135. Движение вокруг неподвижной точки. Твердым телом переменного состава будем называть такую механическую систему, которая образована материальными точками $P_u(u=1,2,\dots ,N)$, расстояние между которыми остается постоянным, причем хотя бы одна из точек $P_u$ является материальной точкой переменного состава.
Если $m_u(t)$ — масса точки $P_u$, то
$$m_u(t)=m_u(0)-m_{u1}(t)+m_{u2}(t)(u=1,2,\dots ,N),$$

где $m_{u1}(t)(m_{u2}(t))$ — суммарная масса частиц, потерянных точкой $P_u$ за время $t$ (соответственно присоединившихся к точке $P_u$ ). Неотрицательные неубывающие функции $m_{u1}(t),m_{u2}(t)$ считаем непрерывными и дифференцируемыми.

Пусть твердое тело переменного состава имеет одну неподвижную точку $O$. Для получения дифференциальных уравнений движения тела воспользуемся теоремой об изменении кинетического момента системы переменного состава. Пусть система координат Охуz жестко связана с телом, а ${\mathit{K}}_O$ — кинетический момент тела относительно точки $O$. Если $\mathit{\omega }$ — угловая скорость тела, то из равенства (7) п. 131 получаем
$$\frac{\tilde{d}{\mathit{K}}_O}{dt}+\mathit{\omega }\times {\mathit{K}}_O={\mathit{M}}_O^{(e)}+{\mathit{M}}_O^{(F)},$$

где $\tilde{d}/dt$ означает локальную (в системе $Oxyz$ ) производную, ${\mathit{M}}_O^{(e)}-$ главный момент внешних сил относительно точки $O,M_O^{(F)}$ — дополнительный момент, возникающий за счет того, что тело имеет переменный состав.

Найдем вектор ${\mathit{M}}_O^{(F)}$. Пусть $\mathrm{\Delta }{m}_{u1}$ — масса частиц, отделившихся от точки $P_u,\mathrm{\Delta }{m}_{u2}$ — масса частиц, присоединившихся к точке $P_u$ за время $\mathrm{\Delta }t$. Если ${\mathit{u}}_{u1}$ и ${\mathit{u}}_{u2}$ — абсолютные скорости отделяющихся

и присоединяющихся частиц в момент времени $t$, то с точностью до членов первого порядка малости относительно $\mathrm{\Delta }{m}_{u1},\mathrm{\Delta }{m}_{u2},\mathrm{\Delta }t$ имеем
$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }{\mathit{K}}_{O1}& =\sum _{u=1}^N\mathrm{\Delta }{m}_{u1}{\mathit{\rho }}_u\times {\mathit{u}}_{u1},\\ \mathrm{\Delta }{\mathit{K}}_{O2}& =\sum _{u=1}^N\mathrm{\Delta }{m}_{u2}{\mathit{\rho }}_u\times {\mathit{u}}_{u2},\end{array}$$

где ${\rho }_u$ — радиус-вектор материальной точки $P_u$ относительно неподвижной точки $O$ тела. Из (3) и формул (8) п. 131 получаем
$${\mathit{M}}_O^{(F)}=-\sum _{u=1}^N\frac{d{m}_{u1}}{dt}{\mathit{\rho }}_u\times {\mathit{u}}_{u1}+\sum _{u=1}^N\frac{d{m}_{u2}}{dt}{\mathit{\rho }}_u\times {\mathit{u}}_{u2}.$$

Пусть ${\mathit{v}}_u$ — скорость точки тела $P_u$, а ${\mathit{u}}_{u1}^{(r)}$ и ${\mathit{u}}_{u2}^{(r)}$ — соответственно скорости присоединяющейся и отделяющейся частиц относительно точки $P_u$. Тогда ${\mathit{u}}_{ui}={\mathit{v}}_u+{\mathit{u}}_{ui}^{(r)}(i=1,2)$, что позволяет записать равенство (4) в таком виде:
$$\begin{array}{c}{\mathit{M}}_O^{(F)}-\sum _{u=1}^N{\mathit{\rho }}_u\times (-\frac{d{m}_{u1}}{dt}{\mathit{u}}_{u1}^{(r)}+\frac{d{m}_{u2}}{dt}{\mathit{u}}_{u2}^{(r)})+\\ +\sum _{u=1}^N{\rho }_u\times (-\frac{d{m}_{u1}}{dt}+\frac{d{m}_{u2}}{dt}){\mathit{v}}_u\end{array}$$

При помощи соотношения (1) это равенство приводится к виду
$${\mathit{M}}_O^{(F)}=\sum _{u=1}^N{\mathit{\rho }}_u\times (-\frac{d{m}_{u1}}{dt}{\mathit{u}}_{u1}^{(r)}+\frac{d{m}_{u2}}{dt}{\mathit{u}}_{u2}^{(r)})+\sum _{u=1}^N{\mathit{\rho }}_u\times \frac{d{m}_u}{dt}{\mathit{v}}_u.$$

