4. Векторный способ задания движения точки. Рассмотрим движение материальной точки $P$ относительно некоторого тела, которое считается неподвижным. Пусть $O$ — точка, принадлежащая этому телу. Радиус-вектор $\boldsymbol{r}$ движущейся точки $P$ относительно $O$ можно задать как векторфункцию времени: $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)$. С течением времени конец вектора $\boldsymbol{r}$ описывает траекторию точки (рис. 1). Производная от $\boldsymbol{r}$
\[
\boldsymbol{v}=\frac{d \boldsymbol{r}}{d t}
\]

называется скоростью точки $P$. Производная от $v$
\[
\boldsymbol{w}=\frac{d \boldsymbol{v}}{d t}=\frac{d^{2} \boldsymbol{r}}{d t^{2}}
\]

называется ускорением точки $P$.
5. Координатный способ задания движения точки. Пусть $O x y z$ — неподвижная декартова прямоугольная система координат, а $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$ — орты ее осей $O x, O y, O z$. Тогда вектор-функция $\boldsymbol{r}(t)$ может быть задана тремя скалярными функциями $x(t), y(t), z(t)$ — координатами точки $P$ :
\[
\boldsymbol{r}(t)=x(t) \boldsymbol{i}+y(t) \boldsymbol{j}+z(t) \boldsymbol{k} .
\]

При этом для скорости имеем выражение
\[
\boldsymbol{v}(t)=\frac{d \boldsymbol{r}}{d t}=v_{x} \boldsymbol{i}+v_{y} \boldsymbol{j}+v_{z} \boldsymbol{k},
\]

где $v_{x}=\dot{x}, v_{y}=\dot{y}, v_{z}=\dot{z}-$ проекции скорости $\boldsymbol{v}$ на оси $O x, O y, O z .{ }^{1}$ Величина скорости $v$ и ее направление определяются равенствами
\[
\begin{array}{c}
v=|\boldsymbol{v}|=\sqrt{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}}, \\
\cos (\boldsymbol{v}, \boldsymbol{i})=\frac{\dot{x}}{v}, \quad \cos (\boldsymbol{v}, \boldsymbol{j})=\frac{\dot{y}}{v}, \quad \cos (\boldsymbol{v}, \boldsymbol{k})=\frac{\dot{z}}{v} .
\end{array}
\]

Аналогично для ускорения $\boldsymbol{w}(t)$ получаем
\[
\boldsymbol{w}(t)=\frac{d \boldsymbol{v}}{d t}=w_{x} \boldsymbol{i}+w_{y} \boldsymbol{j}+w_{z} \boldsymbol{k},
\]

где $w_{x}=\ddot{x}, w_{y}=\ddot{y}, w_{z}=\ddot{z}-$ проекции $\boldsymbol{w}$ на оси $O x, O y, O z$. И тогда
\[
\begin{array}{c}
w=|\boldsymbol{w}|=\sqrt{\ddot{x}^{2}+\ddot{y}^{2}+\ddot{z}^{2}}, \\
\cos (\boldsymbol{w}, \boldsymbol{i})=\frac{\ddot{x}}{w}, \quad \cos (\boldsymbol{w}, j)=\frac{\ddot{y}}{w}, \quad \cos (\boldsymbol{w}, \boldsymbol{k})=\frac{\ddot{z}}{w} .
\end{array}
\]

Пример 1. Задан закон движения точки P:
\[
x=a \cos b t, \quad y=a \sin b t, \quad z=c t,
\]

где $a, b, c$ — постоянные. Найдем траекторию, скорость и ускорение точки.

Из первых двух равенств, возведя их в квадрат и сложив, получим
\[
x^{2}+y^{2}=a^{2} .
\]

Это показывает, что точка движется по поверхности цилиндра радиуса а, ось которого совпадает с осью $O z$ (рис. 2).

