205. Общее уравнение динамики. Рассмотрим систему $N$ материальных точек $P_{
u}(
u=1,2, \ldots, N)$. Состояние системы в некоторой неподвижной прямоугольной декартовой системе координат задается радиусами-векторами $\boldsymbol{r}_{
u}$ и скоростями $\boldsymbol{v}_{
u}$ ее точек. Система предполагается свободной или несвободной со связями вида (1), (2) из §3 главы 1. Импульсивное движение возникает из-за того, что к точкам системы прикладываются ударные импульсы $\boldsymbol{I}_{
u}$, либо накладываются новые связи, либо снимаются некоторые (или все) из старых связей, либо из-за того, что и то, и другое, и третье осуществляется одновременно.
Ограничения на скорости точек системы задаются (см. равенства $(2),(3)$ из $\S 3$ главы 1) равенствами вида
\[
\sum_{
u=1}^{N} \boldsymbol{B}_{\gamma
u} \cdot \boldsymbol{v}_{
u}+b_{\gamma}=0(\gamma=1,2, \ldots, l) .
\]
Векторы $\boldsymbol{B}_{\gamma
u}$ и скаляры $b_{\gamma}$ – заданные непрерывно дифференцируемые функции $r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{n}$ и $t$. Через $l$ в (1) обозначено общее количество связей системы, голономных и неголономных. Если удар вызван заданными ударными импульсами и при ударе структура системы не изменяется, то $l$ равно числу $r+s$ голономных и неголономных связей системы. Если же при ударе изменяется структура системы (изменяется количество связей), то число $l$ отличается от величины $r+s$.
Если связи стационарные, то величины $b_{\gamma}$ в (1) тождественно равны нулю, а вектор-функции $\boldsymbol{B}_{\gamma
u}$ явно не зависят от $t$.
В дальнейшем также будут рассматриваться связи, для которых величина $b_{\gamma}$ в (1) тождественно равна нулю, но вектор-функции $\boldsymbol{B}_{\gamma
u}$ зависят явно от $t$. Эти связи линейны и однородны по компонентам
векторов скоростей точек системы. Наряду с движениями с возможными скоростями $\boldsymbol{v}_{
u}^{*}$ они допускают движения, для которых скорости всех точек системы имеют противоположные направления $-v_{
u}^{*}$. По этой причине такие связи называют обратимыми ${ }^{1}$.
ПРИмЕР 1. Связь, рассмотренная в примере п. 64 , является обратимой нестационарной связью.
Виртуальные перемещения $\delta \boldsymbol{r}_{
u}$ точек системы определяются следующими уравнениями (см. уравнения (12), (13) из $\S 3$ главы 1):
\[
\sum_{
u=1}^{N} \boldsymbol{B}_{\gamma
u} \cdot \delta \boldsymbol{r}_{
u}=0(\gamma=1,2, \ldots, l)
\]
Ввиду кратковременности процесса удара вектор-функции $\boldsymbol{B}_{\gamma
u}$ в уравнениях (2) можно считать постоянными. Отсюда следует, что векторы виртуальных перемещений $\delta \boldsymbol{r}_{
u}$ могут считаться независящими от времени на промежутке времени удара от $t=t_{0}$ до $t=t_{0}+\tau$.
Пусть $\boldsymbol{R}_{
u}$ – равнодействующая реакций связей, приложенных к точке $P_{
u}$. Все связи системы будем предполагать идеальными во все время удара, т. е считаем, что равенство (10) п. 55 справедливо для любого момента времени из промежутка от $t_{0}$ до $t_{0}+\tau$.
Обозначим через $\boldsymbol{I}_{
u R}$ ударный импульс реакций связей, приложенных к точке $P_{
u}$,
\[
\boldsymbol{I}_{
u R}=\int_{t_{0}}^{t_{0}+\tau} \boldsymbol{R}_{
u} d t .
