137. Общее уравнение динамики в обобщенных координатах. Рассмотрим систему $N$ материальных точек $P_{
u}(
u=$ $=1,2, \ldots, N)$. Если система несвободна, то наложенные на нее связи предполагаются удерживающими и идеальными. Пусть $\delta \boldsymbol{r}_{
u}$ – виртуальное перемещение точки $P_{
u}, m_{
u}$ – ее масса, $\boldsymbol{w}_{
u}$ – ускорение в инерциальной системе координат, а $\boldsymbol{F}_{
u}$ – равнодействующая всех активных сил, приложенных к точке $P_{
u}$. Тогда имеет место общее уравнение динамики (п. 57)
\[
\sum_{
u=1}^{N}\left(\boldsymbol{F}_{
u}-m_{
u} w_{
u}\right) \cdot \delta \boldsymbol{r}_{
u}=0
\]

В том случае, когда все или некоторые из связей не идеальны, к величинам $\boldsymbol{F}_{
u}$ следует добавить часть $\boldsymbol{G}_{
u}$ равнодействующей реакций связей, действующих на точку $P_{
u}$, которая не удовлетворяет условию идеальности. После этого изучаемую систему можно формально рассматривать как систему с идеальными связями.

Общее уравнение динамики (1) мы принимаем за исходное при получении основных дифференциальных уравнений аналитической динамики, которым посвящена данная глава. Фактически все изучаемые ниже уравнения движения материальных систем являются только различными формами записи уравнения (1), к которым оно приводится при тех или иных предположениях о характере активных сил, действующих на систему, и о наложенных на нее связях.

Пусть на систему наложено $r$ геометрических и $s$ кинематических неинтегрируемых связей. Пусть $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{m}$ – обобщенные координаты системы. Их число $m$ равно $3 N-r$. Тогда радиусы-векторы $\mathbf{r}_{
u}$ точек $P_{
u}$ относительно начала инерциальной системы координат записываются в виде функций аргументов $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{m}, t$
\[
\boldsymbol{r}_{
u}=\boldsymbol{r}_{
u}\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{m}, t\right)
\]

которые предполагаются дважды непрерывно дифференцируемыми. Если система склерономна, то обобщенные координаты $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{m}$ можно выбрать так, чтобы функции $r_{
u}$ не зависели от $t$. Из (2) получаем (см. п. 16)
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{v}_{
u} & =\dot{\boldsymbol{r}}_{
u}=\sum_{j=1}^{m} \frac{\partial \boldsymbol{r}_{
u}}{\partial q_{j}} \dot{q}_{j}+\frac{\partial \boldsymbol{r}_{
u}}{\partial t} & (
u=1,2, \ldots, N), \\
\delta \boldsymbol{r}_{
u} & =\sum_{j=1}^{m} \frac{\partial \boldsymbol{r}_{
u}}{\partial q_{j}} \delta q_{j} & (
u=1,2, \ldots, N) .
\end{aligned}
\]

Запишем общее уравнение динамики (1) в обобщенных координатах. Для элементарной работы активных сил имеем выражение
\[
\sum_{
u=1}^{N} \boldsymbol{F}_{
u} \cdot \delta \boldsymbol{r}_{
u}=\sum_{
u=1}^{m} Q_{j} \delta q_{j}
\]

где $Q_{j}$ – обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате $q_{j}$. Она в общем случае является функцией $q_{l}, \dot{q}_{l}$ и $t$ $(l=1,2, \ldots, m)$.

Преобразуем выражение для элементарной работы сил инерции на виртуальном перемещении системы. Пользуясь формулой (4) и меняя порядок суммирования, получаем предварительно
\[
\begin{aligned}
-\sum_{
u=1}^{N} m_{
u} \boldsymbol{w}_{
u} \cdot \delta \boldsymbol{r}_{
u} & =-\sum_{
u=1}^{N} m_{
u} \frac{d \dot{\boldsymbol{r}}_{
u}}{d t} \cdot \sum_{j=1}^{m} \frac{\partial \boldsymbol{r}_{
u}}{\partial q_{j}} \delta q_{j}= \\
& =-\sum_{j=1}^{m}\left(\sum_{
u=1}^{N} m_{
u} \frac{d \dot{\boldsymbol{r}}_{
u}}{d t} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{r}_{
u}}{\partial q_{j}}\right) \delta q_{j}
\end{aligned}
\]

Нo
\[
\begin{array}{c}
\sum_{
u=1}^{N} m_{
u} \frac{d \dot{\boldsymbol{r}}_{
u}}{d t} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{r}_{
u}}{\partial q_{j}}=\frac{d}{d t}\left(\sum_{
u=1}^{N} m_{
u} \dot{\boldsymbol{r}}_{
u} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{r}_{
u}}{\partial q_{j}}\right)-\sum_{
u=1}^{N} m_{
u} \dot{\boldsymbol{r}}_{
u} \cdot \frac{d}{d t} \frac{\partial \boldsymbol{r}_{
u}}{\partial q_{j}} \\
(j=1,2, \ldots, m) .
\end{array}
\]

