236. Постановка задачи. Будем рассматривать устойчивость установившихся движений. Дифференциальные уравнения возмущен-

ного движения запишем в виде
\[
\frac{d \boldsymbol{x}}{d t}=\mathbf{A} \boldsymbol{x}+\mathbf{X}(\boldsymbol{x}),
\]

где $\boldsymbol{x}$ – вектор-столбец, $\boldsymbol{x}^{\prime}=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}\right) ; \mathbf{A}-$ постоянная квадратная матрица $m$-го порядка; $\mathbf{X}$ – вектор-функция от $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}, \mathbf{X}^{\prime}=\left(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{m}\right)$; фунции $X_{i}(i=1,2, \ldots, m)$ будем считать аналитическими в окрестности начала координат $x_{1}=x_{2}=\ldots=x_{m}=0$, причем их разложения в ряды начинаются с членов не ниже второго порядка малости относительно $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}$.

В приложениях вопрос об устойчивости движения очень часто исследуется при помощи уравнений первого приближения
\[
\frac{d \boldsymbol{x}}{d t}=\mathbf{A} \boldsymbol{x},
\]

которые получаются из полных уравнений возмущенного движения (1), если в последних отбросить нелинейные относительно $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}$ члены.

Рассмотрим уравнения (2) подробнее. Пусть $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{m}-$ корни характеристического уравнения ${ }^{1}$
\[
\operatorname{det}(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{E})=0,
\]

а $\boldsymbol{h}_{j}$ – собственный вектор матрицы $\mathbf{A}$, отвечающий корню $\lambda_{j}$.
Если матрица А приводится к диагональной форме, то существуют $m$ линейно независимых собственных векторов и общее решение системы (1) имеет вид ${ }^{2}$
\[
\boldsymbol{x}=\sum_{j=1}^{m} c_{j} \boldsymbol{h}_{j} e^{\lambda_{j} t},
\]

где $c_{j}$ – произвольные постоянные.
Если же матрица А к диагональной форме не приводится, то общее решение системы (2) будет записываться в виде
\[
\boldsymbol{x}=\sum_{j=1}^{m} c_{j} \boldsymbol{k}_{j} e^{\lambda_{j} t},
\]

где компоненты векторов $\boldsymbol{k}_{j}$ являются многочленами относительно $t$. Например, общее решение системы
\[
\dot{x}_{1}=\lambda x_{1}+x_{2}, \quad \dot{x}_{2}=\lambda x_{2}
\]

имеет вид
\[
\left\|\begin{array}{l}
x_{1} \\
x_{2}
\end{array}\right\|=c_{1}\left\|\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right\| e^{\lambda t}+c_{2}\left\|\begin{array}{l}
t \\
1
\end{array}\right\| e^{\lambda t} .
\]

Если бы уравнения возмущенного движения были линейными, то по их общему решению, (4) или (5), вопрос об устойчивости невозмущенного движения решался бы очень просто; в частности, необходимым и достаточным условием асимптотической устойчивости была бы отрицательность вещественных частей всех корней характеристического уравнения; при наличии же хотя бы одного корня с положительной вещественной частью движение было бы неустойчивым.

Но, как правило, уравнения возмущенного движения нелинейны. Поэтому возникает задача об определении условий, при которых выводы об устойчивости, полученные из анализа уравнений первого приближения (2), справедливы и для полных уравнений возмущенного движения (1) при любых нелинейных членах $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{m}$. Эта задача была полностью решена Лниуновым.
237. Теорема об устойчивости по первому приближению. Один из основных результатов, полученных Ляпуновым при решении задачи об устойчивости по первому приближению, можно сформулировать в виде следующей теоремы.
Теорема. Если все корни характеристического уравнения (3) имеют отрицательные вещественные части, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво независимо от нелинейных членов в (1). Ecли же среди корней характеристического уравнения есть хотя бы один с положительной вещественной частью, то невозмущенное движение неустойчиво – тоже независимо от нелинейных членов в (1).
Доказательство.
Если в уравнениях (1) сделать замену переменных по формуле
\[
\boldsymbol{x}=\mathbf{C} \boldsymbol{y} \quad(\operatorname{det} \mathbf{C}
eq 0),
\]

то они станут такими:
\[
\frac{d \boldsymbol{y}}{d t}=\mathbf{B} \boldsymbol{y}+\mathbf{Y}(\boldsymbol{y}),
\]

где $\mathbf{B}=\mathbf{C}^{-1} \mathbf{A C}$, а $\mathbf{Y}(\boldsymbol{y})=\mathbf{C}^{-1} \mathbf{X}(\mathbf{C} \boldsymbol{y})$. Матрицу $\mathbf{C}$ (которая, вообще говоря, комплексная) выберем так, чтобы матрица В была нормальной