\]
Тогда интегрирование по $t$ от $t_{0}$ до $t_{0}+\tau$ обеих частей равенства (10) п. 55 , при учете постоянства величин $\delta \boldsymbol{r}_{
u}$, приводит к соотношению
\[
\sum_{
u=1}^{N} \boldsymbol{I}_{
u R} \cdot \delta \boldsymbol{r}_{
u}=0
\]
Пусть $\boldsymbol{I}_{
u}$ – ударный импульс активных сил, приложенных к точке $P_{
u}$. Тогда равенства (3) п. 192 можно записать в виде
\[
m_{
u} \Delta \boldsymbol{v}_{
u}=\boldsymbol{I}_{
u}+\boldsymbol{I}_{
u R}(
u=1,2, \ldots, N) .
\]
Переписав равенства (4) в виде $\boldsymbol{I}_{
u}-m_{
u} \Delta \boldsymbol{v}_{
u}=-\boldsymbol{I}_{
u}$, умножив каждое из них скалярно на $\delta \boldsymbol{r}_{
u}$ и произведя суммирование по $
u$, получим при
учете равенства (3) следующее соотношение:
\[
\sum_{
u=1}^{N}\left(\boldsymbol{I}_{
u}-m_{
u} \Delta \boldsymbol{v}_{
u}\right) \cdot \delta \boldsymbol{r}_{
u}=0 .
\]
Это соотношение является общим уравнением динамики в теории импульсивных движений. пульсами сил инерции. И уравнение (5) может быть прочитано следующим образом: истинное послеударное состояние системы выделяется из всех кинематически возможных тем, что для него и только для него сумма работ активных ударных импульсов и ударных импульсов сил инерции на любых виртуальных перемещениях равна нулю.
Остановимся подробнее на смысле величин $\delta r_{
u}$, входящих в соотношение (5). Если при ударе структура системы не меняется, то величины $\delta \boldsymbol{r}_{
u}$ сохраняют свой обычный смысл: они удовлетворяют уравнениям (12), (13) §3 главы 1 (или эквивалентым им уравнениям (2) данного пункта). Если же при ударе структура системы изменяется, то ситуация несколько сложнее. Поясним это. Пусть $\delta \boldsymbol{r}_{
u}^{-}$- совокупность виртуальных перемещений непосредственно перед ударом и пусть в момент времени $t=t_{0}$ на систему наложена новая идеальная связь, сохраняющаяся и после удара. В системе с изменившейся структурой будет новая совокупность виртуальных перемещений $\delta \boldsymbol{r}_{
u}^{+}$. Из-за наложения новой связи совокупность виртуальных перемещений $\delta \boldsymbol{r}_{
u}^{-}$будет, очевидно, шире совокупности $\delta \boldsymbol{r}_{
u}^{+}$. И для того чтобы в соотношении (5) иметь виртуальные перемещения, пригодные во время всего ударного процесса от $t=t_{0}$ до $t=t_{0}+\tau$, надо в (5) положить $\delta \boldsymbol{r}_{
u}=\delta \boldsymbol{r}_{
u}^{+}$. Иное дело, когда идеальная связь во время удара снимается. В этом случае совокупность виртульных перемещений $\delta \boldsymbol{r}_{
u}^{-}$системы с доударной структурой у́же совокупности $\delta \boldsymbol{r}_{
u}^{+}$, и в (5) следут принять $\delta \boldsymbol{r}_{
u}=\delta \boldsymbol{r}_{
u}^{-}$.
ПРимер 2. Дан ромб ОАВС, образованный четырьмя шарнирно соединенными невесомыми стержнями (см. рис. 157). Шарнир $O$ неподвижно закреплен. $B$ шарнирах $A$ и $C$ помещены точечные массы величины $m$. Iо направлению диагонали ВО к ромбу прикладывается ударный импульс I. Считая угол $\alpha$ заданным, найдем послеударные скорости шарниров $A$ и $C$.
Общее уравнение динамики (5) записывается в виде
\[
\boldsymbol{I} \cdot \delta \boldsymbol{r}_{B}-m \Delta \boldsymbol{v}_{A} \cdot \delta \boldsymbol{r}_{A}-m \Delta \boldsymbol{v}_{C} \cdot \delta \boldsymbol{r}_{C}=0 .
