175. Уравнение Гамильтона-Якоби. Теория канонических преобразований приводит нас к методу Якоби интегрирования канонической системы уравнений движения
\[
\frac{d q_{i}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}}, \quad \frac{d p_{i}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}} \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]

Если эту систему подвергнуть свободному унивалентному каноническому преобразованию, определяемому уравнениями
\[
\frac{\partial S}{\partial q_{i}}=p_{i}, \quad \frac{\partial S}{\partial Q_{i}}=-P_{i} \quad(i=1,2, \ldots, n),
\]

где производящая функция $S$ имеет в качестве аргументов величины $q_{1}, \ldots, q_{n}, Q_{1}, \ldots, Q_{n}, t$, то, согласно п. 173 , система уравнений (1) примет вид
\[
\frac{d Q_{i}}{d t}=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial P_{i}}, \quad \frac{d P_{i}}{d t}=-\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial Q_{i}} \quad(i=1,2, \ldots, n),
\]

где новая функция Гамильтона $\mathcal{H}$ определяется равенством
\[
\mathcal{H}=H\left(q_{i}, p_{i}, t\right)+\frac{\partial S\left(q_{i}, Q_{i}, t\right)}{\partial t},
\]

в правой части которого величины $q_{i}, p_{i}$ (после вычисления частной производной $\partial S / \partial t$ ) должны быть выражены через $Q_{j}, P_{j}$ на основании уравнений (2).

Если функция $S$ выбрана так, что $\mathcal{H} \equiv 0$, то уравнения (3) сразу интегрируются:
\[
Q_{i}=\alpha_{i} \quad P_{i}=\beta_{i} \quad(i=1,2, \ldots, n),
\]

где $\alpha_{i}, \beta_{i}$ – произвольные постоянные. Если функция $S$ удовлетворяет условию (49) п. 173, то из (2) находится зависимость исходных переменных от времени $t$ и $2 n$ произвольных постоянных $\alpha_{i}, \beta_{i}$ :
\[
q_{i}=q_{i}\left(t, \alpha_{j}, \beta_{j}\right), \quad p_{i}=p_{i}\left(t, \alpha_{j}, \beta_{j}\right) .
\]

Функция $S$, согласно (2) и (4), должна при этом удовлетворять уравнению
\[
\frac{\partial S}{\partial t}+H\left(q_{i}, \frac{\partial S}{\partial q_{i}}, t\right)=0 .
\]

Это уравнение в частных производных называется уравнением Гамильтона-Якоби. В нем $S$ есть функция $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ и $t$; величины $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}$ рассматриваются как параметры.

Общее решение уравнения в частных производных зависит от произвольных функций. Такое решение называется общим интегралом этого уравнения. Однако в приложениях к решению задач механики главную роль играет не общий, а полный интеграл уравнения (7). Полным интегралом уравнения (7) называется его решение $S\left(q_{i}, \alpha_{i}, t\right)$, зависящее от $n$ произвольных постоянных $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}$ и удовлетворяющее условию
\[
\operatorname{det}\left\|\frac{\partial^{2} S}{\partial q_{i} \partial \alpha_{k}}\right\|_{i, k=1}^{n}
eq 0 .
\]

Таким образом, мы получаем следующий способ интегрирования уравнений движения (1), основанный на рассмотрении уравнения (7).

Теорема (Якоби). Если $S\left(q_{i}, \alpha_{i}, t\right)$ – полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби (7), содержащий $n$ произвольных постоянных $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}$, то решение (6) уравнений (1) находится из соотношений
\[
\frac{\partial S}{\partial q_{i}}=p_{i}, \quad \frac{\partial S}{\partial \alpha_{i}}=-\beta_{i} \quad(i=1,2, \ldots, n),
\]

где $\beta_{i}$ – произвольные постоянные.
Теорема Якоби позволяет свести интегрирование системы обыкновенных дифференциальных уравнений (1) к нахождению полного интеграла уравнения (7) в частных производных. Вторая задача, конечно, не проще первой, а даже более сложна. Но оказывается, что метод Якоби является весьма эффективным среди существующих методов нахождения точных решений системы (1). Он также является одним из наиболее мощных методов приближенного интегрирования канонических уравнений.

