62. Общее уравнение статики (принцип виртуальных перемещений). Задачи статики сформулированы в п. 47. В этом параграфе кратко рассмотрим некоторые основные вопросы статики произвольной механической системы с идеальными удерживающими связями. В следующем параграфе будут подробно изучены вопросы статики твердого тела, являющегося важнейшим для приложений частным случаем механической системы.

Рассмотрим несвободную систему материальных точек $P_{
u}$ $(
u=1,2, \ldots, N)$ со связями, задаваемыми уравнениями (1), (2) п. 10. Найдем условия, которым должны удовлетворять связи, чтобы система при $\boldsymbol{r}_{
u}=\boldsymbol{r}_{
u_{0}}$ могла находиться в состоянии равновесия на интервале времени $t_{0} \leqslant t \leqslant t_{1}$. Во-первых, конечно, положения точек, задаваемые радиусами-векторами $r_{
u}=r_{
u_{0}}$, должны быть возможными на интервале $t_{0} \leqslant t \leqslant t_{1}$, т. е. на этом интервале должны выполняться тождества
\[
f_{\alpha}\left(\boldsymbol{r}_{
u_{0}}, t\right) \equiv 0 \quad(\alpha=1,2, \ldots, r) .
\]

Во-вторых, из уравнений (2)-(5) п. 10, 11, задающих ограничения на скорости и ускорения точек системы, получаем при $r_{
u}=r_{
u_{0}}$, $\boldsymbol{v}_{
u}=0, \boldsymbol{w}_{
u}=0$ и $t_{0} \leqslant t \leqslant t_{1}$ тождества
\[
\begin{array}{c}
a_{\beta}\left(\boldsymbol{r}_{
u_{0}}, t\right) \equiv 0, \frac{\partial a_{\beta}\left(\boldsymbol{r}_{
u_{0}}, t\right)}{\partial t} \equiv 0, \frac{\partial f_{\alpha}\left(\boldsymbol{r}_{
u_{0}}, t\right)}{\partial t} \equiv 0, \frac{\partial^{2} f_{\alpha}\left(\boldsymbol{r}_{
u_{0}}, t\right)}{\partial t^{2}} \equiv 0 \\
(\alpha=1, \ldots, r ; \quad \beta=1, \ldots, s) .
\end{array}
\]

Из (1), (2) следует, что система при $t_{0} \leqslant t \leqslant t_{1}$ может находиться в состоянии равновесия в каком-либо ее возможном положении $\boldsymbol{r}_{
u}=\boldsymbol{r}_{
u_{0}}$ только тогда, когда связи удовлетворяют условиям
\[
\begin{array}{c}
f_{\alpha}\left(\boldsymbol{r}_{
u_{0}}, t\right)=0, \quad a_{\beta}\left(\boldsymbol{r}_{
u_{0}}, t\right)=0 \\
\left(t_{0} \leqslant t \leqslant t_{1} ; \quad \alpha=1,2, \ldots, r ; \quad \beta=1,2, \ldots, s\right) .
\end{array}
\]

Пусть тождества (3) выполнены, т. е. состояние равновесия $\boldsymbol{r}_{
u}=\boldsymbol{r}_{
u_{0}}$ допускается связями, и пусть при $t=t_{0}$ имеем $\boldsymbol{r}_{
u}=\boldsymbol{r}_{
u_{0}}$, $\boldsymbol{v}_{
u}=0$. Будет ли система при выполнении условий (3) находиться в состоянии равновесия, зависит от приложенных к ней сил.

