Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
62. Общее уравнение статики (принцип виртуальных перемещений). Задачи статики сформулированы в п. 47. В этом параграфе кратко рассмотрим некоторые основные вопросы статики произвольной механической системы с идеальными удерживающими связями. В следующем параграфе будут подробно изучены вопросы статики твердого тела, являющегося важнейшим для приложений частным случаем механической системы. Рассмотрим несвободную систему материальных точек $P_{ Во-вторых, из уравнений (2)-(5) п. 10, 11, задающих ограничения на скорости и ускорения точек системы, получаем при $r_{ Из (1), (2) следует, что система при $t_{0} \leqslant t \leqslant t_{1}$ может находиться в состоянии равновесия в каком-либо ее возможном положении $\boldsymbol{r}_{ Пусть тождества (3) выполнены, т. е. состояние равновесия $\boldsymbol{r}_{ В основе статики механической системы лежит принцип виртуальных перемещений, или принцип Лагранжа. Сформулируем его в виде теоремы. Уравнение (4) называется общим уравнением статики. которое справедливо в любой момент времени для систем с идеальными удерживающими связями. Если при $t_{0} \leqslant t \leqslant t_{1}$ система находится в состоянии равновесия, то $\boldsymbol{w}_{ Доказательство достаточности более сложно. Мы дадим его далее в п. 158. Здесь только заметим, что это доказательство будет по существу использовать принцип полной детерминированности движения, т. е. однозначного определения движения системы по начальным положениям и скоростям образующих ее материальных точек. Следующий пример показывает, что при отсутствии полной детерминированности движения принцип виртуальных перемещений может не иметь места. Пусть материальная точка единичной массы движется вдоль оси $O x$ под действием силы $F(x)=\alpha x^{\beta} \quad(\alpha>0 ; 0<\beta<1)$. Уравнение движения точки имеет вид Положение равновесия $x=0$ допускается связями; условие (4) выполнено при всех $t$, так как в положении равновесия $F=0$. Тем не менее точка, находясь при $t=0$ в начале координат и имея при этом нулевую скорость, может не оставаться в нем при $t>0$. Действительно, при начальных условиях $x(0)=0, \dot{x}(0)=0$ уравнение (6) помимо решения $x \equiv 0$ имеет еще одно решение вида где Отметим еще, что, так как $b>2$, для решения (7) $\ddot{x}(0)=0$. Это указывает на то, что, если даже ускорение точки в положении равновесия равно нулю, все равно точка может не находиться в равновесии при $t>0$, хотя и выполнены условия (3) и (4). Игнорирование этого обстоятельства привело к тому, что во многих учебниках и научно-методических статьях доказательство достаточности принципа виртуальных перемещений либо неполно, либо ошибочно ${ }^{1}$. Мысленно перережем нить и заменим ее действие приложенной к точке $A_{1}$ силой $\boldsymbol{F}$. Пусть шарнир $A_{1}$ сдвинется вниз и $\delta$ — его виртуальное перемещение. Ввиду цельности стержней $M N, R S, S L$ и $N Q$ при виртуальном перемещении диагонали всех параллелограммов удлинятся на одну и ту же величину. Вследствие этого точка $A_{2}$ сместится вниз уже на $2 \delta s$, а $A_{3}$ — на $3 \delta s$. Приравняв нулю сумму работ силы $\boldsymbol{F}$ и веса $\boldsymbol{P}$ на виртуальном перемещении, получим равенство Отсюда, ввиду того, что $\delta s ПРимер 2 (ЗАкон Паскаля). Закон Паскаля описывает характер распространения давления в несжимаемой жидкости: давление на поверхность жидкости, произведенное внешними для жидкости силами, передается ею равномерно во все стороны. Чтобы проиллюстрировать закон Паскаля, рассмотрим сосуд, целиком заполненный несжимаемой жидкостью; в сосуде имеются три отверстия, закрытые подвижными поринями 1, 2 и 3 (рис. 59). Пусть $S_{i}$ — площадь $i$-го поршня, а $\delta l_{i}$, его виртуальное перемещение ( $i=1,2,3$ ). Закрепим мысленно поршень 3 , тогда будут двигаться поршни 1 и 2. Определенное движение поршня 1 вызовет определенное движение поршня 2. Объем жидкости, вдавленной первым поршнем, равен $S_{1} \delta l_{1}$; объем жидкости, вошедшей в трубку второго поршня, равен $S_{2} \delta l_{2}$. Из условия несжимаемости жидкости имеем $S_{1} \delta l_{1}=S_{2} \delta l_{2}$. Составим сумму работ сил $\boldsymbol{P}_{1}$ и $\boldsymbol{P}_{2}$ на рассмотренном виртуальном перемещении: Отсюда следует, что Аналогично, мысленно закрепляя Рис. 60 ПРимер 3. У стены здания положены три одинаковые трубы, как показано на рис. 