161. Множитель системы уравнений. Дифференциальное уравнение для множителя. В данной главе будут получены некоторые общие утверждения, относящиеся к интегрированию уравнений динамики. Сначала рассмотрим нужные в дальнейшем вспомогательные вопросы теории дифференциальных уравнений.
Пусть задана система дифференциальных уравнений
\[
\frac{d x_{1}}{X_{1}}=\frac{d x_{2}}{X_{2}}=\ldots=\frac{d x_{k}}{X_{k}},
\]

где $X_{i}(i=1,2, \ldots, k)$ – заданные функции переменных $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}$.

Всякая функция $f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}\right)$, которая постоянна при $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}$, удовлетворяющих системе (1), называется ее первым интегралом. Если $f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}\right)$ – первый интеграл, то дифференциал $d f$ в силу (1) тождественно равен нулю, т. е.
\[
d f=\frac{\partial f}{\partial x_{1}} d x_{1}+\frac{\partial f}{\partial x_{2}} d x_{2}+\ldots+\frac{\partial f}{\partial x_{k}} d x_{k}=0
\]

в силу уравнений (1). Это означает, что необходимое и достаточное условие того, что функция $f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}\right)$ является первым интегралом, записывается в виде равенства
\[
X(f) \equiv \frac{\partial f}{\partial x_{1}} X_{1}+\frac{\partial f}{\partial x_{2}} X_{2}+\ldots+\frac{\partial f}{\partial x_{k}} X_{k}=0 .
\]

Обозначение $X(f)$ введено для краткости записи. Очевидно, что если $f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{l} \quad(l \leqslant k-1)$ – первые интегралы, то и любая функция $F\left(f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{l}\right)$ тоже будет первым интегралом системы (1). Если известны $l$ независимых первых интегралов
\[
f_{1}=c_{1}, f_{2}=c_{2}, \ldots, f_{l}=c_{l} \quad\left(c_{j}=\text { const } ; j=1,2, \ldots, l\right),
\]

то их можно использовать для понижения порядка системы (1) на $l$ единиц. В самом деле, если $f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{l}$ независимы, то ранг матрицы
\[
\left\|\begin{array}{llll}
\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{2}} & \cdots & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{k}} \\
\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}} & \cdots & \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{k}} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
\frac{\partial f_{l}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial f_{l}}{\partial x_{2}} & \cdots & \frac{\partial f_{l}}{\partial x_{k}}
\end{array}\right\|
\]

равен $l$. Не ограничивая общности, будем тогда считать, что отличен от нуля определитель $l$-го порядка, составленный из первых $l$ столбцов матрицы (4), т. е. якобиан функций $f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{l}$ по переменным $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{l}$ :
\[
\frac{\partial\left(f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{l}\right)}{\partial\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{l}\right)}=\left|\begin{array}{llll}
\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{2}} & \cdots & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{l}} \\
\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}} & \cdots & \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{l}} \\
\cdots \hat{f}_{l} & \cdots f_{l} & \cdots & \cdots \\
\frac{\partial f_{l}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial x_{2}}{\partial x_{l}} & \cdots & \frac{\partial}{\partial x_{l}}
\end{array}\right|
eq 0 .
\]

При выполнении этого неравенства соотношения (3) можно разрешить относительно величин $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{l}$, в результате чего эти величины выразятся через переменные $x_{l+1}, \ldots, x_{k}$ и константы $c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{l}$. Подставив их в функции $X_{l+1}, \ldots, X_{k}$ и обозначив получающиеся в результате этой подстановка функции $X_{l+1}^{*}, \ldots, X_{k}^{*}$, где $X_{j}^{*}$ $(j=l+1, \ldots, k)$ – функции от $x_{l+1}, \ldots, x_{k}$ и $c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{l}$, мы сведем систему (1) к системе уравнений
\[
\frac{d x_{l+1}}{X_{l+1}^{*}}=\ldots=\frac{d x_{k}}{X_{k}^{*}},
\]

порядок которой на $l$ единиц меньше порядка исходной системы (1). Система (1) может иметь только $k-1$ независимых первых интегралов. Если они известны, то соотношения
\[
f_{1}=c_{1}, f_{2}=c_{2}, \ldots, f_{k-1}=c_{k-1}
\]

