110. Общие сведения. Понятие о трении. Пусть жесткая поверхность $S$ движется, касаясь неподвижной поверхности $S_{1}$ (рис. 115). Считаем, что поверхности $S$ и $S_{1}$ выпуклы, а их касание происходит в одной точке $O$. При движении поверхности $S$ точка $O$, вообще говоря, перемещается как по $S$, так и по $S_{1}$. Предполагается, что в каждый момент времени через точку $O$ можно провести единственную касательную плоскость к $S$ и $S_{1}$. Очевидно, что скорость $\boldsymbol{v}_{O}$ точки $O$, которой поверхность $S$ касается $S_{1}$, лежит в общей касательной плоскости, проходящей через $O$. Если $\boldsymbol{v}_{O}=0$, то говорят о движении без скольжения. Если же $\boldsymbol{v}_{O}
eq 0$, то говорят о движении со скольжением, а $\boldsymbol{v}_{O}$ называют скоростью скольжения.

Примем точку $O$ за полюс. Тогда движение поверхности $S$ в каждый момент времени можно представить как совокупность поступательного движения со скоростью $\boldsymbol{v}_{O}$ и вращения с угловой скоростью $\boldsymbol{\omega}$ вокруг точки $O$. Разложим вектор $\boldsymbol{\omega}$ на две составляющие $\boldsymbol{\omega}_{B}$ и $\boldsymbol{\omega}_{K}$, где вектор $\boldsymbol{\omega}_{B}$ перпендикулярен общей касательной плоскости, а $\boldsymbol{\omega}_{K}$ лежит в ней; $\omega_{B}$ называют угловой скоростью верчения поверхности $S$, а $\boldsymbol{\omega}_{K}$ — угловой скоростью качения.

Если $\boldsymbol{v}_{O}=0$, то говорят, что поверхность $S$ катится по поверхности $S_{1}$; если при этом $\boldsymbol{\omega}_{B}=0, \boldsymbol{\omega}_{K}
eq 0$, то имеет место чистое качение $S$ по $S_{1}$, а если $\boldsymbol{\omega}_{K}=0, \boldsymbol{\omega}_{B}
eq 0$, то поверхность $S$ совершает верчение. Когда $\boldsymbol{v}_{O}
eq 0$, а $\boldsymbol{\omega}_{B}=0, \boldsymbol{\omega}_{K}=0$, то говорят, что $S$ скользит по $S_{1}$. В общем случае, когда $\boldsymbol{v}_{O}
eq 0, \boldsymbol{\omega}_{B}
eq 0, \boldsymbol{\omega}_{K}
eq 0$, поверхность $S$ скользит, вертится и катится по $S_{1}$.

Действие $S_{1}$ на $S$ проявляется в следующем. 1) На поверхность $S$ действует сила $\boldsymbol{N}$, перпендикулярная общей касательной плоскости и направленная от $S_{1}$ к $S$; эта сила называется нормальной реакцией; для реальных движений $N \geqslant 0$. 2) На $S$ действует сила трения $\boldsymbol{F}$, лежащая в общей касательной плоскости. Согласно законам трения Кулона, величина $F$ не превосходит своего максимально возможного значения, равного $k N$, где $k-$ коэффициент трения. При этом если $\boldsymbol{v}_{O}=0$, то $F<k N$. Величину $\boldsymbol{F}$ в этом случае называют силой трения по-

коя. При $\boldsymbol{v}_{O}
eq 0$ имеет место равенство $F=k N$, а $\boldsymbol{F}$ называют силой трения скольжения ${ }^{1}$.

Иногда приемлема такая идеализация, что поверхности можно считать абсолютно гладкими. Это означает, что величина $k$ настолько мала, что величиной силы трения в рассматриваемой задаче можно пренебречь. Если поверхность $S_{1}$ абсолютно гладкая, то ее воздействие на $S$ сводится к нормальной реакции $\boldsymbol{N}$.

