233. Теорема Ляпунова об устойчивости движения . В этом параграфе рассмотрены теоремы, составляющие основу прямого метода Ляпунова в теории устойчивости движения. Будем изучать только установившиеся движения. Сначала рассмотрим теорему Ляпунова об устойчивости.
Теорема. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что существует знакоопределенная функция $V$, производная которой $\dot{V}$ в силу этих уравнений является или знакопостоянной функцией противоположного знака $c V$, или тождественно равной нулю, то невозмущенное движение устойчиво.

Доказательство.
Пусть, например, $V$ определенно-положительна. Тогда в окрестности
\[
\left|x_{i}\right|<h \quad(i=1,2, \ldots, m),
\]

где $h$ — достаточно малая величина, точка $x_{1}=x_{2}=\ldots=x_{m}=0$ будет точкой строгого локального минимума функции $V$. Так как $\dot{V} \leqslant 0$, то на траекториях уравнений возмущенного движения в области (1) $V$ будет невозрастающей функцией. Дальнейшее доказательство сводится к почти дословному повторению рассуждений, проведенных в п. 225 при доказательстве теоремы Лагранжа.

Теорема Ляпунова дает достаточные условия устойчивости движения. Применение этой теоремы требует знания функции $V$, обладающей вполне определенными свойствами. Общих методов построения таких функций нет. Однако во многих практически важных случаях функцию $V$ можно построить, если известны первые интегралы уравнений возмущенного движения. Например, при доказательстве теоремы Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы в качестве функции $V$ годилась полная механическая энергия системы $E$.

Пусть $U_{1}, U_{2}, \ldots, U_{k}$ — первые интегралы уравнений возмущенного движения. Без ограничения общности можно считать, что функции $U_{j}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}\right)(j=1,2, \ldots, k)$ обращаются в нуль в начале координат $x_{1}=x_{2}=\ldots=x_{m}=0$. Пусть ни одна из функций $U_{j}$ не является знакоопределенной. Будем искать ${ }^{1}$ функцию Ляпунова в виде связки первых интегралов $U_{j}(j=1,2, \ldots, k)$ :
\[
V=\lambda_{1} U_{1}+\ldots+\lambda_{k} U_{k}+\mu_{1} U_{1}^{2}+\cdots+\mu_{k} U_{k}^{2},
\]

где $\lambda_{j}, \mu_{j}(j=1,2, \ldots, k)$ — неопределенные постоянные. Ясно, что $V$ будет первым интегралом уравнений возмущенного движения.

Если постоянные $\lambda_{j}, \mu_{j}$ удастся выбрать так, чтобы функция $V$ была определенно-положительной, то она будет удовлетворять всем условиям теоремы Ляпунова об устойчивости движения. При этом в тех случаях, когда первые интегралы $U_{j}(j=1,2, \ldots, k)$ могут быть найдены из каких-либо общих соображений (например, при помощи основных теорем динамики), отпадает необходимость составления самих уравнений возмущенного движения, что существенно упрощает исследование.
ПРИМЕР 1 (УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ ВРАЩЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА В СЛУчАЕ ЭЙЛЕРА). Как показано в п. 99, при стационарных вращениях твердого тела в случае Эйлера вращение происходит с постоянной по величине угловой скоростью вокруг .юбой из главных осей инериии тела для неподвижной точки. Изучим устойчивость движения, в котором
\[
p=\omega=\text { const }, \quad q=0, \quad r=0 .
\]

Движение (2) соответствует вращению вокруг оси, отвечающей моменту инериии А. Как показано в п.98, динамические уравнения Эйлера имеют два первых интеграла
\[
U_{1}=2 T=A p^{2}+B q^{2}+C r^{2}, \quad U_{2}=K_{0}^{2}=A^{2} p^{2}+B^{2} q^{2}+C^{2} r^{2} .
\]

Введем возмущения $x, y, z$ по формулам
\[
p=\omega+x, \quad q=y, \quad r=z .
\]