дают общий интеграл системы дифференциальных уравнений (1). Всякий же другой интеграл $f$ будет функцией независимых интегралов $f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{k-1}$. Для доказательства этого утверждения на-

до проверить, что якобиан функций $f, f_{1}, \ldots, f_{k-1}$ по переменным $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}$ равен нулю:
\[
\frac{\partial\left(f, f_{1}, \ldots, f_{k-1}\right)}{\partial\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}\right)}=0 .
\]

Действительно, если $f, f_{1}, \ldots, f_{k-1}$ – первые интегралы, то
\[
\begin{array}{c}
X(f)=X_{1} \frac{\partial f}{\partial x_{1}}+X_{2} \frac{\partial f}{\partial x_{2}}+\ldots+X_{k} \frac{\partial f}{\partial x_{k}}=0, \\
X\left(f_{1}\right)=X_{1} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}+X_{2} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{2}}+\ldots+X_{k} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{k}}=0, \\
\ldots \ldots \ldots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
X\left(f_{k-1}\right)=X_{1} \frac{\partial f_{k-1}}{\partial x_{1}}+X_{2} \frac{\partial f_{k-1}}{\partial x_{2}}+\ldots+X_{k} \frac{\partial f_{k-1}}{\partial x_{k}}=0 .
\end{array}
\]

Эта система $k$ линейных однородных уравнений относительно $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{k}$ должна иметь нетривиальное решение. Следовательно, выполняется равенство (7). Что и требовалось доказать.

Разложив якобиан, стоящий в левой части равенства (7), по элементам первой строки, представим это равенство в виде
\[
\Delta_{1} \frac{\partial f}{\partial x_{1}}+\Delta_{2} \frac{\partial f}{\partial x_{2}}+\ldots+\Delta_{k} \frac{\partial f}{\partial x_{k}}=0,
\]

где $\Delta_{i}(i=1,2, \ldots, k)$ есть алгебраическое дополнение $i$-го элемента первой строки якобиана.

Условие (8) означает, что $f$ – функция первых интегралов $f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{k-1}$. Если $f$ – первый интеграл, то выполнено условие (8), а если выполнено (8), то $f$ – функция $f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{k-1}$ и, следовательно, является первым интегралом. Поэтому равенство (8) является необходимым и достаточным условием того, что (при известных первых интегралах $\left.f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{k-1}\right) f$ есть первый интеграл. Последнее означает, что условия (2) и (8) эквивалентны. Поэтому соответствующие коэффициенты при производных $\partial f / \partial x_{i}(i=1,2, \ldots, k)$ в равенствах (2) и (8) пропорциональны, т. е. существует функция $M\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}\right)$ такая, что
\[
\Delta_{i}=M X_{i} \quad(i=1,2, \ldots, k) .
\]

Функция $M$ называется множителем Якоби или просто множителем системы уравнений (1).

В равенство (9) входят интегралы $f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{k-1}$. Однако можно получить дифференциальное уравнение для $M$, которое не содержит $f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{k-1}$. Покажем, что множитель $M$ удовлетворяет линейному уравнению в частных производных
\[
\frac{\partial\left(M X_{1}\right)}{\partial x_{1}}+\frac{\partial\left(M X_{2}\right)}{\partial x_{2}}+\ldots+\frac{\partial\left(M X_{k}\right)}{\partial x_{k}}=0 .
\]

В самом деле, если в соответствии с (9) вместо величин $M X_{i}$ $(i=1,2, \ldots, k)$ подставить в (10) их выражения $\Delta_{i}$, то после проведения содержащихся в (10) дифференцирований получим, что левая часть равенства (10) представляет собой совокупность слагаемых, каждое из которых есть произведение производной второго порядка вида $\partial^{2} f_{s} / \partial x_{i} \partial x_{j}(i
eq j)$ на $k-2$ частных производных первого порядка. Поэтому, чтобы показать справедливость равенства (10), достаточно убедиться в том, что его левая часть не содержит ни одной производной второго порядка. Возьмем, например, производную $\partial^{2} f_{1} / \partial x_{1} \partial x_{2}$. Она содержится в двух слагаемых. В одном слагаемом при $\partial^{2} f_{1} / \partial x_{1} \partial x_{2}$ будет коэффициент при $\partial f_{1} / \partial x_{2}$ в $\Delta_{1}$, т. е. определитель
\[
\frac{\partial\left(f_{2}, f_{3}, \ldots, f_{k-1}\right)}{\partial\left(x_{3}, x_{4}, \ldots, x_{k}\right)}
\]

а во втором – коэффициент при $\partial f_{1} / \partial x_{1}$ в $\Delta_{2}$, т. е. определитель (11), взятый с противоположным знаком. Следовательно, сумма упомянутых слагаемых равна нулю. То же самое справедливо и для остальных слагаемых.