Пусть $\varphi-$ угол между проекцией $О$ радиусавектора $\overline{O P}$ на плоскость Оху и осью Ох. Тогда
\[
x=a \cos \varphi: \quad y=a \sin \varphi, \quad \varphi=b t,
\]

а $z=c \varphi / b$. Следовательно, прямая $О$ А равномерно вращается, а точка $P$ равномерно перемещается по образующей АР. Таким образом, точка $P$ движется по винтовой линии.
Определим скорость точки Р. Имеем
\[
\begin{array}{c}
\dot{x}=-a b \sin b t, \quad \dot{y}=a b \cos b t, \quad \dot{z}=c ; \\
v=\sqrt{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}}=\sqrt{a^{2} b^{2}+c^{2}} .
\end{array}
\]

Величина скорости постоянна, но направление скорости изменяется со временем.
Найдем ускорение точки. Имеем
\[
\begin{array}{c}
\ddot{x}=-a b^{2} \cos b t, \quad \ddot{y}=-a b^{2} \sin b t, \quad \ddot{z}=0 ; \\
w=\sqrt{\ddot{x}^{2}+\ddot{y}^{2}+\ddot{z}^{2}}=a b^{2}, \\
\cos (\boldsymbol{w}, \boldsymbol{i})=-\cos b t, \quad \cos (\boldsymbol{w}, \boldsymbol{j})=-\sin b t, \quad \cos (\boldsymbol{w}, \boldsymbol{k})=0 .
\end{array}
\]
нормали цилиндра (от $P$ к $B$; отрезок $P B$ параллелен $A O$ ).

6. Естественный способ задания движения точки. Пусть в пространстве задана кривая, по которой движется точка $P$. Для определения положения точки $P$ на ее траектории возьмем произвольную точку $O_{1}$ кривой за начало отсчета дуг и зададим положительное направление отсчета (рис. 3). Каждому положению точ-

Рис. 3 ки $P$ поставим в соответствие свою дуговую координату $\sigma$, аналогично тому как на прямолинейной оси каждой точке отвечает своя абсцисса. Величина $\sigma$ будет положительной или отрицательной в зависимости от направления отсчета дуг; при этом длина дуги $O_{1} P$ равна $|\sigma|$. Если $\sigma=\sigma(t)$ — известная функция времени, то движение точки $P$ задано. Такой способ задания движения точки называется естественным. При этом мы будем предполагать, что $\sigma(t)-$ дважды непрерывно дифференцируемая функция.

Получим выражения для скорости и ускорения точки $P$ при естественном способе задания движения. Введем естественный трехгранник, образованный единичными векторами $\tau, \boldsymbol{n}, \boldsymbol{b}$, составляющими правую тройку (рис. 4 ). Векторы $\tau$ и $n$ лежат в соприкасающейся плоскости траектории в точке $P$ и направлены соответственно по касательной к траектории в сторону положительного отсчета дуг и по главной нормали траектории в сторону ее вогнутости, вектор $\boldsymbol{b}$ направлен по бинормали траектории в Рис. 4 точке $P$.

Радиус-вектор $\boldsymbol{r}$ точки $P$ относительно какой-либо фиксированной точки будет сложной функцией времени: $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(\sigma(t))$. Из дифференциальной геометрии известно, что
\[
\tau(\sigma)=\frac{d r}{d \sigma}, \quad \frac{d \tau}{d \sigma}=\frac{1}{\rho} \boldsymbol{n}(\sigma),
\]

где $\rho$ — радиус кривизны траектории в точке $P$. Используя определения (1) и (2) скорости и ускорения, получаем при помощи (7)
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{v}=\frac{d \boldsymbol{r}}{d t}=\frac{d \boldsymbol{r}}{d \sigma} \frac{d \sigma}{d t}=v_{\tau} \tau \\
\boldsymbol{w}=\frac{d \boldsymbol{v}}{d t}=\frac{d v_{\tau}}{d t} \boldsymbol{\tau}+v_{\tau} \frac{d \tau}{d \sigma} \frac{d \sigma}{d t}=\frac{d^{2} \sigma}{d t^{2}} \tau+\frac{v_{\tau}^{2}}{\rho} \boldsymbol{n} .
\end{array}
\]

Здесь введено обозначение $v_{\tau}=\dot{\sigma}$. Величина $v_{\tau}$ положительна, если точка $P$ движется в положительном направлении отсчета дуг $O_{1} P$, и отрицательна в противном случае; $v=\left|v_{\tau}\right|$. Согласно (8), скорость всегда направлена по касательной к траектории.