Последнее равенство при помощи формул (25) п. 16 можно записать в виде
\[
\begin{aligned}
\sum_{
u=1}^{N} m_{
u} \frac{d \dot{\boldsymbol{r}}_{
u}}{d t} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{r}_{
u}}{\partial q_{j}}= & \frac{d}{d t}\left(\sum_{
u=1}^{N} m_{
u} \dot{\boldsymbol{r}}_{
u} \cdot \frac{\partial \dot{\boldsymbol{r}}_{
u}}{\partial \dot{q}_{j}}\right)-\sum_{
u=1}^{N} m_{
u} \dot{\boldsymbol{r}}_{
u} \cdot \frac{\partial \dot{\boldsymbol{r}}_{
u}}{\partial q_{j}} \\
& (j=1,2, \ldots, m) .
\end{aligned}
\]

Если использовать выражение для кинетической энергии системы
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{
u=1}^{n} m_{
u} \dot{r}_{
u}^{2}
\]

то равенство (7) можно переписать в виде
\[
\sum_{
u=1}^{N} m_{
u} \frac{d \dot{\boldsymbol{r}}_{
u}}{d t} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{r}_{
u}}{\partial q_{j}}=\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{j}}-\frac{\partial T}{\partial q_{j}} \quad(j=1,2, \ldots, m) .
\]

Подставив (8) в формулу (6), получим выражение для элементарной работы сил инерции в виде
\[
-\sum_{
u=1}^{N} m_{
u} \boldsymbol{w}_{
u} \cdot \delta \boldsymbol{r}_{
u}=-\sum_{j=1}^{m}\left(\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{j}}-\frac{\partial T}{\partial q_{j}}\right) \delta q_{j} .
\]

Подставим теперь выражения (5) и (9) в соотношение (1) и умножим обе части получившегося равенства на -1 . В результате получим общее уравнение динамики в обобщенных координатах:
\[
\sum_{j=1}^{m}\left(\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{j}}-\frac{\partial T}{\partial q_{j}}-Q_{j}\right) \delta q_{j}=0 .
\]
138. Уравнения Лагранжа. Пусть система голономна. Тогда величины $\delta q_{j}(j=1,2, \ldots, m)$ независимы и число обобщенных координат равно числу степеней свободы системы $(m=n)$. В силу независимости величин $\delta q_{j}$ уравнение (10) удовлетворяется тогда и только тогда, когда равны нулю коэффициенты при всех $\delta q_{j}$. Поэтому уравнение (10) эквивалентно следующей системе $n$ уравнений:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial T}{\partial q_{i}}=Q_{i} \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]

Уравнения (11) называются уравнениями Лагранжа второго рода ${ }^{1}$. Они образуют систему $n$ уравнений второго порядка относительно $n$ функций $q_{i}(t)$. Порядок этой системы равен $2 n$. Заметим, что это наименьший возможный порядок дифференциальных уравнений движения рассматриваемой системы, так как начальные значения величин $q_{i}, \dot{q}_{i}$ $(i=1,2, \ldots, n)$ могут быть произвольными.

Для получения уравнений Лагранжа надо выразить кинетическую энергию $T$ системы через обобщенные координаты и скорости, найти обобщенные силы и произвести указанные в (11) дифференцирования функции $T\left(q_{j}, \dot{q}_{j}, t\right)$ по обобщенным координатам, обобщенным скоростям и времени. Заметим, что форма уравнений Лагранжа не зависит от выбора обобщенных координат $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$. При другом их выборе изменились бы только функции $T$ и $Q_{i}$, а сама форма уравнений (11) осталась бы той же. В связи с этим говорят, что уравнения Лагранжа второго рода обладают свойством ковариантности.

В уравнениях Лагранжа не содержатся реакции идеальных связей. Если же нужно найти реакции связей, то надо после интегрирования уравнений Лагранжа подставить функции $q_{i}(t)$ в выражения (2), и тогда равнодействующая $\boldsymbol{R}_{
u}$ реакций связей, приложенных к точке $P_{
u}$, найдётся из соотношений
\[
\boldsymbol{R}_{
u}=m_{
u} \ddot{\boldsymbol{r}}_{
u}-\boldsymbol{F}_{
u}\left(\boldsymbol{r}_{
u}, \dot{\boldsymbol{r}}_{
u}, t\right) .
\]

ПРИМЕР 1 (ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ $u$ ). Здесь $n=1$. За обобщенную координату примем угол $\varphi$ поворота тела вокруг оси и. Обобщенная сила $Q_{\varphi}$ равняется главному моменту $M_{u}^{(e)}$ внешних сил относительно оси и (см. пример 2 n. 54). Кинетическая энергия тела равна
\[
T=\frac{1}{2} J_{u} \dot{\varphi}^{2},
\]

где $J_{u}$ – момент инерии тела относительно оси и. Имеем
\[
\frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}}=J_{u} \dot{\varphi}, \quad \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}}=J_{u} \ddot{\varphi}, \quad \frac{\partial T}{\partial \varphi}=0 .
\]

Уравнение Лагранжа
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}}-\frac{\partial T}{\partial \varphi}=Q_{\varphi}
\]

имеет вид
\[
J_{u} \ddot{\varphi}=M_{u}^{(e)} .
\]

ПРИМЕР 2 (УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СФЕРИЧЕСКОГО МАЯТНИКА). СФерический маятник представляет собой материальную точку, которая движется в однородном поле тяжести, оставаясь на сфере постоянного радиуса. Будем считать, что точка имеет массу $m$ и закреплена на одном из концов невесомого стрежня длиной $l$; другой конец, стержня при помощи шарнира прикреплен к неподвижной точке $O$ так, что стержень может иметь произбольное направление в пространстве (рис. 134). Трением пренебрегаем.

