ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

— раздел математики, в котором изучаются методы отыскания экстремальных значений функционала. Понятие функционала, широко применяющееся в В. и., является обобщением понятия ф-ции: функционал — это ф-ция, аргумент которой — также ф-ция. Задание функционала равносильно заданию закона, по которому каждой ф-ции из некоторого класса ставится в соответствие определенное число. сущность функционалов может быть самой различной — длина, время и т. д. Поскольку ф-цию можно определить, задав ее значения в бесконечном числе точек, то функционал можно рассматривать как ф-цию есконечного числа переменных, а В. и. — как соответствующее обобщение раздела дифференциального исчисления, занимающегося отысканием экстремальных значений ф-ций переменных. Важное место в В. и. имеет понятие вариации (дифференциала) функционала — главной линейной части приращения функционала при переходе от ф-ции к близкой ф-ции . Значение

где t — числовой параметр. Для того, чтобы среди всех рассматриваемых ф-ций выделить те, на которых функционал достигает экстремального значения, необходимо знать условия (соотношения), характеризующие искомые ф-ции. Определение необходимых условий экстремума — одна из основных задач В. и. Необходимое условие экстремума формулируется так: чтобы функционал достигал экстремума при необходимо, чтобы вариация при

Рассмотрим конкретные задачи В. и. Простейшая задача В. и.: среди дифференцируемых ф-ций удовлетворяющих граничным условиям необходимо найти ф-цию, на которой функционал

достигает экстремального значения. Как в этой задаче, так и в других задачах В. и., для того, чтобы решение существовало, ф-ция должна удовлетворять определенным требованиям гладкости. Условие для функционала (1) приводит к уравнению (уравнению Эйлера)

Искомыми ф-циями могут быть только решения этого ур-ния. Значения постоянных, входящих в общий интеграл этого ур-ния, определяют с помощью граничных условий. Часто, кроме граничных условий, на ф-ции у налагаются дополнительные ограничения, напр., экстремум функционала (1) ищется лишь на ф-циях, на которых функционал принимает заданное значение С. Это задача на условный экстремум. В таких задачах ограничения могут иметь также характер ур-ний (в том числе и дифференциальных), а функционал, экстремум которого ищется, может иметь более сложную структуру (см. Лагранжа задача, Майера задача, Болъца задача). Для построения необходимых условий экстремума эти задачи сводятся к задачам без ограничений с помощью Лагранжа правила множителей. В. и. рассматривает также задачи с подвижными концами, когда необходимо отыскать экстремум функционала (1) среди ф-ций, концы которых не закреплены и могут перемещаться по заданным кривым. Поскольку эта задача отличается от простейшей только условиями на концах, то необходимое условие экстремума — ур-ние (2) — для нее сохраняется, но необходимо дополнительно определять положение концов ф-ции, на которой достигается экстремум функционала, на заданных кривых. Для этого пользуются условиями трансверсальности. Кроме необходимых условий экстремума, построенных с привлечением первой вариации функционала, могут быть построены необходимые условия, использующие вторую вариацию функционала (см. Лежандра — Клебша условие).

Непосредственное использование необходимых условий сводит задачу В. и. к решению дифф. ур-ний, что связано со значительными трудностями. Поэтому для получения ф-ций, на которых достигается экстремум функционала, в В. и. используются и прямые методы. Сущность этих методов заключается в построении каким-либо способом такой последовательности ф-ций , что , где экстремальное значение функционала. Прямые методы позволяют получить приближенное решение задачи.

Первые задачи В. и. изучали И. Ньютон и братья Я. и И. Бернулли в конце 17 в. Как самостоятельная матем. дисциплина В. и. оформилось в 18 в. в трудах Л. Эйлера и Ж. Л. Лагранжа. В середине 20 в. методы В. и. начали плодотворно использоваться во многих разделах математики и механики. В последнее время созданы новые разделы В. и. - теория оптимальных процессов (см. Лонтрягина принцип максимума) и динамическое программирование (см. Веллмана принцип оптимальности) — и создается общая

теория экстремальных задач, позволяющая установить связь между этими разделами. Лит.: Лаврентьев М. А., Люстерник Л. А. Курс вариационного исчисления. М. — Л., 1950; Гельфанд И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление. М., 1961; Блисс Г. А. Лекции по вариационному исчислению. Пер. с англ. М., 1950 [библиогр. с. 334—343]. Ю. М. Данилин.