Общего метода нахождения полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби (7) при произвольной функции $H$ не существует. Остановимся только на некоторых частных способах нахождения полного интеграла.
176. Уравнение Гамильтона-Якоби для систем с циклическими координатами. Пусть координаты $q_{k+1}, \ldots, q_{n}$ – циклические. Тогда
\[
H=H\left(q_{1}, \ldots, q_{k}, p_{1}, \ldots, p_{k}, p_{k+1}, \ldots, p_{n}, t\right) .
\]

Полный интеграл уравнения (7) ищем в виде
\[
S=\alpha_{k+1} q_{k+1}+\ldots+\alpha_{n} q_{n}+S^{*}\left(q_{1}, \ldots, q_{k}, \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}, t\right) .
\]

Подставив (10) в (7), получим уравнение для $S^{*}$
\[
\frac{\partial S^{*}}{\partial t}+H\left(q_{1}, \ldots, q_{k}, \frac{\partial S^{*}}{\partial q_{1}}, \ldots, \frac{\partial S^{*}}{\partial q_{k}}, \alpha_{k+1}, \ldots, \alpha_{n}, t\right)=0 .
\]

Таким образом, нахождение полного интеграла уравнения (7) приводит к рассмотрению уравнения (11), в котором $S^{*}$ зависит уже не от $(n+1)$-й переменной, а от $(n-k+1)$-й, т. е. число независимых переменных уменьшилось на число циклических координат.
177. Уравнение Гамильтона-Якоби для консервативных и обобщенно консервативных систем. Пусть функция Гамильтона не зависит явно от времени:
\[
H=H\left(q_{1}, \ldots, q_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}\right) .
\]

Тогда существует обобщенный интеграл энергии $H=h$, где $h$ – произвольная постоянная. В уравнении (7) положим
\[
S=-h t+V,
\]

где функция $V$ не зависит от $t$. Для нее получаем уравнение
\[
H\left(q_{1}, \ldots, q_{n}, \frac{\partial V}{\partial q_{1}}, \ldots, \frac{\partial V}{\partial q_{n}}\right)=h .
\]

Это уравнение и будет уравнением Гамильтона-Якоби для консервативных и обобщенно консервативных систем. Из (13) находим $V=V\left(q_{1}, \ldots, q_{n}, \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n-1}, h\right)$, где $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n-1}$ – произвольные постоянные, не зависящие от $h$. Из (12) имеем выражение для $S$ :
\[
S=-h t+V\left(q_{1}, \ldots, q_{n}, \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n-1}, h\right) .
\]

Если функция $S$ удовлетворяет условию (8) ( $\alpha_{n}=h$ ), то (14) – полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби (7) и равенства (9) дают соотношения
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial V}{\partial q_{i}}=p_{i}(i=1,2, \ldots, n), \quad \frac{\partial V}{\partial \alpha_{i}}=-\beta_{i}(i=1,2, \ldots, n-1), \\
\frac{\partial V}{\partial h}=t-\beta_{n},
\end{array}
\]

где $\beta_{1}, \ldots, \beta_{n}$ – произвольные постоянные.
Последние $n-1$ соотношений в (15) – геометрические: они дают траектории в $n$-мерном координатном пространстве $q_{1}, \ldots, q_{n}$. Вместе с равенством (16) эти соотношения дают и закон движения по траекториям. Первые $n$ соотношений в (15) служат для определения импульсов $p_{i}(i=1,2, \ldots, n)$.
178. Характеристическая функция Гамильтона. Функцию $V$, входящую в правую часть равенства (14), называют характеристической функцией Гамильтона. Она удовлетворяет уравнению (13) и была введена в п. 177 как не зависящая от времени часть производящей функции $S$, задающей свободное каноническое преобразование, приводящее функцию Гамильтона $H\left(q_{1}, \ldots, q_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}\right)$ консервативной или обобщенно консервативной системы к функции $\mathcal{H} \equiv 0$.