Сферический маятник имеет две степени свободы. За обобщенные координаты примем сферические координаты $\varphi, \theta$ точки т. Так как расстояние точки $т$ до начала координат постоянно и равно $l$, то, согласно формуле (30) n. 9, для кинетической энергии имеем выражение
\[
T=\frac{1}{2} m l^{2}\left(\dot{\theta}^{2}+\sin ^{2} \theta \dot{\varphi}^{2}\right) .
\]

Для нахождения обобщенной силы $Q_{\varphi}$ дадим точке виртуальное перемещение по параллели. Тогда $\delta A_{\varphi}=0$ и, следовательно, $Q_{\varphi}=0$. ЧтоРис. 134 бы найти обобщенную силу $Q_{\theta}$, дадим точке виртуальное перемещение по меридиану. Тогда $\delta A_{\theta}=m g \sin \theta \cdot l \delta \theta=Q_{\theta} \delta \theta$. Отсюда $Q_{\theta}=m g l \sin \theta$.

Для кординат $\theta$ и $\varphi$ (после деления обеих частей уравнений Лагранжа на постоянные множители) получаем такие уравнения:
\[
\ddot{\theta}-\sin \theta \cos \theta \dot{\varphi}^{2}-\frac{g}{l} \sin \theta=0, \quad \frac{d}{d t}\left(\sin ^{2} \theta \dot{\varphi}\right)=0 .
\]
139. Анализ выражения для кинетической энергии. Рассмотрим структуру выражения для кинетической энергии системы, записанной через обобщенные координаты и скорости. Используя формулу (3), кинетическую энергию можно представить в виде
\[
\begin{array}{c}
T=\frac{1}{2} \sum_{
u=1}^{N} m_{
u} \dot{\boldsymbol{r}}_{
u}^{2}=\frac{1}{2} \sum_{
u=1}^{N} m_{
u}\left(\sum_{j=1}^{m} \frac{\partial \boldsymbol{r}_{
u}}{\partial q_{j}} \dot{q}_{j}+\frac{\partial \boldsymbol{r}_{
u}}{\partial t}\right)^{2}= \\
=\frac{1}{2} \sum_{j, k=1}^{m} a_{j k} \dot{q}_{j} \dot{q}_{k}+\sum_{j=1}^{m} a_{j} \dot{q}_{j}+a_{0},
\end{array}
\]

где введены обозначения
\[
a_{j k}=\sum_{
u=1}^{N} m_{
u} \frac{\partial \boldsymbol{r}_{
u}}{\partial q_{j}} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{r}_{
u}}{\partial q_{k}}, a_{j}=\sum_{
u=1}^{N} m_{
u} \frac{\partial \boldsymbol{r}_{
u}}{\partial q_{j}} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{r}_{
u}}{\partial t}, a_{0}=\frac{1}{2} \sum_{
u=1}^{N} m_{
u}\left(\frac{\partial \boldsymbol{r}_{
u}}{\partial t}\right)^{2} .
\]

Величины $a_{j k}, a_{j}, a_{0}$ – функции от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{m}, t$.
Формула (14) показывает, что кинетическая энергия является многочленом второй степени относительно обобщенных скоростей и представима в виде
\[
T=T_{2}+T_{1}+T_{0},
\]

где
\[
T_{2}=\frac{1}{2} \sum_{j, k=1}^{m} a_{j k} \dot{q}_{j} \dot{q}_{k}, \quad T_{1}=\sum_{j=1}^{m} a_{j} \dot{q}_{j}, \quad T_{0}=a_{0} .
\]

В случае склерономной системы $\partial r_{
u} / \partial t=0(
u=1,2, \ldots, N)$ и из (15) следует, что $a_{j}=0, a_{0}=0 \quad(j=1,2, \ldots, m)$. Поэтому
\[
T=T_{2}=\frac{1}{2} \sum_{j, k=1}^{m} a_{j k} \dot{q}_{j} \dot{q}_{k},
\]
т. е. кинетическая энергия склерономной системы является квадратичной формой обобщенных скоростей, причем коэффициенты $a_{j k}$ в (17) не зависят явно от времени.

Покажем, что квадратичная форма $T_{2}$ является невырожденной. Это означает, что определитель, составленный из ее коэффициентов, отличен от нуля при любых $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{m}, t$ :
\[
\operatorname{det}\left\|a_{j k}\right\|_{j, k=1}^{m}
eq 0 \text {. }
\]

В самом деле, из того, что квадратичная форма $T_{2}$ может быть записана в виде
\[
T_{2}=\frac{1}{2} \sum_{
u=1}^{N} m_{
u}\left(\sum_{j=1}^{m} \frac{\partial r_{
u}}{\partial q_{j}} \dot{q}_{j}\right)^{2},
\]