В действительности тела соприкасаются не в одной точке, а по очень малой площадке. Тогда воздействие $S$ на $S_{1}$ уже нельзя считать приводящимся к одной силе (являющейся геометрической суммой нормальной реакции и силы трения). Согласно теореме Пуансо (п. 71), совокупность сил, действующих на $S$ в каждой точке площадки касания, в общем случае будет приводиться к силе и паре. Упомянутая сила снова может быть разложена на сумму нормальной реакции и силы трения, и пару удобно представить также в виде совокупности двух пар. Одна из них имеет момент, коллинеарный $\boldsymbol{\omega}_{B}$, а другая — коллинеарный $\boldsymbol{\omega}_{K}$. Первая пара является парой трения верчения, а вторая — парой трения качения. Трение верчения и трение качения обычно малы по сравнению с трением скольжения, и в прикладных задачах часто учитывается только трение скольжения.
111. Волчок на абсолютно гладкой плоскости. Пусть эллипсоид инерции твердого тела для его центра масс представляет собой эллипсоид вращения. Задача о движении волчка по плоскости состоит в исследовании движения этого тела в поле тяжести в предположении, что одна из точек тела, лежащая на оси динамической симметрии, движется по горизонтальной плоскости. Будем считать, что волчок имеет настолько острый конец, что его можно принять за острие, оканчивающееся точкой $D$. При движении волчка его точка $D$ все время остается на неподвижной горизонтальной плоскости (рис. 116).

Будем считать, что плоскость является абсолютно гладкой. Тогда ее воздействие на волчок сводится к реакции $\boldsymbol{N}$, имеющей вертикальное направление. Так как активная сила — сила тяжести — также направлена по вертикали, то на основании теоремы о движении центра инерции (п. 86) получаем, что проекция центра масс $G$ на горизонтальную плоскость движется равномерно и прямолинейно. Без ограничения общности будем считать ее неподвижной; тогда центр масс движется по заданной вертикали.

Выберем неподвижную систему $O X Y Z$ так, чтобы ось $O Z$ была вертикальной и проходила через центр масс волчка, а плоскость $O X Y$

совпадала с горизонтальной плоскостью, на которую при движении опирается волчок своей точкой $D$ (рис. 116).
Ориентация волчка относительно неподвижной системы координат задается углами Эйлера $\psi, \theta, \varphi$.
Пусть $m$ — масса волчка, $l$ расстояние от центра масс $G$ до точки $D$, которой волчок касается плоскости, $C$ — момент инерции волчка относительно оси динамической симметрии $G z, A$ и $B(A=B)$ — моменты инерции волчка относительно двух любых жестко связанных с волчком взаимно перпендикулярных и перпендикулярных $G z$ осей $G x$ и $G y$. Для расстояния $h$ центра масс волчка от опорной плоскости имеем выражение: $h=l \cos \theta$.
Рис. 116
Так как $A=B$ и внешние силы (реакция плоскости и сила тяжести) не создают момента относительно оси $G z$, то из третьего уравнения системы динамических уравнений Эйлера (формулы (4) п. 97) следует, что проекция $r$ угловой скорости $\boldsymbol{\omega}$ волчка на ось его динамической симметрии является постоянной, т. е. имеет место первый интеграл
\[
r=r_{0}=\text { const. }
\]

Пусть, как обычно, $p$ и $q$ — проекции $\boldsymbol{\omega}$ на оси $G x$ и $G y$. Так как внешние силы направлены вертикально и, следовательно, не создают момента относительно вертикальной оси $O Z$, то из теоремы об изменении кинетического момента (п. 87) вытекает постоянство проекции кинетического момента волчка относительно центра масс на вертикаль:
\[
A p \gamma_{1}+A q \gamma_{2}+C r \gamma_{3}=\text { const, }
\]