Согласно уравнению (3) п. 132, первая сумма в (6) представляет собой главный момент ${\mathit{M}}_O^{(r)}$ реактивных сил относительно точки $O$. Замечая, что ${\mathit{v}}_u=\mathit{\omega }\times {\rho }_u$ и проводя преобразования, совершенно аналогичные преобразованиям, проведенным в п. 82 , получим, что вторая сумма в (6) равна $\frac{d\mathbf{J}}{dt}\mathit{\omega }$, где $\mathbf{J}$ — матрица тензора инерции тела для точки $O$ (которая является функцией времени). Таким образом, дополнительный момент ${\mathit{M}}_O^{(F)}$, появляющийся за счет того, что рассматриваемое тело является системой переменного состава, может быть представлен в форме
$${\mathit{M}}_O^{(F)}={\mathit{M}}_O^{(r)}+\frac{d\mathbf{J}}{dt}\mathit{\omega }.$$

Согласно формуле (9) п. 82, кинетический момент тела ${\mathit{K}}_O$ может быть записан в виде ${\mathit{K}}_O=\mathbf{J}\mathit{\omega }$. Отсюда и из равенств (2), (7) получаем
$$\frac{d\mathbf{J}}{dt}\mathit{\omega }+\mathbf{J}\frac{d\mathit{\omega }}{dt}+\mathit{\omega }\times \mathbf{J}\mathit{\omega }={\mathit{M}}_O^{(e)}+{\mathit{M}}_O^{(r)}+\frac{d\mathbf{J}}{dt}\mathit{\omega },$$

или
$$\mathbf{J}\frac{d\mathit{\omega }}{dt}+\mathit{\omega }\times \mathbf{J}\mathit{\omega }={\mathit{M}}_O^{(e)}+{\mathit{M}}_O^{(r)}.$$

Если $J_x,J_y,J_z$ и $J_{xy},J_{xz},J_{yz}$ — осевые и центробежные моменты инерции, а $p,q,r$ — проекции угловой скорости тела на оси $Ox,Oy,Oz$, то векторное уравнение (8) запишется в виде трех скалярных уравнений (3) п. 97, в правых частях которых появятся дополнительные слагаемые $M_x^{(r)},M_y^{(r)},M_z^{(r)}$, являющиеся проекциями момента реактивных сил на оси $Ox,Oy,Oz$. В общем случае, когда момент внешних сил зависит от ориентации тела в пространстве, при исследовании движения тела вокруг неподвижной точки к этим уравнениям надо добавить еще три кинематических уравнения Эйлера.

Если в процессе отбрасывания и присоединения частиц оси $Ox$, $Oy,Oz$ остаются ілавными осями инерции, то скалярная форма уравнения (8) примет форму динамических уравнений Эйлера:
$$\begin{array}{l}A\frac{dp}{dt}+(C-B)qr=M_x+M_x^{(r)},\\ B\frac{dq}{dt}+(A-C)rp=M_y+M_y^{(r)},\\ C\frac{dr}{dt}+(B-A)pq=M_z+M_z^{(r)},\end{array}$$

где $A,B,C$ — моменты инерции тела (зависящие от времени) относительно осей $Ox,Oy,Oz$, а $M_x,M_y,M_z$ — проекции главного момента внешних сил на эти оси.
136. Вращение вокруг неподвижной оси. Пусть $Oz-$ неподвижная ось, вокруг которой вращается тело переменного состава. Тогда $p\equiv 0,q\equiv 0,r={\omega }_z(t)$. Для получения уравнения движения тела спроектируем обе части векторного уравнения (8) на ось $Oz$. Получим
$$J_z\frac{d{\omega }_z}{dt}=M_z+M_z^{(r)}.$$

Это и будет дифференциальным уравнением вращения твердого тела вокруг неподвижной оси $Oz$. От соответствующего уравнения для тела

постоянного состава оно отличается наличием в правой части дополнительного слагаемого $M_z^{(r)}$, являющегося проекцией момента реактивных сил на ось $Oz$, и тем, что момент инерции $J_z$ тела относительно этой оси является переменной величиной.
ПРимер 1. Тело, имеющее форму кольца радиусом $r$, вращается под действием постоянного момента $M$ вокруг неподвижной вертикальной оси, совпадающей с осью симметрии. Когда тело приобрело угловую скорость ${\omega }_0$, потребовалось затормозить его. Для таких целей на внешнем ободе кольца на противоположных концах диаметра установлены два реактивных двигателя. Относительная скорость истечения газов в двигателях направлена по касательной к ободу кольца и равна и; секундный расход топлива равен $q$, начальный момент инерции тела с топливом равен $J_0$. Требуется найти расход топлива, необходимый для полного торможения тела.

Согласно (10), дифференииальное уравнение, описывающее вращение тела, будет таким:
$$(J_0-q{r}^{2}t)\frac{d\omega }{dt}=M-qur.$$

Торможение вращения тела возможно, если величина реактивного момента достаточно велика ( $qur>M$ ). Решив уравнение (11), получим зависимость угловой скорости тела от времени:
$$\omega (t)={\omega }_0+\frac{qur-M}{q{r}^2}\ln (1-\frac{q{r}^2}{J_0}t).$$

Из уравнения $\omega (\tau )=0$ найдем время $\tau$ торможения вращения тела, $a$ затем по формуле $m=q\tau$ вычислим необходимый расход топлива. $B$ результате получим
$$m=\frac{J_0}{r^2}(1-e^{-\frac{q{r}^2{\omega }_0}{qur-M}}).$$