62. Общее уравнение статики (принцип виртуальных перемещений). Задачи статики сформулированы в п. 47. В этом параграфе кратко рассмотрим некоторые основные вопросы статики произвольной механической системы с идеальными удерживающими связями. В следующем параграфе будут подробно изучены вопросы статики твердого тела, являющегося важнейшим для приложений частным случаем механической системы.

Рассмотрим несвободную систему материальных точек $P_u$ $(u=1,2,\dots ,N)$ со связями, задаваемыми уравнениями (1), (2) п. 10. Найдем условия, которым должны удовлетворять связи, чтобы система при ${\mathit{r}}_u={\mathit{r}}_{u_0}$ могла находиться в состоянии равновесия на интервале времени $t_0⩽t⩽t_1$. Во-первых, конечно, положения точек, задаваемые радиусами-векторами $r_u=r_{u_0}$, должны быть возможными на интервале $t_0⩽t⩽t_1$, т. е. на этом интервале должны выполняться тождества
$$f_{\alpha }({\mathit{r}}_{u_0},t)\equiv 0(\alpha =1,2,\dots ,r).$$

Во-вторых, из уравнений (2)-(5) п. 10, 11, задающих ограничения на скорости и ускорения точек системы, получаем при $r_u=r_{u_0}$, ${\mathit{v}}_u=0,{\mathit{w}}_u=0$ и $t_0⩽t⩽t_1$ тождества
$$\begin{array}{c}{a}_{\beta }({\mathit{r}}_{u_0},t)\equiv 0,\frac{\partial a_{\beta }({\mathit{r}}_{u_0},t)}{\partial t}\equiv 0,\frac{\partial f_{\alpha }({\mathit{r}}_{u_0},t)}{\partial t}\equiv 0,\frac{{\partial }^2{f}_{\alpha }({\mathit{r}}_{u_0},t)}{\partial t^2}\equiv 0\\ (\alpha =1,\dots ,r;\beta =1,\dots ,s).\end{array}$$

Из (1), (2) следует, что система при $t_0⩽t⩽t_1$ может находиться в состоянии равновесия в каком-либо ее возможном положении ${\mathit{r}}_u={\mathit{r}}_{u_0}$ только тогда, когда связи удовлетворяют условиям
$$\begin{array}{c}{f}_{\alpha }({\mathit{r}}_{u_0},t)=0,a_{\beta }({\mathit{r}}_{u_0},t)=0\\ (t_0⩽t⩽t_1;\alpha =1,2,\dots ,r;\beta =1,2,\dots ,s).\end{array}$$

Пусть тождества (3) выполнены, т. е. состояние равновесия ${\mathit{r}}_u={\mathit{r}}_{u_0}$ допускается связями, и пусть при $t=t_0$ имеем ${\mathit{r}}_u={\mathit{r}}_{u_0}$, ${\mathit{v}}_u=0$. Будет ли система при выполнении условий (3) находиться в состоянии равновесия, зависит от приложенных к ней сил.

В основе статики механической системы лежит принцип виртуальных перемещений, или принцип Лагранжа. Сформулируем его в виде теоремы.
Теорема. Чтобы некоторое допускаемое идеальными удерживающими связями состояние равновесия системы действительно было ее состоянием равновесия на интервале $t_0⩽t⩽t_1$, необходимо и достаточно, чтобы для любого момента времени из этого интервала элементарная работа активных сил на любом виртуальном перемещении равнялась нулю, т. е. чтобы выполнялось условие
$$\sum _{u=1}^N{\mathit{F}}_u\cdot \delta {\mathit{r}}_u=0(t_0⩽t⩽t_1).$$

Уравнение (4) называется общим уравнением статики.
Доказательство необходимости.
При доказательстве необходимости условия (4) для равновесия системы воспользуемся общим уравнением динамики
$$\sum _{u=1}^N({\mathit{F}}_u-m_u{w}_u)\cdot \delta {\mathit{r}}_u=0$$

которое справедливо в любой момент времени для систем с идеальными удерживающими связями. Если при $t_0⩽t⩽t_1$ система находится в состоянии равновесия, то ${\mathit{w}}_u=0$ и из уравнения (5) сразу следует условие (4).