В основе статики механической системы лежит принцип виртуальных перемещений, или принцип Лагранжа. Сформулируем его в виде теоремы.
Теорема. Чтобы некоторое допускаемое идеальными удерживающими связями состояние равновесия системы действительно было ее состоянием равновесия на интервале $t_{0} \leqslant t \leqslant t_{1}$, необходимо и достаточно, чтобы для любого момента времени из этого интервала элементарная работа активных сил на любом виртуальном перемещении равнялась нулю, т. е. чтобы выполнялось условие
\[
\sum_{
u=1}^{N} \boldsymbol{F}_{
u} \cdot \delta \boldsymbol{r}_{
u}=0 \quad\left(t_{0} \leqslant t \leqslant t_{1}\right) .
\]

Уравнение (4) называется общим уравнением статики.
Доказательство необходимости.
При доказательстве необходимости условия (4) для равновесия системы воспользуемся общим уравнением динамики
\[
\sum_{
u=1}^{N}\left(\boldsymbol{F}_{
u}-m_{
u} w_{
u}\right) \cdot \delta \boldsymbol{r}_{
u}=0
\]

которое справедливо в любой момент времени для систем с идеальными удерживающими связями. Если при $t_{0} \leqslant t \leqslant t_{1}$ система находится в состоянии равновесия, то $\boldsymbol{w}_{
u}=0$ и из уравнения (5) сразу следует условие (4).

Доказательство достаточности более сложно. Мы дадим его далее в п. 158. Здесь только заметим, что это доказательство будет по существу использовать принцип полной детерминированности движения, т. е. однозначного определения движения системы по начальным положениям и скоростям образующих ее материальных точек. Следующий пример показывает, что при отсутствии полной детерминированности движения принцип виртуальных перемещений может не иметь места.

Пусть материальная точка единичной массы движется вдоль оси $O x$ под действием силы $F(x)=\alpha x^{\beta} \quad(\alpha>0 ; 0<\beta<1)$. Уравнение движения точки имеет вид
\[
\ddot{x}=\alpha x^{\beta} .
\]

Положение равновесия $x=0$ допускается связями; условие (4) выполнено при всех $t$, так как в положении равновесия $F=0$. Тем не менее точка, находясь при $t=0$ в начале координат и имея при этом нулевую скорость, может не оставаться в нем при $t>0$. Действительно, при начальных условиях $x(0)=0, \dot{x}(0)=0$ уравнение (6) помимо решения $x \equiv 0$ имеет еще одно решение вида
\[
x(t)=a t^{b},
\]

где
\[
a=\left[\frac{\alpha(1-\beta)^{2}}{2(1+\beta)}\right]^{\frac{1}{1-\beta}}, \quad b=\frac{2}{1-\beta} .
\]

Отметим еще, что, так как $b>2$, для решения (7) $\ddot{x}(0)=0$. Это указывает на то, что, если даже ускорение точки в положении равновесия равно нулю, все равно точка может не находиться в равновесии при $t>0$, хотя и выполнены условия (3) и (4). Игнорирование этого обстоятельства привело к тому, что во многих учебниках и научно-методических статьях доказательство достаточности принципа виртуальных перемещений либо неполно, либо ошибочно ${ }^{1}$.
ПРимеР 1. На рис. 58 изображен механизм, состоящий из стержней, образующих три одинаковых параллелограмма. Стержни $M N, R S, S L$ и $N Q$ – цельные, со-
Рис. 58 единенные в точках пересечения шарнирами. Положим, что точки $A_{0}$ и $A_{1}$ соединены нитью; требуется определить ее натяжение.

Мысленно перережем нить и заменим ее действие приложенной к точке $A_{1}$ силой $\boldsymbol{F}$. Пусть шарнир $A_{1}$ сдвинется вниз и $\delta$ – его виртуальное перемещение. Ввиду цельности стержней $M N, R S, S L$ и $N Q$ при виртуальном перемещении диагонали всех параллелограммов удлинятся на одну и ту же величину. Вследствие этого точка $A_{2}$ сместится вниз уже на $2 \delta s$, а $A_{3}$ – на $3 \delta s$.

Приравняв нулю сумму работ силы $\boldsymbol{F}$ и веса $\boldsymbol{P}$ на виртуальном перемещении, получим равенство
\[
3 P \delta s-F \delta s=0 .
\]

Отсюда, ввиду того, что $\delta s
eq 0$, следует равенство
\[
F=3 P \text {. }
\]

ПРимер 2 (ЗАкон Паскаля). Закон Паскаля описывает характер распространения давления в несжимаемой жидкости: давление на поверхность жидкости, произведенное внешними для жидкости силами, передается ею равномерно во все стороны.

