233. Теорема Ляпунова об устойчивости движения . В этом параграфе рассмотрены теоремы, составляющие основу прямого метода Ляпунова в теории устойчивости движения. Будем изучать только установившиеся движения. Сначала рассмотрим теорему Ляпунова об устойчивости.
Теорема. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что существует знакоопределенная функция $V$, производная которой $\dot{V}$ в силу этих уравнений является или знакопостоянной функцией противоположного знака $cV$, или тождественно равной нулю, то невозмущенное движение устойчиво.

Доказательство.
Пусть, например, $V$ определенно-положительна. Тогда в окрестности
$$\left|x_i\right|<h(i=1,2,\dots ,m),$$

где $h$ — достаточно малая величина, точка $x_1=x_2=\dots =x_m=0$ будет точкой строгого локального минимума функции $V$. Так как $\dot{V}⩽0$, то на траекториях уравнений возмущенного движения в области (1) $V$ будет невозрастающей функцией. Дальнейшее доказательство сводится к почти дословному повторению рассуждений, проведенных в п. 225 при доказательстве теоремы Лагранжа.

Теорема Ляпунова дает достаточные условия устойчивости движения. Применение этой теоремы требует знания функции $V$, обладающей вполне определенными свойствами. Общих методов построения таких функций нет. Однако во многих практически важных случаях функцию $V$ можно построить, если известны первые интегралы уравнений возмущенного движения. Например, при доказательстве теоремы Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы в качестве функции $V$ годилась полная механическая энергия системы $E$.

Пусть $U_1,U_2,\dots ,U_k$ — первые интегралы уравнений возмущенного движения. Без ограничения общности можно считать, что функции $U_j(x_1,x_2,\dots ,x_m)(j=1,2,\dots ,k)$ обращаются в нуль в начале координат $x_1=x_2=\dots =x_m=0$. Пусть ни одна из функций $U_j$ не является знакоопределенной. Будем искать ${}^1$ функцию Ляпунова в виде связки первых интегралов $U_j(j=1,2,\dots ,k)$ :
$$V={\lambda }_1{U}_1+\dots +{\lambda }_k{U}_k+{\mu }_1{U}_1^2+\cdots +{\mu }_k{U}_k^2,$$

где ${\lambda }_j,{\mu }_j(j=1,2,\dots ,k)$ — неопределенные постоянные. Ясно, что $V$ будет первым интегралом уравнений возмущенного движения.

Если постоянные ${\lambda }_j,{\mu }_j$ удастся выбрать так, чтобы функция $V$ была определенно-положительной, то она будет удовлетворять всем условиям теоремы Ляпунова об устойчивости движения. При этом в тех случаях, когда первые интегралы $U_j(j=1,2,\dots ,k)$ могут быть найдены из каких-либо общих соображений (например, при помощи основных теорем динамики), отпадает необходимость составления самих уравнений возмущенного движения, что существенно упрощает исследование.
ПРИМЕР 1 (УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ ВРАЩЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА В СЛУчАЕ ЭЙЛЕРА). Как показано в п. 99, при стационарных вращениях твердого тела в случае Эйлера вращение происходит с постоянной по величине угловой скоростью вокруг .юбой из главных осей инериии тела для неподвижной точки. Изучим устойчивость движения, в котором
$$p=\omega =\text{ const },q=0,r=0.$$

Движение (2) соответствует вращению вокруг оси, отвечающей моменту инериии А. Как показано в п.98, динамические уравнения Эйлера имеют два первых интеграла
$$U_1=2T=A{p}^2+B{q}^2+C{r}^2,U_2=K_0^2=A^2{p}^2+B^2{q}^2+C^2{r}^2.$$

Введем возмущения $x,y,z$ по формулам
$$p=\omega +x,q=y,r=z.$$

Уравнения возмущенного движения будут иметь первые интегралы
$$U_1=A{x}^2+B{y}^2+C{z}^2+2A\omega x,U_2=A^2{x}^2+B^2{y}^2+C^2{z}^2+2A^2\omega x,$$

Последние выражения получены путем подстановки $p,q,r$ из (4) в интегралы (3) и отбрасыванием несущественных постоянных в получившихся выражениях для $U_1$ и $U_2$.
Функцию $V$ возьмем в виде
$$V=U_1^2+U_2^2.$$

Ясно, что значения функиии $V$ неотрицательны при любых $x,y,z$. Покажем, что если $A$ — наименьший или наибольший из моментов инерции, то функция $V$ определенно-положительна. Для этого достаточно показать, что при малых $x,y,z$ система уравнений
$$U_1=0,U_2=0$$

имеет единственное решение $x=y=z=0$ Из системы (7) следует, что
$$A{U}_1-U_2\equiv B(A-B)y^2+C(A-C)z^2=0.$$

Если $A$ — наименьший или наибольший из моментов инерции, то последнее равенство возможно только когда $y=z=0$. Из (7) тогда следует, что $x=0$ или $x=-2\omega$, и при достаточно малых $x,y,z$ система (7) имеет единственное решение $x=y=z=0$.