Любое решение уравнения (10) принято называть множителем. Справедливо следующее утверждение: частное двух множителей является первым интегралом системы (1).

В самом деле, пусть $M_{1}$ и $M_{2}$ – множители, т. е. решения уравнения (10). Тогда справедливы равенства
\[
\begin{array}{l}
\sum_{i=1}^{k}\left(M_{1} \frac{\partial X_{i}}{\partial x_{i}}+X_{i} \frac{\partial M_{1}}{\partial x_{i}}\right)=0 \\
\sum_{i=1}^{k}\left(M_{2} \frac{\partial X_{i}}{\partial x_{i}}+X_{i} \frac{\partial M_{2}}{\partial x_{i}}\right)=0 .
\end{array}
\]

Умножив первое из этих равенств на $-M_{2}$, а второе на $M_{1}$ и сложив результаты, получим
\[
\sum_{i=1}^{k} X_{i}\left(M_{1} \frac{\partial M_{2}}{\partial x_{i}}-M_{2} \frac{\partial M_{1}}{\partial x_{i}}\right)=M_{1}^{2} \sum_{i=1}^{k} X_{i} \frac{\partial\left(\frac{M_{2}}{M_{1}}\right)}{\partial x_{i}}=M_{1}^{2} X\left(\frac{M_{2}}{M_{1}}\right)=0 .
\]

Следовательно, $M_{2} / M_{1}$ действительно является первым интегралом. Верно и обратное: произведение какого-либо множителя на первый интеграл системы уравнений (1) таюже является множителем. В этом легко убедиться непосредственной проверкой.

Для дальнейшего приложения теории множителя к уравнениям динамики важно заметить, что из (10) следует, что если $\sum_{i=1}^{k} \frac{\partial X_{i}}{\partial x_{i}}=0$, то $M=1$ является множителем.
162. Инвариантность множителя. Последний множитель Якоби. Сделаем в системе уравнений (1) замену переменных, введя вместо $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}$ переменные $y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{k}$ по формулам
\[
x_{i}=x_{i}\left(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{k}\right) \quad(i=1,2, \ldots, k) .
\]

Будем считать, что якобиан
\[
\frac{\partial\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}\right)}{\partial\left(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{k}\right)}
\]

отличен от нуля. Тогда замена переменных (14) является обратимой. Для получения преобразованной системы уравнений введем вспомогательную переменную $t$ так, чтобы каждое из отношений $d x_{i} / X_{i}$ равнялось ее дифференциалу $d t$. Тогда система (1) запишется так:
\[
\frac{d x_{i}}{d t}=X_{i}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}\right) \quad(i=1,2, \ldots, k) .
\]

Рассматривая каждую из величин $y_{i}(i=1,2, \ldots, k)$ как сложную функцию $t: y_{i}\left(x_{1}(t), x_{2}(t), \ldots, x_{k}(t)\right)$, имеем
\[
\frac{d y_{i}}{d t}=\sum_{j=1}^{k} \frac{\partial y_{i}}{\partial x_{j}} \frac{d x_{j}}{d t}=\sum_{j=1}^{k} \frac{\partial y_{i}}{\partial x_{j}} X_{j}=X\left(y_{i}\right) .
\]

Выраженную через $y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{k}$ величину $X\left(y_{i}\right)$ обозначим $Y_{i}$. Тогда в новых переменных система уравнений (1) будет такой:
\[
\frac{d y_{1}}{Y_{1}}=\frac{d y_{2}}{Y_{2}}=\ldots=\frac{d y_{k}}{Y_{k}} .
\]

Отметим, что выражение $X(f)$ инвариантно в том смысле, что
\[
X(f)=\sum_{j=1}^{k} Y_{j} \frac{\partial f}{\partial y_{j}}=Y(f) .
\]