сразу следует, что она неотрицательна: $T_{2} \geqslant 0$.
Докажем теперь, что она может обратиться в нуль только тогда, когда все $\dot{q}_{j}(j=1,2, \ldots, m)$ равны нулю. Допустим, что это не так, т. е. что $T_{2}$ может равняться нулю при некоторых значениях обобщенных скоростей $\dot{q}_{1}^{*}, \dot{q}_{2}^{*}, \ldots, \dot{q}_{m}^{*}$, среди которых есть отличные от нуля. Тогда каждое выражение, заключенное в скобки в формуле (19), должно обратиться в нуль, т. е.
\[
\sum_{j=1}^{m} \frac{\partial r_{
u}}{\partial q_{j}} \dot{q}_{j}^{*}=0 \quad(
u=1,2, \ldots, N) .
\]

В скалярной форме эти векторные равенства запишутся в виде
\[
\sum_{j=1}^{m} \dot{q}_{j}^{*} \frac{\partial x_{
u}}{\partial q_{j}}=0, \quad \sum_{\substack{j=1 \\(
u=1,2, \ldots, N) .}}^{m} \dot{q}_{j}^{*} \frac{\partial y_{
u}}{\partial q_{j}}=0, \quad \sum_{j=1}^{m} \dot{q}_{j}^{*} \frac{\partial z_{
u}}{\partial q_{j}}=0,
\]

Равенства (20) показывают, что столбцы матрицы (22) п. 14 линейно зависимы, т. е. ранг этой матрицы меньше $m$. Согласно п. 14 , это невозможно, если величины $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{m}$ являются обобщенными координатами.

Таким образом, квадратичная форма $T_{2}$ определенно-положительна. Из критерия Сильвестра тогда следует, что определитель, составленный из ее коэффициентов, положителен. Следовательно, справедливо неравенство (18).
ЗАМЕчаниЕ 1. Если при данном выборе обобщенных координат $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{m}$ для некоторых положений системы неравенство (18) не выполняется, то это означает, что при исследовании движения системы вблизи этих положений величины $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{m}$ в качестве обобщенных координат малопригодны. В окрестности таких положений системы целесообразно вводить другие обобщенные координаты.

Комментарий 1. В качестве примера рассмотрим движение твердого тела вокруг неподвижной точки $O$. Пусть $A, B, C$ – главные моменты инериии, а $p, q, r$ – проекции угловой скорости тела на его главные оси инерии для точки $O$. Кинетическая энергия тела вычисляется по формуле
\[
T=\frac{1}{2}\left(A p^{2}+B q^{2}+C r^{2}\right) .
\]

В качестве обобщенных координат примем углы Эйлера $\psi, \theta, \varphi$, вводимые обычным образом (п. 19). Найдем величину $T$ при значении угла $\theta$, равном 0 или $\pi$. Использовав кинематические уравнения Эйлера (п. 36), получим из (21)
\[
T=\frac{1}{2}\left[\left(A \cos ^{2} \varphi+B \sin ^{2} \varphi\right) \dot{\theta}^{2}+C(\dot{\varphi} \pm \dot{\psi})^{2}\right],
\]

где знаки плюс и минус отвечают значениям $\theta$, равным 0 и тоответственно. Определитель квадратичной формы (22) равен нулю. Следовательно, при значениях $\theta$, близких 0 или $\pi$, вводимые обычным образом углы Эйлера неудобны для описания движения тела. Этот факт уже отмечался в п. 19.
140. Разрешимость уравнений Лагранжа относительно обобщеных ускорений. Используя структуру (16) выражения кинетической энергии, уравнения Лагранжа (11) можно представить в виде
\[
\sum_{k=1}^{n} a_{i k} \ddot{q}_{k}=g_{i} \quad(i=1,2 . \ldots, n),
\]

где функции $g_{i}$ не зависят от обобщенных ускорений. Из предыдущего пункта следует, что определитель линейной относительно $\ddot{q}_{i}$ системы уравнений (23) отличен от нуля, поэтому она разрешима и имеет единственное решение
\[
\ddot{q}_{i}=G_{i}\left(q_{k}, \dot{q}_{k}, t\right) .
\]

Как известно из теории дифференциальных уравнений, при некоторых ограничениях на $G_{i}$ (например, при существовании непрерывных частных производных у функций $G_{i}$, которое в механике всегда предполагается) система уравнений (24) имеет единственное решение при произвольных начальных данных: $q_{i}=q_{i}^{0}, \dot{q}_{i}=\dot{q}_{i}^{0}$, при $t=t_{0}$ $(i=1,3, \ldots, n)$. Таким образом, уравнения Лагранжа удовлетворяют условию детерминированности движения (см. п. 45).
141. Уравнения Лагранжа в случае потенциальных сил. Функция Лагранжа. Пусть обобщенные силы $Q_{i}$ вычисляются по формулам
\[
Q_{i}=-\frac{\partial \Pi}{\partial q_{i}} \quad(i=1,2, \ldots, n),
\]

где потенциал (потенциальная энергия) $\Pi$ есть функция $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, t$. Уравнения Лагранжа (11) в случае потенциальных сил имеют вид
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial T}{\partial q_{i}}=-\frac{\partial \Pi}{\partial q_{i}} \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]

Положим $L=T-\Pi$, тогда эти уравнения примут вид
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial L}{\partial q_{i}}=0 \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]

Функция $L$ называется функцией Лагранжа (лагранжианом, кинетическим потенииалом).