где величины $\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}$ вычисляются по формулам (30) п. 105. Используя кинематические уравнения Эйлера (формулы (5) п. 97) и соотношение (9), последнее равенство можно записать в виде
\[
A \sin ^{2} \theta \dot{\psi}+C r_{0} \cos \theta=\text { const. }
\]

Далее, поскольку связь, наложенная на волчок ( $h=l \cos \theta$ ), стационарна и идеальна, а активные силы имеют потенциал $\Pi=m g h$, не зависящий

явно от времени, то полная механическая энергия постоянна (п. 88):
\[
E=T+\Pi=\text { const. }
\]

Здесь $T$ — кинетическая энергия волчка, которая, согласно теореме Кенига (п. 83), вычисляется по формуле
\[
T=\frac{1}{2} m v_{G}^{2}+\frac{1}{2} A\left(p^{2}+q^{2}\right)+\frac{1}{2} C r^{2},
\]

где $v_{G}=\dot{h}$ — скорость центра масс волчка. Используя кинематические уравнения Эйлера, соотношение (9) и равенство $\dot{h}=-l \sin \theta \dot{\theta}$, запишем интеграл энергии в виде
\[
\left(A+m l^{2} \sin ^{2} \theta\right) \dot{\theta}^{2}+A \sin ^{2} \theta \dot{\psi}^{2}+2 m g l \cos \theta=\text { const. }
\]

Интегралы (9)-(11) позволяют свести решение задачи о движении волчка к квадратурам. Мы не будем исследовать движение во всей полноте, а рассмотрим только один частный случай. Пусть в начальный момент волчок закручен вокруг оси симметрии и поставлен на плоскость без начальной скорости центра масс и пусть в начальный момент ось симметрии волчка наклонена к вертикали под углом $\theta_{0}$. Это означает, что при $t=0$ выполнены равенства
\[
\dot{\psi}=0, \quad \dot{\theta}=0, \quad \theta=\theta_{0}, \quad \dot{\varphi}=r_{0} .
\]

Кроме того, как мы предположили с самого начала, проекция центра масс на плоскость $O X Y$ имеет скорость, равную нулю.

Для таких начальных данных интегралы (10) и (11) можно переписать в следующем виде:
\[
\begin{array}{c}
A \sin ^{2} \theta \dot{\psi}=C r_{0}\left(\cos \theta_{0}-\cos \theta\right), \\
\left(A+m l^{2} \sin ^{2} \theta\right) \dot{\theta}^{2}+A \sin ^{2} \theta \dot{\psi}^{2}=2 m g l\left(\cos \theta_{0}-\cos \theta\right) .
\end{array}
\]

Из (12) находим
\[
\dot{\psi}=\frac{C r_{0}\left(\cos \theta_{0}-\cos \theta\right)}{A \sin ^{2} \theta} .
\]

Используя (14), интеграл (13) можно записать в виде
\[
A \sin ^{2} \theta\left(A+m l^{2} \sin ^{2} \theta\right) \dot{\theta}^{2}=f(\theta),
\]

где
\[
f(\theta)=\left(\cos \theta_{0}-\cos \theta\right)\left[2 A m g l \sin ^{2} \theta-C^{2} r_{0}^{2}\left(\cos \theta_{0}-\cos \theta\right)\right] .
\]

Левая часть равенства (15) неотрицательна. Поэтому угол $\theta$ может принимать только такие значения, для которых $f(\theta) \geqslant 0$. Отсюда следует, что $\theta \geqslant \theta_{0}$, так как при $\theta<\theta_{0}$ функция $f(\theta)$ представляет собой произведение двух сомножителей, имеющих противоположные знаки. Угол $\theta$ колеблется между $\theta_{0}$ и значением $\theta_{1}$, являющимся ближайшим к $\theta_{0}$ корнем уравнения $f(\theta)=0$. Отметим, что $\theta_{1}<\pi$, так как $f(\pi)=-\left(1+\cos \theta_{0}\right)^{2} C^{2} r_{0}^{2}<0$. Таким образом, при движении волчка выполняются неравенства $\theta_{0} \leqslant \theta \leqslant \theta_{1}<\pi$. Длина отрезка $O D$ (рис. 116) все время удовлетворяет неравенствам
\[
l \sin \theta_{0} \leqslant O D \leqslant l \sin \theta_{1} .
\]