жордановой формой матрицы А, т. е. чтобы матрица В состояла из одной или нескольких жордановых клеток, расположенных по ее главной диагонали, а все элементы, не входящие в жордановы клетки, равнялись бы нулю ${ }^{1}$ :
\[
\mathbf{B}=\left\|\begin{array}{|cccc}
\mathbf{J}_{1} & & & \\
\hline & \mathbf{J}_{2} & & \\
& & \ddots & \\
& & & \boxed{\mathbf{J}_{m}}
\end{array}\right\|, \quad \mathbf{J}_{k}=\left\|\begin{array}{cccccc}
\lambda_{k} & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\
0 & \lambda_{k} & 1 & \ldots & 0 & 0 \\
0 & 0 & \lambda_{k} & \ldots & 0 & 0 \\
\ldots \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
0 & 0 & 0 & \ldots & \lambda_{k} & 1 \\
0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & \lambda_{k}
\end{array}\right\|
\]

В уравнениях (7) сделаем еще одну вспомогательную замену переменных по формулам
\[
y_{j}=\mu^{j} z_{j} \quad(j=1,2, \ldots, m),
\]

где $\mu$ – положительное, вообще говоря, малое число; условие для более конкретного его выбора будет видно из дальнейшего. В переменных $z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{m}$ система (7) запишется в виде
\[
\begin{array}{l}
\frac{d z_{1}}{d t}=\lambda_{1} z_{1}+\mu a_{1} z_{2}+Z_{1}, \\
\frac{d z_{2}}{d t}=\quad \lambda_{2} z_{2}+\mu a_{2} z_{3}+Z_{2}, \\
\text {. . . . . . . . . . } \\
\frac{d z_{m}}{d t}=\quad \lambda_{m} z_{m}+Z_{m} . \\
\end{array}
\]

Здесь $a_{j}$, равняется 0 или $1 ; Z_{1}, Z_{2}, \ldots, Z_{m}$ – нелинейные члены относительно переменных $z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{m}$, являющихся, вообще говоря, комплексными.

Пусть $r_{j}$ и $s_{j}$ – действительная и мнимая части корня $\lambda_{j}$ характеристического уравнения (3), т. е. $\lambda_{j}=r_{j}+i s_{j}(j=1,2, \ldots, m)$; здесь $i$ – мнимая единица.
а) Пусть $r_{j}<0$ для всех $j=1,2, \ldots, m$. Для доказательства асимптотической устойчивости невозмущенного движения рассмотрим функцию
\[
V=\sum_{j=1}^{m} z_{j} \bar{z}_{j},
\]

где чертой обозначена комплексно сопряженная величина. Функция (9) является определенно-положительной функцией исходных переменных $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}$. Для ее производной в силу уравнений (8) получаем выражение
\[
\dot{V}=2 \sum_{j=1}^{m} r_{j} z_{j} \bar{z}_{j}+\mu F+\sum_{j=1}^{m}\left(\bar{z}_{j} Z_{j}+z_{j} \bar{Z}_{j}\right)
\]

где $F$ – вещественная квадратичная форма, которая тождественно равна нулю, если все коэффициенты $a_{j}$ в системе (8) равны нулю, т. е. если матрица $A$ приводится к диагональной форме.

Функция (10) является вещественной функцией исходных переменных $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}$. Так как $r_{j}<0(j=1,2, \ldots, m)$, то квадратичная часть функции $\dot{V}$ будет определенно-отрицательной функцией, если число $\mu$ достаточно мало. А так как последняя сумма в правой части выражения (10) содержит совокупность членов не ниже третьего порядка, то и вся функция $V$ при достаточно малых $\mu$ будет определенноотрицательной.

На основании теоремы Ляпунова об асимпотической устойчивости получаем отсюда вывод об асимптотической устойчивости невозмущенного движения, если вещественные части всех корней характеристического уравнения отрицательны.
б) Пусть теперь $r_{1}>0, r_{2}>0, \ldots, r_{k}>0, r_{k+1} \leqslant 0, \ldots, r_{m} \leqslant 0$. Для доказательства неустойчивости невозмущенного движения воспользуемся второй теоремой Ляпунова о неустойчивости. Пусть
\[
V=-\sum_{j=1}^{k} z_{j} \bar{z}_{j}+\sum_{j=k+1}^{m} z_{j} \bar{z}_{j} .
\]