Уравнения возмущенного движения будут иметь первые интегралы
\[
U_{1}=A x^{2}+B y^{2}+C z^{2}+2 A \omega x, \quad U_{2}=A^{2} x^{2}+B^{2} y^{2}+C^{2} z^{2}+2 A^{2} \omega x,
\]

Последние выражения получены путем подстановки $p, q, r$ из (4) в интегралы (3) и отбрасыванием несущественных постоянных в получившихся выражениях для $U_{1}$ и $U_{2}$.
Функцию $V$ возьмем в виде
\[
V=U_{1}^{2}+U_{2}^{2} .
\]

Ясно, что значения функиии $V$ неотрицательны при любых $x, y, z$. Покажем, что если $A$ — наименьший или наибольший из моментов инерции, то функция $V$ определенно-положительна. Для этого достаточно показать, что при малых $x, y, z$ система уравнений
\[
U_{1}=0, \quad U_{2}=0
\]

имеет единственное решение $x=y=z=0$ Из системы (7) следует, что
\[
A U_{1}-U_{2} \equiv B(A-B) y^{2}+C(A-C) z^{2}=0 .
\]

Если $A$ — наименьший или наибольший из моментов инерции, то последнее равенство возможно только когда $y=z=0$. Из (7) тогда следует, что $x=0$ или $x=-2 \omega$, и при достаточно малых $x, y, z$ система (7) имеет единственное решение $x=y=z=0$.

Следовательно, стационарные вращения твердого тела в случае Эйлера вокруг оси наименьшего или наибольшего из моментов инерции устойчивы в смысле Ляпунова по отношению к возмущениям величин $p, q, r$. Этот факт хорошо иллюстрируется картиной расположения полодий на эллипсоиде инерции (см. рис. 99): вблизи осей Ох и Oz эллипсоида инерции, отвечающих наибольшему и наименьшему моментам инерции, полодии являются замкнутыми кривыми, охватывающими соответствующие оси. Напротив, вблизи оси $O y$, отвечающей среднему по величине моменту инерции, полодии не охватывают этой оси, и при малом возмущении стационарного вращения вокруг оси Оу вектор угловой скорости с течением времени покидает окрестность этой оси. Ниже в п. 235 мы строго докажем неустойчивость стационарного вращения вокруг оси среднего по величине момента инерции тела.
ПРИМЕР 2 (УСТОЙЧИВОСТЬ ВРАЩЕНИЯ ТЯЖЕЛОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ Точки в СЛУчаЕ ЛАГРАНЖА ${ }^{1}$ ). Движение тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки описывается системой дифференциальных уравнений (32), (35) n. 105. В случае Лагранжа $A=B, a=b=0 u$ уравнения движения имеют четыре первых интеграла
\[
\begin{array}{l}
U_{1}=A\left(p^{2}+q^{2}\right)+C r^{2}+2 P c \gamma_{3}=\text { const, } \\
U_{2}=A\left(p \gamma_{1}+q \gamma_{2}\right)+C r \gamma_{3}=\text { const, } \\
U_{3}=\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}+\gamma_{3}^{2}=1, \\
U_{4}=r=\text { const. }
\end{array}
\]

Уравнения движения имеют частное решение
\[
p=0, \quad q=0, \quad r=r_{0}=\mathrm{const}, \quad \gamma_{1}=0, \quad \gamma_{2}=0, \quad \gamma_{3}=1,
\]

которому отвечает вращение твердого тела вокруг вертикально расположенной оси $O z$ с постоянной угловой скоростью $r_{0}$. Рассмотрим устойчивость такого движения тела по отношению к возмущениям величин $p, q, r, \gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}$. Положим
\[
p=x_{1}, \quad q=x_{2}, \quad r=r_{0}+x_{3}, \quad \gamma_{1}=x_{4}, \quad \gamma_{2}=x_{5}, \quad \gamma_{3}=1+x_{6} .
\]

