164. Циклические координаты. Крайне важным источником упрощения интегрирования дифференциальных уравнении движения является наличие циклических координат. Рассмотрим этот вопрос для голономных систем, движущихся в потенциальном поле сил. Пусть система имеет $n$ степеней свободы, а $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ – ее обобщенные координаты. Координата $q_{\alpha}$ называетея циклической, если она не входит в функцию Лагранжа, т. е. если $\partial L / \partial q_{\alpha}=0^{1}$.

Теорема. Пусть $q_{\alpha}$ – циклическая координата. Тогда соответствующий ей импульс – первый интеграл: $p_{\alpha}=c_{\alpha}=$ const, при этом изменение остальных кооринат со временем такое же, как в системе с $n-1$ степенью свободы, в которой $c_{\alpha}$ играет роль параметра.

Доказательство.
Доказательство проще всего провести, используя гамильтонову форму уравнений движения
\[
\frac{d q_{i}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}}, \quad \frac{d p_{i}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}} \quad(i=1,2, \ldots, n),
\]

где $H=H\left(q_{1}, \ldots, q_{\alpha-1}, q_{\alpha+1}, \ldots, q_{n}, p_{1}, \ldots, p_{\alpha-1}, p_{\alpha}, p_{\alpha+1}, \ldots, p_{n}, t\right)$. Если в (1) $i=\alpha$, то $\partial H / \partial q_{\alpha}=0$ и $d p_{\alpha} / d t=0$. Поэтому $p_{\alpha}=c_{\alpha}=$ const. Положив в (1) $p_{\alpha}=c_{\alpha}$, придем к системе уравнений ( $\left.2 n-2\right)$-го порядка
\[
\frac{d q_{i}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}}, \quad \frac{d p_{i}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}} \quad(i=1,2, \ldots, n ; i
eq \alpha),
\]

в которой $H=H\left(q_{1}, \ldots, q_{\alpha-1}, q_{\alpha+1}, \ldots, q_{n}, p_{1}, \ldots, p_{\alpha-1}, c_{\alpha}, p_{\alpha+1}, \ldots, p_{n}, t\right)$.
Интегрирование уравнений (2) дает
\[
q_{i}=q_{i}\left(t, c_{\alpha}, c_{1}, \ldots, c_{2 n-2}\right), \quad p_{i}=p_{i}\left(t, c_{\alpha}, c_{1}, \ldots, c_{2 n-2}\right),
\]

где $c_{1}, \ldots, c_{2 n-2}$ – произвольные постоянные. Зависимость циклической координаты $q_{\alpha}$ от времени определяется одним из уравнений системы (1)
\[
\frac{d q_{\alpha}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{\alpha}},
\]

в котором правая часть выражена через $t$ и $2 n-1$ постоянных $c_{\alpha}, c_{1}, \ldots, c_{2 n-2}$ при помощи подстановки в нее функций (3). Интегрирование уравнения (4) дает
\[
q_{\alpha}=\int \frac{\partial H}{\partial p_{\alpha}} d t+c,
\]

где с $-2 n$-я произвольная постоянная.
Аналогично, если не одна, а $l$ обобщенных координат являются циклическими, то первыми интегралами будут $l$ обобщенных импульсов и порядок системы дифференциальных уравнений (1) может быть понижен на $2 l$ единиц.
165. Понижение порядка системы дифференциальных уравнений движения при помощи уравнений Рауса. Пусть $q_{\alpha}$

$(\alpha=k+1, \ldots, n)$ – циклические координаты. Тогда имеем $n-k$ первых интегралов
\[
p_{\alpha}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\alpha}}=c_{\alpha}=\mathrm{const} \quad(\alpha=k+1, \ldots, n) .
\]

Пусть гессиан функции Лагранжа по переменным $\dot{q}_{\alpha}$ отличен от нуля:
\[
\operatorname{det}\left\|\frac{\partial^{2} L}{\partial \dot{q}_{\alpha} \partial \dot{q}_{\beta}}\right\|_{\alpha, \beta=k+1}^{n}
eq 0 .
\]

Составим функцию Рауса (п. 153)
\[
R=\sum_{\alpha=k+1}^{n} c_{\alpha} \dot{q}_{\alpha}-L,
\]

где $\dot{q}_{\alpha}$ выражены через $q_{i}, \dot{q}_{i}, c_{\alpha}$ и $t(i=1,2, \ldots, k ; \alpha=k+1, \ldots, n)$ из уравнений $(5)^{1}$. Функция Рауса не содержит обобщенных скоростей, отвечающих циклическим координатам:
\[
R=R\left(q_{i}, \dot{q}_{i}, c_{\alpha}, t\right) \quad(i=1,2, \ldots, k ;, \alpha=k+1, \ldots, n) .
\]