Используя выражение (16), функцию Лагранжа можно представить в виде многочлена второй степени относительно обобщенных скоростей
\[
L=L_{1}+L_{2}+L_{0},
\]

где
\[
L_{2}=T_{2}, \quad L_{1}=T_{1}, \quad L_{0}=T_{0}-\Pi .
\]

ЗАМЕчАниЕ 2. Для получения дифференциальных уравнений движения (25) голономной системы в потенциальном поле сил надо знать только одну функцию – функцию Лагранжа L. Уравнения Лагранжа не

изменятся, если к функции $L$ добавить полную производную по времени от произвольной дважды непрерывно дифференцируемой функции $f$ от обобщенных координат и времени:
\[
\frac{d f}{d t}=\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial q_{i}} \dot{q}_{i}+\frac{\partial f}{\partial t} .
\]

В самом деле, из последнего равенства имеем следующие два соотношения:
\[
\begin{aligned}
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial}{\partial \dot{q}_{i}} \frac{d f}{d t}\right) & =\sum_{k=1}^{n} \frac{\partial^{2} f}{\partial q_{i} \partial q_{k}} \dot{q}_{k}+\frac{\partial^{2} f}{\partial q_{i} \partial t} \\
\frac{\partial}{\partial q_{i}}\left(\frac{d f}{d t}\right) & =\sum_{k=1}^{n} \frac{\partial^{2} f}{\partial q_{k} \partial q_{i}} \dot{q}_{k}+\frac{\partial^{2} f}{\partial t \partial q_{i}} .
\end{aligned}
\]

Правые части этих равенств одинаковы, так как $f$ дважды непрерывно дифференцируема, и поэтому возможно изменение порядка ее дифференцирования по ( $\left.q_{i}, q_{k}, t\right)$. Поэтому если в (25) вместо $L$ подставить $L+\frac{d f}{d t}$, то величины $\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial}{\partial \dot{q}_{i}} \frac{d f}{d t}\right)$ и $\frac{\partial}{\partial q_{i}}\left(\frac{d f}{d t}\right)$ взаимно уничтожатся, и уравнения Лагранжа останутся неизменными.
142. Теорема об изменении полной механической энергии голономной системы. Пусть помимо потенциальных сил к системе приложены также некоторые непотенциальные силы. Часть обобщенных сил, соответствующую непотенциальным силам, обозначим через $Q_{i}^{*}$. Тогда
\[
Q_{i}=-\frac{\partial \Pi}{\partial q_{i}}+Q_{i}^{*} \quad(i=1,2, \ldots, n),
\]

и уравнения Лагранжа (11) примут вид
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial T}{\partial q_{i}}=-\frac{\partial \Pi}{\partial q_{i}}+Q_{i}^{*} \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]

Найдем производную по времени от кинетической энергии $T\left(q_{k}, \dot{q}_{k}, t\right)$. Имеем
\[
\begin{aligned}
\frac{d T}{d t} & =\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}} \ddot{q}_{i}+\frac{\partial T}{\partial q_{i}} \dot{q}_{i}\right)+\frac{\partial T}{\partial t}= \\
& =\frac{d}{d t}\left(\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}} \dot{q}_{i}\right)-\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial T}{\partial q_{i}}\right) \dot{q}_{i}+\frac{\partial T}{\partial t}
\end{aligned}
\]

Далее воспользуемся выражением (16) и теоремой Эйлера об однородных функциях. Согласно этой теореме, для однородной функции $f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) k$-й степени справедливо равенство
\[
\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} x_{i}=k f
\]

Применяя эту теорему к функции (16), получаем
\[
\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}} \dot{q}_{i}=2 T_{2}+T_{1} .
\]

Используя еще уравнения (28), запишем равенство (29) в виде
\[
\frac{d T}{d t}=\frac{d}{d t}\left(2 T_{2}+T_{1}\right)+\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial \Pi}{\partial q_{i}} \dot{q}_{i}-\sum_{i=1}^{n} Q_{i}^{*} \dot{q}_{i}+\frac{\partial T}{\partial t},
\]

или
\[
\begin{aligned}
\frac{d T}{d t}= & \frac{d}{d t}\left(2 T_{2}+2 T_{1}+2 T_{0}\right)-\frac{d}{d t}\left(T_{1}+2 T_{0}\right)+ \\
& +\frac{d \Pi}{d t}-\frac{\partial \Pi}{\partial t}-\sum_{i=1}^{n} Q_{i}^{*} \dot{q}_{i}+\frac{\partial T}{\partial t} .
\end{aligned}
\]

Так как $2 T_{2}+2 T_{1}+2 T_{0}=2 T$, то отсюда вытекает следующее выражение для производной по времени от полной механической энергии системы $E=T+\Pi$ :
\[
\frac{d E}{d t}=N^{*}+\frac{d}{d t}\left(T_{1}-2 T_{0}\right)+\frac{\partial \Pi}{\partial t}-\frac{\partial T}{\partial t},
\]

где
\[
N^{*}=\sum_{i=1}^{n} Q_{i}^{*} \dot{q}_{i} .
\]

Величина $N^{*}$ называется мощностью непотенциальных сил.
Формула (30) выражает теорелу об изменении полной механической энергии голономной системы. Рассмотрим некоторые ее частные случаи.
1. Пусть система склерономна. Тогда $T_{1}=0, T_{0}=0, \partial T / \partial t=0$ и
\[
\frac{d E}{d t}=N^{*}+\frac{\partial \Pi}{\partial t} .
\]

2. Пусть система склерономна и потенциал не зависит явно от времени. В этом случае $\partial \Pi / \partial t=0$ и из (32) получаем
\[
\frac{d E}{d t}=N^{*} \text {. }
\]
3. Пусть система удовлетворяет следующим требованиям: а) она склерономна, б) все силы системы потенциальны, в) потенциал не зависит явно от времени. Система, удовлетворяющая этим трем условиям, называется консервативной. Для нее
\[
\frac{d E}{d t}=0,
\]
т. е. полная механическая энергия консервативной системы не изменяется при движении системы; имеет место интеграл энергии
\[
E=T+\Pi=h=\text { const. }
\]
143. Гироскопические силы. Непотенциальные силы называются гироскопическими, если их мощность равна нулю.

