7.4. КОРРЕЛЯЦИОННОЕ ОТНОШЕНИЕ

Для измерения тесноты связи между двумя явлениями используется корреляционное отношение , предложенное Пирсоном. Его определяют по данным, сгруппированным по объясняющей переменной либо по корреляционной таблице. В обоих случаях вычисляют частные, или условные, средние зависимой переменной по каждой группе значений объясняющей переменной.

Процедуры вычислений корреляционного отношения и индекса корреляции очень схожи. Различие заключается лишь в том, что при вычислении корреляционного отношения исходят из частных средних, а не из соответствующих значений регрессии. Следовательно, оно не связано с определенной функцией регрессии. Чтобы связать эти два понятия, можно корреляционное отношение интерпретировать следующим образом. При его определении предполагаем, что мы исходим из такой функции регрессии, которой соответствует кривая, проходящая через все точки частных средних зависимой переменной. Введем обозначения (см. раздел 2.6): частота группы (интервала) значений объясняющей переменной — частное среднее переменной у для группы (интервала) значений объясняющей переменной значение зависимой переменной у в группе (интервале) значений объясняющей переменной

По аналогии с индексом корреляции определим теперь корреляционное отношение:

Используя разложение дисперсии на составляющие, представим корреляционное отношение по аналогии с коэффициентом парной детерминации следующим образом:

или

Здесь межгрупповая дисперсия, характеризующая рассеяние частных средних относительно общего среднего — среднее из частных дисперсий, служащее для характеристики среднего рассеяния значений переменной внутри групп. Из формул (7.9)-(7.11) видно, что корреляционное отношение вычисляется только по сгруппированному числовому материалу. При использовании любой из этих формул должна быть известна общая дисперсия Если в распоряжении имеются результаты группировок по объясняющей переменной с указанием только частных средних и нет доступа к исходному числовому материалу, то корреляционное отношение вычислить невозможно.

Если числовой материал представлен в виде корреляционной таблицы, то удобно для практических расчетов пользоваться формулами, полученными из (7.9) по аналогии с (6.10):

Здесь — середина интервала значений переменной — частота этого интервала, — условная частота интервала значений переменной у и интервала значений переменной х (частота, указанная в клетке корреляционной таблицы). Возможные значения корреляционного отношения заключены в интервале

Если т.е. частные средние совпадают со значениями переменной то Если т. е. все частные средние лежат на одной прямой, проведенной параллельно оси абсцисс на расстоянии у от нее, . В последнем случае говорят об отсутствии связи между переменными в том смысле, как ее понимают в корреляционном анализе.

На величину корреляционного отношения оказывает влияние произведенная группировка статистического материала. Чем больше выделено групп по объясняющей переменной, тем меньше значений зависимой переменной попадает в каждую группу, тем большему рассеянию подвержены частные средние относительно общего среднего, т. е. тем больше сказывается влияние неучтенных второстепенных факторов и случайностей. Следовательно, межгрупповая дисперсия частных средних с ростом числа групп, как правило, увеличивается, а общая дисперсия остается без изменения. В основном наблюдается такая тенденция: с ростом числа групп по объясняющей переменной корреляционное

(кликните для просмотра скана)

отношение увеличивается. При фиксированном количестве групп по объясняющей переменной корреляционное отношение зависит также от группировки значений зависимой переменной. Чаще всего корреляционное отношение тем больше, чем дифференцированнее группировка по зависимой переменной. Все это надо иметь в виду при использовании корреляционного отношения в качестве показателя тесноты связи.

Как уже отмечалось, при вычислении корреляционного отношения не ориентируются ни на какой вид функции регрессии. Поэтому по нему нельзя сделать никакого вывода о надежности оценки регрессии. Поскольку при вычислении корреляционного отношения исходят из частных средних, вполне очевидно, что Поэтому для измерения интенсивности зависимости переменной х от переменной у вычисляют корреляционное отношение, по формуле, которую легко получить из (7.12) или (7.13) подстановкой в них другой переменной.

Вычислим корреляционное отношение для зависимости объема производства от основных фондов (см. табл. 5 из раздела 2.6). В табл. 14 произведено вычисление выражения , используемого далее в (7.13). В результате имеем:

Полученное значение свидетельствует о тесной связи между объемом производства и основными фондами. Коэффициент корреляции Пирсона, вычисленный по тем же исходным данным, равен (см. раздел 4.2). Для нашего примера оба показателя незначительно отличаются друг от друга. Соотношения, существующие между обоими показателями, мы рассмотрим в следующем разделе.