Отсюда и из (8) получаем, что дифференциальне уравнения возмущенного движения имеют следующие первые интегралы:
\[
\begin{array}{l}
U_{1}=A\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)+C\left(x_{3}^{2}+2 r_{0} x_{3}\right)+2 P c x_{6}=\text { const, } \\
U_{2}=A\left(x_{1} x_{4}+x_{2} x_{5}\right)+C\left(x_{3} x_{6}+x_{3}+r_{0} x_{6}\right)=\mathrm{const}, \\
U_{3}=x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+2 x_{6}=\mathrm{const}, \\
U_{4}=x_{3}=\text { const. }
\end{array}
\]

Для получения условий устойчивости ищем функцию Ляпунова $V$ в виде квадратичной связки первых интегралов (10) ( $\lambda$ — неопределенная вещественная постоянная)
\[
V=U_{1}+2 \lambda U_{2}-\left(P c+C r_{0} \lambda\right) U_{3}+\frac{C(C-A)}{A} U_{4}^{2}-2\left(r_{0}+\lambda\right) C U_{4} .
\]

Функцию $V$ можно представить в виде суммы трех квадратичных форм:
\[
V=f\left(x_{1}, x_{4}\right)+f\left(x_{2}, x_{5}\right)+f\left(\frac{C}{A} x_{3}, x_{6}\right),
\]

гәe
\[
f(x, y)=A x^{2}+2 \lambda A x y-\left(P c+C r_{0} \lambda\right) y^{2} .
\]

Из критерия Сильвестра получаем, что квадратичная форма (12) определенно-положительна при выполнении неравенства
\[
A \lambda^{2}+C r_{0} \lambda+P c<0,
\]

которое для вещественных $\lambda$ может удовлетворяться только тогда, когда
\[
C^{2} r_{0}^{2}>4 A P c .
\]

При условии (14) постоянную $\lambda$ можно подобрать так, чтобы удовлетворялось неравенство (13). Тогда квадратичные формы в выражении (11) будут определенно-положительными, каждая относительно «своих» переменных, а функция $V$ будет определенно-положительна относительно всех переменных $x_{i}(i=1,2, \ldots, 6)$. Таким образом, согласно теореме Ляпунова, условие (14) будет достаточным для устойчивости движения (9) по отношению к возмущениям величин $p, q, r, \gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}$.

Условие (14) называют условием Маиевского-Четаева. Отметим, что если $c<0$ («висящее» твердое тело; центр масс расположен ниже

точки подвеса), то условие (14) всегда выполнено, а если с > 0, то для выполнения условия (14) требуется, чтобы угловая скорость вращения тела вокруг вертикали превосходила величину, равную $\frac{\sqrt{4 A P c}}{C}$.
234. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Ляпунов получил следующую теорему, дающую достаточные условия асимптотической устойчивости движения.
Теорема. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что существует знакоопределенная функия $V\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}\right)$, производная которой $\dot{V}$ в силу этих уравнений есть знакоопределенная функция противоположного знака $c V$, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво.

Прежде чем доказывать эту теорему, обратим внимание на дополнительное, по сравнению с теоремой предыдущего пункта, условие, которое обеспечивает асимптотическую устойчивость невозмущенного движения. Это условие состоит в том, что производная $\dot{V}$ должна быть знакоопределенной функцией противоположного с $V$ знака. В предыдущем же пункте функция $\dot{V}$ была лишь знакопостоянной.

Переходя к доказательству, заметим сначала, что если условия сформулированной теоремы выполнены, то выполнены и условия теоремы Ляпунова из предыдущего пункта, а значит, невозмущенное движение устойчиво. Согласно определению асимптотической устойчивости, нам надо только доказать, что всякое возмущенное движение, для которого начальные возмущения достаточно малы, асимптотически приближается к невозмущенному, т. е. что
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} x_{i}(t)=0 .
\]

Без ограничения общности будем считать, что функция $V$ определенно положительна; тогда в области (1) $V \geqslant 0$, а $\dot{V} \leqslant 0$, причем знаки равенства возможны только при $x_{1}=x_{2}=\ldots=x_{m}=0$. Рассмотрим какое-либо возмущенное движение, которому отвечают настолько малые начальные значения $x_{i 0}=x_{i}\left(t_{0}\right)(i=1,2, \ldots, m)$, что поверхность $V=V_{0}$, где $V_{0}=V\left(x_{10}, x_{20}, \ldots, x_{m 0}\right)$, лежит в области
\[
\left|x_{i}\right|<\varepsilon,
\]

где $\varepsilon<h$. Такой выбор величин $x_{i 0}$ всегда возможен ввиду непрерывности функции $V$. Покажем, что тогда возмущенные движения $x_{i}(t)$ ( $\left.i=1,2, \ldots, m\right)$ удовлетворяют условиям (15), т. е. невозмущенное движение асимптотически устойчиво.