Из равенства (33) следует, что для склерономной системы, у которой потенциал П не зависит явно от времени, интеграл энергии существует и при наличии гироскопических сил.

Пусть непотенциальные силы линейны относительно обобщенных скоростей
\[
Q_{i}^{*}=\sum_{k=1}^{n} \gamma_{i k} \dot{q}_{k} \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]

Матрицу, составленную из коэффициентов $\gamma_{i k}$, считаем кососимметрической, т. е. $\gamma_{i k}=-\gamma_{k i}(i=1,2, \ldots, n)$. Тогда силы $Q_{i}^{*}$ гироскопические, а кососимметричность матрицы коэффициентов $\gamma_{i k}$ является необходимым и достаточным условием гироскопичности сил $Q_{i}^{*}$.

В самом деле, замечая, что у кососимметрической матрицы диагональные элементы $\gamma_{i i}(i=1,2, \ldots, n)$ всегда равны нулю, получаем
\[
N^{*}=\sum_{i=1}^{n} Q_{i}^{*} \dot{q}_{i}=\sum_{i, k=1}^{n} \gamma_{i k} \dot{q}_{i} \dot{q}_{k}=0 .
\]

Прежде чем переходить к рассмотрению примеров, обратим внимание на следующее. Имеет место равенство
\[
\begin{aligned}
\sum_{
u=1}^{N} \boldsymbol{F}_{
u} \cdot \boldsymbol{v}_{
u} & =\sum_{
u=1}^{N} \boldsymbol{F}_{
u} \cdot\left(\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial \boldsymbol{r}_{
u}}{\partial q_{i}} \dot{q}_{i}+\frac{\partial \boldsymbol{r}_{
u}}{\partial t}\right)= \\
& =\sum_{i=1}^{n}\left(\sum_{
u=1}^{N} \boldsymbol{F}_{
u} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{r}_{
u}}{\partial q_{i}}\right) \dot{q}_{i}+\sum_{
u=1}^{N} \boldsymbol{F}_{
u} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{r}_{
u}}{\partial t}
\end{aligned}
\]

Замечая, что
\[
\sum_{
u=1}^{N} \boldsymbol{F}_{
u} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{r}_{
u}}{\partial q_{i}}=Q_{i}
\]

и что в случае склерономной системы $\partial r_{
u} / \partial t=0$, получаем отсюда
\[
\sum_{
u=1}^{N} \boldsymbol{F}_{
u} \cdot \boldsymbol{v}_{
u}=\sum_{i=1}^{n} Q_{i} \dot{q}_{i} .
\]

Поэтому в случае склерономной системы равенство $N^{*}=0$ выражает условие гироскопичности
\[
\sum_{
u=1}^{N} \boldsymbol{F}_{
u}^{*} \cdot \boldsymbol{v}_{
u}=0
\]

непотенциальных сил $\boldsymbol{F}_{
u}^{*}$, приложенных к точкам материальной системы.
ПРимеР 1. Покажем, что силы, приложенные к вращающемуся гироскопу и обеспечивающие его регулярную прецессию, являются гироскопическими (отсюда и происходит термин «гироскопические силы»). Пусть $O$
– неподвижная точка гироскопа, $\omega_{1}$ – его угловая скорость собственного вращения, а $\boldsymbol{\omega}_{2}$ – угловая скорость прецессии. Согласно n. 106, главный момент $\boldsymbol{M}_{O}$ сил, приложенных к гироскопу, вычисляется по формуле
\[
\boldsymbol{M}_{O}=\boldsymbol{\omega}_{2} \times \boldsymbol{\omega}_{1}\left[C+(C-A) \frac{\omega_{2}}{\omega_{1}} \cos \theta_{0}\right],
\]

где $C$ и $A$ – моменты инериии гироскопа (относительно оси симметрии и относительно перпендикулярной ей главной оси, проходящей через неподвижную точку $O$ гироскопа), $\theta_{0}$ – постоянное значение угла нутации.

Для элементарной работы сил, приложенных к гироскопу (являющемуся склерономной системой), имеем такое выражение:
\[
\delta A=\boldsymbol{M}_{O} \cdot \boldsymbol{\omega} d t=\boldsymbol{M}_{O} \cdot \boldsymbol{\omega}_{1} d t+\boldsymbol{M}_{O} \cdot \boldsymbol{\omega}_{2} d t=0 .
\]

Таким образом, силы, обеспечивающие регулярну прецессию гироскопа, имеют мощность, равную нулю, и, следовательно, являются гироскопическими.