В самом деле,
\[
\begin{aligned}
X(f) & =\sum_{i=1}^{k} X_{i} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}=\sum_{i=1}^{k} X_{i}\left(\sum_{j=1}^{k} \frac{\partial f}{\partial y_{j}} \frac{\partial y_{j}}{\partial x_{i}}\right)= \\
& =\sum_{j=1}^{k}\left(\sum_{i=1}^{k} X_{i} \frac{\partial y_{j}}{\partial x_{i}}\right) \frac{\partial f}{\partial y_{j}}=\sum_{j=1}^{k} Y_{j} \frac{\partial f}{\partial y_{j}}=Y(f) .
\end{aligned}
\]

Равенство (18) показывает, в частности, что интеграл исходной системы уравнений (1), будучи записанным в новых переменных, является интегралом преобразованной системы (17).

Пусть $f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{k-1}$ – независимые первые интегралы системы (1) и $f$ – произвольная функция, а $M_{0}$ – какой-либо множитель, удовлетворяющий тождеству ${ }^{1}$
\[
M_{0} X(f)=\frac{\partial\left(f, f_{1}, \ldots, f_{k-1}\right)}{\partial\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}\right)} .
\]

Умножив обе части этого тождества на определитель (15), получим
\[
M_{0} \frac{\partial\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}\right)}{\partial\left(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{k}\right)} X(f)=\frac{\partial\left(f, f_{1}, \ldots, f_{k-1}\right)}{\partial\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}\right)} \frac{\partial\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}\right)}{\partial\left(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{k}\right)} .
\]

Если воспользоваться инвариантностью выражения $X(f)$ и правилом умножения функциональных определителей ${ }^{2}$, то последнее равенство можно записать так:
\[
M_{0} \frac{\partial\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}\right)}{\partial\left(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{k}\right)} Y(f)=\frac{\partial\left(f, f_{1}, \ldots, f_{k-1}\right)}{\partial\left(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{k}\right)} .
\]

Отсюда следует, что функция
\[
M_{0}^{*}=M_{0} \frac{\partial\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}\right)}{\partial\left(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{k}\right)}
\]

является множителем преобразованной системы уравнений (17). Пусть теперь $M$ – произвольный множитель, т. е. какое-либо решение уравнения в частных производных (10), а $M_{0}$ – множитель из тождества (19). Согласно п. 160 ,
\[
M=M_{0} F,
\]

где $F$ – первый интеграл системы уравнений (1) (а также и системы (17)). Умножив обе части этого равенства на определитель (15) и воспользовавшись формулой (20), получим
\[
M \frac{\partial\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}\right)}{\partial\left(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{k}\right)}=M_{0} \frac{\partial\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}\right)}{\partial\left(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{k}\right)} F=M_{0}^{*} F .
\]

Но мы показали, что $M_{0}^{*}$ – множитель для переменных $y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{k}$. А так как $F$ – первый интеграл, то, согласно п. 161, функция $M_{0}^{*} F$ также является множителем.

Таким образом, мы доказали теорему об инвариантности множителя: если $M$ – множитель для переменных $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}$, то его произведение на якобиан (15) есть множитель для новых переменных $y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{k}$.

Свойство инвариантности является основным для практического применения теории множителя. Предположим, что известны $k-2$ независимых первых интеграла системы дифференциальных уравнений (1)
\[
f_{j}=c_{j} \quad\left(c_{j}=\mathrm{const} ; j=1,2, \ldots, k-2\right),
\]
т. е. для получения общего интеграла недостает одного первого интеграла.
Введем новые переменные $y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{k}$ по формулам
\[
y_{1}=x_{1}, \quad y_{2}=x_{2}, \quad y_{3}=f_{1}, \ldots, \quad y_{k}=f_{k-2} .
\]

Тогда при $i \geqslant 3 \quad Y_{i}=X\left(y_{i}\right)$ и в новых переменных система уравнений (1) станет такой:
\[
\frac{d y_{1}}{Y_{1}}=\frac{d y_{2}}{Y_{2}}=\frac{d y_{3}}{0}=\ldots=\frac{d y_{k}}{0},
\]
т. е. сводится к одному уравнению
\[
Y_{2} d y_{1}-Y_{1} d y_{2}=0,
\]