Следовательно, стационарные вращения твердого тела в случае Эйлера вокруг оси наименьшего или наибольшего из моментов инерции устойчивы в смысле Ляпунова по отношению к возмущениям величин $p,q,r$. Этот факт хорошо иллюстрируется картиной расположения полодий на эллипсоиде инерции (см. рис. 99): вблизи осей Ох и Oz эллипсоида инерции, отвечающих наибольшему и наименьшему моментам инерции, полодии являются замкнутыми кривыми, охватывающими соответствующие оси. Напротив, вблизи оси $Oy$, отвечающей среднему по величине моменту инерции, полодии не охватывают этой оси, и при малом возмущении стационарного вращения вокруг оси Оу вектор угловой скорости с течением времени покидает окрестность этой оси. Ниже в п. 235 мы строго докажем неустойчивость стационарного вращения вокруг оси среднего по величине момента инерции тела.
ПРИМЕР 2 (УСТОЙЧИВОСТЬ ВРАЩЕНИЯ ТЯЖЕЛОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ Точки в СЛУчаЕ ЛАГРАНЖА ${}^1$ ). Движение тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки описывается системой дифференциальных уравнений (32), (35) n. 105. В случае Лагранжа $A=B,a=b=0u$ уравнения движения имеют четыре первых интеграла
$$\begin{array}{l}{U}_1=A(p^2+q^2)+C{r}^2+2Pc{\gamma }_3=\text{ const, }\\ U_2=A(p{\gamma }_1+q{\gamma }_2)+Cr{\gamma }_3=\text{ const, }\\ U_3={\gamma }_1^2+{\gamma }_2^2+{\gamma }_3^2=1,\\ U_4=r=\text{ const. }\end{array}$$

Уравнения движения имеют частное решение
$$p=0,q=0,r=r_0=\mathrm{const},{\gamma }_1=0,{\gamma }_2=0,{\gamma }_3=1,$$

которому отвечает вращение твердого тела вокруг вертикально расположенной оси $Oz$ с постоянной угловой скоростью $r_0$. Рассмотрим устойчивость такого движения тела по отношению к возмущениям величин $p,q,r,{\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3$. Положим
$$p=x_1,q=x_2,r=r_0+x_3,{\gamma }_1=x_4,{\gamma }_2=x_5,{\gamma }_3=1+x_6.$$

Отсюда и из (8) получаем, что дифференциальне уравнения возмущенного движения имеют следующие первые интегралы:
$$\begin{array}{l}{U}_1=A(x_1^2+x_2^2)+C(x_3^2+2r_0{x}_3)+2Pc{x}_6=\text{ const, }\\ U_2=A(x_1{x}_4+x_2{x}_5)+C(x_3{x}_6+x_3+r_0{x}_6)=\mathrm{const},\\ U_3=x_4^2+x_5^2+x_6^2+2x_6=\mathrm{const},\\ U_4=x_3=\text{ const. }\end{array}$$

Для получения условий устойчивости ищем функцию Ляпунова $V$ в виде квадратичной связки первых интегралов (10) ( $\lambda$ — неопределенная вещественная постоянная)
$$V=U_1+2\lambda U_2-(Pc+C{r}_0\lambda )U_3+\frac{C(C-A)}{A}{U}_4^2-2(r_0+\lambda )C{U}_4.$$

Функцию $V$ можно представить в виде суммы трех квадратичных форм:
$$V=f(x_1,x_4)+f(x_2,x_5)+f(\frac{C}{A}{x}_3,x_6),$$

гәe
$$f(x,y)=A{x}^2+2\lambda Axy-(Pc+C{r}_0\lambda )y^2.$$

Из критерия Сильвестра получаем, что квадратичная форма (12) определенно-положительна при выполнении неравенства
$$A{\lambda }^2+C{r}_0\lambda +Pc<0,$$

которое для вещественных $\lambda$ может удовлетворяться только тогда, когда
$$C^2{r}_0^2>4APc.$$

При условии (14) постоянную $\lambda$ можно подобрать так, чтобы удовлетворялось неравенство (13). Тогда квадратичные формы в выражении (11) будут определенно-положительными, каждая относительно «своих» переменных, а функция $V$ будет определенно-положительна относительно всех переменных $x_i(i=1,2,\dots ,6)$. Таким образом, согласно теореме Ляпунова, условие (14) будет достаточным для устойчивости движения (9) по отношению к возмущениям величин $p,q,r,{\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3$.