Действительно, при $\varepsilon<h$ в области (16) функция $\dot{V}\left(x_{1}(t), x_{2}(t), \ldots, x_{m}(t)\right)$ остается отрицательной, не обращаясь в нуль ни при каких значениях $t$. Это следует из того, что, в силу единственности решения уравнений возмущенного движения при заданных начальных условиях, функции $x_{i}(t)(i=1,2, \ldots, m)$ не могут все одновременно обратиться в нуль при каком-либо значении $t=t^{*}$; в противном случае было бы два разных решения с нулевыми Рис. 175 значениями при $t=t^{*}$ : рассматриваемое и тривиальное $x_{1}=x_{2}=$ $\ldots=x_{m}=0$. Так как $\dot{V}<0$, то функция $V\left(x_{1}(t), x_{2}(t), \ldots, x_{m}(t)\right)$ монотонно убывает, оставаясь положительной. Но так как функция $V$ ограниченная, то существует предел
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} V\left(x_{1}(t), x_{2}(t), \ldots, x_{m}(t)\right)=b \geqslant 0 .
\]

В $m$-мерном пространстве $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}$ траектория уравнений возмущенного движения стремится к поверхности $V=b$, оставаясь вне ее (рис. 175).

Покажем, что $b=0$, т. е. поверхность $V=b$ вырождается в точку $x_{1}=x_{2}=\ldots=x_{m}=0$ и, следовательно, невозмущенное движение асимптотически устойчиво. Предположим обратное, т. е. что $b
eq 0$. Пусть $-d$ — точная верхняя грань функции $\dot{V}$ в замкнутой области, границами которой являются поверхности $V=b$ и $V=V_{0}$, т. е. в этой области
\[
\dot{V} \leqslant-d \text {. }
\]

Отсюда следует, что
\[
V\left(x_{1}(t), x_{2}(t), \ldots, x_{m}(t)\right)=V_{0}+\int_{t_{0}}^{t} \dot{V} d t \leqslant V_{0}-d\left(t-t_{0}\right),
\]

но это невозможно, так как при выполнении неравенства (18) определенно-положительная функция $V\left(x_{1}(t), x_{2}(t), \ldots, x_{m}(t)\right)$ для достаточно больших $t$ должна была бы стать отрицательной. Противоречие доказывает теорему.
ПРИМЕР 1 (АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА, ИМЕЮЩЕГО НЕПОДВИЖНУЮ ТОЧКУ, В СРЕДЕ С СОПРОТИВЛЕНИЕМ). Пусть тело вращается вокруг неподвижной точки $O$ в среде, создающей

момент сопротивления
\[
\boldsymbol{M}_{0}=-f(\omega) \cdot \boldsymbol{\omega},
\]

где $f(\omega)>0$. Если существуют другие силы, приложенные к твердому телу, то их главный момент относительно точки $O$ считаем равным нулю. Динамические уравнения Эйлера имеют вид
\[
\begin{array}{l}
A \frac{d p}{d t}+(C-B) q r=-f(\omega) p, \\
B \frac{d q}{d t}+(A-C) r p=-f(\omega) q, \\
C \frac{d r}{d t}+(B-A) p q=-f(\omega) r .
\end{array}
\]

Уравнения (20) имеют частное решение $p=q=r=0$, отвечающее покою тела. Рассмотрим устойчивость этого частного движения тела по отношению $к$ переменным $p, q, r$.

