228. Линеаризация уравнений движения. Пусть консервативная система имеет положение равновесия, в котором все обобщенные координаты $q_{i}(i=1,2, \ldots, n)$ равны нулю. Предполагая потенциальную энергию системы $\Pi\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}\right)$ аналитической функцией в окрестности положения равновесия, разложим ее в ряд Тейлора
\[
\Pi=\Pi(0,0, \ldots, 0)+\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial \Pi}{\partial q_{i}}\right)_{0} q_{i}+\frac{1}{2} \sum_{i, k=1}^{n}\left(\frac{\partial^{2} \Pi}{\partial q_{i} \partial q_{k}}\right)_{0} q_{i} q_{k}+\ldots,
\]

где индексом 0 отмечены значения производных функции П в положении равновесия, т. е. при $q_{i}=0(i=1,2, \ldots, n)$. Без ограничения общности можно считать, что $\Pi(0,0 \ldots, 0)=0$. Первая сумма в разложении (1) равна нулю, так как в положении равновесия все обобщенные силы равны нулю:
\[
Q_{i}=-\frac{\partial \Pi}{\partial q_{i}}=0 \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]

Таким образом, если ввести обозначения
\[
c_{i k}=\left(\frac{\partial^{2} \Pi}{\partial q_{i} \partial q_{k}}\right)_{0},
\]

то разложение потенциальной энергии в ряд будет начинаться с квадратичной формы, имеющей постоянные коэффициенты:
\[
\Pi=\frac{1}{2} \sum_{i, k=1}^{n} c_{i k} q_{i} q_{k}+\ldots
\]

Здесь многоточие обозначает совокупность членов, порядок которых относительно величин $q_{i}(i=1,2, \ldots, n)$ больше второго. Будем предполагать, что квадратичная форма
\[
\frac{1}{2} \sum_{i, k=1}^{n} c_{i k} q_{i} q_{k}
\]

является определенно-положительной. Тогда точка $q_{1}=q_{2}=\ldots=$ $=q_{n}=0$ будет точкой строгого локального минимума функции $\Pi\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}\right)$ и, следовательно, согласно теореме Лагранжа, положение равновесия устойчиво.

В силу устойчивости положения равновесия величины $q_{i}, \dot{q}_{i}$ $(i=1,2, \ldots, n)$ будут малыми во все время движения, если достаточно малы их начальные значения. Используя малость величин $q_{i}, \dot{q}_{i}$, можно упростить дифференциальные уравнения движения системы вблизи ее положения равновесия. Для этого можно заменить полные уравнения движения приближенными, сохраняя в них только линейные члены относительно $q_{i}, \dot{q}_{i}(i=1,2, \ldots, n)$ и отбрасывая все нелинейные члены. Кинетическая энергия системы имеет вид
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{i, k=1}^{n} a_{i k}\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}\right) \dot{q}_{i} \dot{q}_{k} .
\]

Будем считать, что функции $a_{i k}\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)$ аналитические в окрестности положения равновесия, и запишем их в виде рядов
\[
a_{i k}\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}\right)=a_{i k}+\ldots
\]

Здесь многоточие обозначает совокупность членов первого и более высоких порядков относительно $q_{i}(i=1,2, \ldots, n), a_{i k}=a_{i k}(0,0, \ldots, 0)$ — постоянные коэффициенты. Функция $T$ запишется в виде ряда
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{i, k=1}^{n} a_{i k} \dot{q}_{i} \dot{q}_{k}+\ldots,
\]

где многоточие обозначает члены не ниже третьего порядка относительно $q_{i}, \dot{q}_{i}(1,2, \ldots, n)$. Будем считать, что выбор обобщенных

координат сделан так, что в положении равновесия определитель (18) п. 139 (при $m=n$ ) отличен от нуля. Тогда квадратичная форма
\[
\frac{1}{2} \sum_{i, k=1}^{n} a_{i, k} \dot{q}_{i} \dot{q}_{k}
\]

будет определенно-положительной относительно $\dot{q}_{i}(i=1,2, \ldots, n)$.
Уравнения движения запишем в виде уравнений Лагранжа второго рода
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial L}{\partial q_{i}}=0 \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]

Рассматривая эти уравнения при малых значениях величин $q_{i}, \dot{q}_{i}$, заменим в функции Лагранжа $L=T-\Pi$ величины $T$ и П их разложениями (4) и (2). Тогда получим уравнения движения в виде
\[
\sum_{k=1}^{n}\left(a_{i k} \ddot{q}_{k}+c_{i k} q_{k}\right)+\ldots=0 \quad(i=1,2, \ldots, n),
\]