Ее производную в силу уравнений (8)
\[
\begin{aligned}
\dot{V}= & -2 \sum_{j=1}^{k} r_{j} z_{j} \bar{z}_{j}+2 \sum_{j=k+1}^{m} r_{j} z_{j} \bar{z}_{j}+\mu G- \\
& -\sum_{j=1}^{k}\left(\bar{z}_{j} Z_{j}+z_{j} \bar{Z}_{j}\right)+\sum_{j=k+1}^{m}\left(\bar{z}_{j} Z_{j}+z_{j} \bar{Z}_{j}\right)
\end{aligned}
\]

можно записать в виде
\[
\dot{V}=æ V+W,
\]

где æ — пока неопределенное положительное число, а
\[
\begin{aligned}
W= & \sum_{j=1}^{k}\left(æ-2 r_{j}\right) z_{j} \bar{z}_{j}+\sum_{j=k+1}^{m}\left(2 r_{j}-æ\right) z_{j} \bar{z}_{j}+\mu G- \\
& -\sum_{j=1}^{k}\left(\bar{z}_{j} Z_{j}+z_{j} \bar{Z}_{j}\right)+\sum_{j=k+1}^{m}\left(\bar{z}_{j} Z_{j}+z_{j} \bar{Z}_{j}\right) .
\end{aligned}
\]

Здесь $G$ – квадратичная форма, появляющаяся в выражении для $\dot{V}$ тогда, когда не все коэффициенты $a_{j}$ в системе (8) равны нулю.

Выберем число æ так, чтобы для $j=1,2, \ldots, k$ выполнялись неравенства $0<æ<2 r_{j}$. Тогда при достаточно малых $\mu$ функция $W$ будет определенно-отрицательной. Но функция $V$, очевидно, знакопеременная и, следовательно, не является знакопостоянной, противоположного с $W$ знака. На основании второй теоремы Ляпунова о неустойчивости получаем отсюда вывод о том, что при наличии хотя бы одного корня характеристического уравнения с положительной вещественной частью невозмущенное движение неустойчиво. Теорема доказана.
Замечание 1. Ляпунов также показал ${ }^{1}$, что если у характеристического уравнения (3) нет ни одного корня с положительной вещественной частью, но есть корни, у которых вещественная часть равна нулю, то можно так подобрать нелинейные члены в уравнениях возмущенного движения (1), чтобы имела место устойчивость или неустойчивость, по желанию.

Все случаи, которые могут представиться при решении задачи об устойчивости, можно разбить на некритические и критические. В некритических случаях вопрос об устойчивости решается рассмотрением уравнений первого приближения (2). В критических случаях уравнений первого приближения недостаточно: для решения задачи об устойчивости обязательно требуется привлечение нелинейных членов в уравнениях возмущенного движения (1). Из доказанной выше теоремы следует, что критическими будут те и только то случаи, когда характеристическое уравнение (2) не имеет корней с положительными вещественными частями, но имеет корни с вещественными частями, равными нулю.
238. Критерий Рауса-Гурвица. Для практического использования теоремы об устойчивости по первому приближению важно определить знаки вещественных частей характеристического уравнения. В частности, желательно иметь критерий, позволяющий по коэффициентам характеристического уравнения определить, будут ли все его корни иметь отрицательные вещественные части или нет.
Запишем характеристическое уравнение (3) в виде
\[
a_{0} \lambda^{m}+a_{1} \lambda^{m-1}+\ldots+a_{m-1} \lambda+a_{m}=0 .
\]

Коэффициенты $a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{m}$, этого уравнения – вещественные числа. Не ограничивая общности, будем в дальнейшем считать, что старший коэффициент $a_{0}$ положителен.

Получим сначала одно очень простое необходимое условие отрицательности вещественных частей всех корней $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{m}$ уравнения (14): для того чтобы при $a_{0}>0$ все корни уравнения (14) имели отрицательные вещественные части, необходимо, чтобы все его коэффициенты были положительны. Доказательство этого утверждения непосредственно вытекает из формул Виета:
\[
\begin{array}{l}
\frac{a_{1}}{a_{0}}=-\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}+\ldots+\lambda_{m}\right), \\
\frac{a_{2}}{a_{0}}=\lambda_{1} \lambda_{2}+\ldots+\lambda_{m-1} \lambda_{m}, \\
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \\
\frac{a_{m}}{a_{0}}=(-1)^{m} \lambda_{1} \lambda_{2} \ldots \lambda_{m} .
\end{array}
\]

Но положительность всех коэффициентов уравнения (14) не является достаточным условием того, что его корни имеют отрицательные вещественные части. Необходимое и достаточное условие дается критерием Рауса-Гурвица. Сформулируем соответствующую теорему, не приводя ее доказательства ${ }^{1}$. Назовем матрицей Гурвица квадратную матрицу $m$-го порядка
\[
\left\|\begin{array}{lllll}
a_{1} & a_{3} & a_{5} & \ldots & 0 \\
a_{0} & a_{2} & a_{4} & \ldots & 0 \\
0 & a_{1} & a_{3} & \ldots & 0 \\
0 & a_{0} & a_{2} & \ldots & 0 \\
\cdots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
\cdots & \ldots & \ldots & \ldots & a_{m}
\end{array}\right\| .
\]