Поэтому траектория точки $D$ на опорной плоскости заключена между двумя концентрическими окружностями радиусов $l \sin \theta_{0}$ и $l \sin \theta_{1}$ с центром в точке $O$.

Из (14) следует, что когда $\theta$ принимает во время движения свое начальное значение $\theta_{0}$, то $\dot{\psi}=0$. Отсюда вытекает, что траектория точки $D$ имеет на внутренней окружности радиуса $l \sin \theta_{0}$ точки возврата (рис. 116).

Если начальная угловая скорость $r_{0}$ вращения волчка вокруг оси симметрии велика, то угол $\theta$ мало отличается от своего начального значения. Действительно, приравняв нулю квадратную скобку в выражении (16) для функции $f\left(\theta_{1}\right)$, получим, что с погрешностью порядка $1 / r_{0}^{3}$ угол $\theta_{1}$ будет вычисляться по формуле
\[
\theta_{1}=\theta_{0}+\frac{2 A m g l \sin \theta_{0}}{C^{2} r_{0}^{2}} .
\]

Отсюда видно, что $\theta_{1}$, а следовательно, и $\theta$ сколь угодно близки к $\theta_{0}$, если величина $r_{0}$ достаточно велика.
112. Влияние трения на движение волчка. В действительности неподвижная плоскость, на которую опирается волчок, не является абсолютно гладкой, а волчок заканчивается не острием, а поверхностью вращения, более или менее заостренной, так что точка касания $D$ волчка и плоскости не лежит на оси симметрии. По этим причинам движение волчка будет иным, нежели то движение, которое описано в п. 111.

Один из самых интересных эффектов влияния силы трения состоит в том, что эта сила может приблизить ось симметрии волчка к вертикали. Рассмотрим этот эффект с качественной стороны, опираясь на теорему об изменении кинетического момента. Пусть волчок быстро вращается вокруг оси симметрии и без начальной скорости центра масс поставлен на плоскость так, что его ось симметрии составляет с вертикалью некоторый ненулевой острый угол $\theta_{0}$.

Кинетический момент $\boldsymbol{K}$ волчка относительно центра масс в начальный момент направлен как показано на рис. 117 . Пусть $D$ — точка ножки волчка, которой он касается опорной плоскости. Ножка теперь уже не принимается за острие. Сила трения $\boldsymbol{F}$ направлена в сторону, противоположную скорости точки $D$. Момент $\boldsymbol{M}$ силы трения относительно центра масс направлен перпендикулярно плоскости, проходяшей через центр масс $G$ и вектор $\boldsymbol{F}$. Вектор $\boldsymbol{M}$ можно представить в виде суммы $\boldsymbol{M}_{1}+\boldsymbol{M}_{2}$, где вектор $\boldsymbol{M}_{1}$ перпендикулярен $\boldsymbol{K}$, а вектор $\boldsymbol{M}_{2}$ коллинеарен вектору $\boldsymbol{K}$, но (в ситуации, представленной на рис. 117) направлен противоположно $\boldsymbol{K}$. По теореме об измене-
Рис. 117
нии кинетического момента скорость конца вектора $\boldsymbol{K}$ равна $\boldsymbol{M}$. Отсюда следует, что вектор $\boldsymbol{K}$, уменьшаясь по величине (из-за наличия составляющей $\boldsymbol{M}_{2}$ момента силы трения), стремится занять вертикальное положение (из-за наличия составляющей $\boldsymbol{M}_{1}$ момента силы трения). Таким образом, вектор $\boldsymbol{K}$, а вместе с ним и ось симметрии волчка под влиянием трения стремятся к вертикали. Если действие трения будет достаточно продолжительным, то ось волчка может в конце концов занять строго вертикальное положение и останется в этом положении неподвижной. В этом случае говорят, что волчок «спит».
113. Движение однородного шара по плоскости при наличии трения. Пусть однородный шар массой $m$ и радиусом $a$ движется по неподвижной шероховатой горизонтальной плоскости. Введем две системы координат: неподвижную $O X Y Z$ с вертикальной осью $O Z$ и началом $O$, совпадающим с произвольной точкой опорной плоскости, и поступательно движущуюся $G X Y Z$ с началом в центре масс шара $G$ и осями, параллельными соответРис. 118 ствующим осям неподвижной системы координат (рис. 118).