Чтобы проиллюстрировать закон Паскаля, рассмотрим сосуд, целиком заполненный несжимаемой жидкостью; в сосуде имеются три отверстия, закрытые подвижными поринями 1, 2 и 3 (рис. 59). Пусть $S_{i}$ – площадь $i$-го поршня, а $\delta l_{i}$, его виртуальное перемещение ( $i=1,2,3$ ).

Закрепим мысленно поршень 3 , тогда будут двигаться поршни 1 и 2. Определенное движение поршня 1 вызовет определенное движение поршня 2. Объем жидкости, вдавленной первым поршнем, равен $S_{1} \delta l_{1}$;
Рис. 59

объем жидкости, вошедшей в трубку второго поршня, равен $S_{2} \delta l_{2}$. Из условия несжимаемости жидкости имеем $S_{1} \delta l_{1}=S_{2} \delta l_{2}$.

Составим сумму работ сил $\boldsymbol{P}_{1}$ и $\boldsymbol{P}_{2}$ на рассмотренном виртуальном перемещении:
\[
P_{1} \delta l_{1}-P_{2} \delta l_{2}=0, \quad P_{1} \delta l_{1}-P_{2} \frac{S_{1}}{S_{2}} \delta l_{1}=0 .
\]

Отсюда следует, что
\[
\frac{P_{1}}{S_{1}}=\frac{P_{2}}{S_{2}} .
\]

Аналогично, мысленно закрепляя
поршень 2 , можно получить, что
\[
\frac{P_{1}}{S_{1}}=\frac{P_{3}}{S_{3}},
\]

Рис. 60
т. е. давление на жидкость передается равномерно во все стороны.

ПРимер 3. У стены здания положены три одинаковые трубы, как показано на рис. 60. Какую горизонтальную силу $\boldsymbol{F}$ нужно приложить к оси правой трубы, чтобы удержать трубы в равновесии, если вес каждой трубы равен $P$ ?

Если правой нижней трубе сообщть виртуальное перемещение вдоль оси Ох, то работу совершат только две указанные на рис. 60 силы: $\boldsymbol{P}$ и $\boldsymbol{F}$. Радиусы-векторы $\boldsymbol{r}_{A}$ и $\boldsymbol{r}_{B}$ точек их приложения в системе координт Оху задаются равенствами ( $a$ – радиус сечения труб)
\[
\boldsymbol{r}_{A}^{\prime}=(2 a \cos \alpha, 2 a \sin \alpha), \quad \boldsymbol{r}_{B}^{\prime}=(4 a \cos \alpha, 0) .
\]

На указанном виртуальном перемещении угол $\alpha$ получает приращение $\delta \alpha$. Поэтому
\[
\delta r_{A}^{\prime}=2 a \delta \alpha(-\sin \alpha, \cos \alpha), \quad \delta r_{B}^{\prime}=4 a \delta \alpha(-\sin \alpha, 0) .
\]

Приравняв нулю сумму работ сил $\boldsymbol{P}$ и $\boldsymbol{F}$ на виртульном перемещении, получим равенство
\[
\boldsymbol{P} \cdot \delta \boldsymbol{r}_{A}+\boldsymbol{F} \cdot \delta \boldsymbol{r}_{B}=0,
\]

которое с учетом того, что
\[
\boldsymbol{P}^{\prime}=(0,-P), \quad \boldsymbol{F}^{\prime}=(-F, 0),
\]

можно записать в виде
\[
-P \cdot 2 a \cos \alpha \cdot \delta \alpha+F \cdot 4 a \sin \alpha \cdot \delta \alpha=0 .
\]