Но функцию $V\left(q_{1}, \ldots, q_{n}, \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n-1}, h\right)$ можно рассмотреть как производящую функцию некоторого канонического преобразования, свойства которого отличны от свойств преобразования, осуществляемого функцией $S$. Рассмотрим унивалентное каноническое преобразование, при котором новые импульсы $P_{i}$ будут постоянными $\alpha_{i}$ $(i=1,2, \ldots, n)$, причем $\alpha_{n}=h$. Пусть соответствующей производящей функцией будет $V\left(q_{1}, \ldots, q_{n}, P_{1}, \ldots, P_{n-1}, P_{n}\right)$. Согласно п. 174 , старые и новые переменные связаны соотношениями вида ( 62 ):
\[
p_{i}=\frac{\partial V}{\partial q_{i}}, \quad Q_{i}=\frac{\partial V}{\partial P_{i}}=\frac{\partial V}{\partial \alpha_{i}} .
\]

Так как $H=h=\alpha_{n}$, то отсюда следует уравнение
\[
H\left(q_{1}, \ldots, q_{n}, \frac{\partial V}{\partial q_{1}}, \ldots, \frac{\partial V}{\partial q_{n}}\right)=h,
\]

которое совпадает с уравнением (13). Но функция $V$ не зависит от $t$, поэтому из равенства (63) п. 174 имеем такое выражение для новой функции Гамильтона
\[
\mathcal{H}=P_{n} .
\]

Таким образом, характеристическая функция Гамильтона задает каноническое преобразование, приводящее функцию $H\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right.$, $p_{1}, \ldots, p_{n}$ ) к такой форме, когда все новые обобщенные координаты $Q_{i}(i=1,2, \ldots, n)$ являются циклическими.
В новых переменных
\[
\begin{aligned}
\frac{d P_{i}}{d t} & =-\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial Q_{i}}=0 \quad(i=1,2, \ldots, n), \\
\frac{d Q_{i}}{d t} & =\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial P_{i}}=\delta_{i n},
\end{aligned}
\]

где $\delta_{\text {in }}$ – символ Кронекера.
Поэтому
\[
\begin{array}{l}
P_{i}=\alpha_{i}=\mathrm{const}, \quad Q_{i}=-\beta_{i}=\mathrm{const} \quad(i=1,2, \ldots, n-1), \\
P_{n}=h=\mathrm{const}, \quad Q_{n}-t=-\beta_{n}=\mathrm{const},
\end{array}
\]

что, в силу (17), находится в соответствии с формулами (15), (16).
ЗАмЕчаниЕ 3. Выбор величин $\alpha_{i}$, входящих в характеристическую функцию Гамильтона, в качестве новых импульсов является в некоторой степени произвольным. Постоянные $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n-1}$ не имеют, вообще говоря, определенного физического смысла, а просто представляют собой набор постоянных, появляющихся в процессе нахождения полного интеграла уравнения Гамилтона-Якоби.

Применим к импульсам $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}$ произвольное дифференцируемое обратимое преобразование $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n} \rightarrow \alpha_{1}^{*}, \ldots, \alpha_{n}^{*}$ :
\[
\alpha_{1}=g_{1}\left(\alpha_{1}^{*}, \ldots, \alpha_{n}^{*}\right), \ldots, \alpha_{n}=g_{n}\left(\alpha_{1}^{*}, \ldots, \alpha_{n}^{*}\right) .
\]

Замене импульсов (21) можно поставить в соответствие унивалентное каноническое преобразование $Q_{i}, \alpha_{i} \rightarrow Q_{i}^{*}, \alpha_{i}^{*}$ всех канонически сопряженных переменных ( $i=1,2, \ldots, n$ ). Для этого (см. пример 8 n. 174) достаточно взять производящую функцию в виде
\[
S_{1}=\sum_{k=1}^{n} Q_{k} g_{k}\left(\alpha_{1}^{*}, \ldots, \alpha_{n}^{*}\right) .
\]

В новых переменных функция Гамильтона будет иметь вид
\[
\mathcal{H}=g_{n}\left(\alpha_{1}^{*}, \ldots, \alpha_{n}^{*}\right) .
\]

Преимущество новых импульсов $\alpha_{i}^{*}$ состоит в том, что они могут быть увязаны с физической сущностью задачи. Один частный случай выбора новых импульсов вместо величин $\alpha_{i}$ рассмотрен далее в §6.

