56. Понятие о вариационных принципах механики. Принципами называют, во-первых, некоторые основные начала, на которых может быть построена какая-либо теория, научная система и т. п., а во-вторых – законы, основные положения о чем-либо. Под принципами часто понимают также точку зрения, убеждения и т. д.

Принципы теоретической механики можно разделить на вариационные и невариационные. К невариационным принципам относятся, например, аксиомы динамики, обсуждавшиеся в §1 предыдущей главы, а также законы механики, например закон сохранения энергии, закон всемирного тяготения и т. п.

Вариационные принципы механики представляют собой выраженные языком математики условия, которые отличают истинное (действительное) движение системы от других кинематически возможных, т. е. допускаемых связями, движений. Вариационные принципы делятся на дифференциальные и интегральные. Первые дают критерий истинного движения для данного фиксированного момента времени, а вторые на конечном интервале времени.

В этой главе рассматриваются дифференциальные вариационные принципы механики.
57. Общее уравнение динамики (принцип Даламбера-Лагранжа). Рассмотрим систему, состоящую из $N$ материальных точек $P_{
u}(
u=1,2, \ldots, N)$. Система может быть как свободной, так и несвободной. В последнем случае связи, наложенные на систему, считаются удерживающими и идеальными. Пусть $\boldsymbol{F}_{
u}$ и $\boldsymbol{R}_{
u}$ – равнодействующие всех активных сил и реакций связей, приложенных к точке $P_{
u}$. Имеют место следующие уравнения движения (п. 45):
\[
m_{
u} \boldsymbol{w}_{
u}=\boldsymbol{F}_{
u}+\boldsymbol{R}_{
u} \quad(
u=1,2, \ldots, N),
\]

где $m_{
u}$ – масса точки $P_{
u}$, а $\boldsymbol{w}_{
u}$ – ее ускорение в инерциальной системе отсчета.

Поскольку связи идеальны, то для любых виртуальных перемещений $\delta \boldsymbol{r}_{
u}$ выполняется равенство
\[
\sum_{
u=1}^{N} \boldsymbol{R}_{
u} \cdot \delta \boldsymbol{r}_{
u}=0 .
\]

Запишем уравнения (1) в виде
\[
\boldsymbol{F}_{
u}-m_{
u} \boldsymbol{w}_{
u}=-\boldsymbol{R}_{
u} \quad(
u=1,2, \ldots, N) .
\]
мирование по $
u$. Тогда с учетом условия (2) получим соотношение
\[
\sum_{
u=1}^{N}\left(\boldsymbol{F}_{
u}-m_{
u} \boldsymbol{w}_{
u}\right) \cdot \delta \boldsymbol{r}_{
u}=0
\]

Соотношение (3) является необходимым и достаточным условием для того, чтобы движение, совместимое с идеальными связями, отвечало данной системе активных сил $\boldsymbol{F}_{
u}(
u=1,2, \ldots, N)$. Необходимость условия (3) мы только что показали. Предположим теперь, что некоторое совместимое со связями движение системы удовлетворяет условию (3). Тогда если положить $\boldsymbol{R}_{
u}=m_{
u} \boldsymbol{w}_{
u}-\boldsymbol{F}_{
u}(
u=1,2, \ldots, N)$, то получим, что удовлетворяются равенство (2) и уравнения движения (1), полученные непосредственно из законов Ньютона.

Соотношение (3) характеризует движение всякой системы с идеальными удерживающими связями по отношению к активным силам $\boldsymbol{F}_{
u}$ и соответствующим (для данного момента времени) виртуальным перемещениям. Оно получило название общего уравнения динами$\kappa и$.

Входящие в (3) произведения $m_{
u} \boldsymbol{w}_{
u}$ масс точек системы на их ускорения, взятые с обратным знаком, называют силами инериии. Применяя эту терминологию, можно сказать, что общее уравнение динамики показывает, что в любой фиксированный момент времени сумма элементарных работ активных сил и сил инерции на любых виртуальных перемещениях равна нулю.

Общее уравнение динамики получено в предположении об идеальности связей (2). Если же связи таковы, что все или часть их реакций $\boldsymbol{G}_{
u}$ не удовлетворяют условию (2), то можно к системе активных сил добавить реакции $\boldsymbol{G}_{
u}$, и уравнение (3) примет вид
\[
\sum_{
u=1}^{N}\left(\boldsymbol{F}_{
u}+\boldsymbol{G}_{
u}-m_{
u} \boldsymbol{w}_{
u}\right) \cdot \delta \boldsymbol{r}_{
u}=0 .
\]

В общем случае силы $\boldsymbol{G}_{
u}$ (или часть из них) неизвестны. Эта неопределенность должна компенсироваться дополнительными данными о физических свойствах и характере связей, порождающих реакции $\boldsymbol{G}_{
u}$.

Важным свойством общего уравнения динамики является то, что оно не содержит реакций идеальных связей.