Реакцию плоскости $\boldsymbol{R}$ представим в виде суммы двух сил: $\boldsymbol{R}=\boldsymbol{N}+\boldsymbol{F}$, где $\boldsymbol{N}$ — нормальная реакция плоскости, а $\boldsymbol{F}$ — сила трения. Если $\boldsymbol{\omega}$ — угловая скорость шара, а $\boldsymbol{v}_{G}$ — скорость центра масс,

то скорость $\boldsymbol{v}_{D}$ точки $D$ шара, которой он касается плоскости, вычисляется но формуле
\[
\boldsymbol{v}_{D}=\boldsymbol{v}_{G}+\boldsymbol{\omega} \times \overline{G D} .
\]

Сила трения скольжения определяется соотношением
\[
\boldsymbol{F}=-k N \boldsymbol{u},
\]

где $k$ — коэффициент трения, $\boldsymbol{u}$ — единичный вектор, направленный вдоль скорости точки $D: \boldsymbol{v}_{D}=v_{D} \boldsymbol{u}$.
Из теоремы о движении центра инерции имеем
\[
m \frac{d \boldsymbol{v}_{G}}{d t}=m g+\boldsymbol{R} .
\]

Пусть $\boldsymbol{K}_{G}$ — кинетический момент шара относительно центра масс. Тогда, учитывая, что момент инерции однородного шара радиусом $a$ и массой $m$ относительно любого диаметра равен $\frac{2}{5} m a^{2}$, имеем
\[
\boldsymbol{K}_{G}=\frac{2}{5} m a^{2} \boldsymbol{\omega} .
\]

Теорема об изменении кинетического момента для движения относительно центра масс дает уравнение
\[
\frac{d \omega}{d t}=\frac{5}{2 m a^{2}} \overline{G D} \times \boldsymbol{R} .
\]

Пусть $\mathrm{X}_{G}, Y_{G}, Z_{G}$ — координаты центра масс в системе $O X Y Z$, а $F_{X}, F_{Y}$ — проекции силы трения на оси $O X$ и $O Y$. Уравнения (11) в скалярной форме запишутся в виде
\[
\frac{d^{2} X_{G}}{d t^{2}}=\frac{1}{m} F_{X}, \quad \frac{d^{2} Y_{G}}{d t^{2}}=\frac{1}{m} F_{Y}, \quad \frac{d^{2} Z_{G}}{d t^{2}}=-g+\frac{1}{m} N .
\]

Так как $Z_{G}=a=$ const, то последнее из этих уравнений даст $N=m g$, т. е. нормальная реакция плоскости равна весу шара, причем этот вывод не зависит от того, скользит шар по плоскости ( $\boldsymbol{v}_{D}
eq 0$ ) или нет $\left(v_{D}=0\right)$.