в котором $y_{3}, \ldots, y_{k}$ рассматриваются как постоянные.
Если бы был известен множитель $M$ для переменных $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}$, то, согласно теореме об инвариантности множителя, функция
\[
M^{*}=M \frac{\partial\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}\right)}{\partial\left(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{k}\right)}
\]

была бы множителем для переменных $y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{k}$, т. е. удовлетворяла бы уравнению
\[
\sum_{i=1}^{k} \frac{\partial\left(M^{*} Y_{i}\right)}{\partial y_{i}}=0,
\]

которое с учетом того, что $Y_{i}=0$ при $i \geqslant 3$, имеет вид
\[
\frac{\partial\left(M^{*} Y_{1}\right)}{\partial y_{1}}+\frac{\partial\left(M^{*} Y_{2}\right)}{\partial y_{2}}=0 .
\]

Последнее равенство означает, что функция $M^{*}$ является интегрирующим множителем Эйлера для уравнения (23), т. е. выражение $M^{*}\left(Y_{2} d y_{1}-Y_{1} d y_{2}\right)$ будет полным дифференциалом. Следовательно, недостающий первый интеграл может быть записан в виде
\[
\int M^{*}\left(Y_{2} d y_{1}-Y_{1} d y_{2}\right)=\text { const. }
\]

Функция $M^{*}$ носит название последнего множителя, или последнего множителя Якоби.

Таким образом, если для системы (1) известен какой-либо множитель, то ее интегрирование требует нахождения не $k-1$, а лишь $k-2$ независимых первых интегралов. Нахождение последнего недостающего интеграла сводится к квадратуре.
ПРИМЕР 1 (КАЧЕНИЕ НЕОДНОРОДНОГО ШАРА По ПЛОСКоСТИ ${ }^{1}$ ). Pacсмотрим движение шара по неподвижной горизонтальной плоскости. Шар считаем неоднородным, его центр масс совпадает с геометрическим центром, движение происходит без скольжения.

Движение отнесем к системе Gхуz, образованной главными центральными осями инерии. Пусть $a$ – радиус, $A, B, C$ – моменты инерции относительно осей $G x, G y, G z$, а $m$ – масса шара. Если $\boldsymbol{v}^{\prime}=\left(v_{x}, v_{y}, v_{z}\right)$ – скорость центра шара, $\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\omega}^{\prime}=(p, q, r)$ угловая скорость, $\boldsymbol{n}^{\prime}=\left(\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}\right)$ – единичный вектор, направленный вертикально вверх, то условие отсутствия скольжения (равенство нулю абсолютной скорости точки D шара, которой он касается плоскости) запишется в виде
\[
\boldsymbol{v}=a \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{n} .
\]

Уравнение движения шара получим в форме уравнений Аппеля. Энергия ускорений вычисляется по формуле (см. п. 159, 160)
\[
\begin{array}{c}
S=\frac{1}{2} m w^{2}+\frac{1}{2}\left(\dot{A p^{2}}+\dot{B q^{2}}+\dot{r}^{2}\right)+ \\
+(C-B) q r \dot{p}+(A-C) r p \dot{q}+(B-A) p q \dot{r}
\end{array}
\]

где $\boldsymbol{w}^{\prime}=\left(w_{x}, w_{y}, w_{z}\right)$ – ускорение центра шара. Из (26) получаем
\[
\boldsymbol{w}=a[\dot{\boldsymbol{\omega}} \times \boldsymbol{n}+\boldsymbol{\omega} \times \dot{\boldsymbol{n}}+\boldsymbol{\omega} \times(\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{n})]
\]

или
\[
\begin{aligned}
w_{x} & =a\left[\dot{q} \gamma_{3}-\dot{r} \gamma_{2}+q \dot{\gamma}_{3}-r \dot{\gamma}_{2}+p \omega_{n}-\gamma_{1} \omega^{2}\right], \\
w_{y} & =a\left[\dot{r} \gamma_{1}-\dot{p} \gamma_{3}+r \dot{\gamma}_{1}-p \dot{\gamma}_{3}+q \omega_{n}-\gamma_{2} \omega^{2}\right], \\
w_{z} & =a\left[\dot{p} \gamma_{2}-\dot{q} \gamma_{1}+p \dot{\gamma}_{2}-q \dot{\gamma}_{1}+r \omega_{n}-\gamma_{3} \omega^{2}\right] .
\end{aligned}
\]