179. Разделение переменных. Известны замечательные случаи, когда полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби (7) может быть найден при помощи разделения переменных. Метод разделения переменных состоит в том, что решение уравнения (7) ищется в виде суммы функций, каждая из которых зависит только от одной из переменных $q_{1}, \ldots, q_{n}$ и времени (и, конечно, произвольных постоянных):
\[
S=S_{0}(t)+S_{1}\left(q_{1}, t\right)+S_{2}\left(q_{2}, t\right)+\ldots+S_{n}\left(q_{n}, t\right) .
\]

К сожалению, не существует простого критерия, позволяющего в общем случае по структуре функции Гамильтона судить о возможности разделения переменных в уравнении (7) ${ }^{1}$. Мы укажем только два простейших случая разделения переменных для консервативной или обобщенно консервативной системы.
$1^{\circ}$. Пусть
\[
H=H\left(f_{1}\left(q_{1}, p_{1}\right), \ldots, f_{n}\left(q_{n}, p_{n}\right)\right),
\]
т. е. функция Гамильтона зависит от $n$ функций $f_{i}$, каждая из которых зависит только от одной пары «своих» канонически сопряженных переменных $q_{i}, p_{i}$. Будем предполагать, что
\[
\frac{\partial f_{i}}{\partial p_{i}}
eq 0 \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]

Уравнение Гамильтона-Якоби (13) имеет вид
\[
H\left(f_{1}\left(q_{1}, \frac{\partial V}{\partial q_{1}}\right), \ldots, f_{n}\left(q_{n}, \frac{\partial V}{\partial q_{n}}\right)\right)=h .
\]

Положим
\[
f_{i}\left(q_{i}, \frac{\partial V}{\partial q_{i}}\right)=\alpha_{i} \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]

При условии (25) равенства (27) можно разрешить относительно $\partial V / \partial q_{i}$ :
\[
\frac{\partial V}{\partial q_{i}}=g_{i}\left(q_{i}, \alpha_{i}\right) .
\]

Тогда
\[
V=\sum_{i=1}^{n} \int g_{i}\left(q_{i}, \alpha_{i}\right) d q_{i}
\]

а функция
\[
S=-h t+\sum_{i=1}^{n} \int g_{i}\left(q_{i}, \alpha_{i}\right) d q_{i}
\]

является решением уравнения Гамильтона-Якоби (7). Величина $h$ в (29) есть функции произвольных постоянных $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}$ :
\[
h=H\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right) .
\]

Так как
\[
\frac{\partial^{2} S}{\partial q_{i} \partial \alpha_{k}}=\frac{\partial g_{i}}{\partial \alpha_{k}} \quad(i, k=1,2, \ldots, n),
\]

а согласно (27) и (28)
\[
\frac{\partial g_{i}}{\partial \alpha_{k}}=\frac{1}{\partial f_{i} / \partial p_{i}} \delta_{i k},
\]

то условие (8), записываемое в рассматриваемом случае в виде неравенства
\[
\prod_{i=1}^{n} \frac{\partial g_{i}}{\partial \alpha_{i}}
eq 0,
\]

очевидно, удовлетворяется. Следовательно, функция (29) будет полным интегралом уравнения (7).
$2^{\circ}$. Пусть функция $H$ выражается последовательно «функцией от функции», где каждая функция $f_{i}$ зависит от предыдущей функции $f_{i-1}$ и «своей» пары канонически сопряженных переменных $q_{i}, p_{i}$ :
\[
H=f_{n}\left(f_{n-1}, q_{n}, p_{n}\right), \quad f_{n-1}=f_{n-1}\left(f_{n-2}, q_{n-1}, p_{n-1}\right)
\]