Отсюда при $\delta \alpha
eq 0$ получаем
\[
F=\frac{1}{2} \operatorname{ctg} \alpha P .
\]
63. Общее уравнение статики в обобщенных координатах. Пусть $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{m}$ – обобщенные координаты системы, а $Q_{j}(\boldsymbol{q}, \dot{\boldsymbol{q}}, t)$ – соответствующие им обобщенные силы. Уравнение (4) в обобщенных координатах запишетсн в виде
\[
\sum_{
u=1}^{N} \boldsymbol{F}_{
u} \cdot \delta \boldsymbol{r}_{
u}=\sum_{j=1}^{m} Q_{j}(\boldsymbol{q}, \mathbf{0}, t) \delta q_{j}=0 .
\]

Если система голономна, то число ее обобщенных координат $m$ совпадает с числом степеней свободы $n$ и величины $\delta q_{j}$ в (8) независимы. Приравнивая нулю коэффициенты при $\delta q_{j}$ в уравнении (8), получаем, что в положении равновесия системы $\boldsymbol{q}=\boldsymbol{q}_{0}$ (и только в нем) обобщенные силы равны нулю:
\[
Q_{i}=0 \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]

Равенства (9) образуют систему $n$ уравнений относительно неизвестных $q_{10}, q_{20}, \ldots, q_{n 0}$, задающих положение равновесия системы.

Если все активные силы потенциальны, то, согласно п. 54, из (9) получаем
\[
Q_{i}=-\frac{\partial \Pi}{\partial q_{i}}=0 \quad(i=1,2, \ldots, n),
\]

где $\Pi$ – потенциальная энергия системы. Отсюда следует, что необходимые и достаточные условия равновесия голономной системы (с идеальными удерживающими связями, в потенциальном поле сил) совпадают с необходимыми условиями экстремума потенциальной энергии в рассматриваемом положении равновесия системы.

В частности, если система движется в однородном поле тяжести, то условия (10) примут вид $\partial z_{C} / \partial q_{i}=0 \quad(i=1,2, \ldots, n)$, где $z_{C}$ – координата центра тяжести рассматриваемой системы в неподвижной системе координат с вертикальной осью $O z$, т. е. для тяжелой системы необходимые и достаточные условия равновесия совпадают с необходимыми условиями экстремальности высоты ее центра тяжести над горизонтальной плоскостью.

Если система неголономна, то величины $\delta q_{j}$, в (8) не будут независимы; они связаны $s$ уравнениями (28) п. 16. Среди $m$ величин $\delta q_{j}$ независимыми будут только $n(n=m-s)$ из них. Пусть для определенности это будут величины $\delta q_{1}, \delta q_{2}, \ldots, \delta q_{n}$. Разрешив уравнения (28) п. 16 относительно $\delta q_{n+1}, \delta q_{n+2}, \ldots, \delta q_{m}$, получим
\[
\delta q_{n+k}=\sum_{l=1}^{n} \alpha_{k l} \delta q_{l} \quad(k=1,2, \ldots, m-n=s),
\]

где величины $\alpha_{k l}$ являются функциями коэффициентов $b_{\beta j}$, входящих в уравнения (28) п. 16. Уравнение (8) после подстановки в него выражений (11) и приведения подобных членов примет вид
\[
\sum_{i=1}^{n} Q_{i}^{\prime} \delta q_{i}=0,
\]

где
\[
Q_{i}^{\prime}=Q_{i}+\sum_{p=1}^{m-n} \alpha_{p i} Q_{n+p} \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]

Так как величины $\delta q_{i}$ независимы, то из (12) следует, что
\[
Q_{i}^{\prime}=0 \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]

Равенства (14) представляют собой систему $n$ уравнений относительно $m$ неизвестных $q_{10}, q_{20}, \ldots, q_{m 0}$, определяющих положение равновесия системы. Так как число неизвестных превышает число уравнений, то в общем случае имеем многообразие состояний равновесия, размерность которого не меньше числа $s$ неголономных связей.