Здесь $\omega_{n}=p \gamma_{1}+q \gamma_{2}+r \gamma_{3}$ – проекция вектора $\boldsymbol{\omega}$ на вертикаль.
Принимая величины $p, q, r$ за псевдоскорости $\dot{\pi}_{1}, \dot{\pi}_{2}, \dot{\pi}_{3}$ и замечая, что обобщенные силы $\Pi_{1}, \Pi_{2}, \Pi_{3}$ равняются нулю, из уравнений Аппеля получаем
\[
\begin{array}{l}
A_{1} \dot{p}+\left(A_{3}-A_{2}\right) q r=m a^{2} \gamma_{1}\left(\dot{p} \gamma_{1}+\dot{q} \gamma_{2}+\dot{r} \gamma_{3}\right), \\
A_{2} \dot{q}+\left(A_{1}-A_{3}\right) r p=m a^{2} \gamma_{2}\left(\dot{p} \gamma_{1}+\dot{q} \gamma_{2}+\dot{r} \gamma_{3}\right), \\
A_{3} \dot{r}+\left(A_{2}-A_{1}\right) p q=m a^{2} \gamma_{3}\left(\dot{p} \gamma_{1}+\dot{q} \gamma_{2}+\dot{r} \gamma_{3}\right),
\end{array}
\]

где $A_{1}=A+m a^{2}, A_{2}=B+m a^{2}, A_{3}=C+m a^{2}$.
Уравнения (29) совместно с уравнениями Пуассона (см. п. 114)
\[
\dot{\gamma}_{1}=r \gamma_{2}-q \gamma_{3}, \quad \dot{\gamma}_{2}=p \gamma_{3}-r \gamma_{1}, \quad \dot{\gamma}_{3}=q \gamma_{1}-p \gamma_{2}
\]

образуют замкнутую систему уравнений, описывающую движение шара относительно его центра масс. Если она проинтегрирована, то траектория центра масс находится из уравнений (26) при помощи квадратур. Покажем, что интегрирование системы уравнений (29), (30) сводится к квадратурам.
Уравнения (29), (30) имеют интеграл энергии
\[
\frac{1}{2}\left(A_{1} p^{2}+A_{2} q^{2}+A_{3} r^{2}\right)-\frac{1}{2} m a^{2} \omega_{n}^{2}=h=\text { const. }
\]

Интегралами будут также величина вектора кинетического момента шара относительно точки $D$ касания его с плоскостью
\[
\left(A_{1} p-m a^{2} \gamma_{1} \omega_{n}\right)^{2}+\left(A_{2} q-m a^{2} \gamma_{2} \omega_{n}\right)^{2}+\left(A_{3} r-m a^{2} \gamma_{3} \omega_{n}\right)^{2}=\mathrm{const}
\]

и проекция этого вектора на вертикаль
\[
A_{1} p \gamma_{1}+A_{2} q \gamma_{2}+A_{3} r \gamma_{3}-m a^{2} \omega_{n}=\text { const. }
\]

Кроме того, существует очевидный геометрический интеграл
\[
\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}+\gamma_{3}^{2}=1 .
\]

Интеграл (31) следует из теоремы об изменении кинетической энергии (см. п. 88; левая часть (31) есть кинетическая энергия шара: она постоянна, так как работа внешних сил, приложенных к шару, равна нулю). Существование интегралов (32) и (33) следует из теоремы об изменении кинетического момента в ее общей форме (см. формулу (7) n. 87). Действительно, момент внешних сил (силы тяжести и реакции плоскости) относительно точки касания шара и плоскости равен нулю. А так как скорость «геометрической точки», которая «вычерчивает след» шара на плоскости, очевидно, равна скорости центра масс шара, то из теоремы об изменении кинетического момента следует, что кинетический момент $\boldsymbol{K}_{D}$ шара относительно точки касания остается во все время движения неизменным. Но, воспользовавшись формулой (4) n. 81 , легко получить, что
\[
\boldsymbol{K}_{D}^{\prime}=\left(A_{1} p-m a^{2} \gamma_{1} \omega_{n}, A_{2} q-m a^{2} \gamma_{2} \omega_{n}, A_{3} r-m a^{2} \gamma_{3} \omega_{n}\right) .
\]

Отсюда и следуют интегралы (32) и (33). В существовании упомянутых интегралов можно убедиться и непосредственно, вычислив полные производные по времени от правых частей равенств (31)-(33) в силу уравнений движения (29), (30) и убедившись, что эти производные тождественно равны нулю.

