ПРЕДИСЛОВИЕ

Хотя история создания вариационных принципов механики сплошных сред насчитывает более ста лет, а вариационное исчисление является одним из классических разделов математики, развитие вариационных принципов механики деформируемых тел, в частности теории упругости, теории оболочек и пластин, еще далеко от завершения. Отсутствует систематический анализ (и синтез) вариационных проблем теории упругости и теории оболочек, включающий исследования как условий стационарности вариационных функционалов, так и их экстремальных свойств.

В данной книге представлены результаты систематического исследования вариационных принципов статической теории упругости и оболочек с позиций стационарности и экстремальности функционалов. Благодаря общему подходу выявлены некоторые новые, не менее интересные, но еще не исследованные вариационные формулировки для анизотропного неоднородного тела и анизотропной неоднородной оболочки.

В качестве инструмента систематического исследования взята теория преобразования вариационных проблем, разработанная Д. Гильбертом и Р. Курантом [0.9], которая позволяет не только эквивалентным образом преобразовать одну задачу и другую, но и

дает возможность во многих случаях проследить за изменением экстремальных свойств функционалов.

Эта теория создана уже около половины века тому назад, но в литературе известны лишь немногие примеры применения ее к задачам механики деформируемых тел. Первые работы принадлежат Р. Куранту [0.9] и Э. Рейсснеру [0.13]. Р. Курант впервые применил преобразование Фридрихса для установления связи между принципами Лагранжа и Кастильяно. Э. Рейсснер [0.13], оценивая результаты своих четырех работ, посвященных вариационным принципам теории упругости, характеризует новизну использования теории [0.9] и полученную в итоге полную формулировку вариационной теоремы как вклад в теорию упругости. В отечественной литературе теория [0.9] впервые применена в работах [0.4], а впоследствии в [0.15, 0.6, 0.1] и др. Однако все эти исследования, как правило, не имеют общего характера и относятся к вариационным формулировкам в терминах стационарности функционалов. К анализу экстремальных свойств функционалов эта теория не применялась.

Используемые в книге сведения из вариационного исчисления приведены в гл. 1. В гл. 2 изложены основы теории преобразования вариационных проблем, которая рассмотрена в несколько более общей форме, чем в [0.9], с применением выпуклого анализа для изучения экстремальных свойств функционалов. Для построения и систематического исследования систем функционалов оказалось целесообразным выделить полные функционалы (без каких-либо дополнительных условий) в качестве узловых пунктов вариационной теории упругости или оболочек и совокупность частных функционалов, имеющих

дополнительные условия, и дать общие формулировки общего и частных вариационных принципов.

В соответствии с изложенной в гл. 2 теорией, в гл. 3 и 4 построены системы полных и частных функционалов для формулировки вариационных принципов теории упругости и теории оболочек. В книге принят вариант теории тонких оболочек, выбранный в [4.12] в качестве «наилучшего»; показана возможность перехода к вариационным принципам для других вариантов.

Наряду с известными полными функционалами Ху - Вашицу [0.17, 0.18], Рейсснера [0.13] и полным функционалом в перемещениях [3.11, 0.12] построен ряд новых полных функционалов, среди которых полный функционал в «квазиосновном» пространстве состояний, подобный функционалу Ху - Вашицу, И другие полные функционалы, не зависящие от перемещений, но содержащие функции напряжений, некоторые функционалы в основном и квазиосновном симметри-зованных пространствах, в неполных пространствах перемещений, деформаций, напряжений и функций напряжений и другие. Выявлены экстремальные свойства всех рассмотренных функционалов. Установлено, что большинство полных функционалов, в том числе известные функционалы Ху-Вашицу, Рейсснера и другие, имеют в качестве точки стационарности седловую точку, а среди некоторых новых функционалов обнаружены такие, которые не имеют ни экстремумов, ни минимаксов.