Отметим, что из (13) и (14) следует, что для неголономной системы в потенциальном поле сил некоторые или даже все частные производные потенциальной энергии в положении равновесия могут быть отличными от нуля.
ПРИмер 1. Пусть несвободная материальная точка с неинтегрируемой связью
\[
\dot{q}_{3}=q_{1} \dot{q}_{2}
\]

движется в силовом поле с потенцилом вида
\[
\Pi=\frac{1}{2}\left(q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+q_{3}^{2}\right) .
\]

Тогда $m=3, s=1, n=2 ; \alpha_{11}=0, \alpha_{12}=q_{1} ; Q_{i}=-q_{i}(i=1,2,3)$; $Q_{1}^{\prime}=-q_{1}, Q_{2}^{\prime}=-q_{2}-q_{1} q_{3}$. Условия равновесия (14) запишутся в виде двух уравнений с тремя неизвестными:
\[
q_{1}=0, \quad q_{2}+q_{1} q_{3}=0 .
\]

Отсюда следует, что положения равновесия образуют одномерное многообразие
\[
q_{1}=0, \quad q_{2}=0, \quad q_{3}=q_{30},
\]

где $q_{30}$ – произвольное число.
Если $q_{30}
eq 0$, то в положении равновесия производная дП/2 $q_{3}$ отлична от нуля.
Пример 2. Два одинаковых стержня $O A$ и $A B$ весом $P$ и длиной 2 а скреплены шарниром $A$. Конец $O$ стержня $O A$ закреплен в неподвижном шарнире, а к кониу $B$ стержня $A B$ приложена горизонтальная сила $P / 2$. Оба стержня расположены в вертикальной плоскости. Требуется найти углы $\alpha$ и $\beta$ при равновесии системы (рис. 61).
Система имеет две степени свободы и является голономной. За обобщенные координаты примем углы $\alpha$ и $\beta$. Найдем обобщенные силы $Q_{\alpha}$ и $Q_{\beta}$, отвечающие этим обобщенным координатам. В плоскости

стержней возьмем систему координат Оху, ось Ох которой направим вертикально вниз. Для активных сил $\boldsymbol{F}_{C}, \boldsymbol{F}_{D}, \boldsymbol{F}_{B}$ и радиусов-векторов $\boldsymbol{r}_{C}, \boldsymbol{r}_{D}, \boldsymbol{r}_{B}$ точек их приложения имеем
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{F}_{C}^{\prime}=(P, 0), \boldsymbol{F}_{D}^{\prime}=(P, 0), \boldsymbol{F}_{B}^{\prime}=\left(0, \frac{P}{2}\right) ; \\
\boldsymbol{r}_{C}^{\prime}=a(\cos \alpha, \sin \alpha), \quad \boldsymbol{r}_{D}^{\prime}=a(2 \cos \alpha+\cos \beta, 2 \sin \alpha+\sin \beta), \\
\boldsymbol{r}_{B}^{\prime}=2 a(\cos \alpha+\cos \beta, \sin \alpha+\sin \beta) .
\end{array}
\]

Вычислим элементарную работу активных сил на виртуальном перемещении системы, отвечающем вариациям $\delta \alpha$ и $\delta \beta$ обобщенных координат. Так как
\[
\begin{array}{l}
\delta \boldsymbol{r}_{C}^{\prime}=a \delta \alpha(-\sin \alpha, \cos \alpha), \\
\delta \boldsymbol{r}_{D}^{\prime}=a(-2 \sin \alpha \cdot \delta \alpha-\sin \beta \cdot \delta \beta, 2 \cos \alpha \cdot \delta \alpha+\cos \beta \cdot \delta \beta), \\
\delta \boldsymbol{r}_{B}^{\prime}=2 a(-\sin \alpha \cdot \delta \alpha-\sin \beta \cdot \delta \beta, \cos \alpha \cdot \delta \alpha+\cos \beta \cdot \delta \beta),
\end{array}
\]
mo
\[
\begin{aligned}
\delta A & =\boldsymbol{F}_{C} \cdot \delta \boldsymbol{r}_{C}+\boldsymbol{F}_{D} \cdot \delta r_{D}+\boldsymbol{F}_{B} \cdot \delta \boldsymbol{r}_{B}= \\
& =P a[(\cos \alpha-3 \sin \alpha) \delta \alpha+(\cos \beta-\sin \beta) \delta \beta] .
\end{aligned}
\]