Указанных четырех интегралов достаточно, чтобы интегрирование системы (29), (30) можно было свести к квадратурам. Чтобы в этом убедиться, достаточно найти множитель Якоби М. Разрешив уравнения (29) относительно производных, получим
\[
\begin{array}{l}
\dot{p}=\frac{1}{A_{1}}\left[\left(A_{2}-A_{3}\right) q r+\gamma_{1} \varphi\right], \\
\dot{q}=\frac{1}{A_{2}}\left[\left(A_{3}-A_{1}\right) r p+\gamma_{2} \varphi\right], \\
\dot{r}=\frac{1}{A_{3}}\left[\left(A_{1}-A_{2}\right) p q+\gamma_{3} \varphi\right],
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{c}
\varphi=\frac{1}{f}\left(\frac{A_{2}-A_{3}}{A_{1}} \gamma_{1} q r+\frac{A_{3}-A_{1}}{A_{2}} \gamma_{2} r p+\frac{A_{1}-A_{2}}{A_{3}} \gamma_{3} p q\right), \\
f=\frac{1}{m a^{2}}-\left(\frac{\gamma_{1}^{2}}{A_{1}}+\frac{\gamma_{2}^{2}}{A_{2}}+\frac{\gamma_{3}^{2}}{A_{3}}\right) .
\end{array}
\]

Множитель $М$ удовлетворяет уравнению
\[
\frac{\partial}{\partial p}(M \dot{p})+\frac{\partial}{\partial q}(M \dot{q})+\frac{\partial}{\partial r}(M \dot{r})+\frac{\partial}{\partial \gamma_{1}}\left(M \dot{\gamma}_{1}\right)+\frac{\partial}{\partial \gamma_{2}}\left(M \dot{\gamma}_{2}\right)+\frac{\partial}{\partial \gamma_{3}}\left(M \dot{\gamma}_{3}\right)=0,
\]

где $\dot{p}, \dot{q}, \dot{r}, \dot{\gamma}_{1}, \dot{\gamma}_{2}, \dot{\gamma}_{3}$ – правые части уравнений (35) и (30). Учитывая (30), уравнение для множителя можно преобразовать к такой форме:
\[
\dot{M}+M\left(\frac{\partial \dot{p}}{\partial p}+\frac{\partial \dot{q}}{\partial q}+\frac{\partial \dot{r}}{\partial r}\right)=0 .
\]

Подставив в выражение, стоящее в скобках, правые части уравнений (35) и произведя необходимые дифференцирования, получим уравнение (38) в виде
\[
f \dot{M}+M\left(\frac{r \gamma_{2}-q \gamma_{3}}{A_{1}} \gamma_{1}+\frac{p \gamma_{3}-r \gamma_{1}}{A_{2}} \gamma_{2}+\frac{q \gamma_{1}-p \gamma_{2}}{A_{3}} \gamma_{3}\right)=0 .
\]

Учитывая (30) и (37), имеем окончательно
\[
2 f \dot{M}-M \dot{f}=0 .
\]

Интегрирование этого уравнения дает такое выражение для множителя: $M=c \sqrt{f}$ ( $c-$ произвольная постоянная). Из теории последнего множителя Якоби следует теперь, что интегрирование систем дифференциальных уравнений (29), (30) сводится к квадратурам.

УпРАжНЕНИЕ 1. Показать, что для построения общего интеграла уравнений (32), (35) п. 105 помимо трех интегралов (36), (37) и (38) достаточно найти еще только один первый интеграл.
163. Приложение теории множителя к каноническим уравнениям. Пусть движение материальной системы описывается каноническими уравнениями Гамильтона:
\[
\frac{d q_{i}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}}, \quad \frac{d p_{i}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}} \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]

В симметричной форме эта система уравнений запишется в виде
\[
\frac{d q_{1}}{\frac{\partial H}{\partial p_{1}}}=\ldots=\frac{d q_{n}}{\frac{\partial H}{\partial p_{n}}}=\frac{d p_{1}}{-\frac{\partial H}{\partial q_{1}}}=\ldots=\frac{d p_{n}}{-\frac{\partial H}{\partial q_{n}}}=\frac{d t}{1} .
\]