Поэтому часть системы уравнений Рауса
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial R}{\partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial R}{\partial q_{i}}=0 \quad(i=1,2, \ldots, k)
\]

описывает изменение нециклических координат со временем и может интегрироваться независимо от другой ее части
\[
\frac{d q_{\alpha}}{d t}=\frac{\partial R}{\partial c_{\alpha}}, \quad \frac{d p_{\alpha}}{d t}=0 \quad(\alpha=k+1, \ldots, n),
\]

соответствующей циклическим координатам.
Проинтегрировав систему уравнений (9), имеющую порядок $2 k$, получим
\[
q_{i}=q_{i}\left(t, c_{\alpha}, c_{1}, c_{1}^{\prime}, \ldots, c_{k}, c_{k}^{\prime}\right) \quad(i=1,2, \ldots, k),
\]

где $c_{i}, c_{i}^{\prime} \quad(i=1,2, \ldots, k)$ – произвольные постоянные. Затем из первых $n-k$ уравнений системы (10) находим зависимости циклических координат от времени
\[
q_{\alpha}=\int \frac{\partial R}{\partial c_{\alpha}} d t+c_{\alpha}^{\prime} \quad(\alpha=k+1, \ldots, n),
\]

где в функции $\partial R / \partial c_{\alpha}$ величины $q_{i}$ заменены на их выражения (11). Описанная в п. 164, 165 процедура понижения порядка системы дифференциальных уравнений движения является одним из наиболее эффективных и практически важных способов, применяемых при интегрировании уравнений движения. Всякая симметрия задачи, допускающая такой выбор обобщенных координат, чтобы некоторые из них $q_{\alpha}$ были циклическими, приводит к существованию первых интегралов $p_{\alpha}=$ const и, как мы видели, позволяет свести исследование движения к рассмотрению системы с меньшим числом обобщенных координат. Для обобщенно консервативных систем с двумя степенями свободы наличие одной циклической координаты позволяет свести интегрирование уравнений движения к квадратурам (см. п. 164).
ПРИМЕР 1 (ДВИЖЕНИЕ СФЕРИЧЕСКОГО МАЯТНИКА). СФерический маятник (см. пример 2 п. 138) имеет две степени свободы. Если за обобщенные координаты принять углы $\theta$ и (рис. 134), то для кинетической и потенциальной энергии будем иметь выражения
\[
T=\frac{1}{2} m l^{2}\left(\dot{\theta}^{2}+\sin ^{2} \theta \dot{\varphi}^{2}\right), \quad \Pi=m g l \cos \theta .
\]

Таћ кал фуници Лагранэа
\[
L=\mathrm{T}-\Pi=\frac{1}{2} m l^{2}\left(\dot{\theta}^{2}+\sin ^{2} \theta \dot{\varphi}^{2}\right)-m g l \cos \theta
\]

не содержит $\varphi$, то эта обобщенная координата циклическая. Ей соответствует первый интеграл
\[
p_{\varphi}=\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}}=m l^{2} \sin ^{2} \theta \dot{\varphi}=m l^{2} \omega_{0} \alpha,
\]

где $\alpha$ – произвольная безразмерная постоянная; обозначение $\omega_{0}=\sqrt{g / l}$ введено для удобства.
Так как из (13) следует, что
\[
\dot{\varphi}=\frac{\omega_{0}}{\sin ^{2} \theta} \alpha,
\]

то для функции Рауса
\[
R=p_{\varphi} \dot{\varphi}-L
\]

получаем выражение
\[
R=-\frac{1}{2} m l^{2} \dot{\theta}^{2}+\frac{1}{2} \frac{m l^{2} \omega_{0}^{2} \alpha^{2}}{\sin ^{2} \theta}+m g l \cos \theta .
\]

Уравнения
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial R}{\partial \dot{\theta}}-\frac{\partial R}{\partial \theta}=0
\]

отвечают системе с одной степенью свободы, которой соответствуют кинетическая и потенцальная энергия, определяемые равенствами
\[
T^{*}=\frac{1}{2} m l^{2} \dot{\theta}^{2}, \quad \Pi^{*}=m g l \cos \theta+\frac{1}{2} \frac{m l^{2} \omega_{0}^{2} \alpha^{2}}{\sin ^{2} \theta} .
\]