ПРимЕР 2. Кориолисовы силы инериии в склерономной системе являются гироскопическими. В самом деле, пусть $m_{
u}$ – масса точки $P_{
u}$, $\boldsymbol{v}_{
u}$ – ее скорость в неинериильной системе координат, а $\boldsymbol{\omega}-$ угловая

скорость вращения этой системы координат относительно некоторой инерциальной системы координат. Тогда кориолисова сила инерции $\boldsymbol{j}_{\text {рс }}$ для точки $P_{
u}$ вычисляется по формуле
\[
\boldsymbol{j}_{
u c}=-2 m_{
u}\left(\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{v}_{
u}\right) .
\]

Для склерономной системы действительное перемещение $d r_{
u}$ является одним из виртуальных. Поэтому для элементарной работы кориолисовых сил инериии имеем выражение
\[
\begin{aligned}
\delta A & =\sum_{
u=1}^{N} \boldsymbol{j}_{
u c} \cdot \delta \boldsymbol{r}_{
u}=\sum_{
u=1}^{N} \boldsymbol{j}_{
u c} \cdot d \boldsymbol{r}_{
u}= \\
& =\sum_{
u=1}^{N} \boldsymbol{j}_{
u c} \cdot \boldsymbol{v}_{
u} d t=-2 \sum_{
u=1}^{N} m_{
u}\left(\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{v}_{
u}\right) \cdot \boldsymbol{v}_{
u} d t .
\end{aligned}
\]

Следовательно, мощность кориолисовых сил инерции равна нулю и они являются гироскопическими.
144. Диссипативные силы. Функция Рэлея. Непотенциальные силы называются диссипативными, если их мощность отрицательна или равна нулю $\left(N^{*} \leqslant 0\right.$, причем $N^{*}
ot \equiv 0$ ).

Из равенства (33) следует, что для склерономной системы, у которой потенциал П не зависит явно от времени, при наличии диссипативных сил
\[
\frac{d E}{d t} \leqslant 0,
\]
т. е. полная механическая энергия системы убывает во время движения. Саму систему в этом случае называют диссипативной. Иногда говорят, что происходит рассеивание, или диссипация, энергии. Отсюда и возник термин «диссипативные силы».

Если мощность диссипативных сил $N^{*}$ будет определенно-отрицательной функцией обобщенных скоростей $\dot{q}_{i}(i=1,2, \ldots, n)^{1}$, то диссипация называется полной. Если же $N^{*}$ – знакопостоянная отрицательная функция ${ }^{2}$, то диссипация называется неполной или частичной.
Пусть задана положительная квадратичная форма
\[
R=\frac{1}{2} \sum_{i, k=1}^{n} b_{i k} \dot{q}_{i} \dot{q}_{k} \quad\left(b_{i k}=b_{k i}\right),
\]

такая, что непотенциальные силы $Q_{i}^{*}$ задаются соотношениями
\[
Q_{i}^{*}=-\frac{\partial R}{\partial \dot{q}_{i}}=-\sum_{k=1}^{n} b_{i k} \dot{q}_{k} \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]

Тогда для склерономной системы мощность $N^{*}$ непотенциальных сил равна
\[
\sum_{
u=1}^{N} \boldsymbol{F}_{
u}^{*} \cdot \boldsymbol{v}_{
u}=\sum_{i=1}^{n} Q_{i}^{*} \dot{q}_{i}=-2 R \leqslant 0 .
\]

Функция $R$ называется диссипативной функцией Рэлея. Из (33) и (36) следует, что в случае склерономной системы с потенциалом, не зависящим явно от времени,
\[
\frac{d E}{d t}=-2 R,
\]
т. е. скорость убывания полной механической энергии системы равна удвоенной функции Рэлея.

В качестве примера рассмотрим склерономную систему, к каждой точке которой приложена сила сопротивленин, пропорциональнан скорости этой точки:
\[
\boldsymbol{F}_{
u}=-k \boldsymbol{v}_{
u} \quad(
u=1,2, \ldots, N),
\]

где $k>0$. Мощность этих сил будет равна
\[
N^{*}=\sum_{
u=1}^{N} \boldsymbol{F}_{
u} \cdot \boldsymbol{v}_{
u}=-2 R,
\]

где
\[
R=\frac{1}{2} k \sum_{
u=1}^{N} v_{
u}^{2} .
\]
145. Обобщенный потенциал. Пусть существует функция $V$ от обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени такая, что обобщенные силы $Q_{i}$ определяются по формулам
\[
Q_{i}=\frac{d}{d t} \frac{\partial V}{\partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial V}{\partial q_{i}} \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]

Тогда функция $V$ называется обобщенным потенциалом.