Если $\omega_{X}, \omega_{Y}, \omega_{Z}$ — проекции вектора $\boldsymbol{\omega}$ на оси $G X, G Y, G Z$, то векторное уравнение (21) дает следующие три скалярных уравнения:
\[
\frac{d \omega_{X}}{d t}=\frac{5}{2 m a} F_{Y}, \quad \frac{d \omega_{Y}}{d t}=-\frac{5}{2 m a} F_{X}, \quad \frac{d \omega_{Z}}{d t}=0 .
\]

Последнее из этих уравнений показывает, что при движении шара проекция его угловой скорости на вертикаль остается постоянной. Это заключение имеет место независимо от наличия или отсутствия скольжения шара.

Пусть в начальный момент $\boldsymbol{v}_{D}
eq 0$, т. е. имеется скольжение. Так как $N=m g$, то из (18) получаем, что при наличии скольжения шара сила трения постоянна по величине: $F=k m g$. Покажем, что она постоянна и по направлению. Для этого продифференцируем обе части равенства (17) по времени и воспользуемся уравнениями (19), (21) и равенствами $\boldsymbol{R}=-m \boldsymbol{g}+\boldsymbol{F}, \overline{G D}=\frac{a}{g} g$. Получим
\[
\frac{d \boldsymbol{v}_{D}}{d t}=\frac{7}{2 m} \boldsymbol{F} .
\]

Заменив здесь $\boldsymbol{v}_{D}$ на $v_{D} \boldsymbol{u}$, а $\boldsymbol{F}$ — на правую часть равенства (18), получим
\[
\frac{d v_{D}}{d t} \boldsymbol{u}+v_{D} \frac{d \boldsymbol{u}}{d t}=-\frac{7}{2} \text { kgu } .
\]

Так как $\boldsymbol{u}$ — единичный вектор, то вектор $d \boldsymbol{u} / d t$ перпендикулярен $\boldsymbol{u}$. Поэтому из (25) следует, что
\[
\frac{d \boldsymbol{u}}{d t}=0 \quad \text { и } \quad \frac{d v_{D}}{d t}=-\frac{7}{2} k g .
\]

Таким образом, вектор $\boldsymbol{u}$ имеет постоянное направление и, следовательно, сила трения постоянна:
\[
\boldsymbol{F}=-k m g \boldsymbol{u} .
\]

Величина скорости точки $D$, согласно (26), изменяется во времени по закону
\[
v_{D}(t)=v_{D}(0)-\frac{7}{2} k g t .
\]

Если обозначить через $\alpha$ постоянный угол, который составляет скорость точки $D$ с осью $O X$, то из первых двух уравнений (22), получим
\[
\begin{array}{l}
X_{G}(t)=-\frac{1}{2} k g \cos \alpha \cdot t^{2}+\dot{X}_{G}(0) t+X_{G}(0), \\
Y_{G}(t)=-\frac{1}{2} k g \sin \alpha \cdot t^{2}+\dot{Y}_{G}(0) t+Y_{G}(0) .
\end{array}
\]

Первые два уравнения из (23) дают
\[
\omega_{X}(t)=\omega_{X}(0)-\frac{5 k g \sin \alpha}{2 a} t, \quad \omega_{Y}(t)=\omega_{Y}(0)+\frac{5 k g \cos \alpha}{2 a} t .
\]

Из (29) следует, что если в начальный момент скорость центра масс и скорость точки касания не коллинеарны, то на стадии движения со скольжением центр шара движется по параболе. Согласно (28), такое движение происходит до момента $t=t_{*}$ где
\[
t_{*}=\frac{2 v_{D}(0)}{7 k g} .
\]

При $t=t_{*}$ имеем $\boldsymbol{v}_{D}=0$; скольжение прекращается и начинается стадия качения шара (с верчением). Так как $\boldsymbol{v}_{D}=0$, то из (24) следует, что на стадии качения сила трения равна нулю. Из (22) тогда получаем, что центр масс движется по прямой. Согласно (23), угловая скорость $\boldsymbol{\omega}$ шара при качении постоянна по величине и направлению. Точка $D$ на плоскости движется по прямой, а на поверхности шара — по неизменной окружности, плоскость которой перпендикулярна вектору $\boldsymbol{\omega}$.