Эта матрица строится следующим образом: по ее главной диагонали стоят коэффициенты $a_{i}(i=1,2, \ldots, m)$ в порядке возрастания значений индекса $i$; в каждом столбце элементы, стоящие выше главной диагонали, расположены так, что соответствующие им коэффициенты $a_{j}$

идут в порядке последовательного возрастания индекса $j$ на единицу, а ниже главной диагонали – в порядке последовательного убывания индекса $j$; те места матрицы, куда при таком правиле образования ее элементов следовало бы вписать коэффициенты $a_{j}$ для $j<0$ или $j>m$, заполняются нулями.
Составим главные миноры матрицы (16) (определители Гурвица)
\[
\Delta_{1}=a_{1}, \Delta_{2}=\left|\begin{array}{cc}
a_{1} & a_{3} \\
a_{0} & a_{2}
\end{array}\right|, \Delta_{3}=\left|\begin{array}{ccc}
a_{1} & a_{3} & a_{5} \\
a_{0} & a_{2} & a_{4} \\
0 & a_{1} & a_{3}
\end{array}\right|, \ldots, \Delta_{m}=a_{m} \Delta_{m-1} .
\]

Теорема (Критерий Рауса-Гурвица). Для того чтобы все корни уравнения (14) с вещественными коэффициентами и положительным стариим коэффициентом $a_{0}$ имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства
\[
\Delta_{1}>0, \quad \Delta_{2}>0, \ldots, \quad \Delta_{m}>0 .
\]

Отметим, также без доказательства, что если при $a_{0}>0$ хотя бы одно из неравенств (18) имеет противоположный смысл, то уравнение (14) имеет корни, вещественные части которых положительны. Рассмотрим простейшие частные случаи (везде предполагается, что $\left.a_{0}>0\right)$.
ПРИМЕР 1 (УРАВНЕНИЕ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ $(m=1)$ ).
\[
a_{0} \lambda+a_{1}=0 .
\]

Условия (18) сводятся к неравенству
\[
a_{1}>0 \text {. }
\]

ПРИМЕР 2 (УРАВНЕНИЕ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ $(m=2)$ ).
\[
a_{0} \lambda^{2}+a_{1} \lambda+a_{2}=0 .
\]

Определители Гурвица (17) будут такими:
\[
\Delta_{1}=a_{1}, \quad \Delta_{2}=a_{1} a_{2} .
\]

Условия (18) запишутся в виде неравенств
\[
a_{1}>0, \quad a_{2}>0 .
\]

ПРИМЕР 3 (УРАВНЕНИЕ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ).
\[
a_{0} \lambda^{3}+a_{1} \lambda^{2}+a_{2} \lambda+a_{3}=0 .
\]

Здесь
\[
\Delta_{1}=a_{1}, \quad \Delta_{2}=a_{1} a_{2}-a_{0} a_{3}, \quad \Delta_{3}=a_{3} \Delta_{2},
\]

и условия (18) означают, что
\[
a_{1}>0, \quad a_{3}>0, \quad a_{1} a_{2}-a_{0} a_{3}>0 .
\]

Эти неравенства показывают, что при $m>2$ положительности коэффициентов уравнения (14) недостаточно для того, чтобы все его корни имели отрицательные вещественные части: при $m=3$ нужно еще потребовать выполнения неравенства $a_{1} a_{2}>a_{0} a_{3}$.
ПРИМЕР 4 (УРАВНЕНИЕ чЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ).
\[
a_{0} \lambda^{4}+a_{1} \lambda^{3}+a_{2} \lambda^{2}+a_{3} \lambda+a_{4}=0 .
\]

Определители Гурвица имеют вид
\[
\Delta_{1}=a_{1}, \quad \Delta_{2}=a_{1} a_{2}-a_{0} a_{3}, \quad \Delta_{3}=a_{3} \Delta_{2}-a_{4} a_{1}^{2}, \quad \Delta_{4}=a_{4} \Delta_{3} .
\]

Условия отрицательности вещественных корней уравнения (22) запишутся, как нетрудно проверить, в виде неравенств
\[
a_{1}>0, \quad a_{3}>0, \quad a_{4}>0, \quad a_{3}\left(a_{1} a_{2}-a_{0} a_{3}\right)-a_{4} a_{1}^{2}>0 .
\]