Если положить $L=T-V$, то уравнения Лагранжа (11) запишутся в той же форме (25), какую они имели в случае обычного потенциала сил.
Из (39) следует, что
\[
Q_{i}=\sum_{k=1}^{n} \frac{\partial^{2} V}{\partial \dot{q}_{i} \partial \dot{q}_{k}} \ddot{q}_{k}+f_{i},
\]

где функции $f_{i}$ не зависят от обобшенных ускорений. Но в теоретической механике обычно рассматриваются только такие силы, которые не зависят от ускорений. Поэтому обобщенный потенциал $V$ должен быть линейной функцией от обобщенных скоростей:
\[
V=V_{1}+V_{0}, \quad V_{1}=\sum_{i=1}^{n} A_{i} \dot{q}_{i},
\]

где $V_{0}, A_{i}(i=1,2, \ldots, n)$ – функции обобщенных координат и времени.
Из (39) и (40) находим выражение для обобщенных сил:
\[
\begin{aligned}
Q_{i} & =\frac{d A_{i}}{d t}-\frac{\partial}{\partial q_{i}}\left(\sum_{k=1}^{n} A_{k} \dot{q}_{k}+V_{0}\right)= \\
& =-\frac{\partial V_{0}}{\partial q_{i}}+\frac{\partial A_{i}}{\partial t}+\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{\partial A_{i}}{\partial q_{k}}-\frac{\partial A_{k}}{\partial q_{i}}\right) \dot{q}_{k} .
\end{aligned}
\]

Если $\partial A_{i} / \partial t=0 \quad(i=1,2, \ldots, n)$, т. е. линейная часть $V_{1}$ обобщенного потенциала не зависит явно от времени, то обобщенные силы складываются из потенциальных сил $-\partial V_{0} / \partial q_{i}(i=1,2, \ldots, n)$ и гироскопических сил
\[
Q_{i}^{*}=\sum_{k=1}^{n} \gamma_{i k} \dot{q}_{k} \quad(i=1,2, \ldots, n),
\]

где
\[
\gamma_{i k}=-\gamma_{k i}=\frac{\partial A_{i}}{\partial q_{k}}-\frac{\partial A_{k}}{\partial q_{i}} \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]

Если к тому же система склерономна и часть $V_{0}$ обобщенного потенциала не зависит от времени, то, согласно п. 143, при движении системы величина $T+V_{0}$ остается постоянной (однако $T+V
eq$ const).

Отметим, что в случае существования обобщенного потенциала функция Лагранжа является многочленом второй степени относительно обобщенных скоростей и представима в виде $L=L_{2}+L_{1}+L_{0}$, где
\[
L_{2}=T_{2}, \quad L_{1}=T_{1}-V_{1}, \quad L_{0}=T_{0}-V_{0} .
\]

Квадратичная часть функции $L$ совпадает с квадратичной частью кинетической энергии, и уравнения Лагранжа, как и в случае существования обычного потенциала П, разрешимы относительно обобщенных ускорений.

УПРАЖНЕНИЕ 1. Показать, что сумма переносных и кориолисовых сил инерции всех точек системы всегда имеет обобщенный потенциал.
146. 0 составлении уравнений Лагранжа для описания движения в неинерциальной системе отсчета. При получении уравнений движения системы относительно неинерциальной системы координат можно применять различные способы. Укажем два из них.

Первый способ не связан с теорией относительного движения. Здесь задача формулируется без введения сил инерции. Кинетическая энергия абсолютного движения системы выражается через относительные обобщенные координаты и относительные скорости точек системы. Обобщенные силы вычисляются обычным способом (для заданных активных сил). В этом способе силы инерции учитываются автоматически самой процедурой выписывания уравнений Лагранжа.

Второй способ основан на теории относительного движения. Задачу формулируют, вводя переносные и кориолисовы силы инерции. Кинетическую энергию здесь надо вычислять для относительного движения, а при подсчете обобщенных сил, помимо заданных активных сил, учитываются и силы инерции.

Если в первом и втором из указанных способов за обобщенные координаты приняты одни и те же величины, то мы придем к одним и тем же уравнениям движения. В конкретной задаче бывает ясно, какой из способов предпочтительнее. Конечно, возможны и другие способы получения уравнений Лагранжа, описывающих движение системы относительно неинерциальной системы координат.
147. Натуральные и ненатуральные системы. Системы, в которых силы имеют обычный $\Pi\left(q_{i}, t\right)$ или обобщенный $V\left(q_{i}, \dot{q}_{i}, t\right)$ потенциал, называются натуральными. В таких системах функции Лагранжа $L$ вводится как разность $T-\Pi$ или $T-V$ и является многочленом второй степени относительно обобщенных скоростей, причем

гессиан функции Лагранжа
\[
\operatorname{det}\left\|\frac{\partial^{2} L}{\partial \dot{q}_{i} \partial \dot{q}_{k}}\right\|_{i, k=1}^{n}=\operatorname{det}\left\|\frac{\partial^{2} T}{\partial \dot{q}_{i} \partial \dot{q}_{k}}\right\|_{i, k=1}^{n}=\operatorname{det}\left\|a_{i k}\right\|_{i, k=1}^{n}
eq 0
\]

и уравнения Лагранжа разрешимы относительно обобщенных ускорений.

В дальнейшем, если не будет оговорено особо, мы будем рассматривать более общие системы, в которых функция Лагранжа $L$ не обязательно определяется как разность кинетической энергии и потенциала и в этом смысле является произвольной функцией $L\left(q_{i}, \dot{q}_{i}, t\right)$. Будем лишь требовать, чтобы гессиан этой функции относительно обобщенных скоростей не был равен нулю:
\[
\operatorname{det}\left\|\frac{\partial^{2} L}{\partial \dot{q}_{i} \partial \dot{q}_{k}}\right\|_{i, k=1}^{n}
eq 0 .
\]

Такие системы будем называть ненатуральными. Требование (46) аналогично неравенству (45) и нужно для обеспечения разрешимости уравнений Лагранжа относительно обобщенных ускорений.