Поэтому
\[
Q_{\alpha}=P a(\cos \alpha-3 \sin \alpha), \quad Q_{\beta}=P a(\cos \beta-\sin \beta) .
\]

Из условий (9) получаем теперь, что при равновесии системы
\[
\operatorname{tg} \alpha=\frac{1}{3}, \quad \operatorname{tg} \beta=1 .
\]

Пример 3. Тяжелое колечко надето на прут, которому придана форма кривой, определяемой уравнениями
\[
\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{9}+z^{2}=1, \quad \frac{x}{6}+\frac{y}{3}+z=1,
\]

где ось $О z$ направлена вертикально вверх. Найдем положения равновесия колечка.

Пусть виртуальное перемещение колечка задается величинами $\delta x, \delta y, \delta z$. Продифференцировав уравнения, задающие форму прута, получим, что на виртуальном перемещении должны выполняться условия
\[
x \delta x+4 y \delta y+36 z \delta z=0, \quad \delta x+2 \delta y+6 \delta z=0 .
\]

Для положения равновесия элементарная работа Рठz ( $P$ – вес колечка) силы тяжести должна равняться нулю. Поэтому $\delta z=0$, и предыдущие два уравнения запишутся в виде
\[
x \delta x+4 y \delta y=0, \quad \delta x+2 \delta y=0
\]

или, после исключения $\delta у$,
\[
(x-2 y) \delta x=0 .
\]

Это условие должно выполняться при любых $\delta$, следовательно,
\[
x=2 y \text {. }
\]

Принимая во внимание уравнения кривой, по которой изогнут прут, получим два решения:
1) $x=4, y=2, z=-\frac{1}{3}$;
2) $x=0, y=0, z=1$.

ПРимеР 4. Однородный стержень $A D$ опирается концом $A$ на вертикальную стену, а в некоторой другой точке – на ребро $B$ (рис. 62). Длина стержня $2 a$, расстояние точки $B$ от стены $b$. Найти угол $\alpha$ при равновесии стержня.
Рассматриваемая система голономна и имеет одну степень свободы. Примем угол $\alpha$ за обобщенную координату. Потенциальная энергия $\Pi=-P x_{C}$, где $x_{C}$ – абсцисса центра тяжести стержня:
\[
x_{C}=b \operatorname{ctg} \alpha-a \cos \alpha .
\]

Условие равновесия $\partial П / \partial \alpha=0$ дает уравнение для $\alpha$ :
Рис. 62
\[
-\frac{b}{\sin ^{2} \alpha}+a \sin \alpha=0,
\]

откуда
\[
\sin \alpha=\sqrt[3]{\frac{b}{a}} .
\]

Равновесие стержня возможно только в том случае, когда $b \leqslant a$.

64. Эквивалентные системы сил. Рассмотрим совокупность сил $\left(\boldsymbol{F}_{1}, \boldsymbol{F}_{2}, \ldots, \boldsymbol{F}_{k}\right)$, приложенную к некоторой механической системе. Допустим, что эта совокупность сил в данной механической системе заменена на совокупность сил $\left(\boldsymbol{F}_{1}^{*}, \boldsymbol{F}_{2}^{*}, \ldots, \boldsymbol{F}_{l}^{*}\right)$. При этом количество, точки приложения, величины и направления сил в первой и второй системах могут быть различными. Движения механической системы под действием первой и второй систем сил при одинаковых начальных положениях точек системы и одинаковых их начальных скоростях могут быть одинаковыми, а могут отличаться.

Если две системы сил могут быть заменены одна другой без изменения движения (или состояния покоя) механической системы, то такие системы сил будем называть эквивалентными.

В частности, если добавление или отбрасывание некоторой системы сил не изменяет движение механической системы, то говорят, что эта система сил является уравновешенной или эквивалентной нулю.