Так как в невозмущенном движении $p=q=r=0$, то уравнения (20) будут дифференциальными уравнениями возмущенного движения. В качестве функции Ляпунова возьмем кинетическую энергию те$л a$
\[
V=\frac{1}{2}\left(A p^{2}+B q^{2}+C r^{2}\right) .
\]

Для производной функции $V$ получаем выражение
\[
\dot{V}=-f(\omega)\left(p^{2}+q^{2}+r^{2}\right) .
\]

Так как $V$ — определенно-положительная, $a \dot{V}$ — определенно-отрицательная функции, то, согласно теореме Ляпунова, равновесие твердого тела в среде, создающей момент сопротивления (9), асимптотически устойчиво по отношению к переменным $p, q, r$.
235. Теоремы о неустойчивости. В этом пункте рассмотрены три теоремы о неустойчивости движения, полученные Ляпуновым и Четаевым. Исторически сначала были получены две теоремы Ляпунова. Эти теоремы были обобщены Четаевым, получившим теорему, которая нашла широкое применение при решении задачи об устойчивости в конкретных задачах механики, а также в теоретических исследованиях вопросов устойчивости. Мы сначала изложим теорему Четаева и затем выведем из нее обе теоремы Ляпунова о неустойчивости движения.

Переходя к изложению теорем, заметим, что для обнаружения неустойчивости невозмущенного движения достаточно установить существование хотя бы одной траектории уравнений возмущенного движения, отвечающей сколь угодно малым значениям начальных возмущений и покидающей в некоторый момент времени окрестность начала

координат, определяемую неравенствами (1), в которых $h$ — некоторая заданная величина.

Введем определение. Областью $V>0$ назовем какую-либо область окрестности (1), в которой $V\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}\right)>0$. Поверхность $V=0$ назовем границей области $V>0$.
Теорема (Четаева о неустойчивости). Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что существует функция $V\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}\right)$ такая, что в сколь угодно малой окрестности (1) существует область $V>0$ и во всех точках области $V>0$ производная $\dot{V}$ в силу этих уравнений принимает положительные значения, то невозмущенное движение неустойчиво.

Доказательство.
Зададимся окрестностью (1) начала координат. Выберем начальную точку $x_{10}, x_{20}, \ldots, x_{m 0}$ какой-либо траектории уравнений возмущенного движения в области $V>0$. Так как граница области $V>0$ проходит через точку $x_{1}=x_{2}=\ldots=x_{m}=0$, то начальную точку можно взять сколь угодно близко к началу координат (см. рис. 176 , где $m=2$ ).

Так как по условию теоремы в области $V>0$ производная $\dot{V}$ положительна, то вдоль выбранной траектории функция $V$ монотонно возрастает. Следовательно, при $t>t_{0}$ будем иметь
\[
V\left(x_{1}(t), x_{2}(t), \ldots, x_{m}(t)\right)>V_{0}>0,
\]

где $V_{0}=V\left(x_{10}, x_{20}, \ldots, x_{m 0}\right)$. Поэтому траектория, начавшаяся в точке $x_{10}, x_{20}, \ldots, x_{m 0}$, не может выйти из области $V>0$ через ее границу $V=0$. Покажем, что с течением времени траектория выйдет из окрестности (1). Предположим обратное, т. е. что траектория при всех $t$ остается внутри окрестности (1). Но тогда она должна находиться в области $V>0$. Но это невозможно. Действительно, функция $V$, как непрерывная и не зависящая явно от $t$, будет в области (1) при достаточно малых $h$ ограничена, т. е.
\[
V \leqslant L,
\]

где $L$ — некоторое положительное число. В области $G$, являющейся пересечением областей $V>0$ и $V>V_{0}$, функция $\dot{V}$ положительна и

тоже ограничена. Пусть $l$ — точная нижняя грань функции $\dot{V}$ в этой области. Тогда при всех $t>t_{0}$
\[
\dot{V} \geqslant l>0 \text {. }
\]

Отсюда следует, что
\[
V\left(x_{1}(t), x_{2}(t), \ldots, x_{m}(t)\right) \geqslant V_{0}+l\left(t-t_{0}\right),
\]
т. е. с течением времени функция $V$ неограниченно возрастает, а это противоречит неравенству (23). Противоречие доказывает теорему.

