135. Движение вокруг неподвижной точки. Твердым телом переменного состава будем называть такую механическую систему, которая образована материальными точками $P_{
u}(
u=1,2, \ldots, N)$, расстояние между которыми остается постоянным, причем хотя бы одна из точек $P_{
u}$ является материальной точкой переменного состава.
Если $m_{
u}(t)$ — масса точки $P_{
u}$, то
\[
m_{
u}(t)=m_{
u}(0)-m_{
u 1}(t)+m_{
u 2}(t) \quad(
u=1,2, \ldots, N),
\]

где $m_{
u 1}(t)\left(m_{
u 2}(t)\right)$ — суммарная масса частиц, потерянных точкой $P_{
u}$ за время $t$ (соответственно присоединившихся к точке $P_{
u}$ ). Неотрицательные неубывающие функции $m_{
u 1}(t), m_{
u 2}(t)$ считаем непрерывными и дифференцируемыми.

Пусть твердое тело переменного состава имеет одну неподвижную точку $O$. Для получения дифференциальных уравнений движения тела воспользуемся теоремой об изменении кинетического момента системы переменного состава. Пусть система координат Охуz жестко связана с телом, а $\boldsymbol{K}_{O}$ — кинетический момент тела относительно точки $O$. Если $\boldsymbol{\omega}$ — угловая скорость тела, то из равенства (7) п. 131 получаем
\[
\frac{\tilde{d} \boldsymbol{K}_{O}}{d t}+\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{K}_{O}=\boldsymbol{M}_{O}^{(e)}+\boldsymbol{M}_{O}^{(F)},
\]

где $\tilde{d} / d t$ означает локальную (в системе $O x y z$ ) производную, $\boldsymbol{M}_{O}^{(e)}-$ главный момент внешних сил относительно точки $O, M_{O}^{(F)}$ — дополнительный момент, возникающий за счет того, что тело имеет переменный состав.

Найдем вектор $\boldsymbol{M}_{O}^{(F)}$. Пусть $\Delta m_{
u 1}$ — масса частиц, отделившихся от точки $P_{
u}, \Delta m_{
u 2}$ — масса частиц, присоединившихся к точке $P_{
u}$ за время $\Delta t$. Если $\boldsymbol{u}_{
u 1}$ и $\boldsymbol{u}_{
u 2}$ — абсолютные скорости отделяющихся

и присоединяющихся частиц в момент времени $t$, то с точностью до членов первого порядка малости относительно $\Delta m_{
u 1}, \Delta m_{
u 2}, \Delta t$ имеем
\[
\begin{aligned}
\Delta \boldsymbol{K}_{O 1} & =\sum_{
u=1}^{N} \Delta m_{
u 1} \boldsymbol{\rho}_{
u} \times \boldsymbol{u}_{
u 1}, \\
\Delta \boldsymbol{K}_{O 2} & =\sum_{
u=1}^{N} \Delta m_{
u 2} \boldsymbol{\rho}_{
u} \times \boldsymbol{u}_{
u 2},
\end{aligned}
\]

где $\rho_{
u}$ — радиус-вектор материальной точки $P_{
u}$ относительно неподвижной точки $O$ тела. Из (3) и формул (8) п. 131 получаем
\[
\boldsymbol{M}_{O}^{(F)}=-\sum_{
u=1}^{N} \frac{d m_{
u 1}}{d t} \boldsymbol{\rho}_{
u} \times \boldsymbol{u}_{
u 1}+\sum_{
u=1}^{N} \frac{d m_{
u 2}}{d t} \boldsymbol{\rho}_{
u} \times \boldsymbol{u}_{
u 2} .
\]

Пусть $\boldsymbol{v}_{
u}$ — скорость точки тела $P_{
u}$, а $\boldsymbol{u}_{
u 1}^{(r)}$ и $\boldsymbol{u}_{
u 2}^{(r)}$ — соответственно скорости присоединяющейся и отделяющейся частиц относительно точки $P_{
u}$. Тогда $\boldsymbol{u}_{
u i}=\boldsymbol{v}_{
u}+\boldsymbol{u}_{
u i}^{(r)}(i=1,2)$, что позволяет записать равенство (4) в таком виде:
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{M}_{O}^{(F)}-\sum_{
u=1}^{N} \boldsymbol{\rho}_{
u} \times\left(-\frac{d m_{
u 1}}{d t} \boldsymbol{u}_{
u 1}^{(r)}+\frac{d m_{
u 2}}{d t} \boldsymbol{u}_{
u 2}^{(r)}\right)+ \\
+\sum_{
u=1}^{N} \rho_{
u} \times\left(-\frac{d m_{
u 1}}{d t}+\frac{d m_{
u 2}}{d t}\right) \boldsymbol{v}_{
u}
\end{array}
\]

При помощи соотношения (1) это равенство приводится к виду
\[
\boldsymbol{M}_{O}^{(F)}=\sum_{
u=1}^{N} \boldsymbol{\rho}_{
u} \times\left(-\frac{d m_{
u 1}}{d t} \boldsymbol{u}_{
u 1}^{(r)}+\frac{d m_{
u 2}}{d t} \boldsymbol{u}_{
u 2}^{(r)}\right)+\sum_{
u=1}^{N} \boldsymbol{\rho}_{
u} \times \frac{d m_{
u}}{d t} \boldsymbol{v}_{
u} .
\]