При переходе в режим качения центр шара движется по касательной к параболе (29). Если эта касательная составляет тупой угол с начальной скоростью центра шара, то шар может повернуть назад: явление, хорошо известное игрокам на бильярде.
114. Об уравнениях движения тяжелого тела произвольной выпуклой формы. Пусть тело движется по неподвижной горизонтальной плоскости, опираясь на нее одной точкой своей выпуклой поверхности, не имеющей заострений и ребер. Движение происходит в поле тяжести.
Движение тела будем изучать по отношению к неподвижной системе координат $O X Y Z$ с началом в некоторой точке опорной горизонтальной плоскости и осью $O Z$, направленной вертикально вверх (рис. 119). Единичный вектор этой оси обозначим $\boldsymbol{n}$. С движущимся телом жестко свяжем систему координат $G x y z$ с началом в центре масс тела и осями, направленными вдоль главных центральных осей инерции. Радиус-вектор $\rho$ точки $D$, которой тело касается плоскости, относительно центра масс имеет в

системе координат $G x y z$ компоненты $x, y, z$. Уравнение поверхности, ограничивающей тело, в системе координат $G x y z$ запишем в виде
\[
f(x, y, z)=0,
\]

выбрав знак функции $f$ так, чтобы совпадающий с $\boldsymbol{n}$ единичный вектор внутренней нормали к поверхности (32) в точке $D$ вычислялся по формуле
\[
\boldsymbol{n}=-\frac{\operatorname{grad} f}{|\operatorname{grad} f|} .
\]

Пусть $m$ — масса тела, $g$ — ускорение свободного падения, $\boldsymbol{v}-$ скорость центра масс, $\boldsymbol{\omega}$ — угловая скорость тела, $\boldsymbol{K}$ — его кинетический момент относительно центра масс, а $\boldsymbol{R}$ — реакция плоскости. Уравнения движения тела можно записать в виде двух векторных уравнений:
\[
\dot{\boldsymbol{v}}+\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{v}=-g \boldsymbol{n}+\frac{1}{m} \boldsymbol{R}
\]

и
\[
\dot{\boldsymbol{K}}+\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{K}=\boldsymbol{\rho} \times \boldsymbol{R},
\]

выражающих теоремы об изменении количества движения и кинетического момента. В $(34),(35)$ точкой обозначается дифференцирование по времени в подвижной системе координат Gxyz.

Вектор $\boldsymbol{n}$ постоянен относительно неподвижной системы координат $O X Y Z$, поэтому он удовлетворяет уравнению Пуассона (см. п. 105)
\[
\dot{\boldsymbol{n}}+\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{n}=\mathbf{0} .
\]

Уравнения (34)-(36) справедливы и для движения без скольжения, и для случая движения со скольжением при наличии трения, и для абсолютно гладкой плоскости. Дополнительные к (34)-(36) уравнения, отражающие характер взаимодействия тела и плоскости, для каждого из этих случаев различны.

Пусть движение происходит без скольжения. Тогда скорость точки $D$ касания тела и плоскости равна нулю. Это приводит к такому векторному уравнению связи:
\[
\boldsymbol{v}+\boldsymbol{\omega} \times \rho=0 .
\]

Уравнения (34)-(37) с учетом (32), (33) представляют собой полную систему уравнений, позволяющую определить двенадцать неизвестных

величии: $v_{x}, v_{y}, v_{z}, p, q, r, x, y, z, R_{x}, R_{y}, R_{z}$ — компонент векторов $\boldsymbol{v}, \boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{\rho}, \boldsymbol{R}$ в подвижной системе координат $G x y z$.

