221. Изоэнергетическое варьирование. Рассмотрим голономную консервативную или обобщенно консервативную систему. Ее функция Гамильтона не зависит от времени, и существует обобщенный интеграл энергии
$$H(q_1,\dots ,q_n,p_1,\dots ,p_n)=h.$$

Движение системы будем представлять в $n$-мерном координатном пространстве $q_1,\dots ,q_n{}^1$. Пусть $A_0$ и $A_1$ — точки этого пространства, задаваемые соответственно координатами $q_i^0$ и $q_i^1(i=1,2,\dots ,n)$. Пусть в начальный момент времени $t=t_0$ система занимает положение, отвечающее точке $A_0$, и обобщенные скорости ${\dot{q}}_i$ (а, следовательно, и обобщенные импульсы $p_i$ ) могут быть выбраны так, что при $t=t_1$ система займет положение, отвечающее точке $A_1$. Проходящую через точки $A_0$ и $A_1$ кривую
$$q_i=q_i(t)(i=1,2,\dots ,n),$$

вдоль которой удовлетворяются дифференциальные уравнения движения, назовем прямым путем системы (см. рис. 171, где $n=3$ ). На прямом пути функция Гамильтона постоянна и равна $h$, где величина $h$ определяется начальными условиями.

Наряду с прямым путем рассмотрим другие кинематически возможные пути, бесконечно близкие к прямому. Эти пути будем называть окольными путями, если они: 1) проходят через одни и те же начальные и конечные положения $A_0$ и $A_1;2$ ) вдоль каждого окольного пути функция Гамильтона постоянна и равна величине $h$, отвечающей прямому пути.

При таком изоэнергетическом варьировании время $t_1-t_0$ перехода системы из начального положения в конечное не обязательно одинаково для прямого и окольных путей. Пусть, например, материальная точка массой $m$ движется в отсутствие сил в плоскости Oxy. За движение по прямому пути примем прямолинейное движение вдоль оси $Ox$. В начальный момент времени $t=0$ точка находится в начале координат $O$. Тогда на прямом пути $x=\sqrt{\frac{2h}{m}}t$. Из Рис. 171 интеграла энергии $\frac{m}{2}({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2)=h$ следует, что на окольном пути выполняется неравенство $\dot{x}⩽\sqrt{\frac{2h}{m}}$. Следовательно, по окольному пути невозможно прийти за одинаковое время $t_1$ в то же положение, что и на прямом пути, если постоянная $h$ одинакова для прямого и окольного путей.

Рассматриваемый в этом параграфе принцип Мопертюи-Лагранжа дает критерий, позволяющий выделить прямой путь среди всех окольных, удовлетворяющих упомянутым выше свойствам 1 и 2.
222. Принцип Мопертюи-Лагранжа. При заданной константе энергии $h$ уравнения движения консервативной или обобщенно консервативной системы могут быть записаны в форме уравнений Якоби (см. уравнения (36) п. 152). Эти уравнения имеют форму уравнений Лагранжа второго рода, где в качестве функции Лагранжа $L$ выступает функция Якоби $P$, а роль независимой переменной играет обобщенная координата $q_1$. По аналогии с действием $S$ по Гамильтону введем ${}^1$ действие по Лагранжу:
$$W={\int }_{q_1^0}^{q_1^1}Pd{q}_1.$$

В предыдущем параграфе показано, что уравнения Лагранжа второго рода эквивалентны принципу Гамильтона-Остроградского, выражающемуся в стационарности действия по Гамильтону на прямом пути системы (см. равенство (17) п. 219). Аналогично, уравнения Якоби эк-

вивалентны условию стационарности действия по Лагранжу
$$\delta W=0.$$

Равенство (4) выражает принцип Мопертюи-Лагранжа, заключающийся в том, что среди всех кинематически возможных путей, удовлетворяющих условиям, описанным в предыдущем пункте, прямой путь выделяется тем, что для него действие по Лагранжу имеет стационарное значение.

Вопрос об экстремальных свойствах действия по Лагранжу решается точно так же, как и для принципа Гамильтона-Остроградского при помощи рассмотрения сопряженных кинетических фокусов.

Отметим, что в интеграле (3) полностью исключено время, и принцип (4) содержит только геометрические элементы. В такой форме принцип Мопертюи-Лагранжа впервые был представлен Якоби. Поэтому приведенную выше формулировку принципа Мопертюи-Лагранжа часто называют принципом наименьшего действия Якоби.