Доказательство достаточности более сложно. Мы дадим его далее в п. 158. Здесь только заметим, что это доказательство будет по существу использовать принцип полной детерминированности движения, т. е. однозначного определения движения системы по начальным положениям и скоростям образующих ее материальных точек. Следующий пример показывает, что при отсутствии полной детерминированности движения принцип виртуальных перемещений может не иметь места.

Пусть материальная точка единичной массы движется вдоль оси $Ox$ под действием силы $F(x)=\alpha x^{\beta }(\alpha >0;0<\beta <1)$. Уравнение движения точки имеет вид
$$\ddot{x}=\alpha x^{\beta }.$$

Положение равновесия $x=0$ допускается связями; условие (4) выполнено при всех $t$, так как в положении равновесия $F=0$. Тем не менее точка, находясь при $t=0$ в начале координат и имея при этом нулевую скорость, может не оставаться в нем при $t>0$. Действительно, при начальных условиях $x(0)=0,\dot{x}(0)=0$ уравнение (6) помимо решения $x\equiv 0$ имеет еще одно решение вида
$$x(t)=a{t}^b,$$

где
$$a={\left[\frac{\alpha (1-\beta {)}^2}{2(1+\beta )}\right]}^{\frac{1}{1-\beta }},b=\frac{2}{1-\beta }.$$

Отметим еще, что, так как $b>2$, для решения (7) $\ddot{x}(0)=0$. Это указывает на то, что, если даже ускорение точки в положении равновесия равно нулю, все равно точка может не находиться в равновесии при $t>0$, хотя и выполнены условия (3) и (4). Игнорирование этого обстоятельства привело к тому, что во многих учебниках и научно-методических статьях доказательство достаточности принципа виртуальных перемещений либо неполно, либо ошибочно ${}^1$.
ПРимеР 1. На рис. 58 изображен механизм, состоящий из стержней, образующих три одинаковых параллелограмма. Стержни $MN,RS,SL$ и $NQ$ — цельные, со-
Рис. 58 единенные в точках пересечения шарнирами. Положим, что точки $A_0$ и $A_1$ соединены нитью; требуется определить ее натяжение.

Мысленно перережем нить и заменим ее действие приложенной к точке $A_1$ силой $\mathit{F}$. Пусть шарнир $A_1$ сдвинется вниз и $\delta$ — его виртуальное перемещение. Ввиду цельности стержней $MN,RS,SL$ и $NQ$ при виртуальном перемещении диагонали всех параллелограммов удлинятся на одну и ту же величину. Вследствие этого точка $A_2$ сместится вниз уже на $2\delta s$, а $A_3$ — на $3\delta s$.

Приравняв нулю сумму работ силы $\mathit{F}$ и веса $\mathit{P}$ на виртуальном перемещении, получим равенство
$$3P\delta s-F\delta s=0.$$

Отсюда, ввиду того, что $\delta seq0$, следует равенство
$$F=3P\text{. }$$

ПРимер 2 (ЗАкон Паскаля). Закон Паскаля описывает характер распространения давления в несжимаемой жидкости: давление на поверхность жидкости, произведенное внешними для жидкости силами, передается ею равномерно во все стороны.

Чтобы проиллюстрировать закон Паскаля, рассмотрим сосуд, целиком заполненный несжимаемой жидкостью; в сосуде имеются три отверстия, закрытые подвижными поринями 1, 2 и 3 (рис. 59). Пусть $S_i$ — площадь $i$-го поршня, а $\delta l_i$, его виртуальное перемещение ( $i=1,2,3$ ).

Закрепим мысленно поршень 3 , тогда будут двигаться поршни 1 и 2. Определенное движение поршня 1 вызовет определенное движение поршня 2. Объем жидкости, вдавленной первым поршнем, равен $S_1\delta l_1$;
Рис. 59

объем жидкости, вошедшей в трубку второго поршня, равен $S_2\delta l_2$. Из условия несжимаемости жидкости имеем $S_1\delta l_1=S_2\delta l_2$.

Составим сумму работ сил ${\mathit{P}}_1$ и ${\mathit{P}}_2$ на рассмотренном виртуальном перемещении:
$$P_1\delta l_1-P_2\delta l_2=0,P_1\delta l_1-P_2\frac{S_1}{S_2}\delta l_1=0.$$

Отсюда следует, что
$$\frac{P_1}{S_1}=\frac{P_2}{S_2}.$$

Аналогично, мысленно закрепляя
поршень 2 , можно получить, что
$$\frac{P_1}{S_1}=\frac{P_3}{S_3},$$

Рис. 60
т. е. давление на жидкость передается равномерно во все стороны.