Функцию $V$, удовлетворяющую теореме Четаева о неустойчивости, называют функцией Четаева.
ПРИМЕР 1 (НЕУСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНОГО ВРАЩЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА В СЛУЧАЕ ЭЙЛЕРА ВОКРУГ ОСИ СРЕДНЕГО ПО ВЕЛИЧИНЕ МОМЕНТА инЕРции ${ }^{1}$ ). Рассмотрим устойчивость вращения (2) твердого тела в случае Эйлера, предполагая, что ось вращения отвечает среднему по величине главному моменту инерции тела для неподвижной точки $O$. Для определенности будем считать, что $C>A>B u \omega>0$.

Введя возмущения $x, y$, по формулам (4), из динамических уравнении Эйлера получим дифференциальные уравнения возмущенного движения в виде
\[
\dot{x}=\frac{B-C}{A} y z, \quad \dot{y}=\frac{C-A}{B}(\omega+x) z, \quad \dot{z}=\frac{A-B}{C}(\omega+x) y .
\]

Производная функции $V=y z$ в силу уравнений (25) будет такой:
\[
\dot{V}=(\omega+x)\left(\frac{C-A}{B} z^{2}+\frac{A-B}{C} y^{2}\right) .
\]

Если $\omega+x>0$, то в области $V>0$, определяемой неравенствами $y>0, z>0$, производная $\dot{V}$ положительна. На основании теоремы Четаева отсюда следует вывод о неустойчивости вращения тела вокруг оси, отвечающей среднему по величине моменту инерии.
Теперь получим теоремы Ляпунова о неустойчивости.

Теорема (Первая теорема Ляпунова о неустойчивости движения). Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что существует функция $V\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}\right)$ такая, что ее производная $\dot{V}$ в силу этих уравнений есть функция знакоопределенная, а сама функция $V$ не является знакопостоянной, противоположного с $\dot{V}$ знака, то невозмущенное движение неустойчиво.

Доказательство.
Достаточно заметить, что при условиях теоремы 2 выполняются условия теоремы Четаева о неустойчивости. Действительно, пусть функция $\dot{V}$ определенно-положительна. Тогда, в силу того, что $V$ не является знакопостоянной функцией, противоположного с $\dot{V}$ знака, существует область $V>0$, расположенная сколь угодно близко к началу координат, и в этой области $\dot{V}>0$.
Теорема (Вторая теорема Ляпунова о неустойчивости движения). Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что существует функция $V$ такая, что ее производная, в силу этих уравнений, в области (1) может быть представлена в виде
\[
\dot{V}=æ V+W,
\]

где æ — положительная постоянная, $a$ $W$ или тождественно обращается в нуль, или представляет собой знакопостоянную функцию, и если в последнем случае функция $V$ не является знакопостоянной, противоположного с $W$ знака, то невозмущенное движение неустойчиво.

Доказательство.
Как и в предыдущем случае, для доказательства теоремы 3 достаточно проверить, что при выполнении ее условий выполняются также и условия теоремы Четаева о неустойчивости.

Если $W$ тождественно равна нулю, то из (27) сразу следует, что функция $\dot{V}$ положительна в области $V>0$, которая обязательно существует в сколь угодно малой окрестности начала координат (при необходимости, когда, например, функция $V$ определенно-отрицательна, надо вместо $V$ взять функцию $-V$ ). Следовательно, если $W \equiv 0$, то условия теоремы Четаева выполнены.

Пусть теперь $W$ не равна тождественно нулю и для определенности будем ее считать знакопостоянной (положительной). Тогда, в силу того, что $V$ не является знакопостоянной, противоположного с $W$ знака, в любой сколь угодно малой окрестности начала координат существует область $V>0$. Но из (27) при $W \geqslant 0$ следует, что во всей окрестности (1)
\[
\dot{V} \geqslant æ V .
\]

Следовательно, в области $V>0$ производная $\dot{V}$ положительна. Поэтому и в этом случае условия теоремы Четаева выполнены.