где многоточием обозначена совокупность членов второго и более высоких порядков. Если их отбросить, то придем к линейной системе с постоянными коэффициентами:
\[
\sum_{k=1}^{n}\left(a_{i k} \ddot{q}_{k}+c_{i k} q_{k}\right)=0 \quad(i=1,2, \ldots, n),
\]

Эти линейные уравнения получаются из уравнений (6), если считать, что в функции Лагранжа величины $T$ и П заменены их приближенными выражениями (5) и (3). Теория малых колебаний консервативной системы вблизи устойчивого положения равновесия опирается на такую линеаризацию и рассматривает приближенные выражения (5) и (3) для $T$ и П как точные.

Когда говорят «малые колебания», то обычно имеют в виду движения, описываемые системой дифференциальных уравнений, полученной в результате линеаризации полных (нелинейных) уравнений движения. В случае движений в окрестности положения равновесия консервативной системы линеаризация сводится, как мы видим, к получению $T$ и П в виде квадратичных форм (5) и (3).
Для упрощения записи уравнения (8) удобно представить в

векторно-матричной форме. Пусть

Тогда
\[
T=\frac{1}{2}(\mathbf{A} \dot{\boldsymbol{q}} \cdot \dot{\boldsymbol{q}}), \quad \Pi=\frac{1}{2}(\mathbf{C} \boldsymbol{q} \cdot \boldsymbol{q}),
\]

и уравнения (8) запишутся в виде
\[
\mathbf{A} \ddot{\boldsymbol{q}}+\mathbf{C} \boldsymbol{q}=0 .
\]
229. Главные координаты и главные колебания. Выясним структуру решений уравнений (8) (или (10)), описывающих малые колебания в окрестности положения равновесия. Для этого рассмотрим пару квадратичных форм
\[
(\mathbf{A} \boldsymbol{q} \cdot \boldsymbol{q})=\sum_{i, k=1}^{n} a_{i k} q_{i} q_{k}, \quad(\mathbf{C} \boldsymbol{q} \cdot \boldsymbol{q})=\sum_{i, k=1}^{n} c_{i k} q_{i} q_{k} .
\]

Обе эти формы определенно-положительны. Из линейной алгебры известно $^{1}$, что если даже одна из форм (11) была бы определенно положительной (за такую форму мы будем принимать первую из квадратичных форм (11)), то существует вещественная неособенная замена переменных
\[
\boldsymbol{q}=\mathbf{U} \boldsymbol{\theta} \quad\left(\operatorname{det} \mathbf{U}
eq 0, \boldsymbol{\theta}^{\prime}=\left(\theta_{1}, \theta_{2}, \ldots, \theta_{n}\right)\right),
\]

приводящая к сумме квадратов сразу обе квадратичные формы (11):
\[
(\mathbf{A} \boldsymbol{q} \cdot \boldsymbol{q})=\sum_{j=1}^{n} \theta_{j}^{2}, \quad(\mathbf{C} \boldsymbol{q} \cdot \boldsymbol{q})=\sum_{j=1}^{n} \lambda_{j} \theta_{j}^{2} .
\]

При этом величины $\lambda_{j}$ с точностью до порядка следования однозначно определяются первоначальными квадратичными формами и не зависят от выбора замены переменных (12). В нашем случае все $\lambda_{j}$ $(j=1,2, \ldots, n)$ положительны в силу того, что П определенно-положительна.

Отметим, что если в окрестности точки $q_{1}=q_{2}=\ldots=q_{n}=0$ координатного пространства $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ ввести евклидову структуру при помощи удвоенной кинетической энергии $2 T$, т. е. принять за скалярное произведение векторов $\boldsymbol{u}$ и $\boldsymbol{v}$ величину ( $\mathbf{A} \boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v})$, то преобразование (12) можно выбрать ортогональным в смысле этой евклидовой структуры. Это означает, что, если $\boldsymbol{u}_{j} \quad(j=1,2, \ldots, n)-j$-й столбец матрицы $\mathbf{U}$, т. е. замена переменных (12) имеет вид
\[
\boldsymbol{q}=\sum_{j=1}^{n} \theta_{j} \boldsymbol{u}_{j}
\]