Пусть система консервативна. Тогда функция Якоби $P$ вычисляется по формуле (38) п. 152 и действие по Лагранжу может быть преобразовано к виду
$$W={\int }_{q_1^0}^{q_1^1}\frac{2T}{{\dot{q}}_1}d{q}_1={\int }_{t_0}^{t_1}2Tdt.$$

При применении принципа Мопертюи-Лагранжа в форме (4), (5) следует помнить, что в (5) время $t_1$ не фиксируется, а может изменяться при переходе от прямого пути к окольному и от одного окольного пути к другому окольному. Кроме того, полная энергия $T+\mathrm{\Pi }$ одна и та же на всех сравниваемых путях.
Выражение (5) для действия по Лагранжу можно записать иначе:
$$W={\int }_{t_0}^{t_1}\sum _{u=1}^N{m}_u{v}_u^{2}dt=\sum _{u=1}^N{\int }_{s_u^0}^{s_u^1}{m}_u{v}_{u}d{s}_u,$$
т. е. для консервативной системы действие по Лагранжу равно сумме работ количеств движения точек системы на соответствующих их перемещениях.
ПРИМЕР 1 (ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ ПО ИНЕРЦИИ НА ГЛАДКОЙ поверхНоСтИ ${}^1$ ). Пусть материальная точка массой $m$ движется по гладкой неподвижной поверхности под влиянием начального толчка в

отсутствие поля сил ( $\mathrm{\Pi }=0$ ). Тогда $v=v_0=$ const и из (6) получаем, что
$$W=m{v}_{0}l,$$

где $l$ — пройденный точкой путь. Из принципа Якоби следует, что $\delta l=0$, m. е. движение точки на поверхности происходит по геодезической кривой ${}^1$.

Если начальная и конечная точки $A_0$ и $A_1$ близки одна к другой, то действие $W$ минимально и геодезическая является кратчайшей кривой, лежащей на поверхности и соединяющей точки $A_0$ и $A_1$.

Вопрос о минимальности действия решается в каждом конкретном случае при помощи привлечения кинетических фокусов. Если точка движется по развертывающейся поверхности (т. е. по поверхности, которую после изгибания можно наложить на плоскость), например по конусу или цилиндру, то действие $W$ на прямом пути обязательно будет минимальным, так как на плоскости прямые, проходящие через одну и ту же точку, никогда вновь не пересекаются (и, следовательно, кинетические фокусы отсутствуют).

ПРИМЕР 2 (ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ В оДНОРОДНОМ ПОЛЕ ТЯжЕСти²). Эта задача была рассмотрена в п. 219 для иллюстрация принципа Гамильтона-Остроградского. Здесь мы ее применяем для иллюстрации принципа Мопертюи-Лагранжа, что поможет яснее представить разницу между этими принципами.

Прямой путь представляет собой параболу, задаваемую уравнением (18) п. 219. За окольный путь опять примем отрезок ОВ, лежащий на оси Ох (рис. 167). Угол $\alpha$ считаем малым, так что прямой и окольный пути близки один к другому. Д.ия обоих движений П $=mgz$.

Так как полная механическая энергия $T+$ П должна быть одинаковой для прямого и окольного путей, то начальные скорости точки для обоих движений одинаковы и равны $v_0$. Но если на прямом пути время $t_1$ движения точки определяется равенством (19) n. 219, то для окольного пути оно будет иным и вычисляется по формуле
$$t_1=\frac{OB}{v_0}=\frac{2v_0\sin \alpha \cos \alpha }{g}.$$

Для параболического движения
$$T=\frac{1}{2}m({\dot{x}}^2+{\dot{z}}^2)=\frac{1}{2}m(v_0^2-2v_0\sin \alpha gt+g^2{t}^2),$$

а для прямолинейного движения
$$T=\frac{1}{2}m{v}_0^2.$$

Действие по Лагранжу для движения по параболе
$$W=2{\int }_0^{t_1}Tdt=\frac{2m{v}_0^3\sin \alpha }{g}(1-\frac{2}{3}{\sin }^2\alpha ),$$

а для движения по прямой
$$\begin{array}{rl}W& =\frac{2m{v}_0^3\sin \alpha }{g}\cos \alpha =\frac{2m{v}_0^3\sin \alpha }{g}\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=\\ & =\frac{2m{v}_0^3\sin \alpha }{g}(1-\frac{1}{2}{\sin }^2\alpha -\frac{1}{8}{\sin }^4\alpha -\dots ),\end{array}$$

где многоточием обозначены члены выше четвертой степени относительно $\sin \alpha$.