ПРимер 3. У стены здания положены три одинаковые трубы, как показано на рис. 60. Какую горизонтальную силу $\mathit{F}$ нужно приложить к оси правой трубы, чтобы удержать трубы в равновесии, если вес каждой трубы равен $P$ ?

Если правой нижней трубе сообщть виртуальное перемещение вдоль оси Ох, то работу совершат только две указанные на рис. 60 силы: $\mathit{P}$ и $\mathit{F}$. Радиусы-векторы ${\mathit{r}}_A$ и ${\mathit{r}}_B$ точек их приложения в системе координт Оху задаются равенствами ( $a$ — радиус сечения труб)
$${\mathit{r}}_A^{\prime }=(2a\cos \alpha ,2a\sin \alpha ),{\mathit{r}}_B^{\prime }=(4a\cos \alpha ,0).$$

На указанном виртуальном перемещении угол $\alpha$ получает приращение $\delta \alpha$. Поэтому
$$\delta r_A^{\prime }=2a\delta \alpha (-\sin \alpha ,\cos \alpha ),\delta r_B^{\prime }=4a\delta \alpha (-\sin \alpha ,0).$$

Приравняв нулю сумму работ сил $\mathit{P}$ и $\mathit{F}$ на виртульном перемещении, получим равенство
$$\mathit{P}\cdot \delta {\mathit{r}}_A+\mathit{F}\cdot \delta {\mathit{r}}_B=0,$$

которое с учетом того, что
$${\mathit{P}}^{\prime }=(0,-P),{\mathit{F}}^{\prime }=(-F,0),$$

можно записать в виде
$$-P\cdot 2a\cos \alpha \cdot \delta \alpha +F\cdot 4a\sin \alpha \cdot \delta \alpha =0.$$

Отсюда при $\delta \alpha eq0$ получаем
$$F=\frac{1}{2}\mathrm{ctg}\alpha P.$$
63. Общее уравнение статики в обобщенных координатах. Пусть $q_1,q_2,\dots ,q_m$ — обобщенные координаты системы, а $Q_j(\mathit{q},\dot{\mathit{q}},t)$ — соответствующие им обобщенные силы. Уравнение (4) в обобщенных координатах запишетсн в виде
$$\sum _{u=1}^N{\mathit{F}}_u\cdot \delta {\mathit{r}}_u=\sum _{j=1}^m{Q}_j(\mathit{q},\mathbf{0},t)\delta q_j=0.$$

Если система голономна, то число ее обобщенных координат $m$ совпадает с числом степеней свободы $n$ и величины $\delta q_j$ в (8) независимы. Приравнивая нулю коэффициенты при $\delta q_j$ в уравнении (8), получаем, что в положении равновесия системы $\mathit{q}={\mathit{q}}_0$ (и только в нем) обобщенные силы равны нулю:
$$Q_i=0(i=1,2,\dots ,n).$$

Равенства (9) образуют систему $n$ уравнений относительно неизвестных $q_{10},q_{20},\dots ,q_{n0}$, задающих положение равновесия системы.

Если все активные силы потенциальны, то, согласно п. 54, из (9) получаем
$$Q_i=-\frac{\partial \mathrm{\Pi }}{\partial q_i}=0(i=1,2,\dots ,n),$$

где $\mathrm{\Pi }$ — потенциальная энергия системы. Отсюда следует, что необходимые и достаточные условия равновесия голономной системы (с идеальными удерживающими связями, в потенциальном поле сил) совпадают с необходимыми условиями экстремума потенциальной энергии в рассматриваемом положении равновесия системы.

В частности, если система движется в однородном поле тяжести, то условия (10) примут вид $\partial z_C/\partial q_i=0(i=1,2,\dots ,n)$, где $z_C$ — координата центра тяжести рассматриваемой системы в неподвижной системе координат с вертикальной осью $Oz$, т. е. для тяжелой системы необходимые и достаточные условия равновесия совпадают с необходимыми условиями экстремальности высоты ее центра тяжести над горизонтальной плоскостью.