Из (9) следует, что ускорение всегда лежит в соприкасающейся плоскости. Его можно записать в виде
\[
\boldsymbol{w}=\boldsymbol{w}_{\tau}+\boldsymbol{w}_{n}, \quad \boldsymbol{w}_{\tau}=\frac{d^{2} \sigma}{d t^{2}} \tau, \quad \boldsymbol{w}_{n}=\frac{v^{2}}{\rho} \boldsymbol{n},
\]

где $\boldsymbol{w}_{\tau}$ — касательное (тангенциальное) ускорение, а $\boldsymbol{w}_{n}$ — нормальное ускорение точки. Формулы (10) выражают теорему Гюйгенса о разложении ускорения точки на тангенциальное и нормальное. Тангенциальное ускорение характеризует быстроту изменения модуля скорости, а нормальное — ее направления.
Величина ускорения определяется равенством
\[
w=\sqrt{w_{n}^{2}+w_{\tau}^{2}} .
\]

Если $v=$ const, то движение точки называется равномерным. Движение будет ускоренным или замедленным в зависимости от того, возрастает или убывает величина скорости. Так как $v^{2}=v_{\tau}^{2}=\dot{\sigma}^{2}$, то $d v^{2} / d t=2 \dot{\sigma} \ddot{\sigma}$. Отсюда следует, что движение будет ускоренным, если знаки величин $\dot{\sigma}$ и $\ddot{\sigma}$ одинаковы, и замедленным, если их знаки противоположны. Если на интервале времени $t_{1}<t<t_{2} \quad \ddot{\sigma}=0\left(w_{\tau} \equiv 0\right)$, то на этом интервале движение равномерное. Если на каком-то интервале $w_{n}=0$, а $v
eq 0$, то на этом интервале движение прямолинейное $(\rho=\infty)$.
Замечание 1. Из соотношений (8) и (9), в частности, следует, что если вместо одной декартовой системы координат мы возьмем другую декартову систему координат, неподвижную относительно первой, то изменится векторное уравнение $r=r(t)$ движения точки $P$, но скорость и ускорение не изменятся.
Пример 1. Используя теорему Гюйгенса, найдем радиус кривизны эллипса
\[
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1
\]

в произвольной его точке.
Будем рассматривать эллипс как траекторию материальной точки с законом движения
\[
x=a \cos t, \quad y=b \sin t .
\]

Из равенства
\[
w^{2}=\frac{v^{4}}{\rho^{2}}+w_{\tau}^{2}
\]

получаем такое выражение для радиуса кривизны:
\[
\rho=\frac{v^{2}}{\sqrt{u^{2}-w_{\tau}^{2}}} .
\]

Учитывая, что
\[
\begin{array}{c}
v=\sqrt{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}}=\sqrt{a^{2} \sin ^{2} t+b^{2} \cos ^{2} t}, \\
w=\sqrt{\ddot{x}^{2}+\ddot{y}^{2}}=\sqrt{a^{2} \cos ^{2} t+b^{2} \sin ^{2} t}, \\
\left(w_{\tau}\right)^{2}=\left(\frac{d v}{d t}\right)^{2}=\frac{\left(a^{2}-b^{2}\right)^{2} \sin ^{2} t \cos ^{2} t}{a^{2} \sin ^{2} t+b^{2} \cos ^{2} t},
\end{array}
\]