При достаточно малых значениях $\alpha$ величина (8) меньше величины (9), т. е. действие по Лагранжу на прямом пути меньше, чем на окольном.
223. Принцип Якоби и геодезические линии в координатном пространстве. Рассмотрим консервативную систему с $n$ степенями свободы. Ее кинетическая энергия — определенно положительная квадратичная форма обобщенных скоростей
$$T=\frac{1}{2}\sum _{i,k=1}^n{a}_{ik}(q_1,\dots ,q_n){\dot{q}}_i{\dot{q}}_k.$$

Пусть $P$ и $P^{\prime }$ — две близкие точки координатного пространства $q_1,\dots ,q_n$, задаваемые наборами координат $q_1,\dots ,q_n$ и $q_1+d{q}_1,\dots ,q_n+d{q}_n$. Введем в координатном пространстве метрику, определив квадрат расстояния $d{s}^2$ между точками $P$ и $P^{\prime }$ при помощи удвоенной кинетической энергии
$$d{s}^2=2Td{t}^2=\sum _{i,k=1}^n{a}_{ik}(q_1,\dots ,q_n)d{q}_{i}d{q}_k.$$

Отсюда следует, что
$$T=\frac{1}{2}{\left(\frac{ds}{dt}\right)}^2,$$

т. е. в метрике (11) кинетическая энергия системы равна кинетической энергии изображающей точки в координатном пространстве ${}^1$, если считать, что изображающая точка обладает массой, равной единице.

Пусть система движется по инерции, т. е. $\mathrm{\Pi }=0$. Из интеграла энергии $T+\mathrm{\Pi }=h=$ const и формулы (12) тогда следует, что
$$\frac{ds}{dt}=\sqrt{2h},$$
т. е. в метрике (11) движению консервативной системы по инерции отвечает равномерное движение изображающей точки в координатном пространстве, причем скорость ее движения равна $\sqrt{2h}$.
Для этого движения действие по Лагранжу
$$W=2{\int }_{t_0}^{t_1}Tdt=2h(t_1-t_0)=\sqrt{2h}l,$$

где $l=\sqrt{2h}(t_1-t_0)$ — длина кривой, пройденной изображающей точкой за время $t_1-t_0$. Из принципа Якоби следует, что $\delta l=0$, т. е. задача о нахождении траектории свелась к задаче дифференциальной геометрии о нахождении геодезической линии в координатном пространстве с метрикой (11).

Пусть теперь движение системы происходит в потенциальном поле $(\mathrm{\Pi }eq0)$. Тогда функция Якоби $P$ может быть вычислена по формуле (40) п. 152. Поэтому
$$W={\int }_{q_1^0}^{q_1^1}Pd{q}_1=2{\int }_{q_1^0}^{q_1^1}\sqrt{(h-\mathrm{\Pi })G}d{q}_1=\sqrt{2}{\int }_{q_1^0}^{q_1^1}\sqrt{(h-\mathrm{\Pi })\sum _{i,k=1}^n{a}_{ik}d{q}_{i}d{q}_k.}$$

Область возможности движения в координатном пространстве определяется неравенством $\mathrm{\Pi }⩽h$, которое получается из интеграла энергии $T+\mathrm{\Pi }=h$ и определенной положительности кинетической энергии. При $\mathrm{\Pi }⩽h$ вместо метрики (11) введем в координатном пространстве другую метрику, определив квадрат расстояния $d{\sigma }^2$ между двумя близкими точками $P$ и $P^{\prime }$ по формуле
$$d{\sigma }^2=(h-\mathrm{\Pi })\sum _{i,k=1}^n{a}_{ik}d{q}_{i}d{q}_k.$$

На границе области возможности движения метрика (16) имеет особенность: чем ближе кривая к границе, тем меньше ее длина; в частности, длина любой кривой, лежащей на самой границе, равна нулю. Если $\mathrm{\Pi }<h$, то метрика (16) не имеет особенностей. Из (15) получаем
$$W=\sqrt{2}\sigma ,$$

где $\sigma$ — длина дуги, пройденной изображающей точкой в координатном пространстве с метрикой (16). И нахождение траекторий снова свелось к нахождению геодезических линий в координатном пространстве (теперь в метрике (16)).