и т. д., т. е. функция Гамильтона имеет такую структуру:
\[
H=f_{n}\left\{\ldots f_{3}\left\{f_{2}\left[f_{1}\left(q_{1}, p_{1}\right), q_{2}, p_{2}\right], q_{3}, p_{3}\right\}, \ldots, q_{n}, p_{n}\right\} .
\]

Будем считать, что
\[
\frac{\partial f_{i}}{\partial p_{i}}
eq 0 \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]

Для получения решения уравнения (13) положим
\[
\begin{array}{c}
f_{1}\left(q_{1}, \frac{\partial V}{\partial q_{1}}\right)=\alpha_{1}, f_{2}\left(\alpha_{1}, q_{2}, \frac{\partial V}{\partial q_{2}}\right)=\alpha_{2}, \ldots, \\
f_{n}\left(\alpha_{n-1}, q_{n}, \frac{\partial V}{\partial q_{n}}\right)=\alpha_{n}=h .
\end{array}
\]

При условии (33) эти равенства можно разрешить относительно производных $\partial V / \partial q_{i}(i=1,2, \ldots, n)$. Получим
\[
\frac{\partial V}{\partial q_{1}}=g_{1}\left(q_{1}, \alpha_{1}\right), \frac{\partial V}{\partial q_{2}}=g_{2}\left(q_{2}, \alpha_{1}, \alpha_{2}\right), \ldots, \frac{\partial V}{\partial q_{n}}=g_{n}\left(q_{n}, \alpha_{n-1}, \alpha_{n}\right) .
\]

Функция
\[
S=-\alpha_{n} t+\sum_{i=1}^{n} \int g_{i}\left(q_{i}, \alpha_{i-1}, \alpha_{i}\right) d q_{i}
\]

будет решением уравнения (7). Легко проверить, что неравенство (8) при условии (33) выполнено, поэтому функция (34) будет полным интегралом уравнения (7).

Мы рассмотрели весьма частные случаи, когда специальная структура функции Гамильтона позволяет дать общий конструктивный способ построения общего интеграла уравнения Гамильтона-Якоби. Следует, однако, отметить, что указанные способы разделения переменных применимы к таким важным задачам механики, как задача о гармоническом осцилляторе, задача о движении физического маятника, задача двух тел, задача о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки в случае Лагранжа и др.
Рассмотрим некоторые примеры.

ПРИМЕР 1 (СВОБОДНОЕ ВЕРТИКАЛЬНОЕ ПАДЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ у ПовЕРХНоСТИ ЗЕМЛИ). Пусть ось $O q$ направлена вертикально вниз. Если т масса точки, то
\[
H=\frac{1}{2 m} p^{2}-m g q,
\]

где $p$ – импульс, соответствующий обобщенной координате $q, g$ ускорение свободного падения.
Если
\[
\frac{1}{2 m} p^{2}-m g q=h=\alpha,
\]
mo
\[
p=\sqrt{2 m(\alpha+m g q)}
\]

и полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби
\[
\frac{\partial S}{\partial t}+\frac{1}{2 m}\left(\frac{\partial S}{\partial q}\right)^{2}-m g q=0
\]

запишется в виде
\[
S=-\alpha t+\int \sqrt{2 m(\alpha+m g q)} d q .
\]

В соответствии с формулами (9) имеем
\[
\frac{\partial S}{\partial q}=p, \quad \frac{\partial S}{\partial \alpha}=-\beta .
\]

Первое из этих соотношений дает равенство (35), а из второго получаем
\[
-t+\sqrt{\frac{m}{2}} \int \frac{d q}{\sqrt{\alpha+m g q}}=-\beta,
\]

или
\[
-t+\sqrt{\frac{2}{m}} \frac{\sqrt{\alpha+m g q}}{g}=-\beta .
\]

Произвольные постоянные $\alpha$ и $\beta$ находятся из начальных условий. Пусть при $t=0$ имеем $q=0, \dot{q}=0$. Тогда из (35), (36) и равенства $p=$ ті следует, что $\alpha=\beta=0$ и
\[
q=\frac{g t^{2}}{2}, \quad p=m g t .
\]