60. Какую горизонтальную силу $\boldsymbol{F}$ нужно приложить к оси правой трубы, чтобы удержать трубы в равновесии, если вес каждой трубы равен $P$ ? Если правой нижней трубе сообщть виртуальное перемещение вдоль оси Ох, то работу совершат только две указанные на рис. 60 силы: $\boldsymbol{P}$ и $\boldsymbol{F}$. Радиусы-векторы $\boldsymbol{r}_{A}$ и $\boldsymbol{r}_{B}$ точек их приложения в системе координт Оху задаются равенствами ( $a$ — радиус сечения труб) На указанном виртуальном перемещении угол $\alpha$ получает приращение $\delta \alpha$. Поэтому Приравняв нулю сумму работ сил $\boldsymbol{P}$ и $\boldsymbol{F}$ на виртульном перемещении, получим равенство которое с учетом того, что можно записать в виде Отсюда при $\delta \alpha Если система голономна, то число ее обобщенных координат $m$ совпадает с числом степеней свободы $n$ и величины $\delta q_{j}$ в (8) независимы. Приравнивая нулю коэффициенты при $\delta q_{j}$ в уравнении (8), получаем, что в положении равновесия системы $\boldsymbol{q}=\boldsymbol{q}_{0}$ (и только в нем) обобщенные силы равны нулю: Равенства (9) образуют систему $n$ уравнений относительно неизвестных $q_{10}, q_{20}, \ldots, q_{n 0}$, задающих положение равновесия системы. Если все активные силы потенциальны, то, согласно п. 54, из (9) получаем где $\Pi$ — потенциальная энергия системы. Отсюда следует, что необходимые и достаточные условия равновесия голономной системы (с идеальными удерживающими связями, в потенциальном поле сил) совпадают с необходимыми условиями экстремума потенциальной энергии в рассматриваемом положении равновесия системы. В частности, если система движется в однородном поле тяжести, то условия (10) примут вид $\partial z_{C} / \partial q_{i}=0 \quad(i=1,2, \ldots, n)$, где $z_{C}$ — координата центра тяжести рассматриваемой системы в неподвижной системе координат с вертикальной осью $O z$, т. е. для тяжелой системы необходимые и достаточные условия равновесия совпадают с необходимыми условиями экстремальности высоты ее центра тяжести над горизонтальной плоскостью. Если система неголономна, то величины $\delta q_{j}$, в (8) не будут независимы; они связаны $s$ уравнениями (28) п. 16. Среди $m$ величин $\delta q_{j}$ независимыми будут только $n(n=m-s)$ из них. Пусть для определенности это будут величины $\delta q_{1}, \delta q_{2}, \ldots, \delta q_{n}$. Разрешив уравнения (28) п. 16 относительно $\delta q_{n+1}, \delta q_{n+2}, \ldots, \delta q_{m}$, получим где величины $\alpha_{k l}$ являются функциями коэффициентов $b_{\beta j}$, входящих в уравнения (28) п. 16. Уравнение (8) после подстановки в него выражений (11) и приведения подобных членов примет вид где Так как величины $\delta q_{i}$ независимы, то из (12) следует, что Равенства (14) представляют собой систему $n$ уравнений относительно $m$ неизвестных $q_{10}, q_{20}, \ldots, q_{m 0}$, определяющих положение равновесия системы. Так как число неизвестных превышает число уравнений, то в общем случае имеем многообразие состояний равновесия, размерность которого не меньше числа $s$ неголономных связей. Отметим, что из (13) и (14) следует, что для неголономной системы в потенциальном поле сил некоторые или даже все частные производные потенциальной энергии в положении равновесия могут быть отличными от нуля. движется в силовом поле с потенцилом вида Тогда $m=3, s=1, n=2 ; \alpha_{11}=0, \alpha_{12}=q_{1} ; Q_{i}=-q_{i}(i=1,2,3)$; $Q_{1}^{\prime}=-q_{1}, Q_{2}^{\prime}=-q_{2}-q_{1} q_{3}$. Условия равновесия (14) запишутся в виде двух уравнений с тремя неизвестными: Отсюда следует, что положения равновесия образуют одномерное многообразие где $q_{30}$ — произвольное число. стержней возьмем систему координат Оху, ось Ох которой направим вертикально вниз. Для активных сил $\boldsymbol{F}_{C}, \boldsymbol{F}_{D}, \boldsymbol{F}_{B}$ и радиусов-векторов $\boldsymbol{r}_{C}, \boldsymbol{r}_{D}, \boldsymbol{r}_{B}$ точек их приложения имеем Вычислим элементарную работу активных сил на виртуальном перемещении системы, отвечающем вариациям $\delta \alpha$ и $\delta \beta$ обобщенных координат. Так как Поэтому Из условий (9) получаем теперь, что при равновесии системы Пример 3. Тяжелое колечко надето на прут, которому придана форма кривой, определяемой уравнениями где ось $О z$ направлена вертикально вверх. Найдем положения равновесия колечка. Пусть виртуальное перемещение колечка задается величинами $\delta x, \delta