то выполняется условие нормировки
\[
\left(\mathbf{A} \boldsymbol{u}_{i} \cdot \boldsymbol{u}_{j}\right)=\delta_{i j},
\]

где $\delta_{i j}$ — символ Кронекера ( $\delta_{i j}=1$, если $i=j$ и $\delta_{i j}=0$, если $i
eq j$ ). Так как обобщенные скорости $\dot{q}_{i}$ и $\dot{\theta}_{j}$ связаны теми же соотношениями, что и обобщенные координаты $q_{i}$ и $\theta_{j}$ :
\[
\dot{\boldsymbol{q}}=\mathbf{U} \dot{\boldsymbol{\theta}},
\]

то в первой из формул (13) можно величины $q_{i}$ заменить на $\dot{q}_{i}$, а величины $\theta_{j}$, на $\dot{\theta}_{j}$. В новых переменных кинетическая и потенциальная энергия имеют вид
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n} \dot{\theta}_{j}^{2}, \quad \Pi=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n} \lambda_{j} \theta_{j}^{2} .
\]

Обобщенные координаты $\theta_{j}$ называются главными, или нормальными координатами. В главных координатах уравнения движения (8) запишутся в виде $n$ не связанных одно с другим уравнений второго порядка
\[
\ddot{\theta}_{j}+\lambda_{j} \theta_{j}=0, \quad(j=1,2, \ldots, n) .
\]

Так как все $\lambda_{j}$ положительны, то каждое из этих уравнений описывает колебания гармонического осциллятора:
\[
\theta_{j}=c_{j} \sin \left(\omega_{j} t+\alpha_{j}\right) \quad(j=1,2, \ldots, n) .
\]

Здесь $\omega_{j}=\sqrt{\lambda_{j}}$ — частоты колебаний, $c_{j}, \alpha_{j}$ — произвольные постоянные.
Из (14) и (18) получаем общее решение уравнений (8) (или (10))
\[
\boldsymbol{q}=\sum_{j=1}^{n} c_{j} \boldsymbol{u}_{j} \sin \left(\omega_{j} t+\alpha_{j}\right) .
\]

Эта формула охватывает все решения системы (8). Пусть среди постоянных $c_{j}(j=1,2, \ldots, n)$ отлична от нуля только одна постоянная $c_{k}$. Тогда из (19) получаем
\[
\boldsymbol{q}_{k}=c_{k} \boldsymbol{u}_{k} \sin \left(\omega_{k} t+\alpha_{k}\right) .
\]

Это решение описывает колебание системы, которое называют $k$-м главным, или нормальным колебанием. Вектор $\boldsymbol{u}_{k}$ называют амплитудным вектором $k$-го главного колебания . В $k$-м главном колебании все обобщенные координаты совершают гармонические колебания с одной и той же частотой $\omega_{k}$, отношение амплитуд колебаний отдельных обобщенных координат определяется отношением соответствующих компонент амплитудных векторов.

При практическом нахождении решения (19) можно поступать следующим образом. Ищем решение системы (10) в виде
\[
\boldsymbol{q}=\boldsymbol{u} \sin (\omega t+\alpha) .
\]

Подставив это выражение для $\boldsymbol{q}$ в уравнение (10) и сократив затем на $\sin (\omega t+\alpha)$, получим уравнение для амплитудного вектора $\boldsymbol{u}$
\[
(\mathbf{C}-\lambda \mathbf{A}) \boldsymbol{u}=\mathbf{0} \quad\left(\lambda=\omega^{2}\right) .
\]

Чтобы это уравнение имело нетривиальное решение относительно компонент амплитудного вектора $\boldsymbol{u}$, надо потребовать, чтобы величина $\lambda$ удовлетворяла уравнению
\[
\operatorname{det}(\mathbf{C}-\lambda \mathbf{A})=0 .
\]

Это уравнение называется уравнением частот, или вековым уравнением. Из предыдущего изложения теории главных колебаний следует, что оно имеет только положительные решения; каждому корню $\lambda_{j}$ этого уравнения соответствует амплитудный вектор $\boldsymbol{u}_{j}(j=1,2, \ldots, n)$, причем если какой-либо корень $\lambda_{k}$ уравнения (22) будет кратным, то всегда можно найти ровно столько соответствующих ему линейно независимых амплитудных векторов, какова его кратность. Амплитудные векторы из уравнения (21) находятся с точностью до произвольного постоянного множителя. Их нормировка (если она требуется) производится в соответствии с условием (15).