Так как
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial}{\partial q_{1}}\left(\frac{\partial H}{\partial p_{1}}\right)+\ldots+\frac{\partial}{\partial q_{n}}\left(\frac{\partial H}{\partial p_{n}}\right)+\frac{\partial}{\partial p_{1}}\left(-\frac{\partial H}{\partial q_{1}}\right)+\ldots+ \\
+\frac{\partial}{\partial p_{n}}\left(-\frac{\partial H}{\partial q_{n}}\right)+\frac{\partial(1)}{\partial t}=0
\end{array}
\]

то для канонической системы уравнений существует множитель $M=1$ (см. замечание в конце п. 161).

Так как для системы (39) множитель известен, то для построения ее общего интеграла достаточно знать не $2 n$, а $2 n-1$ первых интегралов. Построение $2 n$-го интеграла сводится к квадратуре.

Отметим еще одну возможность упрощения задачи интегрирования канонической системы уравнений. Пусть функция Гамильтона $H$ не зависит явно от времени. Тогда, отбрасывая в уравнениях (40) последнюю дробь, содержащую $d t$, получим систему из $2 n-1$ уравнений, которая по-прежнему имеет множитель $M=1$. Поэтому для построения ее общего интеграла достаточно знать $2 n-2$ первых интеграла. Но так как в рассматриваемом случае материальная система является обобщенно консервативной, то один интеграл нам известен заранее. Это обобщенный интеграл энергии $H=h=$ const (см. п. 151). Поэтому для построения общего интеграла достаточно знать еще $2 n-3$ первых интеграла. Если, например, $n=2$, го кроме интеграла энергии $H=h$ достаточно найти еще только один первый интеграл.
ПРИМЕР 1 (ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА TРЕХ ТЕЛ (СМ. П. 124)). Пусть точка $P$ малой массы движется под действием притяжения двух точек $S$ и $\mathrm{J}$ конечных масс, не оказывая влияния на движение последних. Будем считать, что точка $J$ движется относительно точки $S$ по круговой орбите, а точка $P$ движется в плоскости этой орбиты (т. е. рассматривается так на-

зываемая плоская круговая ограниченная задача трех тел).
Выберем единицы измерения так, чтобы сумма масс точек $S$ и $\mathrm{J}$, неизменное расстояние между ними и период их обращения по орбитам равнялись единице. Пусть $m$ – масса точки $P$, а $1-\mu$ и $\mu$ – массы точек $S$ и $\mathrm{J}$ соответственно.

Движение точки $P$ будем рассматривать во вращающейся системе координат $O x y$ с началом в центре масс точек $S$ и $J$ и осью $O x$, направленной на точку $J$ (рис. 138). Обозначая $x, y$ координаты точки $P$ и применяя теорему о сложении скоростей (п. 31), получаем для проекций абсолютной скорости точки $P$ следующие выражения:
\[
v_{x}=\dot{x}-y, \quad v_{y}=\dot{y}+x .
\]

Кинетическая энергия точки $P$ вычисляется по формуле
\[
T=\frac{1}{2} m\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}\right)=T_{2}+T_{1}+T_{0},
\]

где
\[
T_{2}=\frac{1}{2} m\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\right), \quad T_{1}=m(x \dot{y}-\dot{x} y), \quad T_{0}=\frac{1}{2} m\left(x^{2}+y^{2}\right) .
\]

Потенциальная энергия точки $P$ определяется выражением
\[
\Pi=-m \frac{1-\mu}{r_{1}}-m \frac{\mu}{r_{2}}, \quad r_{1}^{2}=(x+\mu)^{2}+y^{2}, \quad r_{2}^{2}=(x-1+\mu)^{2}+y^{2} .
\]

Уравнения движения точки $P$ могут быть записаны в форме канонических уравнений Гамильтона. Функция Гамильтона явно от времени не зависит, поэтому существует обобщенный интеграл энергии – интеграл Якоби:
\[
T_{2}-T_{0}+\Pi=h=\text { const. }
\]

Так как число степеней свободы $n=2$, то для построения общего интеграла недостает одного первого интеграла.