Условие (14) называют условием Маиевского-Четаева. Отметим, что если $c<0$ («висящее» твердое тело; центр масс расположен ниже

точки подвеса), то условие (14) всегда выполнено, а если с > 0, то для выполнения условия (14) требуется, чтобы угловая скорость вращения тела вокруг вертикали превосходила величину, равную $\frac{\sqrt{4APc}}{C}$.
234. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Ляпунов получил следующую теорему, дающую достаточные условия асимптотической устойчивости движения.
Теорема. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что существует знакоопределенная функия $V(x_1,x_2,\dots ,x_m)$, производная которой $\dot{V}$ в силу этих уравнений есть знакоопределенная функция противоположного знака $cV$, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво.

Прежде чем доказывать эту теорему, обратим внимание на дополнительное, по сравнению с теоремой предыдущего пункта, условие, которое обеспечивает асимптотическую устойчивость невозмущенного движения. Это условие состоит в том, что производная $\dot{V}$ должна быть знакоопределенной функцией противоположного с $V$ знака. В предыдущем же пункте функция $\dot{V}$ была лишь знакопостоянной.

Переходя к доказательству, заметим сначала, что если условия сформулированной теоремы выполнены, то выполнены и условия теоремы Ляпунова из предыдущего пункта, а значит, невозмущенное движение устойчиво. Согласно определению асимптотической устойчивости, нам надо только доказать, что всякое возмущенное движение, для которого начальные возмущения достаточно малы, асимптотически приближается к невозмущенному, т. е. что
$$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_i(t)=0.$$

Без ограничения общности будем считать, что функция $V$ определенно положительна; тогда в области (1) $V⩾0$, а $\dot{V}⩽0$, причем знаки равенства возможны только при $x_1=x_2=\dots =x_m=0$. Рассмотрим какое-либо возмущенное движение, которому отвечают настолько малые начальные значения $x_{i0}=x_i\left(t_0\right)(i=1,2,\dots ,m)$, что поверхность $V=V_0$, где $V_0=V(x_{10},x_{20},\dots ,x_{m0})$, лежит в области
$$\left|x_i\right|<\epsilon ,$$

где $\epsilon <h$. Такой выбор величин $x_{i0}$ всегда возможен ввиду непрерывности функции $V$. Покажем, что тогда возмущенные движения $x_i(t)$ ( $i=1,2,\dots ,m)$ удовлетворяют условиям (15), т. е. невозмущенное движение асимптотически устойчиво.

Действительно, при $\epsilon <h$ в области (16) функция $\dot{V}(x_1(t),x_2(t),\dots ,x_m(t))$ остается отрицательной, не обращаясь в нуль ни при каких значениях $t$. Это следует из того, что, в силу единственности решения уравнений возмущенного движения при заданных начальных условиях, функции $x_i(t)(i=1,2,\dots ,m)$ не могут все одновременно обратиться в нуль при каком-либо значении $t=t^{\ast }$; в противном случае было бы два разных решения с нулевыми Рис. 175 значениями при $t=t^{\ast }$ : рассматриваемое и тривиальное $x_1=x_2=$ $\dots =x_m=0$. Так как $\dot{V}<0$, то функция $V(x_1(t),x_2(t),\dots ,x_m(t))$ монотонно убывает, оставаясь положительной. Но так как функция $V$ ограниченная, то существует предел
$$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}V(x_1(t),x_2(t),\dots ,x_m(t))=b⩾0.$$

В $m$-мерном пространстве $x_1,x_2,\dots ,x_m$ траектория уравнений возмущенного движения стремится к поверхности $V=b$, оставаясь вне ее (рис. 175).

Покажем, что $b=0$, т. е. поверхность $V=b$ вырождается в точку $x_1=x_2=\dots =x_m=0$ и, следовательно, невозмущенное движение асимптотически устойчиво. Предположим обратное, т. е. что $beq0$. Пусть $-d$ — точная верхняя грань функции $\dot{V}$ в замкнутой области, границами которой являются поверхности $V=b$ и $V=V_0$, т. е. в этой области
$$\dot{V}⩽-d\text{. }$$

Отсюда следует, что
$$V(x_1(t),x_2(t),\dots ,x_m(t))=V_0+{\int }_{t_0}^t\dot{V}dt⩽V_0-d(t-t_0),$$