ПРИМеР 1 (МалЫЕ колеБания ДвоЙНого маЯтника). Рассмотрим двойной маятник, движущийся в вертикальной плоскости в поле тяжести (рис. 15). Потенциальная энергия маятника найдена в примере 3 n. 54:
\[
\Pi=-\frac{1}{2} m g l(3 \cos \varphi+\cos \psi) .
\]

Кинетическая энергия вычисляется по формуле (см. пример 2 n. 215)
\[
T=\frac{1}{2} m l^{2}\left[\frac{4}{3} \dot{\varphi}^{2}+\dot{\varphi} \dot{\psi} \cos (\varphi-\psi)+\frac{1}{3} \dot{\psi}^{2}\right] .
\]

Существует положение равновесия маятника, когда оба стержня занимают вертикальное положение, $а \varphi=\psi=0$. В этом положении потенциальная энергия маятника минимальна и равновесие устойчиво. Исследуем малые колебания маятника вблизи этого положения равновесия.

Если отбросить несущественное постоянное слагаемое $-2 m g l$ в разложении функции П в ряд в окрестности положения равновесия $\varphi=\psi=0$ и сохранить только члены второго порядка малости, то получим
\[
\Pi=\frac{1}{2} m g l\left(\frac{3}{2} \varphi^{2}+\frac{1}{2} \psi^{2}\right) .
\]

Аналогично, учитывая только члены второго порядка малости в разложении кинетической энергии в ряд, имеем
\[
T=\frac{1}{2} m l^{2}\left(\frac{4}{3} \dot{\varphi}^{2}+\dot{\varphi} \dot{\psi}+\frac{1}{3} \dot{\psi}^{2}\right) .
\]

Если ввести обозначение $\boldsymbol{q}^{\prime}=(\varphi, \psi)$, то матрицы $\mathbf{A}$ и $\mathbf{C}$ в выражениях (9) будут такими:
\[
\mathbf{A}=m l^{2}\left\|\begin{array}{cc}
\frac{4}{3} & \frac{1}{2} \\
\frac{1}{2} & \frac{1}{3}
\end{array}\right\|, \quad \mathbf{C}=m g l\left\|\begin{array}{cc}
\frac{3}{2} & 0 \\
0 & \frac{1}{2}
\end{array}\right\| .
\]

Уравнение частот (22) может быть записано в виде
\[
7 \lambda^{2}-42\left(\frac{g}{l}\right) \lambda+27\left(\frac{g}{l}\right)^{2}=0 .
\]

Оно имеет корни
\[
\lambda_{1}=3\left(1+\frac{2 \sqrt{7}}{7}\right) \frac{g}{l}, \quad \lambda_{2}=3\left(1-\frac{2 \sqrt{7}}{7}\right) \frac{g}{l} .
\]

Частоты $\omega_{j}$ главных колебаний вычисляются по формулам $\omega_{j}=\sqrt{\lambda_{j}}$ $(j=1,2)$. Из уравнения (21) и условий нормировки (15) получаем следующие выражения для амплитудных векторов $\boldsymbol{u}_{j}$, отвечающих часто$\operatorname{maм} \omega_{j}(j=1,2)$ :
\[
\boldsymbol{u}_{1}=\varkappa\left\|\begin{array}{c}
-1-\sqrt{7} \\
5+\sqrt{7}
\end{array}\right\|, \quad \boldsymbol{u}_{2}=\varkappa\left\|\begin{array}{c}
-1+\sqrt{7} \\
5-\sqrt{7}
\end{array}\right\|\left(\varkappa=\frac{1}{2 l} \sqrt{\frac{3}{7 m}}\right) .
\]

Таким образом, общее решение уравнений малых колебаний двойного маятника будет таким:
\[
\left\|\begin{array}{c}
\varphi \\
\psi
\end{array}\right\|=c_{1}\left\|\begin{array}{c}
-1-\sqrt{7} \\
5+\sqrt{7}
\end{array}\right\| \sin \left(\omega_{1} t+\alpha_{1}\right)+c_{2}\left\|\begin{array}{c}
-1+\sqrt{7} \\
5-\sqrt{7}
\end{array}\right\| \sin \left(\omega_{2} t+\alpha_{2}\right),
\]