Эквивалентность систем сил обозначается символом $\sim$ : если две системы $\left(\boldsymbol{F}_{1}, \boldsymbol{F}_{2}, \ldots, \boldsymbol{F}_{k}\right)$ и $\left(\boldsymbol{F}_{1}^{*}, \boldsymbol{F}_{2}^{*}, \ldots, \boldsymbol{F}_{l}^{*}\right)$ эквивалентны, то пишут $\left(\boldsymbol{F}_{1}, \boldsymbol{F}_{2}, \ldots, \boldsymbol{F}_{k}\right) \sim\left(\boldsymbol{F}_{1}^{*}, \boldsymbol{F}_{2}^{*}, \ldots, \boldsymbol{F}_{l}^{*}\right)$.

Из общего уравнения динамики следует (см. замечание 1 в п. 57), что две системы сил эквивалентны тогда и только тогда, когда они совершают одинаковую работу на любых (одних и тех же для обеих систем сил) виртуальных перемещениях механической системы.

Выразим этот критерий эквивалентности через обобщенные силы. Пусть $Q_{j}$ и $Q_{j}^{*}(j=1,2, \ldots, m)$ – обобщенные силы, отвечающие первой и второй системам сил соответственно, а $\delta A$ и $\delta A^{*}$ – элементарные работы этих систем на виртуальных перемещениях $\delta q_{1}, \delta q_{2}, \ldots, \delta q_{m}$. Составим разность
\[
\delta A-\delta A^{*}=\sum_{j=1}^{m}\left(Q_{j}-Q_{j}^{*}\right) \delta q_{j} .
\]

Для голономной системы величины $\delta q_{j}$ независимы. Поэтому, приравняв нулю левую часть формулы (15), получим, что системы сил, приложенные к голономной системе, эквивалентны тогда и только тогда, когда их обобщенные силы совпадают при каком-либо выборе обобщенных координат.

В случае неголономной системы величины $\delta q_{j}$, зависимы. Подставив в этом случае величины (11) в (15), приведя подобные члены и приравняв результат нулю, получим, что в случае неголономной системы для эквивалентности двух систем сил необходимо и достаточно, чтобы при каком-то выборе обобщенных координат совпадали величины $Q_{i}^{\prime}$ и $Q_{i}^{\prime *}$, вычисленные для обеих систем сил по формулам (13).

ПРИмер 1. Материальная точка $P(x, y)$ движется в плоскости $и$ имеет скорость, постоянно направленную на движущуюся точку $P_{0}\left(x_{0}(t), y_{0}(t)\right)$. Уравнение связи имеет вид
\[
\dot{y}=\frac{y-y_{0}(t)}{x-x_{0}(t)} \dot{x} .
\]

Iри непостоянных $x_{0}, y_{0}$ это – дифференциальная неинтегрируемая связь. Следовательно, $m=2, s=1, n=1$.

Пусть к точке $P$ приложена сила $\boldsymbol{F}\left(y_{0}(t)-y,-x_{0}(t)+x\right)$. Ей отвечают такие обобщенные силы ( $\left.q_{1}=x, q_{2}=y\right)$ :
\[
Q_{1}=y_{0}(t)-q_{2}, \quad Q_{2}=-x_{0}(t)+q_{1} .
\]

Из уравнения связи (16) следует, что
\[
\alpha_{11}=\frac{q_{2}-y_{0}(t)}{q_{1}-x_{0}(t)} .
\]

Поэтому из формулы (13) имеем $Q_{1}^{\prime}=0$.
Если вместо силы $\boldsymbol{F}$ к точке $P$ приложена сила $\boldsymbol{F}^{*}=k \boldsymbol{F}(k
eq 1)$, то аналогично получим $Q_{1}^{\prime *}=0$. Поэтому силы $\boldsymbol{F}$ и $\boldsymbol{F}^{*}$ в рассматриваемой неголономной системе эквивалентни.

Если бы связь (16) отсутствовала, то имел бы место случай голономной системы, а силы $\boldsymbol{F}$ и $\boldsymbol{F}^{*}$ не были бы эквивалентны.