но это невозможно, так как при выполнении неравенства (18) определенно-положительная функция $V(x_1(t),x_2(t),\dots ,x_m(t))$ для достаточно больших $t$ должна была бы стать отрицательной. Противоречие доказывает теорему.
ПРИМЕР 1 (АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА, ИМЕЮЩЕГО НЕПОДВИЖНУЮ ТОЧКУ, В СРЕДЕ С СОПРОТИВЛЕНИЕМ). Пусть тело вращается вокруг неподвижной точки $O$ в среде, создающей

момент сопротивления
$${\mathit{M}}_0=-f(\omega )\cdot \mathit{\omega },$$

где $f(\omega )>0$. Если существуют другие силы, приложенные к твердому телу, то их главный момент относительно точки $O$ считаем равным нулю. Динамические уравнения Эйлера имеют вид
$$\begin{array}{l}A\frac{dp}{dt}+(C-B)qr=-f(\omega )p,\\ B\frac{dq}{dt}+(A-C)rp=-f(\omega )q,\\ C\frac{dr}{dt}+(B-A)pq=-f(\omega )r.\end{array}$$

Уравнения (20) имеют частное решение $p=q=r=0$, отвечающее покою тела. Рассмотрим устойчивость этого частного движения тела по отношению $к$ переменным $p,q,r$.

Так как в невозмущенном движении $p=q=r=0$, то уравнения (20) будут дифференциальными уравнениями возмущенного движения. В качестве функции Ляпунова возьмем кинетическую энергию те$лa$
$$V=\frac{1}{2}(A{p}^2+B{q}^2+C{r}^2).$$

Для производной функции $V$ получаем выражение
$$\dot{V}=-f(\omega )(p^2+q^2+r^2).$$

Так как $V$ — определенно-положительная, $a\dot{V}$ — определенно-отрицательная функции, то, согласно теореме Ляпунова, равновесие твердого тела в среде, создающей момент сопротивления (9), асимптотически устойчиво по отношению к переменным $p,q,r$.
235. Теоремы о неустойчивости. В этом пункте рассмотрены три теоремы о неустойчивости движения, полученные Ляпуновым и Четаевым. Исторически сначала были получены две теоремы Ляпунова. Эти теоремы были обобщены Четаевым, получившим теорему, которая нашла широкое применение при решении задачи об устойчивости в конкретных задачах механики, а также в теоретических исследованиях вопросов устойчивости. Мы сначала изложим теорему Четаева и затем выведем из нее обе теоремы Ляпунова о неустойчивости движения.

Переходя к изложению теорем, заметим, что для обнаружения неустойчивости невозмущенного движения достаточно установить существование хотя бы одной траектории уравнений возмущенного движения, отвечающей сколь угодно малым значениям начальных возмущений и покидающей в некоторый момент времени окрестность начала

координат, определяемую неравенствами (1), в которых $h$ — некоторая заданная величина.

Введем определение. Областью $V>0$ назовем какую-либо область окрестности (1), в которой $V(x_1,x_2,\dots ,x_m)>0$. Поверхность $V=0$ назовем границей области $V>0$.
Теорема (Четаева о неустойчивости). Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что существует функция $V(x_1,x_2,\dots ,x_m)$ такая, что в сколь угодно малой окрестности (1) существует область $V>0$ и во всех точках области $V>0$ производная $\dot{V}$ в силу этих уравнений принимает положительные значения, то невозмущенное движение неустойчиво.

Доказательство.
Зададимся окрестностью (1) начала координат. Выберем начальную точку $x_{10},x_{20},\dots ,x_{m0}$ какой-либо траектории уравнений возмущенного движения в области $V>0$. Так как граница области $V>0$ проходит через точку $x_1=x_2=\dots =x_m=0$, то начальную точку можно взять сколь угодно близко к началу координат (см. рис. 176 , где $m=2$ ).

Так как по условию теоремы в области $V>0$ производная $\dot{V}$ положительна, то вдоль выбранной траектории функция $V$ монотонно возрастает. Следовательно, при $t>t_0$ будем иметь
$$V(x_1(t),x_2(t),\dots ,x_m(t))>V_0>0,$$

где $V_0=V(x_{10},x_{20},\dots ,x_{m0})$. Поэтому траектория, начавшаяся в точке $x_{10},x_{20},\dots ,x_{m0}$, не может выйти из области $V>0$ через ее границу $V=0$. Покажем, что с течением времени траектория выйдет из окрестности (1). Предположим обратное, т. е. что траектория при всех $t$ остается внутри окрестности (1). Но тогда она должна находиться в области $V>0$. Но это невозможно. Действительно, функция $V$, как непрерывная и не зависящая явно от $t$, будет в области (1) при достаточно малых $h$ ограничена, т. е.
$$V⩽L,$$

где $L$ — некоторое положительное число. В области $G$, являющейся пересечением областей $V>0$ и $V>V_0$, функция $\dot{V}$ положительна и

тоже ограничена. Пусть $l$ — точная нижняя грань функции $\dot{V}$ в этой области. Тогда при всех $t>t_0$
$$\dot{V}⩾l>0\text{. }$$

Отсюда следует, что
$$V(x_1(t),x_2(t),\dots ,x_m(t))⩾V_0+l(t-t_0),$$
т. е. с течением времени функция $V$ неограниченно возрастает, а это противоречит неравенству (23). Противоречие доказывает теорему.