где $c_{j}, \alpha_{j}(j=1,2)$ — произвольные постоянные.
Первое и второе главные колебания отвечают значениям постоянных $c_{1}
eq 0, c_{2}=0$ $u c_{1}=0, c_{2}
eq 0$ соответственно. Отношения $k_{j}(j=1,2)$ амплитуд колебаний углов $\varphi$ и $\psi$ в первом и втором главных колебаниях и направления отклонений стержней от вертикали характеризуются величинами
\[
\begin{array}{l}
k_{1}=-\frac{1+\sqrt{7}}{5+\sqrt{7}}=\frac{1-2 \sqrt{7}}{9} \simeq-0,48, \\
k_{2}=-\frac{1-\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}=\frac{1+2 \sqrt{7}}{9} \simeq 0,70,
\end{array}
\]

Рис. 173
которые называются коэффициентами форм главных колебаний. Іри первом главном колебании (с большей частотой $\omega_{1}$ ) стержни в любой момент времени будут отклонены от вертикали в разные стороны (рис. 173, а), а при втором главном колебании (с меньшей частотой $\omega_{2}$ ) — в одну и ту же сторону (рис. 173, б).
230. Колебания консервативной системы под влиянием внешних периодических сил.

Пусть к точкам консервативной системы приложены внешние силы, которым отвечают обобщенные силы $Q_{i}=Q_{i}(t)(i=1,2, \ldots, n)$. Влияние этих сил на колебания системы вблизи устойчивого положения равновесия удобно исследовать, если воспользоваться главными

координатами $\theta_{1}, \theta_{2}, \ldots, \theta_{n}$, введенными в предыдущем пункте. Силам $Q_{i}(t)$ в координатах $q_{i}(i=1,2, \ldots, n)$ отвечают обобщенные силы $\Theta_{j}(t)$ в главных координатах $\theta_{j}(j=1,2, \ldots, n)$. Для нахождения величин $\Theta_{j}(t)$ приравняем выражение для элементарной работы сил в координатах $q_{i}$ и $\theta_{j}$ :
\[
\delta A=\sum_{i=1}^{n} Q_{i} \delta q_{i}=\sum_{j=1}^{n} \Theta_{j} \delta \theta_{j},
\]

но согласно замене переменных (12)
\[
q_{i}=\sum_{j=1}^{n} u_{i j} \theta_{j}, \quad \delta q_{i}=\sum_{j=1}^{n} u_{i j} \delta \theta_{j} .
\]

Поэтому
\[
\sum_{i=1}^{n} Q_{i} \delta q_{i}=\sum_{i=1}^{n} Q_{i} \sum_{j=1}^{n} u_{i j} \delta \theta_{j}=\sum_{j=1}^{n}\left(\sum_{i=1}^{n} u_{i j} Q_{i}\right) \delta \theta_{j} .
\]

Из равенств (26) и (27) следует, что
\[
\Theta_{j}(t)=\sum_{i=1}^{n} u_{i j} Q_{j}(t) \quad(j=1,2, \ldots, n) .
\]

В нормальных координатах малые колебания консервативной системы с учетом внешних сил будут описываться уравнениями
\[
\ddot{\theta}_{j}+\omega_{j}^{2} \theta_{j}=\Theta_{j}(t) \quad(j=1,2, \ldots, n) .
\]

Пусть внешние силы $Q_{i}(t)$ — периодические функции времени с периодом $2 \pi / \Omega$ и такие, что обобщенные силы ( 28 ) представимы в виде рядов Фурье
\[
\Theta_{j}=\sum_{k=0}^{\infty} b_{j k} \sin \left(k \Omega t+\alpha_{j k}\right) \quad(j=1,2, \ldots, n)
\]

Здесь $b_{j k}, \alpha_{j k}(j=1,2, \ldots, n ; k=0,1,2, \ldots)$ — постоянные величины.
Общее решение уравнений (29) (при $k \Omega
eq \omega_{j}$ ) имеет вид
\[
\theta_{j}=c_{j} \sin \left(\omega_{j} t+\alpha_{j}\right)+\theta_{j}^{*}(t),
\]

где $c_{j}, \alpha_{j}$ — произвольные постоянные, а через $\theta_{j}^{*}(t)$ обозначены слагаемые
\[
\theta_{j}^{*}=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{b_{j k}}{\omega_{j}^{2}-k^{2} \Omega^{2}} \sin \left(k \Omega t+\alpha_{j k}\right) \quad(j=1,2, \ldots, n),
\]

которые появились в общем решении из-за наличия внешних периодических сил.
Из (14) и (31) получаем
\[
\boldsymbol{q}=\sum_{j=1}^{n} c_{j} \boldsymbol{u}_{j} \sin \left(\omega_{j} t+\alpha_{j}\right)+\sum_{j=1}^{n} \theta_{j}^{*}(t) \boldsymbol{u}_{j} .
\]

Первая сумма в (33) представляет свободные колебания, а вторая — вынужденные колебания системы, возникающие из-за влияния внешних периодических сил.