\]
Пусть $l$-длина каждого из стержней. Из рис. 157 имеем:
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{r}_{A}^{\prime}=l(\cos \alpha, \sin \alpha), \quad \boldsymbol{r}_{B}^{\prime}=2 l(\cos \alpha, 0), \\
\boldsymbol{r}_{C}^{\prime}=l(\cos \alpha,-\sin \alpha), \quad \boldsymbol{I}^{\prime}=(-I, 0) .
\end{array}
\]
Поэтому
\[
\begin{array}{l}
\delta \boldsymbol{r}_{A}^{\prime}=l \delta \alpha(-\sin \alpha, \cos \alpha), \\
\delta \boldsymbol{r}_{B}^{\prime}=-2 l \delta \alpha(\sin \alpha, 0), \\
\delta \boldsymbol{r}_{C}^{\prime}=-l \delta \alpha(\sin \alpha, \cos \alpha) .
\end{array}
\]
Пусть $\boldsymbol{v}_{A}^{\prime}=\left(v_{A x}, v_{A y}\right), \boldsymbol{v}_{C}^{\prime}=\left(v_{C x}, v_{C y}\right)$. Тогда
\[
m \Delta \boldsymbol{v}_{A}^{\prime}=m\left(v_{A x}, v_{A y}\right), \quad m \Delta \boldsymbol{v}_{C}^{\prime}=m\left(v_{C x}, v_{C y}\right) .
\]
Переписанное с учетом равенств (7)-(9) соотношение (6) после сокращения на $І \delta \alpha$ приводит к уравнению
\[
2 I \sin \alpha+m\left(v_{A x}+v_{C x}\right) \sin \alpha-m\left(v_{A y}-v_{C y}\right) \cos \alpha=0 .
\]
Но из (7) следует, что $v_{A x}=-l \sin \alpha \dot{\alpha}, v_{A y}=l \cos \alpha \dot{\alpha}, v_{C x}=-l \sin \alpha \dot{\alpha}$, $v_{C y}=-l \cos \alpha \dot{\alpha}$. Отсюда вытекают еще три уравнения
\[
v_{A x}=v_{C x}, \quad v_{A x}=\operatorname{tg} \alpha v_{C y}, \quad v_{A y}=-v_{C y} .
\]
Из системы (10), (11) получим искомые проекции векторов послеударных скоростей шарниров $A$ и $C$ :
\[
v_{A x}=v_{C x}=-\frac{I \sin ^{2} \alpha}{m}, \quad v_{A y}=-v_{C y}=\frac{I \sin 2 \alpha}{2 m} .
\]
206. Принцип Журдена. Так как при ударе координаты точек системы неизменны, а меняются лишь их скорости, то для решения задач теории импульсивных движений более приемлем принцип Журдена (см. $\S 2$ главы 3), а не общее уравнение динамики в форме (5). Приняв такую точку зрения, соотношение (5) следует заменить равенством
\[
\sum_{
u=1}^{N}\left(\boldsymbol{I}_{
u}-m_{
u} \Delta \boldsymbol{v}_{
u}\right) \cdot \delta \boldsymbol{v}_{
u}=0,
\]
где по-прежнему $\Delta \boldsymbol{v}_{
u}=\boldsymbol{v}_{
u}^{+}-\boldsymbol{v}_{
u}^{-}$, а конечные вариации скоростей $\delta \boldsymbol{v}_{
u}$ (в силу равенств (2) п. 205 и (19) из §3 главы 1) удовлетворяют уравнениям
\[
\sum_{
u=1}^{N} \boldsymbol{B}_{\gamma
u} \cdot \delta \boldsymbol{v}_{
u}=0(\gamma=1,2, \ldots, l) .
\]
Соотношение (12) выражает принцип Журдена в теории импульсивных движений: послеударное состояние системы выделяется среди кинематически возможных тем, что для него и только для него выполняется соотношение (12).