ПРИМЕР 2 (ДВИЖЕНИЕ СТЕРЖНЯ, ОПИРАЮЩЕГОСЯ НА ГОРИЗОНТАЛЬНУЮ ПлОСКОСТЬ и вЕРТИКАЛЬНУЮ оСь). Пусть в однородном поле тяжести движется бесконечно тонкий однородный стержень длиной $2 l$ и массой т. Нижний конец стержня перемещается по гладкой горизонтальной плоскости, а верхний его конец на рассматриваемой стадии движения опирается на гладкую вертикальную ось $O Z$ (рис. 143). Найдем полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби в этой задаче.

Пусть $q_{1}$ – угол между проекцией стержня на плоскость $O X Y$ и осью $O X$, а $q_{2}$ – угол, который образует стержень с вертикалью. Со стержнем жестко свяжем систему координат Gхуz, оси которой направлены по его главным центральным осям инерции, причем ось Gy лежит в плоскости, проходящей через стержень и вертикаль $O Z$. Для кинетической и потенциальной энергии имеем выражения
\[
\begin{array}{c}
T=\frac{1}{2}\left(A p^{2}+B q^{2}+C r^{2}\right)+\frac{1}{2} m v_{G}^{2}, \\
\Pi=m g l \cos q_{2},
\end{array}
\]

где $A, B, C$ – моменты инерци стержня относительно осей $G x, G y$, $G z, a p, q, r-$ проекии его угловой скорости на эти оси, $v_{G}$ – скорость центра масс стержня, $g$ – ускорение свободного падения.

Имеем $A=B=\frac{1}{3} m l^{2}$, а $C=0$ ввиду того, что стержень бесконечно тонкий. Далее,
\[
\begin{array}{c}
p=\dot{q}_{2}, \quad q=\dot{q}_{1} \sin q_{2}, \\
v_{G}^{2}=l^{2}\left(\sin ^{2} q_{2} \dot{q}_{1}^{2}+\dot{q}_{2}^{2}\right),
\end{array}
\]

поэтому
\[
T=\frac{2}{3} m l^{2}\left(\sin ^{2} q_{2} \dot{q}_{1}^{2}+\dot{q}_{2}^{2}\right) .
\]

При помощи функции Лагранжа $L=T-\Pi$
Рис. 143

находим обобщенные импульсы
\[
p_{1}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{1}}=\frac{4}{3} m l^{2} \sin ^{2} q_{2} \dot{q}_{1}, \quad p_{2}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{2}}=\frac{4}{3} m l^{2} \dot{q}_{2} .
\]

Так как рассматриваемая система консервативна, то функция Гамильтона имеет вид $H=T+\Pi$ и для нее получаем следующее выражение:
\[
H=\frac{3}{8 m l^{2}}\left(\frac{p_{1}^{2}}{\sin ^{2} q_{2}}+p_{2}^{2}\right)+m g l \cos q_{2} .
\]

Положим
\[
p_{1}=\alpha_{1}, \quad \frac{3}{8 m l^{2}}\left(\frac{\alpha_{1}^{2}}{\sin ^{2} q_{2}}+p_{2}^{2}\right)+m g l \cos q_{2}=\alpha_{2} .
\]

Тогда полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби будет иметь вид
\[
S=-\alpha_{2} t+\alpha_{1} q_{1}+\int \sqrt{\frac{8 m l^{2}}{3}\left(\alpha_{2}-m g l \cos q_{2}\right)-\frac{\alpha_{1}^{2}}{\sin ^{2} q_{2}}} d q_{2} .
\]
180. Теорема Лиувилля об интегрируемости гамильтоновой системы в квадратурах. В п. 163 при помощи теории множителя показано, что для построения общего интеграла системы
\[
\frac{d q_{i}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}}, \quad \frac{d p_{i}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}} \quad(i=1,2, \ldots, n),
\]

где $H=H\left(q_{i}, p_{i}, t\right)$, достаточно найти $2 n-1$ первых интегралов. Построение же $2 n$-го интеграла сводится к квадратурам. Изложенный в п.п. 175-179 метод Якоби интегрирования системы (37) позволяет

получить существенно более сильный результат: во многих случаях для сведения интегрирования системы (37) к квадратурам достаточно знать только $n$ ее первых интегралов.