Если же при каком-либо значении числа $k$ окажется, что $k \Omega=\omega_{j}$ для некоторого $j$, то при $b_{j k}
eq 0$ решение в форме (31), (32) непригодно, так как в сумме (32) будет слагаемое с нулевым знаменателем. Говорят, что в этом случае имеет место резонанс в вынужденных колебаниях системы.

Каким будет решение уравнения (29) при резонансе? Для примера рассмотрим одно уравнение вида
\[
\ddot{\theta}+\omega^{2} \theta=a \sin \omega t .
\]

Общее решение этого уравнения имеет вид
\[
\theta=c \sin (\omega t+\alpha)+\theta^{*}(t),
\]

где $c, \alpha$ — произвольные постоянные, а
\[
\theta^{*}(t)=-\frac{a}{2 \omega} t \cos \omega t .
\]

Функция $\theta^{*}(t)$ является неограниченной. Колебания, описываемые уравнением (34), уже не будут малыми. А потому для описания движения вблизи положения равновесия уравнения (34) должны быть заменены другими уравнениями, учитывающими отброшенные при линеаризации нелинейные члены в полных уравнениях движения. Так в данном конкретном примере мы приходим к необходимости теории нелинейных колебаний.

ПРИМЕР 1 (ПЛОСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА НА ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ орБитЕ). Дифференциальные уравнение, описывающее плоские движения твердого тела в центральном ньютоновском гравитационном поле, имеет вид (см. п. 128)
\[
(1+e \cos
u) \frac{d^{2} \varphi}{d
u^{2}}-2 e \sin
u \frac{d \varphi}{d
u}+3 \frac{A-B}{C} \sin \varphi \cos \varphi=2 e \sin
u,
\]

где $A$ и $B$ — моменты инериии тела относительно его главных центральных осей инериии Ох и Оy, которые для плоских движений все время расположены в плоскости орбиты, $C$ — момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости орбиты; $\varphi$ — угол между осью $O y$ и осью $O Z$, направленной вдоль радиуса-вектора центра масс тела относительно притягивающего центра, е — эксцентриситет орбиты, $0 \leqslant e<1$.

На кругвой орбите существует положение равновесия твердого тела в орбитальной системе координт, отвечающее решению $\varphi=0$ уравнения (37) при $е=0$. При условии $A>B$ положение равновесия устойчиво. Предполагая это условие выполненным, рассмотрим малые плоские колебания твердого тела вблизи положения $\varphi=0$, вызываемые эллиптичностью орбиты. Эксцентриситет орбиты считаем малой величиной.
Линеаризуя уравнение (37), получаем
\[
(1+e \cos
u) \frac{d^{2} \varphi}{d
u^{2}}-2 e \sin
u \frac{d \varphi}{d
u}+\omega_{0}^{2} \varphi=2 e \sin
u .
\]

Здесь введено обозначение $\omega_{0}^{2}=3 \frac{A-B}{C}$. Так как моменты инериии удовлетворяют неравенству треугольника $A-B \leqslant C$ и по предположению $A>B$, то
\[
0<\omega_{0}^{2} \leqslant 3 .
\]

Вынужденные колебания спутника, описываемые дифференциальным уравнением (38), ищем в виде ряда по степеням $е$
\[
\varphi^{*}=e \varphi_{1}+e^{2} \varphi_{2}+\ldots
\]

Подставив это разложение в уравнение (38) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях е в его обеих частях, получим линейные неоднородные дифференциальные уравнения для функций $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ Для функиии $\varphi_{1}$ имеем уравнение
\[
\frac{d^{2} \varphi_{1}}{d
u^{2}}+\omega_{0}^{2} \varphi_{1}=2 \sin
u
\]

Из (40), (41) находим решение, описывающее вынужденные колебания тела, в виде
\[
\varphi^{*}=\frac{2 e}{\omega_{0}^{2}-1} \sin
u+\ldots
\]

Эти колебания вызваны неравномерностью движения центра масс тела по эллиптической орбите. В динамике спутников они носят название эксцентриситетных колебаний.

