Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 4. Векторный способ задания движения точки. Рассмотрим движение материальной точки $P$ относительно некоторого тела, которое считается неподвижным. Пусть $O$ – точка, принадлежащая этому телу. Радиус-вектор $\boldsymbol{r}$ движущейся точки $P$ относительно $O$ можно задать как векторфункцию времени: $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)$. С течением времени конец вектора $\boldsymbol{r}$ описывает траекторию точки (рис. 1). Производная от $\boldsymbol{r}$ называется скоростью точки $P$. Производная от $v$ называется ускорением точки $P$. При этом для скорости имеем выражение где $v_{x}=\dot{x}, v_{y}=\dot{y}, v_{z}=\dot{z}-$ проекции скорости $\boldsymbol{v}$ на оси $O x, O y, O z .{ }^{1}$ Величина скорости $v$ и ее направление определяются равенствами Аналогично для ускорения $\boldsymbol{w}(t)$ получаем где $w_{x}=\ddot{x}, w_{y}=\ddot{y}, w_{z}=\ddot{z}-$ проекции $\boldsymbol{w}$ на оси $O x, O y, O z$. И тогда Пример 1. Задан закон движения точки P: где $a, b, c$ – постоянные. Найдем траекторию, скорость и ускорение точки. Из первых двух равенств, возведя их в квадрат и сложив, получим Это показывает, что точка движется по поверхности цилиндра радиуса а, ось которого совпадает с осью $O z$ (рис. 2). Пусть $\varphi-$ угол между проекцией $О$ радиусавектора $\overline{O P}$ на плоскость Оху и осью Ох. Тогда а $z=c \varphi / b$. Следовательно, прямая $О$ А равномерно вращается, а точка $P$ равномерно перемещается по образующей АР. Таким образом, точка $P$ движется по винтовой линии. Величина скорости постоянна, но направление скорости изменяется со временем. 6. Естественный способ задания движения точки. Пусть в пространстве задана кривая, по которой движется точка $P$. Для определения положения точки $P$ на ее траектории возьмем произвольную точку $O_{1}$ кривой за начало отсчета дуг и зададим положительное направление отсчета (рис. 3). Каждому положению точ- Рис. 3 ки $P$ поставим в соответствие свою дуговую координату $\sigma$, аналогично тому как на прямолинейной оси каждой точке отвечает своя абсцисса. Величина $\sigma$ будет положительной или отрицательной в зависимости от направления отсчета дуг; при этом длина дуги $O_{1} P$ равна $|\sigma|$. Если $\sigma=\sigma(t)$ – известная функция времени, то движение точки $P$ задано. Такой способ задания движения точки называется естественным. При этом мы будем предполагать, что $\sigma(t)-$ дважды непрерывно дифференцируемая функция. Получим выражения для скорости и ускорения точки $P$ при естественном способе задания движения. Введем естественный трехгранник, образованный единичными векторами $\tau, \boldsymbol{n}, \boldsymbol{b}$, составляющими правую тройку (рис. 4 ). Векторы $\tau$ и $n$ лежат в соприкасающейся плоскости траектории в точке $P$ и направлены соответственно по касательной к траектории в сторону положительного отсчета дуг и по главной нормали траектории в сторону ее вогнутости, вектор $\boldsymbol{b}$ направлен по бинормали траектории в Рис. 4 точке $P$. Радиус-вектор $\boldsymbol{r}$ точки $P$ относительно какой-либо фиксированной точки будет сложной функцией времени: $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(\sigma(t))$. Из дифференциальной геометрии известно, что где $\rho$ – радиус кривизны траектории в точке $P$. Используя определения (1) и (2) скорости и ускорения, получаем при помощи (7) Здесь введено обозначение $v_{\tau}=\dot{\sigma}$. Величина $v_{\tau}$ положительна, если точка $P$ движется в положительном направлении отсчета дуг $O_{1} P$, и отрицательна в противном случае; $v=\left|v_{\tau}\right|$. Согласно (8), скорость всегда направлена по касательной к траектории. Из (9) следует, что ускорение всегда лежит в соприкасающейся плоскости. Его можно записать в виде где $\boldsymbol{w}_{\tau}$ – касательное (тангенциальное) ускорение, а $\boldsymbol{w}_{n}$ – нормальное ускорение точки. Формулы (10) выражают теорему Гюйгенса о разложении ускорения точки на тангенциальное и нормальное. Тангенциальное ускорение характеризует быстроту изменения модуля скорости, а нормальное – ее направления. Если $v=$ const, то движение точки называется равномерным. Движение будет ускоренным или замедленным в зависимости от того, возрастает или убывает величина скорости. Так как $v^{2}=v_{\tau}^{2}=\dot{\sigma}^{2}$, то $d v^{2} / d t=2 \dot{\sigma} \ddot{\sigma}$. Отсюда следует, что движение будет ускоренным, если знаки величин $\dot{\sigma}$ и $\ddot{\sigma}$ одинаковы, и замедленным, если их знаки противоположны. Если на интервале времени $t_{1}<t<t_{2} \quad \ddot{\sigma}=0\left(w_{\tau} \equiv 0\right)$, то на этом интервале движение равномерное. Если на каком-то интервале $w_{n}=0$, а $v в произвольной его точке. Из равенства получаем такое выражение для радиуса кривизны: Учитывая, что получаем следующее выражение для радиуса кривизны как функции $t$ : Величины $\dot{\varphi}$ и $\ddot{\varphi}$ называются соответственно угловой скоростью и угловым ускорением радиуса $O P$ (см. также п. 25). Введем обозначения $\dot{\varphi}=\omega, \quad \ddot{\varphi}=\varepsilon$. Тогда для величины ускорения точки $P$ получаем выражение Рис. 5 При равномерном круговом движении $\varepsilon=0$ и $\beta=0$. 8. Скорость и ускорение точки в полярных координатах. Пусть движение точки происходит в заданной плоскости. Помимо декартовых координат $x(t), y(t)$ движение может быть задано, например, при помощи полярных координат (рис. 6). Пусть заданы функции $r=r(t), \varphi=\varphi(t)$. Найдем скорость и ускорение точки $P$. Пусть $e_{r}$ – единичный вектор, направРис. 6 ленный вдоль радиуса-вектора $r$ точки $P$ относительно $O$ в сторону возрастания величины $r$, а $\boldsymbol{e}_{\varphi}$ – вектор, получающийся из $\boldsymbol{e}_{r}$ поворотом последнего на угол $\pi / 2$ против часовой стрелки. Единичные векторы $e_{r}$ и $e_{\varphi}$ задают направления двух взаимно перпендикулярных осей: радиальной и трансверсальной соответственно. В системе координат $O x y$ векторы $\boldsymbol{e}_{r}$ и $\boldsymbol{e}_{\varphi}$ можно записать в следующем виде ${ }^{1}$ : Так как $x=r \cos \varphi, y=r \sin \varphi$, то в системе координат $O x y$ имеем Проекции $v_{r}$ и $v_{\varphi}$ скорости на радиальную и трансверсальную оси называются соответственно радиальной и трансверсальной скоростями. Из (11) и (12) имеем Для проекций ускорения аналогично получаем ПРимеР 1. Движение точки задано в полярных координатах: Найдем траекторию, скорость и ускорение точки. Исключив из данных равенств время $t$, получим уравнение траектории $r=a \varphi / b$. Эта кривая называется спиралью Архимеда; у нее величина радиуса-вектора пропорцональна величине полярного угла. Далее имеем Поэтому радиальная скорость $v_{r}$ постоянна и равна а, трансверсальная скорость $v_{\varphi}=a b t$. Для величины скорости получаем $v=\sqrt{v_{r}^{2}+v_{\varphi}^{2}}=$ $=a \sqrt{1+b^{2} t^{2}}$. Для радиального и трансверсального ускорений из (15) получаем выражения $w_{r}=-a b^{2} t, w_{\varphi}=2 a b$. Величина ускорения определяется равенством Связь между декартовыми и криволинейными координатами задается равенством где $x, y, z$ – функции $q_{1}, q_{2}, q_{3}$, которые считаем дважды непрерывно дифференцируемыми. Радиусвектор $r$ – сложная функция времени: $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}\left(q_{1}(t), q_{2}(t), q_{3}(t)\right)$. Пусть $P_{0}$ – какая-либо точка в пространстве, ее криволинейные координаты обозначим $q_{10}, q_{20}, q_{30}$. координатной линии в точке $P_{0}$ называют $i$-й координатной осью, проходящей через $P_{0}$. Единичный вектор $i$-й координатной оси (рис. 7 ) может быть записан в виде Величины $H_{i}$ называются коэффициентами Ламе. Производные в (17) вычисляются в точке $P_{0}$. Если векторы $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ взаимно ортогональны, то криволинейные координаты называют ортогональными. Мы будем рассматривать только ортогональные криволинейные координаты. Найдем проекции $v_{q_{i}}$ и $w_{q_{i}}(i=1,2,3)$ скорости $\boldsymbol{v}$ и ускорения $\boldsymbol{w}$ точки $P$ на оси криволинейной системы координат. Из (1), (16), и (17) получаем где величины $v_{q_{i}}$ вычисляются по формулам Для нахождения величины $w_{q_{i}}$, равной скалярному произведению $\boldsymbol{w} \cdot \boldsymbol{e}_{i}$, заметим, что она, согласно (2) и (17), может быть представлена в виде Далее, а из (18) получаем Ввиду того, что $\boldsymbol{r}$ – дважды непрерывно дифференцируемая функция от $q_{1}, q_{2}, q_{3}$, можно менять порядок дифференцирования по $q_{k}$ $(k=1,2,3)$ и $q_{i}$. Поэтому из (21) и (22) следует, что Кроме того, из (18) вытекает равенство Используя (23), (24), равенство (20) можно записать в виде Если теперь ввести обозначение $T=v^{2} / 2$, то выражение для $w_{q_{i}}$ можно записать в следующем окончательном виде: ПРИмЕР 1. Найдем скорость и ускорение точки в цилиндрической и сферической системах криволинейных коорднат. В случае цилиндрической системы координат (рис. 8) полагаем $q_{1}=r, q_{2}=\varphi, q_{3}=z$, и тогда В случае сферической системы координат (рис. 9) $q_{1}=r, q_{2}=\varphi, q_{3}=\theta$, $u x=r \sin \theta \cos \varphi, y=r \sin \theta \sin \varphi, z=r \cos \theta ; H_{r}=1, H_{\varphi}=r \sin \theta$, $H_{\theta}=r$; Рис. 8 Положение точки на сфере зададим при помощи коорднат $\varphi, \theta$ (рис. 9). Из бормул (29) имеем. Без ограничения общности примем, что движение точки начинается на оси $O x$ (т. е. при $t=0, \varphi=0, \theta=\pi / 2$ ), угол $\theta$ во время движения уменьшается от $\pi / 2$ до $0, a \dot{\varphi}>0$. Так как направление скорости $\boldsymbol{v}$ пересекает меридиан $\varphi=\mathrm{const}$ под углом $\alpha$, то $\operatorname{ctg} \alpha=-v_{\theta} / v_{\varphi}$, что приводит к дифференциальному уравнению Проинтегрировав это уравнение с учетом упомянутых выше начальных условий, получим уравнение локсодромы в виде Так как при $\theta=0 \quad \varphi=\infty$, то локсодрома делает около полюса бесчисленное множество витков. Однако общая длина дуги локсодромы конечна. Найдем ее. Имеем Так как вся дуга $l$ локсодромы соответствует изменению $\theta$ от $\pi / 2$ до $0, \operatorname{mo} l=\frac{\pi a}{2 \cos \alpha}$. Поскольку движение точки равномерное, то время движения $\tau$ будет равно $\frac{\pi a}{2 v \cos \alpha}$.
|
1 |
Оглавление
|