получаем следующее выражение для радиуса кривизны как функции $t$ :
\[
\rho=\frac{\left(a^{2} \sin ^{2} t+b^{2} \cos ^{2} t\right)^{3 / 2}}{a b} .
\]
$B$ частности, в вершинах эллипса, лежащих на оси Ох (для них $t=0, \pi), \quad \rho=b^{2} / a$, а в вершинах, лежащих на оси Оу (для них $t=\pi / 2,3 \pi / 2), \rho=a^{2} / b$.
7. Круговое движение. Пусть точка движется по окружности радиуса $R$. Тогда (см. рис. 5) $\sigma=R \varphi$. Из (8) и (10) следует, что
\[
\boldsymbol{v}=R \dot{\varphi} \tau, \quad \boldsymbol{w}_{\tau}=R \ddot{\varphi} \tau, \quad \boldsymbol{w}_{n}=\frac{v^{2}}{\rho} \boldsymbol{n}=\dot{\varphi}^{2} R \boldsymbol{n} .
\]

Величины $\dot{\varphi}$ и $\ddot{\varphi}$ называются соответственно угловой скоростью и угловым ускорением радиуса $O P$ (см. также п. 25). Введем обозначения $\dot{\varphi}=\omega, \quad \ddot{\varphi}=\varepsilon$. Тогда для величины ускорения точки $P$ получаем выражение
\[
w=\sqrt{w_{\tau}^{2}+w_{n}^{2}}=R \sqrt{\varepsilon^{2}+\omega^{4}} .
\]

Рис. 5
Угол $\beta$ между полным ускорением точки $\boldsymbol{w}$ и ее нормальным ускорением (рис. 5) находится из равенства
\[
\operatorname{tg} \beta=\frac{w_{\tau}}{w_{n}}=\frac{|\varepsilon|}{\omega^{2}} .
\]

При равномерном круговом движении $\varepsilon=0$ и $\beta=0$.

8. Скорость и ускорение точки в полярных координатах. Пусть движение точки происходит в заданной плоскости. Помимо декартовых координат $x(t), y(t)$ движение может быть задано, например, при помощи полярных координат (рис. 6). Пусть заданы функции $r=r(t), \varphi=\varphi(t)$. Найдем скорость и ускорение точки $P$.

Пусть $e_{r}$ — единичный вектор, направРис. 6 ленный вдоль радиуса-вектора $r$ точки $P$ относительно $O$ в сторону возрастания величины $r$, а $\boldsymbol{e}_{\varphi}$ — вектор, получающийся из $\boldsymbol{e}_{r}$ поворотом последнего на угол $\pi / 2$ против часовой стрелки. Единичные векторы $e_{r}$ и $e_{\varphi}$ задают направления двух взаимно перпендикулярных осей: радиальной и трансверсальной соответственно. В системе координат $O x y$ векторы $\boldsymbol{e}_{r}$ и $\boldsymbol{e}_{\varphi}$ можно записать в следующем виде ${ }^{1}$ :
\[
\boldsymbol{e}_{r}^{\prime}=(\cos \varphi, \sin \varphi), \quad \boldsymbol{e}_{\varphi}^{\prime}=(-\sin \varphi, \cos \varphi) .
\]

Так как $x=r \cos \varphi, y=r \sin \varphi$, то в системе координат $O x y$ имеем
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{v}^{\prime}=(\dot{x}, \dot{y})=(\dot{r} \cos \varphi-r \dot{\varphi} \sin \varphi, \dot{r} \sin \varphi+r \dot{\varphi} \cos \varphi), \\
\boldsymbol{w}^{\prime}=(\ddot{x}, \ddot{y})=\left(\left(\ddot{r}-r \dot{\varphi}^{2}\right) \cos \varphi-(r \ddot{\varphi}+2 \dot{r} \dot{\varphi}) \sin \varphi,\right. \\
\left.\left(\ddot{r}-r \dot{\varphi}^{2}\right) \sin \varphi+(r \ddot{\varphi}+2 \dot{r} \dot{\varphi}) \cos \varphi\right) .
\end{array}
\]

Проекции $v_{r}$ и $v_{\varphi}$ скорости на радиальную и трансверсальную оси называются соответственно радиальной и трансверсальной скоростями. Из (11) и (12) имеем
\[
v_{r}=\left(\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{e}_{r}\right)=\dot{r}, \quad v_{\varphi}=\left(\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{e}_{\varphi}\right)=r \dot{\varphi} .
\]

Для проекций ускорения аналогично получаем
\[
w_{r}=\ddot{r}-r \dot{\varphi}^{2}, \quad w_{\varphi}=r \ddot{\varphi}+2 \dot{r} \dot{\varphi} .
\]

ПРимеР 1. Движение точки задано в полярных координатах:
\[
r=a t, \varphi=b t \quad(a, b=\text { const }) .
\]

Найдем траекторию, скорость и ускорение точки.