Эта система называется приведенной системой, а функция $\Pi^{*}-n р и$ веденным потенциалом, или потенциалом Рауса.
Приведенная система имеет интеграл энергии
\[
\frac{1}{2} m l^{2} \dot{\theta}^{2}+m g l \cos \theta+\frac{1}{2} \frac{m l^{2} \omega_{0}^{2} \alpha^{2}}{\sin ^{2} \theta}=\frac{1}{2} m l^{2} \omega_{0}^{2} \beta,
\]

где $\beta$ – безразмерная постоянная.
Введем обозначение $u=\cos \theta$. Тогда $\dot{u}=-\sin \theta \dot{\theta}$ и из (16) следует, что
\[
\frac{1}{\omega_{0}^{2}} \dot{u}^{2}=G(u)
\]

где $G(u)$ – многочлен третьей степени,
\[
G(u)=\left(1-u^{2}\right)(\beta-2 u)-\alpha^{2},
\]

который можно также записать в форме
\[
G(u)=2\left(u-u_{1}\right)\left(u-u_{2}\right)\left(u-u_{3}\right),
\]

где $u_{1}, u_{2}, u_{3}$ – корни уравнения $G(u)=0$.
Заметим, что $G(+\infty)=+\infty, G( \pm 1)=-\alpha^{2}<0$ (если $\left.\alpha
eq 0\right)$, $G(-\infty)=-\infty$. Так как $G(u)$ – непрерывная функция, то хотя бы один из корней, например $u_{3}$, должен быть не меньше единицы. Но на отрез$\kappa е-1 \leqslant u \leqslant+1$ должны быть значения $u$, при которых функция $G(u)$ положительна или хотя бы обращается в нуль, так как в противном случае равенство (17) невозможно для действительных значений и. Величина же и обязятельно должна быть действительной, так как движение маятника,безусловно, физически существует. Отсюда следует, что функиия $G(u)$ имеет ровно два вещественных корня $u_{1}, u_{2}$ на отрезке $-1 \leqslant u \leqslant+1$ и один корень $u_{3} \geqslant 1$. График функции $G(u)$ должен быть таким, как показано на рис. 139.

Так как для реального движения $G(u) \geqslant 0$, то интересующий нас интервал изменения $u$ определяется неравенством $u_{1} \leqslant u \leqslant u_{2}$. Ему соответствует область изменения угла $\theta: \theta_{2} \leqslant \theta \leqslant \theta_{1}$, отвечающая реальному движению маятника.

Рассмотрим движение, отвечающее различным значениям постоянных $\alpha$ и $\beta$. Сразу отметим, что из условий $G(u) \geqslant 0 u-1 \leqslant u \leqslant+1$ следует, что величина $\beta$ не может быть совсем произвольной, а должна удовлетворять неравенству $\beta \geqslant-2$. Если $\beta=-2$, то постоянная $\alpha$ может быть только равной нулю, что соответствует положению равновесия маятника, когда он занимает вертикальное положение ( $u=-1$, m. е. $\theta=\pi)$.
Функция $G(u)$ имеет максимум в точке
\[
u=u_{*}=\frac{1}{6}\left(\beta-\sqrt{\beta^{2}+12}\right),
\]

причем
\[
G\left(u_{*}\right)=f(\beta)-\alpha^{2},
\]

где
\[
f(\beta)=\frac{1}{54}\left[\left(\beta^{2}+12\right)^{3 / 2}+36 \beta-\beta^{3}\right] .
\]

Для реального движения необходимо, чтобы выполнялось неравенство $G\left(u_{*}\right) \geqslant 0$, т. е. чтобы
\[
0 \leqslant \alpha^{2} \leqslant f(\beta) .
\]

На рис. 140 значения параметров $\alpha, \beta$, удовлетворяющие неравенству (22), соответствуют точкам, лежащим в незаштрихованной области плоскости или на ее границе. Верхняя граница области задается уравнением $\alpha^{2}=f(\beta)$; она касается оси $O \beta$ в точке $(-2,0)$, а при $\beta \rightarrow \infty$ имеет асимптоту $\alpha^{2}=\beta$.