Если система неголономна, то величины $\delta q_j$, в (8) не будут независимы; они связаны $s$ уравнениями (28) п. 16. Среди $m$ величин $\delta q_j$ независимыми будут только $n(n=m-s)$ из них. Пусть для определенности это будут величины $\delta q_1,\delta q_2,\dots ,\delta q_n$. Разрешив уравнения (28) п. 16 относительно $\delta q_{n+1},\delta q_{n+2},\dots ,\delta q_m$, получим
$$\delta q_{n+k}=\sum _{l=1}^n{\alpha }_{kl}\delta q_l(k=1,2,\dots ,m-n=s),$$

где величины ${\alpha }_{kl}$ являются функциями коэффициентов $b_{\beta j}$, входящих в уравнения (28) п. 16. Уравнение (8) после подстановки в него выражений (11) и приведения подобных членов примет вид
$$\sum _{i=1}^n{Q}_i^{\prime }\delta q_i=0,$$

где
$$Q_i^{\prime }=Q_i+\sum _{p=1}^{m-n}{\alpha }_{pi}{Q}_{n+p}(i=1,2,\dots ,n).$$

Так как величины $\delta q_i$ независимы, то из (12) следует, что
$$Q_i^{\prime }=0(i=1,2,\dots ,n).$$

Равенства (14) представляют собой систему $n$ уравнений относительно $m$ неизвестных $q_{10},q_{20},\dots ,q_{m0}$, определяющих положение равновесия системы. Так как число неизвестных превышает число уравнений, то в общем случае имеем многообразие состояний равновесия, размерность которого не меньше числа $s$ неголономных связей.

Отметим, что из (13) и (14) следует, что для неголономной системы в потенциальном поле сил некоторые или даже все частные производные потенциальной энергии в положении равновесия могут быть отличными от нуля.
ПРИмер 1. Пусть несвободная материальная точка с неинтегрируемой связью
$${\dot{q}}_3=q_1{\dot{q}}_2$$

движется в силовом поле с потенцилом вида
$$\mathrm{\Pi }=\frac{1}{2}(q_1^2+q_2^2+q_3^2).$$

Тогда $m=3,s=1,n=2;{\alpha }_{11}=0,{\alpha }_{12}=q_1;Q_i=-q_i(i=1,2,3)$; $Q_1^{\prime }=-q_1,Q_2^{\prime }=-q_2-q_1{q}_3$. Условия равновесия (14) запишутся в виде двух уравнений с тремя неизвестными:
$$q_1=0,q_2+q_1{q}_3=0.$$

Отсюда следует, что положения равновесия образуют одномерное многообразие
$$q_1=0,q_2=0,q_3=q_{30},$$

где $q_{30}$ — произвольное число.
Если $q_{30}eq0$, то в положении равновесия производная дП/2 $q_3$ отлична от нуля.
Пример 2. Два одинаковых стержня $OA$ и $AB$ весом $P$ и длиной 2 а скреплены шарниром $A$. Конец $O$ стержня $OA$ закреплен в неподвижном шарнире, а к кониу $B$ стержня $AB$ приложена горизонтальная сила $P/2$. Оба стержня расположены в вертикальной плоскости. Требуется найти углы $\alpha$ и $\beta$ при равновесии системы (рис. 61).
Система имеет две степени свободы и является голономной. За обобщенные координаты примем углы $\alpha$ и $\beta$. Найдем обобщенные силы $Q_{\alpha }$ и $Q_{\beta }$, отвечающие этим обобщенным координатам. В плоскости

стержней возьмем систему координат Оху, ось Ох которой направим вертикально вниз. Для активных сил ${\mathit{F}}_C,{\mathit{F}}_D,{\mathit{F}}_B$ и радиусов-векторов ${\mathit{r}}_C,{\mathit{r}}_D,{\mathit{r}}_B$ точек их приложения имеем
$$\begin{array}{c}{\mathit{F}}_C^{\prime }=(P,0),{\mathit{F}}_D^{\prime }=(P,0),{\mathit{F}}_B^{\prime }=(0,\frac{P}{2});\\ {\mathit{r}}_C^{\prime }=a(\cos \alpha ,\sin \alpha ),{\mathit{r}}_D^{\prime }=a(2\cos \alpha +\cos \beta ,2\sin \alpha +\sin \beta ),\\ {\mathit{r}}_B^{\prime }=2a(\cos \alpha +\cos \beta ,\sin \alpha +\sin \beta ).\end{array}$$