Впервые получены функционалы относительно физических соотношений упругости, ряд функционалов граничных условий, функционал Лагранжа, не содержащий перемещений, функционалы физико-геометрического и физико-статического характера и другие. Эти

новые функционалы по своим свойствам теоретического и вычислительного характера не уступают ранее известным.

Показано несоответствие некоторых общих решений уравнений равновесия вариационному принципу Кастильяно и выводимым из него определенным видам уравнений неразрывности. В этом плане следует подчеркнуть целесообразность проверки новых и известных старых дифференциальных формулировок на соответствие вариационным принципам.

Построена и изучена с точки зрения стационарности и экстремальности система полных и частных функционалов в случае разрывных полей перемещений, деформаций, напряжений и функций напряжений; некоторые вариационные принципы для таких полей впервые рассматривались В. Прагером [0.12]. Аналогичные вопросы рассмотрены и в теории оболочек. Необходимость рассматривать разрывные поля в качестве возможных состояний упругого тела возникает иногда при численном решении задач, в частности при использовании метода конечных элементов.

Установлена вариационная форма статико-геометрической аналогии в теории непологих неоднородных анизотропных оболочек, которая выражается в соответствии между функционалами, их дополнительными и естественными условиями и экстремальными свойствами.

Пятая глава посвящена некоторым приложениям, показывающим, что вариационные методы являются мощным орудием качественного анализа и средством численного решения задач. Рассмотрены различные формы вариационных уравнений. Предложена классификация прямых вариационных методов расчета, основанная на идеях главы 2. Разработан

универсальный метод вычисления коэффициентов алгебраических уравнений прямых методов, удобный для реализации машинных алгоритмов расчета. Дана общая методика решения и рассмотрены на примерах особенности задач со сложными граничными условиями для многосвязных упругих тел и оболочек и др. На основе этой методики получены как условия стационарности функционалов уравнения неразрывности контура отверстия в одних задачах и равновесия контура в других. Показаны некоторые возможности использования экстремальных свойств вариационных функционалов для получения двусторонней оценки точности решений.

Небольшой объем книги не позволил уделить достаточное внимание обширным историческим аспектам теории вариационных принципов. В связи с этим отметим, что за последние десятилетия в развитие и применение вариационных принципов теории упругости, оболочек, пластинок и стержней внесли свой вклад такие ученые, как Л. Я. Айнола, Н. А. Алумяэ, Л. И. Балабух, В . В. Болотин, К. Вашицу, А. С. Вольмир, К. 3. Галимов, И. И. Гольденблат, Р. Зелигер, Л. М. Качанов, Л. С. Лейбензон, А. И. Лурье, С. Г. Михлин, В. В. Новожилов, В. Прагер, Э. Рейсснер, Л. И. Седов, И. Н. Слезингер, И. Г. Терегулов, Э. Тонти, К. Ф. Черных и др.

С целью облегчить использование книги в качестве справочника по вариационным принципам теории упругости и теории оболочек большинство результатов представлено в табличной легко обозримой форме. В Приложении 1 приведены краткие сведения из функционального и выпуклого анализа, в Приложении 2 — из векторного и тензорного анализа. В Приложении 3 вариационная теория гладких анизотропных оболочек

обобщается на различные конструктивно-анизотропные (ребристые, многослойные и др.) оболочки, а также и на случай приобретенной в процессе деформирования анизотропии (например, возникновение упруго-пластических зон).

Данная книга является некоторым обобщением работ авторов. Ей предшествовало учебное пособие [0.2], которое можно рассматривать как первое издание данной книги.

Проведенные исследования, основанные на применении теории преобразования вариационных проблем, могут служить методологическим примером для целого ряда других задач механики деформируемого тела и родственных задач математической физики.

Систематическое изучение вариационных принципов с позиций стационарности и экстремальности обогащает как постановку, так и аппарат математического исследования задач.

Авторы искренне благодарны коллегам и друзьям, чье внимание, замечания, пожелания и советы способствовали появлению этой книги.