Утверждение о существовании эксцентриситетных колебаний (42) мы делаем здесь без обоснования. Можно, однако, строго показать ${ }^{1}$, что $n р и \omega_{0}
eq 1$ нелинейное уравнение (37) действительно имеет решение, аналитическое по е при достаточно малых е и переходящее при е $=0$ в положение равновесия $\varphi=0$, причем разложение этого решения в ряд начинается с члена первой степени по е, явно выписанного в формуле (42).

Iри $\omega_{0}=1$ имеет место резонанс в вынужденных колебаниях. Решение (42), полученное при помощи линеаризации, не имеет смысла при резонансе, и для исследования движения тела вблизи положения $\varphi=0$ надо использовать нелинейное уравнение движения (37). Будем считать, что $\omega_{0}$ мало отличается от единицы:
\[
\omega_{0}=1+\mu \quad(0 \leqslant|\mu| \ll 1) .
\]

В уравнении (37) сделаем ${ }^{2}$ замену переменных $\varphi=\varepsilon \xi$, где $\varepsilon=e^{1 / 3}$. Подставим это значение $\varphi$ в уравнение (37) и представив обе его части в виде рядов по степеням $\varepsilon$, получим (после деления обеих частей на $\varepsilon$ ) такое уравнение:
\[
\frac{d^{2} \xi}{d
u^{2}}+\omega_{0}^{2} \xi=\varepsilon^{2}\left(\frac{2}{3} \omega_{0}^{2} \xi^{3}+2 \sin
u\right)+\ldots,
\]

где многоточие обозначает члены выше второго порядка малости относительно $\varepsilon$.

Для приближенного исследования этого уравнения будем применять теорию возмущений (см. § 7 гл. XI). Положим
\[
\xi=\frac{1}{\sqrt{\omega_{0}}} q, \quad \frac{d \xi}{d
u}=\sqrt{\omega_{0}} p .
\]

Тогда уравнение (44) может быть записано в эквивалентной форме в виде канонических уравнений с функцией Гамильтона ( $q$ — координата, $p-$ импульс)
\[
H=\frac{1}{2} \omega_{0}\left(q^{2}+p^{2}\right)-\varepsilon^{2}\left(\frac{1}{6} q^{4}+\frac{2 \sin
u}{\sqrt{\omega_{0}}} q\right)+\ldots
\]

Введем новые канонически сопряженные переменные $Q, P$ при помощи унивалентного канонического преобразования (см. пример 6 п. 170)
\[
q=\sqrt{2 P} \sin Q, \quad p=\sqrt{2 P} \cos Q .
\]

Тогда
\[
\begin{aligned}
H= & \omega_{0} P-\varepsilon^{2}\left\{\frac{1}{12} P^{2}(3-4 \cos 2 Q+\cos 4 Q)+\right. \\
& \left.+\sqrt{\frac{2 P}{\omega_{0}}}[\cos (Q-
u)-\cos (Q+
u)]\right\}+\ldots
\end{aligned}
\]

Для упрощения уравнений движения введем переменные $Q^{*}, P^{*}$ при помощи близкого к тождественному унивалентного канонического преобразования $Q, P \rightarrow Q^{*}, P^{*}$, задаваемого при помощи производящей функиuи
\[
Q P^{*}+\varepsilon^{2} S_{2}\left(Q, P^{*},
u\right)+\ldots
\]

Новая функция Гамильтона $H^{*}$ определяется по формуле (см. п. 174)
\[
H^{*}=H+\varepsilon^{2} \frac{\partial S_{2}}{\partial
u}+\ldots,
\]

в правой части которой старые переменные $Q, P$ должны быть заменены на их выражения через новые переменные $Q^{*}, P^{*}$, получаемые из равенств
\[
Q^{*}=Q+\varepsilon^{2} \frac{\partial S_{2}}{\partial P^{*}}+\ldots, \quad P=P^{*}+\varepsilon^{2} \frac{\partial S_{2}}{\partial Q}+\ldots
\]