Вычислим элементарную работу активных сил на виртуальном перемещении системы, отвечающем вариациям $\delta \alpha$ и $\delta \beta$ обобщенных координат. Так как
$$\begin{array}{l}\delta {\mathit{r}}_C^{\prime }=a\delta \alpha (-\sin \alpha ,\cos \alpha ),\\ \delta {\mathit{r}}_D^{\prime }=a(-2\sin \alpha \cdot \delta \alpha -\sin \beta \cdot \delta \beta ,2\cos \alpha \cdot \delta \alpha +\cos \beta \cdot \delta \beta ),\\ \delta {\mathit{r}}_B^{\prime }=2a(-\sin \alpha \cdot \delta \alpha -\sin \beta \cdot \delta \beta ,\cos \alpha \cdot \delta \alpha +\cos \beta \cdot \delta \beta ),\end{array}$$
mo
$$\begin{array}{rl}\delta A& ={\mathit{F}}_C\cdot \delta {\mathit{r}}_C+{\mathit{F}}_D\cdot \delta r_D+{\mathit{F}}_B\cdot \delta {\mathit{r}}_B=\\ & =Pa[(\cos \alpha -3\sin \alpha )\delta \alpha +(\cos \beta -\sin \beta )\delta \beta ].\end{array}$$

Поэтому
$$Q_{\alpha }=Pa(\cos \alpha -3\sin \alpha ),Q_{\beta }=Pa(\cos \beta -\sin \beta ).$$

Из условий (9) получаем теперь, что при равновесии системы
$$\mathrm{tg}\alpha =\frac{1}{3},\mathrm{tg}\beta =1.$$

Пример 3. Тяжелое колечко надето на прут, которому придана форма кривой, определяемой уравнениями
$$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}+z^2=1,\frac{x}{6}+\frac{y}{3}+z=1,$$

где ось $Оz$ направлена вертикально вверх. Найдем положения равновесия колечка.

Пусть виртуальное перемещение колечка задается величинами $\delta x,\delta y,\delta z$. Продифференцировав уравнения, задающие форму прута, получим, что на виртуальном перемещении должны выполняться условия
$$x\delta x+4y\delta y+36z\delta z=0,\delta x+2\delta y+6\delta z=0.$$

Для положения равновесия элементарная работа Рठz ( $P$ — вес колечка) силы тяжести должна равняться нулю. Поэтому $\delta z=0$, и предыдущие два уравнения запишутся в виде
$$x\delta x+4y\delta y=0,\delta x+2\delta y=0$$

или, после исключения $\delta у$,
$$(x-2y)\delta x=0.$$

Это условие должно выполняться при любых $\delta$, следовательно,
$$x=2y\text{. }$$

Принимая во внимание уравнения кривой, по которой изогнут прут, получим два решения:
1) $x=4,y=2,z=-\frac{1}{3}$;
2) $x=0,y=0,z=1$.

ПРимеР 4. Однородный стержень $AD$ опирается концом $A$ на вертикальную стену, а в некоторой другой точке — на ребро $B$ (рис. 62). Длина стержня $2a$, расстояние точки $B$ от стены $b$. Найти угол $\alpha$ при равновесии стержня.
Рассматриваемая система голономна и имеет одну степень свободы. Примем угол $\alpha$ за обобщенную координату. Потенциальная энергия $\mathrm{\Pi }=-P{x}_C$, где $x_C$ — абсцисса центра тяжести стержня:
$$x_C=b\mathrm{ctg}\alpha -a\cos \alpha .$$

Условие равновесия $\partial П/\partial \alpha =0$ дает уравнение для $\alpha$ :
Рис. 62
$$-\frac{b}{{\sin }^2\alpha }+a\sin \alpha =0,$$

откуда
$$\sin \alpha =\sqrt[3]{\frac{b}{a}}.$$

Равновесие стержня возможно только в том случае, когда $b⩽a$.

64. Эквивалентные системы сил. Рассмотрим совокупность сил $({\mathit{F}}_1,{\mathit{F}}_2,\dots ,{\mathit{F}}_k)$, приложенную к некоторой механической системе. Допустим, что эта совокупность сил в данной механической системе заменена на совокупность сил $({\mathit{F}}_1^{\ast },{\mathit{F}}_2^{\ast },\dots ,{\mathit{F}}_l^{\ast })$. При этом количество, точки приложения, величины и направления сил в первой и второй системах могут быть различными. Движения механической системы под действием первой и второй систем сил при одинаковых начальных положениях точек системы и одинаковых их начальных скоростях могут быть одинаковыми, а могут отличаться.