Для дальнейшего использования принципа Журдена рассмотрим подробнее вариации $\delta \boldsymbol{v}_{
u}$, входящие в равенство (12). Ограничимся случаем, когда все связи системы являются обратимыми. Тогда величины $b_{\gamma}$ в (1) тождественно равны нулю, а кинематически возможные скорости точек системы определяются из уравнений:
\[
\sum_{
u=1}^{N} \boldsymbol{B}_{\gamma
u} \cdot \boldsymbol{v}_{
u}=0(\gamma=1,2, \ldots, l) .
\]
Если при ударе структура системы не изменяется, то уравнения (13), определяющие вариации скоростей $\delta \boldsymbol{v}_{
u}$, с точностью до обозначения неизвестных совпадают с уравнениями (14), которым удовлетворяют сами скорости $\boldsymbol{v}_{
u}$ точек системы. Поэтому в соотношении (12) вместо $\delta \boldsymbol{v}_{
u}$ можно написать $\boldsymbol{v}_{
u}$, считая вектор $\boldsymbol{v}_{
u}$ любой кинематически возможной скоростью. Соответственно принцип Журдена может быть записан в виде соотношения
\[
\sum_{
u=1}^{N}\left(\boldsymbol{I}_{
u}-m_{
u} \Delta \boldsymbol{v}_{
u}\right) \cdot \boldsymbol{v}_{
u}=0,
\]
где $\Delta \boldsymbol{v}_{
u}=\boldsymbol{v}_{
u}^{+}-\boldsymbol{v}_{
u}^{-}$, а $\boldsymbol{v}_{
u}$ – скорость точки $P_{
u}$ системы в любом состоянии движения, совместимом со связями.
Пусть во время удара на систему наложены новые идеальные обратимые связи. Тогда в (15) $\boldsymbol{v}_{
u}$ – любой вектор скорости, допустимый для системы с наложенными связями.
Если же во время удара происходит снятие идеальной обратимой связи, то в (15) $\boldsymbol{v}_{
u}$ – любой вектор скорости, допустимый для системы до снятия связи.
УпРажнение 5. Рассмотрим покоящуюся систему с идеальными обратимыми связями. Пусть $\boldsymbol{v}_{
u}^{(1)}$ и $\boldsymbol{v}_{
u}^{(2)}$ – скорости точек системы после
приложения ударных импульсов $\boldsymbol{I}_{
u}^{(1)}$ и $\boldsymbol{I}_{
u}^{(2)}$ соответственно. Показать, что после приложения суммарного импульса $\boldsymbol{I}_{
u}=\boldsymbol{I}_{
u}^{(1)}+\boldsymbol{I}_{
u}^{(2)}$ точки системы приобретают скорости $\boldsymbol{v}_{
u}=\boldsymbol{v}_{
u}^{(1)}+\boldsymbol{v}_{
u}^{(2)}$, т. е. суперпозиция импульсов влечет за собой суперпозицию скоростей.
Пример 1. При помощи принципа Журдена найдем послеударную угловую скорость $\omega$ стержня из примера 3 п. 196 (рис. 147).
Положив $\boldsymbol{v}_{
u}=\boldsymbol{v}_{
u}^{+}$и учтя, что $\boldsymbol{v}_{
u}^{-}=0$, а послеударная скорость конца стержня, к которому приложен импульс, равна $\omega l$, получим соотношение (15) в форме равенства $I \omega l-\sum_{
u=1}^{N} m_{
u} v_{
u}^{+2}=0$. Это равенство можно переписать в виде $I \omega l=2 T$, где $T=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} m l^{2} \omega^{2}-$ послеударная кинетическая энергия стержня. Отсюда получаем $\omega=\frac{3 I}{m l}$.
207. Принцип Гаусса. Рассмотрим систему с идеальными связями. Возможные скорости ее точек определяются системой уравнений (1). Пусть к точкам $P_{
u}$ системы в момент $t=t_{0}$ прилагаются заданные активные ударные импульсы $\boldsymbol{I}_{
u}$, или на систему накладываются новые идеальные связи вида (1), или же осуществляется и то и другое одновременно.