y, \delta z$. Продифференцировав уравнения, задающие форму прута, получим, что на виртуальном перемещении должны выполняться условия Для положения равновесия элементарная работа Рठz ( $P$ — вес колечка) силы тяжести должна равняться нулю. Поэтому $\delta z=0$, и предыдущие два уравнения запишутся в виде или, после исключения $\delta у$, Это условие должно выполняться при любых $\delta$, следовательно, Принимая во внимание уравнения кривой, по которой изогнут прут, получим два решения: ПРимеР 4. Однородный стержень $A D$ опирается концом $A$ на вертикальную стену, а в некоторой другой точке — на ребро $B$ (рис. 62). Длина стержня $2 a$, расстояние точки $B$ от стены $b$. Найти угол $\alpha$ при равновесии стержня. Условие равновесия $\partial П / \partial \alpha=0$ дает уравнение для $\alpha$ : откуда Равновесие стержня возможно только в том случае, когда $b \leqslant a$. 64. Эквивалентные системы сил. Рассмотрим совокупность сил $\left(\boldsymbol{F}_{1}, \boldsymbol{F}_{2}, \ldots, \boldsymbol{F}_{k}\right)$, приложенную к некоторой механической системе. Допустим, что эта совокупность сил в данной механической системе заменена на совокупность сил $\left(\boldsymbol{F}_{1}^{*}, \boldsymbol{F}_{2}^{*}, \ldots, \boldsymbol{F}_{l}^{*}\right)$. При этом количество, точки приложения, величины и направления сил в первой и второй системах могут быть различными. Движения механической системы под действием первой и второй систем сил при одинаковых начальных положениях точек системы и одинаковых их начальных скоростях могут быть одинаковыми, а могут отличаться. Если две системы сил могут быть заменены одна другой без изменения движения (или состояния покоя) механической системы, то такие системы сил будем называть эквивалентными. В частности, если добавление или отбрасывание некоторой системы сил не изменяет движение механической системы, то говорят, что эта система сил является уравновешенной или эквивалентной нулю. Эквивалентность систем сил обозначается символом $\sim$ : если две системы $\left(\boldsymbol{F}_{1}, \boldsymbol{F}_{2}, \ldots, \boldsymbol{F}_{k}\right)$ и $\left(\boldsymbol{F}_{1}^{*}, \boldsymbol{F}_{2}^{*}, \ldots, \boldsymbol{F}_{l}^{*}\right)$ эквивалентны, то пишут $\left(\boldsymbol{F}_{1}, \boldsymbol{F}_{2}, \ldots, \boldsymbol{F}_{k}\right) \sim\left(\boldsymbol{F}_{1}^{*}, \boldsymbol{F}_{2}^{*}, \ldots, \boldsymbol{F}_{l}^{*}\right)$. Из общего уравнения динамики следует (см. замечание 1 в п. 57), что две системы сил эквивалентны тогда и только тогда, когда они совершают одинаковую работу на любых (одних и тех же для обеих систем сил) виртуальных перемещениях механической системы. Выразим этот критерий эквивалентности через обобщенные силы. Пусть $Q_{j}$ и $Q_{j}^{*}(j=1,2, \ldots, m)$ — обобщенные силы, отвечающие первой и второй системам сил соответственно, а $\delta A$ и $\delta A^{*}$ — элементарные работы этих систем на виртуальных перемещениях $\delta q_{1}, \delta q_{2}, \ldots, \delta q_{m}$. Составим разность Для голономной системы величины $\delta q_{j}$ независимы. Поэтому, приравняв нулю левую часть формулы (15), получим, что системы сил, приложенные к голономной системе, эквивалентны тогда и только тогда, когда их обобщенные силы совпадают при каком-либо выборе обобщенных координат. В случае неголономной системы величины $\delta q_{j}$, зависимы. Подставив в этом случае величины (11) в (15), приведя подобные члены и приравняв результат нулю, получим, что в случае неголономной системы для эквивалентности двух систем сил необходимо и достаточно, чтобы при каком-то выборе обобщенных координат совпадали величины $Q_{i}^{\prime}$ и $Q_{i}^{\prime *}$, вычисленные для обеих систем сил по формулам (13). ПРИмер 1. Материальная точка $P(x, y)$ движется в плоскости $и$ имеет скорость, постоянно направленную на движущуюся точку $P_{0}\left(x_{0}(t), y_{0}(t)\right)$. Уравнение связи имеет вид Iри непостоянных $x_{0}, y_{0}$ это — дифференциальная неинтегрируемая связь. Следовательно, $m=2, s=1, n=1$. Пусть к точке $P$ приложена сила $\boldsymbol{F}\left(y_{0}(t)-y,-x_{0}(t)+x\right)$. Ей отвечают такие обобщенные силы ( $\left.q_{1}=x, q_{2}=y\right)$ : Из уравнения связи (16) следует, что Поэтому из формулы (13) имеем $Q_{1}^{\prime}=0$. Если бы связь (16) отсутствовала, то имел бы место случай голономной системы, а силы $\boldsymbol{F}$ и $\boldsymbol{F}^{*}$ не были бы эквивалентны.
|
1 |
Оглавление
|