Если две системы сил могут быть заменены одна другой без изменения движения (или состояния покоя) механической системы, то такие системы сил будем называть эквивалентными.

В частности, если добавление или отбрасывание некоторой системы сил не изменяет движение механической системы, то говорят, что эта система сил является уравновешенной или эквивалентной нулю.

Эквивалентность систем сил обозначается символом $\sim$ : если две системы $({\mathit{F}}_1,{\mathit{F}}_2,\dots ,{\mathit{F}}_k)$ и $({\mathit{F}}_1^{\ast },{\mathit{F}}_2^{\ast },\dots ,{\mathit{F}}_l^{\ast })$ эквивалентны, то пишут $({\mathit{F}}_1,{\mathit{F}}_2,\dots ,{\mathit{F}}_k)\sim ({\mathit{F}}_1^{\ast },{\mathit{F}}_2^{\ast },\dots ,{\mathit{F}}_l^{\ast })$.

Из общего уравнения динамики следует (см. замечание 1 в п. 57), что две системы сил эквивалентны тогда и только тогда, когда они совершают одинаковую работу на любых (одних и тех же для обеих систем сил) виртуальных перемещениях механической системы.

Выразим этот критерий эквивалентности через обобщенные силы. Пусть $Q_j$ и $Q_j^{\ast }(j=1,2,\dots ,m)$ — обобщенные силы, отвечающие первой и второй системам сил соответственно, а $\delta A$ и $\delta A^{\ast }$ — элементарные работы этих систем на виртуальных перемещениях $\delta q_1,\delta q_2,\dots ,\delta q_m$. Составим разность
$$\delta A-\delta A^{\ast }=\sum _{j=1}^m(Q_j-Q_j^{\ast })\delta q_j.$$

Для голономной системы величины $\delta q_j$ независимы. Поэтому, приравняв нулю левую часть формулы (15), получим, что системы сил, приложенные к голономной системе, эквивалентны тогда и только тогда, когда их обобщенные силы совпадают при каком-либо выборе обобщенных координат.

В случае неголономной системы величины $\delta q_j$, зависимы. Подставив в этом случае величины (11) в (15), приведя подобные члены и приравняв результат нулю, получим, что в случае неголономной системы для эквивалентности двух систем сил необходимо и достаточно, чтобы при каком-то выборе обобщенных координат совпадали величины $Q_i^{\prime }$ и $Q_i^{\prime \ast }$, вычисленные для обеих систем сил по формулам (13).

ПРИмер 1. Материальная точка $P(x,y)$ движется в плоскости $и$ имеет скорость, постоянно направленную на движущуюся точку $P_0(x_0(t),y_0(t))$. Уравнение связи имеет вид
$$\dot{y}=\frac{y-y_0(t)}{x-x_0(t)}\dot{x}.$$

Iри непостоянных $x_0,y_0$ это — дифференциальная неинтегрируемая связь. Следовательно, $m=2,s=1,n=1$.

Пусть к точке $P$ приложена сила $\mathit{F}(y_0(t)-y,-x_0(t)+x)$. Ей отвечают такие обобщенные силы ( $q_1=x,q_2=y)$ :
$$Q_1=y_0(t)-q_2,Q_2=-x_0(t)+q_1.$$

Из уравнения связи (16) следует, что
$${\alpha }_{11}=\frac{q_2-y_0(t)}{q_1-x_0(t)}.$$

Поэтому из формулы (13) имеем $Q_1^{\prime }=0$.
Если вместо силы $\mathit{F}$ к точке $P$ приложена сила ${\mathit{F}}^{\ast }=k\mathit{F}(keq1)$, то аналогично получим $Q_1^{\prime \ast }=0$. Поэтому силы $\mathit{F}$ и ${\mathit{F}}^{\ast }$ в рассматриваемой неголономной системе эквивалентни.

Если бы связь (16) отсутствовала, то имел бы место случай голономной системы, а силы $\mathit{F}$ и ${\mathit{F}}^{\ast }$ не были бы эквивалентны.