Пусть, как обычно, $\boldsymbol{v}_{
u}^{-}$и $\boldsymbol{v}_{
u}^{+}$- векторы скоростей точек системы непосредственно до и после удара, а $\boldsymbol{v}_{
u}$ – вектор любой кинематически возможной скорости точки $P_{
u}$ в момент $t=t_{0}+\tau$ окончания удара.
Пусть
\[
G=\frac{1}{2} \sum_{
u=1}^{N} m_{
u}\left(\boldsymbol{v}_{
u}-\boldsymbol{v}_{
u}^{-}-\frac{\boldsymbol{I}_{
u}}{m_{
u}}\right)^{2} .
\]
Величина $G=G\left(\boldsymbol{v}_{
u}\right)$ является функцией от кинематичеки возможных скоростей $\boldsymbol{v}_{
u}$ точек системы в ее послеударном состоянии.
Справедливо следующее утверждение.
Теорема (Робена). Состояние системы после удара будет таким, для которого функция $G\left(\boldsymbol{v}_{
u}\right)$ имеет наименьшее значение по сравнению с ее значениями, отвечающими всем кинематически возможным послеударным скоростям системы.
Это утверждение аналогично принципу наименьшего принуждения Гаусса в случае конечных сил (см. $\S 3$ главы 3 ), функция (16) является аналогом принуждения $Z$.
Доказательство.
Положим $\boldsymbol{v}_{
u}=\boldsymbol{v}_{
u}^{+}+\delta \boldsymbol{v}_{
u}$ и рассмотрим разность $G\left(\boldsymbol{v}_{
u}\right)-G\left(\boldsymbol{v}_{
u}^{+}\right)$.
Имеем
\[
G\left(\boldsymbol{v}_{
u}\right)-G\left(\boldsymbol{v}_{
u}^{+}\right)=\sum_{
u=1}^{N}\left(m_{
u} \Delta \boldsymbol{v}_{
u}-\boldsymbol{I}_{
u}\right) \cdot \delta \boldsymbol{v}_{
u}+\frac{1}{2} \sum_{
u=1}^{N} m_{
u}\left(\delta \boldsymbol{v}_{
u}\right)^{2},
\]
где $\Delta \boldsymbol{v}_{
u}=\boldsymbol{v}_{
u}^{+}-\boldsymbol{v}_{
u}^{-}$.
Так как $\boldsymbol{v}_{
u}$ и $\boldsymbol{v}_{
u}^{+}$кинематически возможны после удара, то вариации скоростей $\delta \boldsymbol{v}_{
u}$ удовлетворяют уравнениям (13) и справедливо соотношение (12). Следовательно, первая сумма в правой части равенства (17) равна нулю. А так как не все величины $\delta \boldsymbol{v}_{
u}$ равны нулю, то из (17) следует, что $G\left(\boldsymbol{v}_{
u}\right)>G\left(\boldsymbol{v}_{
u}^{+}\right)$. Это и требовалось доказать.
УПРАЖНЕНИЕ 6 (ЭКСТРЕМАЛЬНОЕ СВОЙСТВО УДАРНЫХ ИМПУЛЬСОВ РЕАКций сязЕй). Пусть $\boldsymbol{I}_{
u R}$ – ударные импульсы реакций связей. Показать, что для действительного послеударного состояния системы величина
\[
G=\frac{1}{2} \sum_{
u=1}^{N} \frac{I_{
u R}^{2}}{m_{
u}}
\]
имеет минимальное значение по сравнению с ее значениями для всех кинематически возможных послеударных состояний системы.
Рассмотрим частный случай, когда активные ударные импульсы отсутствуют. Положив в (16) $\boldsymbol{I}_{
u}=0$, получим, что тогда функция
\[
G=\frac{1}{2} \sum_{
u=1}^{N} m_{
u}\left(\boldsymbol{v}_{
u}-\boldsymbol{v}_{
u}^{-}\right)^{2}
\]
имеет минимум при действительных значениях послеударных скоростей $\boldsymbol{v}_{
u}^{+}$из совокупности скоростей $\boldsymbol{v}_{
u}$, кинематически возможных для системы с наложенными связями.