Исключив из данных равенств время $t$, получим уравнение траектории $r=a \varphi / b$. Эта кривая называется спиралью Архимеда; у нее величина радиуса-вектора пропорцональна величине полярного угла. Далее имеем
\[
\dot{r}=a, \dot{\varphi}=b, \ddot{r}=0, \ddot{\varphi}=0 .
\]

Поэтому радиальная скорость $v_{r}$ постоянна и равна а, трансверсальная скорость $v_{\varphi}=a b t$. Для величины скорости получаем $v=\sqrt{v_{r}^{2}+v_{\varphi}^{2}}=$ $=a \sqrt{1+b^{2} t^{2}}$. Для радиального и трансверсального ускорений из (15) получаем выражения $w_{r}=-a b^{2} t, w_{\varphi}=2 a b$. Величина ускорения определяется равенством
\[
w=\sqrt{w_{r}^{2}+w_{\varphi}^{2}}=a b \sqrt{4+b^{2} t^{2}} .
\]
9. Криволинейные координаты. В предыдущем пункте мы видели, что движение точки по плоскости не обязательно задается только декартовыми координатами; можно, например, задавать движение в полярных координатах. Вообще, всякие три числа $q_{1}, q_{2}, q_{3}$, однозначно определяющие положение точки в пространстве, можно рассматривать как координаты этой точки. Эти числа, в отличие от прямолинейных декартовых координат, называют криволинейными координатами. Движение точки считается заданным, если ее криволинейные координаты $q_{i}(i=1,2,3)$ — известные функции времени $q_{i}(t)$.

Связь между декартовыми и криволинейными координатами задается равенством
\[
\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}\right)=x \boldsymbol{i}+y \boldsymbol{j}+z \boldsymbol{k},
\]

где $x, y, z$ — функции $q_{1}, q_{2}, q_{3}$, которые считаем дважды непрерывно дифференцируемыми. Радиусвектор $r$ — сложная функция времени: $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}\left(q_{1}(t), q_{2}(t), q_{3}(t)\right)$.

Пусть $P_{0}$ — какая-либо точка в пространстве, ее криволинейные
Рис. 7

координаты обозначим $q_{10}, q_{20}, q_{30}$.
Первой координатной линией, проходящей через $P_{0}$, назовем кривую $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}\left(q_{1}, q_{20}, q_{30}\right)$, получающуюя из (16) при фиксированных $q_{2}, q_{3}$ и при изменении $q_{1}$ в некотором интервале. Аналогично определяются вторая и третья координатные линии. Касательную к $i$-ой

координатной линии в точке $P_{0}$ называют $i$-й координатной осью, проходящей через $P_{0}$. Единичный вектор $i$-й координатной оси (рис. 7 ) может быть записан в виде
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{e}_{i}=\frac{1}{H_{i}} \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial q_{i}}, \quad \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial q_{i}}=\frac{\partial x}{\partial q_{i}} \boldsymbol{i}+\frac{\partial y}{\partial q_{i}} \boldsymbol{j}+\frac{\partial z}{\partial q_{i}} \boldsymbol{k}, \\
H_{i}=\left|\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial q_{i}}\right|=\sqrt{\left(\frac{\partial x}{\partial q_{i}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial y}{\partial q_{i}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial z}{\partial q_{i}}\right)^{2}} .
\end{array}
\]

Величины $H_{i}$ называются коэффициентами Ламе. Производные в (17) вычисляются в точке $P_{0}$.