Согласно уравнению (3) п. 132, первая сумма в (6) представляет собой главный момент $\boldsymbol{M}_{O}^{(r)}$ реактивных сил относительно точки $O$. Замечая, что $\boldsymbol{v}_{
u}=\boldsymbol{\omega} \times \rho_{
u}$ и проводя преобразования, совершенно аналогичные преобразованиям, проведенным в п. 82 , получим, что вторая сумма в (6) равна $\frac{d \mathbf{J}}{d t} \boldsymbol{\omega}$, где $\mathbf{J}$ — матрица тензора инерции тела для точки $O$ (которая является функцией времени). Таким образом, дополнительный момент $\boldsymbol{M}_{O}^{(F)}$, появляющийся за счет того, что рассматриваемое тело является системой переменного состава, может быть представлен в форме
\[
\boldsymbol{M}_{O}^{(F)}=\boldsymbol{M}_{O}^{(r)}+\frac{d \mathbf{J}}{d t} \boldsymbol{\omega} .
\]

Согласно формуле (9) п. 82, кинетический момент тела $\boldsymbol{K}_{O}$ может быть записан в виде $\boldsymbol{K}_{O}=\mathbf{J} \boldsymbol{\omega}$. Отсюда и из равенств (2), (7) получаем
\[
\frac{d \mathbf{J}}{d t} \boldsymbol{\omega}+\mathbf{J} \frac{d \boldsymbol{\omega}}{d t}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{J} \boldsymbol{\omega}=\boldsymbol{M}_{O}^{(e)}+\boldsymbol{M}_{O}^{(r)}+\frac{d \mathbf{J}}{d t} \boldsymbol{\omega},
\]

или
\[
\mathbf{J} \frac{d \boldsymbol{\omega}}{d t}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{J} \boldsymbol{\omega}=\boldsymbol{M}_{O}^{(e)}+\boldsymbol{M}_{O}^{(r)} .
\]

Если $J_{x}, J_{y}, J_{z}$ и $J_{x y}, J_{x z}, J_{y z}$ — осевые и центробежные моменты инерции, а $p, q, r$ — проекции угловой скорости тела на оси $O x, O y, O z$, то векторное уравнение (8) запишется в виде трех скалярных уравнений (3) п. 97, в правых частях которых появятся дополнительные слагаемые $M_{x}^{(r)}, M_{y}^{(r)}, M_{z}^{(r)}$, являющиеся проекциями момента реактивных сил на оси $O x, O y, O z$. В общем случае, когда момент внешних сил зависит от ориентации тела в пространстве, при исследовании движения тела вокруг неподвижной точки к этим уравнениям надо добавить еще три кинематических уравнения Эйлера.

Если в процессе отбрасывания и присоединения частиц оси $O x$, $O y, O z$ остаются ілавными осями инерции, то скалярная форма уравнения (8) примет форму динамических уравнений Эйлера:
\[
\begin{array}{l}
A \frac{d p}{d t}+(C-B) q r=M_{x}+M_{x}^{(r)}, \\
B \frac{d q}{d t}+(A-C) r p=M_{y}+M_{y}^{(r)}, \\
C \frac{d r}{d t}+(B-A) p q=M_{z}+M_{z}^{(r)},
\end{array}
\]

где $A, B, C$ — моменты инерции тела (зависящие от времени) относительно осей $O x, O y, O z$, а $M_{x}, M_{y}, M_{z}$ — проекции главного момента внешних сил на эти оси.
136. Вращение вокруг неподвижной оси. Пусть $O z-$ неподвижная ось, вокруг которой вращается тело переменного состава. Тогда $p \equiv 0, q \equiv 0, r=\omega_{z}(t)$. Для получения уравнения движения тела спроектируем обе части векторного уравнения (8) на ось $O z$. Получим
\[
J_{z} \frac{d \omega_{z}}{d t}=M_{z}+M_{z}^{(r)} .
\]

Это и будет дифференциальным уравнением вращения твердого тела вокруг неподвижной оси $O z$. От соответствующего уравнения для тела

постоянного состава оно отличается наличием в правой части дополнительного слагаемого $M_{z}^{(r)}$, являющегося проекцией момента реактивных сил на ось $O z$, и тем, что момент инерции $J_{z}$ тела относительно этой оси является переменной величиной.
ПРимер 1. Тело, имеющее форму кольца радиусом $r$, вращается под действием постоянного момента $M$ вокруг неподвижной вертикальной оси, совпадающей с осью симметрии. Когда тело приобрело угловую скорость $\omega_{0}$, потребовалось затормозить его. Для таких целей на внешнем ободе кольца на противоположных концах диаметра установлены два реактивных двигателя. Относительная скорость истечения газов в двигателях направлена по касательной к ободу кольца и равна и; секундный расход топлива равен $q$, начальный момент инерции тела с топливом равен $J_{0}$. Требуется найти расход топлива, необходимый для полного торможения тела.

Согласно (10), дифференииальное уравнение, описывающее вращение тела, будет таким:
\[
\left(J_{0}-q r^{2} t\right) \frac{d \omega}{d t}=M-q u r .
\]

Торможение вращения тела возможно, если величина реактивного момента достаточно велика ( $q u r>M$ ). Решив уравнение (11), получим зависимость угловой скорости тела от времени:
\[
\omega(t)=\omega_{0}+\frac{q u r-M}{q r^{2}} \ln \left(1-\frac{q r^{2}}{J_{0}} t\right) .
\]

Из уравнения $\omega(\tau)=0$ найдем время $\tau$ торможения вращения тела, $a$ затем по формуле $m=q \tau$ вычислим необходимый расход топлива. $B$ результате получим
\[
m=\frac{J_{0}}{r^{2}}\left(1-e^{-\frac{q r^{2} \omega_{0}}{q u r-M}}\right) .
\]