Для классификации движения маятника рассмотрим последовательно три возможных случая.
1) $\alpha=0$. Из (14) следует, что в этом случае $\varphi=\varphi_{0}=$ const, и мы приходим к задаче о движении математического маятника в плоскос$т и \varphi=\varphi_{0}$. Эта задача подробно изучена в п. 93-96.
2) $0<\alpha^{2}<f(\beta)$. В этом случае угол $\theta$ изменяется в промежутке $\theta_{2} \leqslant \theta \leqslant \theta_{1}$. На сфере радиусом $l$ с центром в точке подвеса маятника значения $\theta=\theta_{1}$ и $\theta=\theta_{2}$ выделяют два круга, лежащих в параллельных плоскостях $z=z_{1}=l \cos \theta_{1} u z=z_{2}=l \cos \theta_{2}$. Материальная точка, закрепленная на конце стержня, движется по сфере между плоскостями $z=z_{1} u z=z_{2}$, попеременно касаясь этих плоскостей (рис. 141).
Рис. 141
Рис. 142
При этом среднее положение точки всегда находится ниже горизонтальной плоскости, проходящей через точку $O$ подвеса маятника (рис. 134), т. е. $u_{1}+u_{2}<0$. Чтобы убедиться в этом, приравняем коэффициенты при первой степени и в тождестве (19). Получим
\[
2\left(u_{1} u_{2}+u_{1} u_{3}+u_{2} u_{3}\right)=-2,
\]

откуда
\[
u_{3}=-\frac{1+u_{1} u_{2}}{u_{1}+u_{2}} .
\]

Но так как $u_{3}>0$, а $\left|u_{1} u_{2}\right|<1$, то отсюда сразу следует, что $u_{1}+u_{2}<0$.

Из уравнения (14) видно, что угол $\varphi$ в рассматриваемом случае либо монотонно возрастает (если $\alpha>0$ ), либо монотонно убывает (если $\alpha<0$ ). На рис. 142 показана проекция траектории материальной точки на плоскость Оху для движения, соответствующего рис. 141, когда обе плоскости $z=z_{1}$ и $z=z_{2}$ лежат ниже точки подвеса маятника (принято, что $\alpha>0$ ). Эта проекция поочередно касается окружностей радиусов $\rho_{1}=l \sin \theta_{1}$ и $\rho_{2}=l \sin \theta_{2}$ и напоминает собой движе-

ние по эллипсу, большая полуось которого вращается в горизонтальной плоскости в направлении движения.
Для интегрирования уравнения (17) сделаем замену переменных
\[
u=u_{1}+\left(u_{2}-u_{1}\right) \sin ^{2} v .
\]

Отсюда и из (17), (19) получаем дифференциальное уравнение для новой переменной $v$
\[
\dot{v}^{2}=\frac{1}{2} \omega_{0}^{2}\left(u_{3}-u_{1}\right)\left(1-k^{2} \sin ^{2} v\right),
\]

где
\[
k^{2}=\frac{u_{2}-u_{1}}{u_{3}-u_{1}} \quad\left(0 \leqslant k^{2} \leqslant 1\right) .
\]

Если момент времени, когда $и=u_{1}$, принять за начальный, то из (24) получаем
\[
\tau=\int_{0}^{v} \frac{d \omega}{\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} \omega}}=F(v, k),
\]

где $F(v, k)$ – эллиптический интеграл первого рода (см. п. 95), а
\[
\tau=\omega_{0} \sqrt{\frac{u_{3}-u_{1}}{2}} t .
\]

Тогда из (23) следует, что
\[
u=u_{1}+\left(u_{2}-u_{1}\right) s n^{2} \tau .
\]

Так как эллиптическая функция sп $\tau$ имеет период $4 K(k)$, где $K(k)$ полный эллиптический интеграл первого рода, то $\mathrm{sn}^{2} \tau$ имеет период, вдвое меньший. Поэтому $u=u_{1}$ для $\tau=2 n K(k) u u=u_{2}$ для $\tau=$ $=(2 n+1) K(k)(n=1,2, \ldots)$. Следовательно, угол $\theta$ периодически колеблется между значениями $\theta_{1}$ и $\theta_{2}$. Период $\varkappa$ этих колебаний вычисляется по формуле
\[
\varkappa=\frac{2 \sqrt{2} K(k)}{\omega_{0} \sqrt{u_{3}-u_{1}}} .
\]

Когда угол $\theta$ найден как функция времени, зависимость $\varphi(t)$ находится из уравнения (14) при помоши одной квадратуры.
3) $\alpha^{2}=f(\beta)$. В этом случае корни $u_{1}$ и $u_{2}$ многочлена $G(u)$ совпадают, причем $u_{1}=u_{2}=u_{*}$, и мы приходим к задаче о коническом

маятнике. Угол $\theta$ при движении постоянен, $\theta=\theta_{*}=\arccos u_{*}>\frac{\pi}{2}$. Материальная точка движется по окружности радиусом $l \sin \theta_{*}$ в горизонтальной плоскости $z=z_{*}=l \cos \theta_{*}<0$; время ее обращения по окружности равно $2 \pi \sqrt{-\frac{g}{z_{*}}}$. Стержень, на котором закреплена точка, описывает поверхность конуса с осью симметрии $O z$.