Если векторы $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ взаимно ортогональны, то криволинейные координаты называют ортогональными. Мы будем рассматривать только ортогональные криволинейные координаты. Найдем проекции $v_{q_{i}}$ и $w_{q_{i}}(i=1,2,3)$ скорости $\boldsymbol{v}$ и ускорения $\boldsymbol{w}$ точки $P$ на оси криволинейной системы координат. Из (1), (16), и (17) получаем
\[
\boldsymbol{v}=\frac{d \boldsymbol{r}}{d t}=\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial q_{1}} \dot{q}_{1}+\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial q_{2}} \dot{q}_{2}+\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial q_{3}} \dot{q}_{3}=v_{q_{1}} e_{1}+v_{q_{2}} e_{2}+v_{q_{3}} e_{3},
\]

где величины $v_{q_{i}}$ вычисляются по формулам
\[
v_{q_{i}}=H_{i} \dot{q}_{i} \quad(i=1,2,3) .
\]

Для нахождения величины $w_{q_{i}}$, равной скалярному произведению $\boldsymbol{w} \cdot \boldsymbol{e}_{i}$, заметим, что она, согласно (2) и (17), может быть представлена в виде
\[
w_{q_{i}}=\frac{d \boldsymbol{v}}{d t} \cdot e_{i}=\frac{1}{H_{i}}\left(\frac{d \boldsymbol{v}}{d t} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial q_{i}}\right)=\frac{1}{H_{i}}\left[\frac{d}{d t}\left(\boldsymbol{v} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial q_{i}}\right)-\boldsymbol{v} \cdot \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial q_{i}}\right)\right] .
\]

Далее,
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial q_{i}}\right)=\frac{\partial^{2} \boldsymbol{r}}{\partial q_{i} \partial q_{1}} \dot{q}_{1}+\frac{\partial^{2} \boldsymbol{r}}{\partial q_{i} \partial q_{2}} \dot{q}_{2}+\frac{\partial^{2} \boldsymbol{r}}{\partial q_{i} \partial q_{3}} \dot{q}_{3},
\]

а из (18) получаем
\[
\frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial q_{i}}=\frac{\partial^{2} \boldsymbol{r}}{\partial q_{1} \partial q_{i}} \dot{q}_{1}+\frac{\partial^{2} \boldsymbol{r}}{\partial q_{2} \partial q_{i}} \dot{q}_{2}+\frac{\partial^{2} \boldsymbol{r}}{\partial q_{3} \partial q_{i}} \dot{q}_{3} .
\]

Ввиду того, что $\boldsymbol{r}$ — дважды непрерывно дифференцируемая функция от $q_{1}, q_{2}, q_{3}$, можно менять порядок дифференцирования по $q_{k}$

$(k=1,2,3)$ и $q_{i}$. Поэтому из (21) и (22) следует, что
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial q_{i}}\right)=\frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial q_{i}} .
\]

Кроме того, из (18) вытекает равенство
\[
\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial q_{i}}=\frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial \dot{q}_{i}} .
\]

Используя (23), (24), равенство (20) можно записать в виде
\[
w_{q_{i}}=\frac{1}{H_{i}}\left[\frac{d}{d t}\left(\boldsymbol{v} \cdot \frac{d \boldsymbol{v}}{d \dot{q}_{i}}\right)-\boldsymbol{v} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial q_{i}}\right] .
\]

Если теперь ввести обозначение $T=v^{2} / 2$, то выражение для $w_{q_{i}}$ можно записать в следующем окончательном виде:
\[
w_{q_{i}}=\frac{1}{H_{i}}\left(\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial T}{\partial q_{i}}\right) \quad(i=1,2,3) .
\]