Соотношение (3) на самом деле является не одним уравнением, а содержит в себе число уравнений, равное $n$, т. е. числу степеней свободы системы, которое определяется количеством независимых виртуальных перемещений $\delta x_{1}, \delta y_{1}, \delta z_{1}, \ldots, \delta x_{N}, \delta y_{N}, \delta z_{N}$ (см. п. 55). В каждом из этих $n$ уравнений отсутствуют реакции связей.

Общее уравнение динамики (3) содержит в себе всю информацию о движении данной механической системы с идеальными удерживающими связями под действием заданных активных сил. В последующих главах оно будет положено в основу получения всех основных дифференциальных уравнений движения механических систем, голономных и неголономных.

Общее уравнение динамики называют также дифференциальным вариационным принципом Даламбера-Лагранжа. Вариационным принцип называется потому, что в (3) входят вариации – виртуальные перемещения. Название дифференциа.ьного принцип носит потому, что в нем сравнивается данное положение системы с ее варьированным положением в фиксированный, хотя и произвольный момент времени (синхронное варьирование, согласно п. 12).

С этой точки зрения принцип Даламбера-Лагранжа может быть сформулирован следующим образом: истинное движение из всех кинематически возможных выделяется тем, что для него и только для него в данный момент времени сумма работ активных сил и сил инерции на любых виртуальных перемещениях равна нулю.
Пример 1. Две материальные точки массой $m_{1}$ и $m_{2} \quad\left(m_{2}>m_{1}\right)$ соединены идеальной нитью, перекинутой через гладкий стержень, и движутся в поле тяжести в вертикальной плоскости (рис. 54). Найти ускорения точек.

Пусть $x_{1}$ и $x_{2}$ – абсциссы точек $m_{1}$ и $m_{2}$ соответственно. Тогда из общего уравнения динамики (3) следует, что
\[
\left(m_{1} g-m_{1} \ddot{x}_{1}\right) \delta x_{1}+\left(m_{2} g-m_{2} \ddot{x}_{2}\right) \delta x_{2}=0 .
\]

Но так как нить нерастяжима, то имеет место геометрическая связь $x_{1}+x_{2}+\pi R=\mathrm{const}$, где $R$ – радиус сечения стержня. Поэтому $\delta x_{1}=-\delta x_{2}, \ddot{x}_{1}=-\ddot{x}_{2}$, и уравнение (5) запишется в виде
\[
\left[\left(m_{2}-m_{1}\right) g-\left(m_{1}+m_{2}\right) \ddot{x}_{2}\right] \delta x_{2}=0 .
\]

Отсюда в силу произвольности виртуального перемещения $\delta x_{2}$ получаем
\[
\ddot{x}_{2}=\frac{m_{2}-m_{1}}{m_{1}+m_{2}} g .
\]

Рис. 54
Рис. 55

ПРимЕР 2. Найдем дифференцильное уравнение движения плоского математического маятника. Маятник будем для простоты представлять в виде точечной массы $m$, прикрепленной при помощи невесомого стержня длиной $l$ к точке $A$, вокруг которой стержень может вращаться без трения в вертикальной плоскости. Направляя оси $A x$ и $A y$ декартовой системы координат, как показано на рис. 55 , получаем
\[
\begin{array}{c}
x=l \cos \varphi, y=l \sin \varphi, \\
\delta x=-l \sin \varphi \delta \varphi, \delta y=l \cos \varphi \delta \varphi \\
\ddot{x}=-l \sin \varphi \ddot{\varphi}-l \cos \varphi \dot{\varphi}^{2}, \ddot{y}=l \cos \varphi \ddot{\varphi}-l \sin \varphi \dot{\varphi}^{2}, \\
F_{x}=m g, F_{y}=0 .
\end{array}
\]

Общее уравнение динамики
\[
\left(F_{x}-m \ddot{x}\right) \delta x+\left(F_{y}-m \ddot{y}\right) \delta y=0
\]

дает равенство
\[
-m l(g \sin \varphi+l \ddot{\varphi}) \delta \varphi=0,
\]

откуда, ввиду произвольности вариация $\delta \varphi$, следует дифференциальное уравнение движения маятника
\[
\ddot{\varphi}+\frac{g}{l} \sin \varphi=0
\]

ЗамЕчАНИЕ 1. Из общего уравнения динамики (3) видно, что оно (а, следовательно, и движение системы) не изменяется, если вместо системы сил $\boldsymbol{F}_{
u}$, взять какую-либо другую систему сил $\boldsymbol{F}_{
u}^{*}$, такую, чтобы элементарная работа обеих систем сил на любых одинаковых виртуальных перемещениях была одинакова, т. е.
\[
\sum_{
u=1}^{N} \boldsymbol{F}_{
u} \cdot \delta \boldsymbol{r}_{
u}=\sum_{
u=1}^{N} \boldsymbol{F}_{
u}^{*} \cdot \delta \boldsymbol{r}_{
u}
\]