитываемый в плоскости орбиты. Положим
$$w_2=\omega ,$$

где (см. п. 123) $\omega$ — угловое расстояние перицентра от узла.
И, наконец, рассмотрим переменные $I_1,w_1$. Согласно (54) и (66), $I_1={\alpha }_{\phi }$, т. е. $I_1$ — это проекция кинетического момента точки $P$ на ось $Oz$ (см. рис. 9 и 126). Учитывая еще, что $\frac{d{w}_1}{dt}=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial I_1}=0$, получаем, что $w_1$ — это некоторый постоянный угол, отсчитываемый в плоскости $Oxy$. Примем, что $w_1$ совпадает с долготой восходящего узла $\mathrm{\Omega }$. Таким образом (см. рис. 126 и формулу (70)):
$$I_1=c\cos i=I_2\cos i=\sqrt{ka(1-e^2)}\cos i,w_1=\mathrm{\Omega },$$

где $i$ — наклонение орбиты.
Введенные канонически сопряженные переменные $I_1,I_2,I_3$, $w_1,w_2,w_3$ называются каноническими переменными Делонэ или, кратко, элементами Делонэ. Следуя Делонэ, для них часто используются обозначения $H,G,L,h,g,l$ (не путать обозначения $H,L,h$ элементов Делонэ с обозначениями функций Гамильтона, Лагранжа и константы интеграла энергии!). Элементы Делонэ связаны с обычными элементами орбиты $\mathrm{\Omega },i,a,e,\omega ,\tau$ следующими получаемыми из (68)-(72) соотношениями:
$$\begin{array}{llrl}L& =\sqrt{ka},& & l=n(t-\tau ),\\ G& =\sqrt{ka(1-e^2)},& & g=\omega ,\\ H& =\sqrt{ka(1-e^2)}\cos i,& h& =\mathrm{\Omega }.\end{array}$$

В переменных Делонэ функция Гамильтона задачи двух тел записывается в виде
$$\mathcal{H}=-\frac{k^2}{2L^2}.$$

Две системы канонических элементов Пуанкаре. Для многих приложений (например, связанных с исследованием движения планет) целесообразно иметь канонически сопряженные переменные, среди которых есть такие, которые малы для малых значений эксцентриситетов и наклонений орбит. Пуанкаре ввел две системы таких переменных. Их называют элементами Пуанкаре.

Первая система элементов Пуанкаре $\mathrm{\Lambda },\mathrm{\Gamma },Z,\lambda ,\gamma ,z$ связана с элементами Делонэ при помощи унивалентного канонического преобразования вида:
$$\begin{array}{l}\mathrm{\Lambda }=L,\mathrm{\Gamma }=L-G,Z=G-H,\\ \lambda =l+g+h,\gamma =-g-h,z=-h.\end{array}$$

Отсюда и из (73) получаем выражения элементов $\mathrm{\Lambda },\mathrm{\Gamma },Z,\lambda ,\gamma ,z$ через обычные элементы кеплеровской орбиты:
$$\begin{array}{llrl}\mathrm{\Lambda }& =\sqrt{ka},& & \lambda =n(t-\tau )+\omega +\mathrm{\Omega },\\ \mathrm{\Gamma }& =\sqrt{ka}(1-\sqrt{1-e^2}),& & \gamma =-\omega -\mathrm{\Omega },\\ Z& =\sqrt{ka(1-e^2)}(1-\cos i),& & z=-\mathrm{\Omega }.\end{array}$$

Для орбиты малого эксцентриситета и наклонения элементы $\mathrm{\Gamma }$ и $Z$ будут величинами порядка $e^2$ и $i^2$ соответственно.

Во второй системе элементов Пуанкаре величины $\mathrm{\Lambda },\lambda$ — те же канонически сопряженные переменные, что и в первой системе, а остальные четыре элемента определяются формулами ( $\xi ,p$ — импульсы, $\eta ,q$ — координаты):
$$\begin{array}{ll}\xi =\sqrt{2\mathrm{\Gamma }}\cos \gamma ,& \eta =\sqrt{2\mathrm{\Gamma }}\sin \gamma ,\\ p=\sqrt{2Z}\cos z,& q=\sqrt{2Z}\sin z.\end{array}$$

Для орбиты малого эксцентриситета и наклонения величины $\xi ,\eta$ и $p,q$ имеет порядок $e$ и $i$ соответственно.

И для первой, и для второй систем канонических элементов Пуанкаре функция Гамильтона задачи двух тел имеет вид
$$\mathcal{H}=-\frac{k^2}{2{\mathrm{\Lambda }}^2}.$$