ПРимеР 1. Два одинаковых тонких однородных стержня $A B$ и $B C$ массы $m$ и длины $l$ каждый соединены шарниром $B$ и находятся в покое, составляя одну прямую. Определить послеударное кинематическое состояние стержней вследствие ударного импульса $\boldsymbol{I}$, сообщенного точке $C$ под прямым углом к стержням (рис. 158).
Кинематическое состояние стержней $A B$ и ВC вполне определяется скоростями $v_{1}$ и $v_{2}$ их центров масс и угловыми скоростями $\omega_{1}$ $u \omega_{2}$. Учитывая, что до удара стержни покоились ( $\boldsymbol{v}_{
u}^{-}=0$ ) и пренебрегая в (16) не зависящими от $v_{i}, \omega_{i}(i=1,2)$ слагаемыми, выражение
для функиии $G$ можно записать в виде
\[
G=\frac{1}{2} \sum_{
u=1}^{N} m_{
u} v_{
u}^{2}-\sum_{
u=1}^{N} \boldsymbol{v}_{
u} \cdot \boldsymbol{I}_{
u} .
\]
Пусть $T$ – суммарная кинетическая энергия стержней, а $u$ – скорость точки С после удара. Тогда из (19) получаем
\[
G=T-I u=\frac{1}{2} m\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right)+\frac{1}{24} m l^{2}\left(\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}\right)-I u .
\]
Так как точка $B$ принадлежит как стержню $A B$, так и стержню $B C$, то имеет место кинематическое равенство:
\[
v_{1}+\omega_{1} \frac{l}{2}=v_{2}-\omega_{2} \frac{l}{2} .
\]
Кроме того,
\[
u=v_{2}+\omega_{2} \frac{l}{2} .
\]
С учетем равенств (21), (22) выражение (20) для функции $G$ принимает вид
\[
\begin{aligned}
G= & \frac{1}{2} m\left[v_{2}-\left(\omega_{1}+\omega_{2}\right) \frac{l}{2}\right]^{2}+\frac{1}{2} m v_{2}^{2}+ \\
& +\frac{1}{24} m l^{2}\left(\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}\right)-I\left(v_{2}+\omega_{2} \frac{l}{2}\right) .
\end{aligned}
\]
Условия экстремума функции $G$ дают три уравнения:
\[
\frac{\partial G}{\partial v_{2}}=0, \quad \frac{\partial G}{\partial \omega_{1}}=0, \quad \frac{\partial G}{\partial \omega_{2}}=0 .
\]
Из системы четырех уравнений (21), (24) находим:
\[
v_{1}=-\frac{I}{4 m}, \quad \omega_{1}=-\frac{3 I}{2 m l}, \quad v_{2}=\frac{5 I}{4 m}, \quad \omega_{2}=\frac{9 I}{2 m l} .
\]
Отрицательные знаки у $v_{1}$ и $\omega_{1}$ показывают, что действительные направления скорости центра масс стержня $A B$ и направление его вращения противоположны направлениям, указанным на рис. 158.
ПРимеР 2. Материальная точка массы $m$ покоится на абсолютно гладкой поверхности, задаваемой уравнением $f(x, y, z)=0$. К точке прикладывается ударный импульс $\boldsymbol{I}=\left(I_{x}, I_{y}, I_{z}\right)$. Найдем скорость точки после удара.
Для функции (16) имеем выражение
\[
G=\frac{1}{2} m\left[\left(\dot{x}-\frac{I_{x}}{m}\right)^{2}+\left(\dot{y}-\frac{I_{y}}{m}\right)^{2}+\left(\dot{z}-\frac{I_{z}}{m}\right)^{2}\right] .
\]
Уравнение связи $f(x, y, z)=0$ дает соотношение
\[
\frac{\partial f}{\partial x} \dot{x}+\frac{\partial f}{\partial y} \dot{y}+\frac{\partial f}{\partial z} \dot{z}=0 .