Функцию $V$, удовлетворяющую теореме Четаева о неустойчивости, называют функцией Четаева.
ПРИМЕР 1 (НЕУСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНОГО ВРАЩЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА В СЛУЧАЕ ЭЙЛЕРА ВОКРУГ ОСИ СРЕДНЕГО ПО ВЕЛИЧИНЕ МОМЕНТА инЕРции ${}^1$ ). Рассмотрим устойчивость вращения (2) твердого тела в случае Эйлера, предполагая, что ось вращения отвечает среднему по величине главному моменту инерции тела для неподвижной точки $O$. Для определенности будем считать, что $C>A>Bu\omega >0$.

Введя возмущения $x,y$, по формулам (4), из динамических уравнении Эйлера получим дифференциальные уравнения возмущенного движения в виде
$$\dot{x}=\frac{B-C}{A}yz,\dot{y}=\frac{C-A}{B}(\omega +x)z,\dot{z}=\frac{A-B}{C}(\omega +x)y.$$

Производная функции $V=yz$ в силу уравнений (25) будет такой:
$$\dot{V}=(\omega +x)(\frac{C-A}{B}{z}^2+\frac{A-B}{C}{y}^2).$$

Если $\omega +x>0$, то в области $V>0$, определяемой неравенствами $y>0,z>0$, производная $\dot{V}$ положительна. На основании теоремы Четаева отсюда следует вывод о неустойчивости вращения тела вокруг оси, отвечающей среднему по величине моменту инерии.
Теперь получим теоремы Ляпунова о неустойчивости.

Теорема (Первая теорема Ляпунова о неустойчивости движения). Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что существует функция $V(x_1,x_2,\dots ,x_m)$ такая, что ее производная $\dot{V}$ в силу этих уравнений есть функция знакоопределенная, а сама функция $V$ не является знакопостоянной, противоположного с $\dot{V}$ знака, то невозмущенное движение неустойчиво.

Доказательство.
Достаточно заметить, что при условиях теоремы 2 выполняются условия теоремы Четаева о неустойчивости. Действительно, пусть функция $\dot{V}$ определенно-положительна. Тогда, в силу того, что $V$ не является знакопостоянной функцией, противоположного с $\dot{V}$ знака, существует область $V>0$, расположенная сколь угодно близко к началу координат, и в этой области $\dot{V}>0$.
Теорема (Вторая теорема Ляпунова о неустойчивости движения). Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что существует функция $V$ такая, что ее производная, в силу этих уравнений, в области (1) может быть представлена в виде
$$\dot{V}=\ae V+W,$$

где æ — положительная постоянная, $a$ $W$ или тождественно обращается в нуль, или представляет собой знакопостоянную функцию, и если в последнем случае функция $V$ не является знакопостоянной, противоположного с $W$ знака, то невозмущенное движение неустойчиво.

Доказательство.
Как и в предыдущем случае, для доказательства теоремы 3 достаточно проверить, что при выполнении ее условий выполняются также и условия теоремы Четаева о неустойчивости.

Если $W$ тождественно равна нулю, то из (27) сразу следует, что функция $\dot{V}$ положительна в области $V>0$, которая обязательно существует в сколь угодно малой окрестности начала координат (при необходимости, когда, например, функция $V$ определенно-отрицательна, надо вместо $V$ взять функцию $-V$ ). Следовательно, если $W\equiv 0$, то условия теоремы Четаева выполнены.

Пусть теперь $W$ не равна тождественно нулю и для определенности будем ее считать знакопостоянной (положительной). Тогда, в силу того, что $V$ не является знакопостоянной, противоположного с $W$ знака, в любой сколь угодно малой окрестности начала координат существует область $V>0$. Но из (27) при $W⩾0$ следует, что во всей окрестности (1)
$$\dot{V}⩾\ae V.$$

Следовательно, в области $V>0$ производная $\dot{V}$ положительна. Поэтому и в этом случае условия теоремы Четаева выполнены.