ПРИмЕР 1. Найдем скорость и ускорение точки в цилиндрической и сферической системах криволинейных коорднат. В случае цилиндрической системы координат (рис. 8) полагаем $q_{1}=r, q_{2}=\varphi, q_{3}=z$, и тогда
\[
\begin{array}{c}
x=r \cos \varphi, y=r \sin \varphi, z=z ; \quad H_{r}=1, H_{\varphi}=r, H_{z}=1 ; \\
v_{r}=\dot{r}, \quad v_{\varphi}=r \dot{\varphi}, \quad v_{z}=\dot{z} ; \\
T=\frac{1}{2}\left(\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\varphi}^{2}+\dot{z}^{2}\right) ; \\
w_{r}=\ddot{r}-r \dot{\varphi}^{2}, \quad w_{\varphi}=r \ddot{\varphi}+2 \dot{r} \dot{\varphi}, \quad w_{z}=\ddot{z} .
\end{array}
\]

В случае сферической системы координат (рис. 9) $q_{1}=r, q_{2}=\varphi, q_{3}=\theta$, $u x=r \sin \theta \cos \varphi, y=r \sin \theta \sin \varphi, z=r \cos \theta ; H_{r}=1, H_{\varphi}=r \sin \theta$, $H_{\theta}=r$;
\[
\begin{array}{c}
v_{r}=\dot{r}, v_{\varphi}=r \sin \theta \dot{\varphi}, v_{\theta}=r \dot{\theta} ; \\
T=\frac{1}{2}\left(\dot{r}^{2}+r^{2} \sin ^{2} \theta \dot{\varphi}^{2}+r^{2} \dot{\theta}^{2}\right) ; \\
w_{r}=\ddot{r}-r \sin ^{2} \dot{\varphi}^{2}-r \dot{\theta}^{2}, \quad w_{\varphi}=r \sin \theta \ddot{\varphi}+2 \sin \theta \dot{r} \dot{\varphi}+2 r \cos \theta \dot{\varphi} \dot{\theta}, \\
w_{\theta}=r \ddot{\theta}+2 r \ddot{\theta}-r \sin \theta \cos \theta \dot{\varphi}^{2} .
\end{array}
\]

Рис. 8
Рис. 9
ПРимеР 2. Пусть материальная точка движется равномерно по поверхности сферы радиуса а. Точка начинает движение на экваторе, направление ее скорости $\boldsymbol{v}$ образует с меридианами сферы постоянный угол $\alpha$. Найдем уравнение траектории точки (локсодромы), а также момент времеии $\tau$, в который точка достигает полюса сферы.

Положение точки на сфере зададим при помощи коорднат $\varphi, \theta$ (рис. 9). Из бормул (29) имеем.
\[
v_{\varphi}=a \sin \theta \dot{\varphi}, v_{\theta}=a \dot{\theta} .
\]

Без ограничения общности примем, что движение точки начинается на оси $O x$ (т. е. при $t=0, \varphi=0, \theta=\pi / 2$ ), угол $\theta$ во время движения уменьшается от $\pi / 2$ до $0, a \dot{\varphi}>0$.

Так как направление скорости $\boldsymbol{v}$ пересекает меридиан $\varphi=\mathrm{const}$ под углом $\alpha$, то $\operatorname{ctg} \alpha=-v_{\theta} / v_{\varphi}$, что приводит к дифференциальному уравнению
\[
\frac{d \theta}{d \varphi}=-\operatorname{ctg} \alpha \sin \theta .
\]

Проинтегрировав это уравнение с учетом упомянутых выше начальных условий, получим уравнение локсодромы в виде
\[
\operatorname{tg} \frac{\theta}{2}=e^{-\operatorname{ctg} \alpha \varphi} .
\]

Так как при $\theta=0 \quad \varphi=\infty$, то локсодрома делает около полюса бесчисленное множество витков. Однако общая длина дуги локсодромы конечна. Найдем ее. Имеем
\[
d s=a \sqrt{d \theta^{2}+\sin ^{2} \theta d \varphi^{2}}=-a d \theta \sqrt{1+\operatorname{tg}^{2} \alpha}=-\frac{a d \theta}{\cos \alpha} .
\]

Так как вся дуга $l$ локсодромы соответствует изменению $\theta$ от $\pi / 2$ до $0, \operatorname{mo} l=\frac{\pi a}{2 \cos \alpha}$. Поскольку движение точки равномерное, то время движения $\tau$ будет равно $\frac{\pi a}{2 v \cos \alpha}$.