\]
Имеем задачу на условный экстремум: нужно найти точку экстремума функции (25), если переменные $\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}$ связаны соотношением (26). Воспользуемся методом неопределенных множителей Лагранжа. Пусть
\[
F=G-\lambda\left(\frac{\partial f}{\partial x} \dot{x}+\frac{\partial f}{\partial y} \dot{y}+\frac{\partial f}{\partial z} \dot{z}\right),
\]
где $\lambda$ – неопределенный множитель. Условия экстремеума $\frac{\partial F}{\partial \dot{x}}=\frac{\partial F}{\partial \dot{y}}=\frac{\partial F}{\partial \dot{z}}=0$ дают три соотношения
\[
m \dot{x}=I_{x}+\lambda \frac{\partial f}{\partial x}, \quad m \dot{y}=I_{y}+\lambda \frac{\partial f}{\partial y}, \quad m \dot{z}=I_{z}+\lambda \frac{\partial f}{\partial z} .
\]
Вместе с соотношением (26) они образуют систему четырех уравнений относительно четырех неизвестных $\dot{x}=\dot{x}^{+}, \dot{y}=\dot{y}^{+}, \dot{z}=\dot{z}^{+} u \lambda$.
отметим, что величины $\lambda \frac{\partial f}{\partial x}, \lambda \frac{\partial f}{\partial y}, \lambda \frac{\partial f}{\partial z}$ являются проекциями ударного импульса реакии связи на соответствующие кординатные оси.
ПРимер 3. Тонкий однородный стержень длины $l$, занимающий горизонтальное положение, падает поступательно вниз. Он встречает точечное препятствие, отстоящее от концов стержня на расстояниях $\frac{3}{4} l$ и $\frac{1}{4} l$ (рис. 159). Скорость стержня перед ударом равна v. Предполагая удар абсолютно неупругим, найдем послеударное кинематическое Рис. 159 состояние стержня.
Кинематическое состояние стержня после удара полностью определяется его угловой скоростью $\omega$. Активных ударных импульсов нет.
Импульсивное движение возникает только из-за наложения новой связи, внезапной остановки точки $O$ стержня. Так как для каждой точки стержня $\boldsymbol{v}_{
u}^{-}=\boldsymbol{v}$, то для функции $G$ из (18) имеем такое выражение:
\[
G=\frac{1}{2} \sum_{
u=1}^{N} m_{
u} v_{
u}^{2}-\left(\sum_{
u=1}^{N} m_{
u} \boldsymbol{v}_{
u}\right) \cdot \boldsymbol{v}+\frac{1}{2}\left(\sum_{
u=1}^{N} m_{
u}\right) v^{2} .
\]
Пусть $m$ – масса стержня, $\boldsymbol{v}_{C}$ – послеударная скорость его центра масс, а $J_{0}$ – момент инерции стержня относительно точки $O$. Тог$\partial a \sum_{
u=1}^{N} m_{
u}=m, \sum_{
u=1}^{N} m_{
u} \boldsymbol{v}_{
u}=m \boldsymbol{v}_{C}$, a $\frac{1}{2} \sum_{
u=1}^{N} m_{
u} v_{
u}^{2}=\frac{1}{2} J_{0} \omega^{2}-$ кинетическая энергия стержня после удара, и функцию (28) можно представить в виде
\[
G=\frac{1}{2} J_{0} \omega^{2}-m \boldsymbol{v}_{C} \cdot \boldsymbol{v}+\frac{1}{2} m v^{2} .
\]
Но $J_{0}=\frac{7 m l^{2}}{48}, \boldsymbol{v}^{\prime}=(0,-v), \boldsymbol{v}_{C}^{\prime}=\left(0,-\omega \frac{l}{4}\right)$. Поэтому имеем такое окончательное выражение для функции $G$
\[
G=\frac{m}{96}\left(7 \omega^{2} l^{2}-24 \omega v l+48 v^{2}\right) .
\]
Из условия $\frac{\partial G}{\partial \omega}=0$ находим $\omega=\frac{12 v}{7 l}$.