Из теоремы об изменении кинетической энергии следует, что при отсутствии скольжения полная механическая энергия тела постоянна, т. e.
\[
E=\frac{1}{2} m v^{2}+\frac{1}{2}(\boldsymbol{K} \cdot \boldsymbol{\omega})-m g(\boldsymbol{\rho} \cdot \boldsymbol{n})=\text { const. }
\]

Пусть теперь плоскость абсолютно гладкая. Тогда реакция $\boldsymbol{R}$ ортогональна плоскости:
\[
\boldsymbol{R}=N \boldsymbol{n} .
\]

Уравнение связи выражает условие того, что скорость точки $D$ тела направлена горизонтально и имеет вид
\[
\boldsymbol{n} \cdot(\boldsymbol{v}+\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{\rho})=\mathbf{0} .
\]

Пусть $X_{G}, Y_{G}, Z_{G}$ — координаты центра масс в неподвижной системе $O X Y Z$. Соотношение (40) может быть также представлено в форме равенства
\[
\dot{Z}_{G}=-\boldsymbol{n} \cdot(\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{\rho}),
\]

которое, как нетрудно видеть, является следствием геометрической связи $Z_{G}=-(\boldsymbol{\rho} \cdot \boldsymbol{n})$.

Уравнения (34), записанные в системе координат $O X Y Z$, имеют вид
\[
\ddot{X}_{G}=0, \quad \ddot{Y}_{G}=0, \quad \ddot{Z}_{G}=-g+\frac{N}{m} .
\]

Из первых двух уравнений следует, что в случае абсолютно гладкой плоскости проекция центра масс тела на опорную плоскость движется равномерно и прямолинейно. А третье уравнение с учетом соотношений (41) и (36) позволяет найти выражение для величины нормальной реакции:
\[
N=m g-m \boldsymbol{n} \cdot[\dot{\boldsymbol{\omega}} \times \boldsymbol{\rho}+\boldsymbol{\omega} \times \dot{\boldsymbol{\rho}}+\boldsymbol{\omega} \times(\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{\rho})] .
\]

Уравнения (35), (36) с учетом (32), (33), (39), (43) образуют систему уравнений для нахождения шести неизвестных $p, q, r, x, y, z$. Когда эти величины найдены, реакция и закон движения центра масс тела по вертикали определяются из (43) и (42).

Отметим, что в случае абсолютно гладкой плоскости помимо интеграла энергии (38) и указанных выше интегралов, связанных с движением проекции центра масс на опорную плоскость, есть еще интеграл, выражающий постоянство проекции кинетического момента тела на вертикаль:
\[
\boldsymbol{K} \cdot \boldsymbol{n}=\text { const. }
\]

Этот интеграл следует из теоремы об изменении кинетического момента, так как внешние силы, действующие на тело (сила тяжести и реакция плоскости), направлены вертикально и не создают момента относительно вертикальной оси, проходящей через центр масс тела.

Рассмотрим теперь случай движения тела со скольжением при наличии трения, подчиняющегося законам Кулона. Пусть $\boldsymbol{v}_{D}=\boldsymbol{v}+\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{\rho}$ — скорость точки $D$ шара и $\boldsymbol{v}_{D}
eq 0$. Тогда реакцию плоскости $\boldsymbol{R}$ можно представить в виде
\[
\boldsymbol{R}=N \boldsymbol{n}+\boldsymbol{F},
\]

где $N \boldsymbol{n}$ — нормальная реакция плоскости, а $\boldsymbol{F}$ — сила трения, которая при заданном коэффициенте трения $k$ определяется равенством
\[
\boldsymbol{F}=-k N \frac{\boldsymbol{v}_{D}}{v_{D}} .
\]

Уравнение связи, как и в случае абсолютно гладкой плоскости, записывается в виде равенства (41), а величина нормальной реакции вычисляется по формуле (43).

При исследовании движения во всех трех рассмотренных случаях следует иметь в виду, что величина нормальной реакции плоскости должна быть неотрицательной. В противном случае возможен подскок тела над плоскостью.