Вычисления показывают, что если функцию $S_{2}$ взять в виде
\[
S_{2}=-\sqrt{\frac{2 P^{*}}{\omega_{0}}} \frac{1}{\omega_{0}+1} \sin (Q+
u)-\frac{1}{48 \omega_{0}} P^{* 2}(8 \sin 2 Q-\sin 4 Q),
\]

mo
\[
H^{*}=\omega_{0} P^{*}-\varepsilon^{2}\left[\frac{1}{4} P^{* 2}+\sqrt{\frac{2 P^{*}}{\omega_{0}}} \cos \left(Q^{*}-
u\right)\right]+\ldots
\]

Сделаем еще одну каноническую замену $Q^{*}, P^{*} \rightarrow \Psi, R$ по формулам
\[
Q^{*}=\Psi+
u, \quad P^{*}=R .
\]

Тогда, учитывая равенство (43) и пренебрегая членами выше второго порядка малости относительно $\varepsilon$ и $\mu$, получаем приближенное выражение для новой функции Гамильтона в виде
\[
\mathcal{H}=\mu R-\varepsilon^{2}\left(\frac{1}{4} R^{2}+\sqrt{2 R} \cos \Psi\right) .
\]

Соответствующая приближенная система дифференциальных уравнений второго порядка, описывающая плоское движение твердого тела при резонансе или в случае, близком к резонансному, имеет вид
\[
\frac{d \Psi}{d
u}=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial R}=\mu-\varepsilon^{2}\left(\frac{1}{2} R+\frac{1}{\sqrt{2 R}} \cos \Psi\right), \frac{d R}{d
u}=-\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \Psi}=-\varepsilon^{2} \sqrt{2 R} \sin \Psi .
\]

Эта система уравнений имеет первый интеграл $\mathcal{H}=h=$ const $u$, следовательно, интегрируется в квадратурах.

Если $\omega_{0}=1$ (т. е. $\left.\mu=0\right)$, то при описании движения тела в рамках линеаризованных уравнений движения мы получаем, что отклонение тела от его равновесного положения $\varphi=0$ неограниченно возрастает со временем, так как уравнение (41) имеет частное решение вида (36) (при $\omega=\omega_{0}, a=2$ ). При нелинейной трактовке задачи о движении твердого тела при резонансе ситуация иная. В самом деле, пусть в начальный момент $\varphi=0, \dot{\varphi}=0$. Тогда (с погрешностью, порядок которой не ниже чем $\varepsilon^{3}$ ) и $R=0$ при $t=0$. Следовательно, в интеграле $\mathcal{H}=h$ постоянная $h$ равна нулю и во все время движения
\[
\frac{1}{4} R^{2}+\sqrt{2 R} \cos \Psi=0 .
\]

Учитывая, что $|\cos \Psi| \leqslant 1$, получаем отсюда, что $R \leqslant R_{\max }=2^{5 / 3}$. Если учесть цепочку замен переменных, при помощи которых исходное уравнение движения (37) приведено к приближенной системе (53), то получим, что отклонение угла $\varphi$ от его равновесного значения $\varphi=0$ не превосходит величины $\sqrt{2 R_{\max }} e^{1 / 3}=2 \sqrt[3]{2 e}$.

Решения $R=R_{0}=$ const, $\Psi=\Psi_{0}=$ const системы (53) отвечают $2 \pi$-периодическим колебаниям спутника в исходных переменных. Из (53) следует, что $\Psi_{0}$ может равняться только 0 или $\pi$, а величина $R_{0}$ может быть найдена из уравнения третьей степени
\[
u^{3}+3 c u^{2}+2 b=0 \quad\left(u=\sqrt{2 R_{0}} \cos \Psi_{0}\right) .
\]

Здесь
\[
c=-\frac{4 \mu}{3 \varepsilon^{2}}=-\frac{4 \mu}{3 e^{2 / 3}}, \quad b=2 .
\]

Уравнение (54) имеет один или три вещественных корня в зависимости от того, положителен или отрицателен дискриминант $D=b^{2}+c^{3}$ этого уравнения ${ }^{1}$. Отсюда следует, что при выполнении неравенства
\[
e>\frac{4 \sqrt{3}}{9} \mu^{3 / 2}
\]

существует одно, а при обратном знаке в неравенстве (55) — три периодических движения твердого тела, переходящих при $е=0$ в его равновесное положение $\varphi=0$ в орбитальной системе координат ${ }^{2}$.

Отметим, что при точном резонансе, когда $\mu=0$, существует только одно $2 \pi$-периодическое колебание тела и, согласно (54), амплитуда этого колебания равна $\sqrt[3]{4 e}$.