Говорят, что функции $u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{l}$ от $q_{1}, \ldots, q_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}, t$ находятся в инволюции друг к другу или что они образуют систему в инволюции, если все скобки Пуассона $\left(u_{i}, u_{k}\right)(i, k=1,2, \ldots, l)$ тождественно равны нулю.
Теорема (Лиувилля). Пусть система уравнений (37) имеет п первых интегралов
\[
f_{i}\left(q_{1}, \ldots, q_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}, t\right)=\alpha_{i}=\text { const } \quad(i=1,2, \ldots, n),
\]

находящихся в инволюции, т. е.
\[
\left(f_{r}, f_{s}\right)=0 \quad(r, s=1,2, \ldots, n),
\]

причем
\[
\frac{\partial\left(f_{1}, \ldots, f_{n}\right)}{\partial\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right)}
eq 0 .
\]

Тогда интегрирование системы (37) сводится к квадратурам. Доказательство.

Заметим сначала, что при условии (40) уравнения (38) можно разрешить относительно обобщенных импульсов. В результате получим
\[
p_{i}=\varphi_{i}\left(q_{1}, \ldots, q_{n}, \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}, t\right) \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]

Покажем, что при выполнении условий теоремы имеют место равенства
\[
\frac{\partial \varphi_{i}}{\partial q_{k}}=\frac{\partial \varphi_{k}}{\partial q_{i}} \quad(i, k=1,2, \ldots, n) .
\]

Заменив в равенствах (38) величины $p_{i}$ на их значения $\varphi_{i}$ из (41) и продифференцировав затем $r$-ое из получившихся тождеств по $q_{i}$, получим
\[
\frac{\partial f_{r}}{\partial q_{i}}+\sum_{k=1}^{n} \frac{\partial f_{r}}{\partial p_{k}} \frac{\partial \varphi_{k}}{\partial q_{i}}=0 .
\]

Умножив обе части этого тождества на производную $\partial f_{s} / \partial p_{i}$ и произведя затем суммирование по $i$, придем к соотношению
\[
\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f_{r}}{\partial q_{i}} \frac{\partial f_{s}}{\partial p_{i}}+\sum_{i=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial f_{r}}{\partial p_{k}} \frac{\partial f_{s}}{\partial p_{i}} \frac{\partial \varphi_{k}}{\partial q_{i}}=0 \quad(r, s=1,2, \ldots, n) .
\]

Аналогично, умножив на $\partial f_{r} / \partial p_{k}$ обе части тождества, получающегося в результате дифференцирования по $q_{k} s$-го из равенств (38) (при $p_{i}=\varphi_{i}$ ) и произведя затем суммирование по $k$, получим
\[
\sum_{k=1}^{n} \frac{\partial f_{r}}{\partial p_{k}} \frac{\partial f_{s}}{\partial q_{k}}+\sum_{k=1}^{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f_{r}}{\partial p_{k}} \frac{\partial f_{s}}{\partial p_{i}} \frac{\partial \varphi_{i}}{\partial q_{k}}=0 .
\]

Если здесь в первой сумме изменить индекс суммирования $k$ на индекс $i$ и поменять порядок суммирования в двойной сумме, то придем к соотношению
\[
\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f_{r}}{\partial p_{i}} \frac{\partial f_{s}}{\partial q_{i}}+\sum_{i=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial f_{r}}{\partial p_{k}} \frac{\partial f_{s}}{\partial p_{i}} \frac{\partial \varphi_{i}}{\partial q_{k}}=0 \quad(r, s=1,2, \ldots, n) .
\]

Вычитая почленно равенства (43) и (44) и учитывая условия (39), получаем
\[
\sum_{i=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial f_{r}}{\partial p_{k}} \frac{\partial f_{s}}{\partial p_{i}}\left(\frac{\partial \varphi_{i}}{\partial q_{k}}-\frac{\partial \varphi_{k}}{\partial q_{i}}\right)=0 \quad(r, s=1,2, \ldots, n) .
\]

Возьмем $n$ из этих соотношений, соответствующих какому-то фиксированному значению $r$, и запишем их в виде
\[
\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f_{s}}{\partial p_{i}} x_{i}=0 \quad(s=1,2, \ldots, n),
\]

где
\[
x_{i}=\sum_{k=1}^{n} \frac{\partial f_{r}}{\partial p_{k}}\left(\frac{\partial \varphi_{i}}{\partial q_{k}}-\frac{\partial \varphi_{k}}{\partial q_{i}}\right) .
\]

Система уравнений (46) при условии (40) имеет только тривиальное решение, т. е.
\[
\sum_{k=1}^{n} \frac{\partial f_{r}}{\partial p_{k}}\left(\frac{\partial \varphi_{i}}{\partial q_{k}}-\frac{\partial \varphi_{k}}{\partial q_{i}}\right)=0 \quad(i, r=1,2, \ldots, n) .
\]

Взяв теперь $n$ из этих соотношений, соответствующих фиксированному значению $i$, совершенно аналогично покажем, что все выражения, заключенные в круглые скобки в (47), равны нулю, т. е. справедливы равенства (42).

Теперь обозначим $H^{*}$ функцию Гамильтона $H$ из (37), в которой величины $p_{i}$ заменены их значениями $\varphi_{i}$ из (41). Покажем, что
\[
\frac{\partial \varphi_{i}}{\partial t}=-\frac{\partial H^{*}}{\partial q_{i}} \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]

Имеем из (37),(41) и (42)
\[
-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}=\frac{d p_{i}}{d t}=\frac{d \varphi_{i}}{d t}=\frac{\partial \varphi_{i}}{\partial t}+\sum_{j=1}^{n} \frac{\partial \varphi_{i}}{\partial q_{j}} \frac{d q_{j}}{d t}=\frac{\partial \varphi_{i}}{\partial t}+\sum_{j=1}^{n} \frac{\partial \varphi_{j}}{\partial q_{i}} \frac{\partial H}{\partial p_{j}} .
\]

Следовательно,
\[
\frac{\partial \varphi_{i}}{\partial t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}-\sum_{j=1}^{n} \frac{\partial H}{\partial p_{j}} \frac{\partial \varphi_{j}}{\partial q_{i}}=-\frac{\partial H^{*}}{\partial q_{i}},
\]

и справедливость равенства (48) доказана.
Равенства (42) и (48) являются необходимыми и достаточными условиями существования такой функции $S$ от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, t$ и от постоянных $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}$, что
\[
\frac{\partial S}{\partial q_{i}}=\varphi_{i}, \quad \frac{\partial S}{\partial t}=-H^{*} .
\]

Из математического анализа известно, что нахождение такой функции $S$ требует только квадратур, т. е. вычисления интегралов от известных функций.

Равенства (49) показывают, что функция $S$ удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби, соответствующему системе (37). Покажем, что $S$ будет полным интегралом этого уравнения. Для этого надо проверить выполнимость неравенства (8), которое, в силу первых $n$ равенств (49), приводится к виду
\[
\operatorname{det}\left\|\frac{\partial \varphi_{i}}{\partial \alpha_{k}}\right\|_{i, k=1}^{n}
eq 0 .
\]

Эти неравенства представляют собой необходимые и достаточные условия разрешимости уравнений (41) относительно $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}$. Но уравнения (41) эквивалентны исходным интегралам (38), которые при получении уравнений (41) уже разрешены относительно $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}$. Следовательно, неравенство (50) выполнено и $S$ – полный интеграл.

При известном полном интеграле $S$ интегрирование уравнений (37) завершается рассмотрением соотношений (9).

Следует отметить, что далеко не каждая система (37) приводится к квадратурам. Обычно нельзя найти необходимого количества первых интегралов. И не потому, что их нахождение технически сложно, а потому, что существуют причины принципиального характера, препятствующие интегрируемости ${ }^{1}$.