§ 4. Частные функционалы. Их взаимосвязь с полными функционалами

Согласно § 2 гл. 2 частные функционалы получаются из полных при наложении некоторых условий стационарности в качестве дополнительных условий. При этом выражение для функционала обычно упрощается, так как некоторые слагаемые обращаются в нуль.

Из приведенной в § 2.3.1 гл. 2 классификации дополнительных условий, которые можно наложить на полный функционал, видно, что количество возможностей для получения различных частных функционалов очень велико. В частности, легко осуществляется переход к функционалам Лагранжа и Кастильяно. Некоторые другие, наиболее характерные, на наш взгляд, частные функционалы, приведены в табл. 3.5.

4.1. Различные варианты частных функционалов Лагранжа и Кастильяно (табл. 3.1 и 3.2).

а) Получение функционалов Лагранжа из лагранжевой серии полных функционалов и Кастильяно — из кастильяновой серии представляет собой обратный переход от полных функционалов к частным, из которых они получены. Для этого перехода в качестве дополнительных условий принимают те уравнения, которые были внесены в функционал с множителями Лагранжа; при этом слагаемые в функционале, содержащие множители Лагранжа, обращаются в нуль.

б) Преобразование некоторых полных функционалов лагранжевой серии (табл. 3.3) в различные варианты функционала Кастильяно (табл. 3.2). Наложение в качестве дополнительных условий тех условий стационарности полных функционалов, которые не были дополнительными условиями исходных функционалов Лагранжа (табл. 3.1), и исключение с помощью этих уравнений переменных, входящих в исходные функциоцалы Лагранжа, приводит (см. гл. 2,

§ 2.4) к различным вариантам функционала Кастильяно, зависящим от статических величин, которые при построении полных функционалов были множителями Лагранжа. Это преобразование является одним из этапов преобразования Фридрихса

Так, например, (табл. 3.3) после наложения в качестве дополнительных условий статических уравнений в объеме и на поверхности тела теряет переменную и. Это становится очевидным, если с помощью формул

и формулы Остроградского (см. Приложение 2) преобразовать функционал к виду

Действительно, если а удовлетворяет статическим уравнениям в объеме и на поверхности, то коэффициенты при и в объемном и поверхностном интегралах равны нулю, и не зависит от и. Продолжая преобразование, наложим в качестве дополнительных условий еще и физические уравнения (1.2), выразим через о и подставим в функционал (1); получим функционал Кастильяно

Подобным образом, накладывая статические дополнительные условия и исключая переменную из полного функционала (табл. 3.3), перейдем к другой разновидности функционала Кастильяно (табл. 3.2).

Функционал нельзя указанным путем преобразовать ни в какую разновидность функционала Кастильяно, так как он не содержит статических переменных в объеме

Функционал переходит, как и если наложить статические

Дополнительные условия

и исключить с помощью уравнений

в) Преобразование некоторых полных функционалов кастильяновой серии (табл. 3.4) в функционалы Лагранжа (табл. 3.1). Переход от один из этапов преобразования Фридрихса (см. гл. 2 § 2.4)-осуществляется по аналогии с преобразованием (см. § 4.16).

Функционал после наложения дополнительных условий (1.8) и (1.2) в объеме тела и деформационных граничных условий на поверхности (которые являются его условиями стационарности) и исключения переменной а переходит в так как преобразование объемного интеграла с использованием формулы Остроградского (см. Приложение 2) приводит к виду

откуда ясно, что при условиях

коэффициенты при обращаются в нуль.

Подобным образом преобразуется в

Нельзя указанным путем преобразовать в функционал Лагранжа, так как он не содержит геометрических переменных в объеме.

Функционал переходит в одну из форм функционала Лагранжа

с дополнительными условиями

Функционал переходит, как и если наложить геометрические дополнительные условия

и исключить а с помощъю уравнений

4.2. Вывод частных функционалов из полных путем наложения различных комбинаций геометрических, статических и физических уравнений в качестве дополнительных условий

(схема а) классификации в гл. 2, § 2.3.1). Разберем на примерах полных функционалов в основном и квазиосновном пространствах состояний различные возможности, возникающие при наложении указанных дополнительных условий.

а) Использование одной группы из множества геометрических, статических и физических уравнений в качестве дополнительных условий, накладываемых на полный функционал приводит к

преобразованиям, показанным на схеме (рис. 3.3). Эта схема показывает некоторую неравноправность условий стационарности функционала с точки зрения их использования для получения частных функционалов.

Рис. 3.3. Использование геометрических, или статических, или физических уравнений в качестве дополнительных условий для вывода частных функционалов из полного в основном пространстве состояний.

Неравноправность геометрических уравнений по отношению к статическим и физическим состоит в том, что они приводят к функционалу Лагранжа условия стационарности которого состоят из одной группы уравнений — статических, а физические оказываются ненужными, так как ни частный функционал ни его дополнительные условия не содержат переменную а. Это, конечно, не значит, что физические уравнения оказываются нарушенными, так как они выполнены заранее, и поэтому уравнения равновесия как условия стационарности записаны в деформациях.

При наложении в качестве дополнительных условий статических уравнений переходит в функционал для физических и геометрических

соотношений Этот функционал является промежуточным звеном преобразования преобразуется в полный функционал если для удовлетворения дополнительных условий к нему использовать общее решение (1.7) уравнений равновесия.

Рис. 3.4. Использование двух групп множества геометрических, статических и физических уравнений в качестве дополнительных условий для вывода частных функционалов из полного в основном пространстве состояний.

При наложении физических уравнений переходит в функционал для геометрических и статических уравнений (табл. 3.5). Исключив из него в соответствии с гл. 2, § 2.2в деформации, получим полный функционал Рейсснера а исключив напряжения, получим другую разновидность функционала Рейсснера — (см. § 3.1 в).

б) Использование двух групп из множества геометрических, статических и физических уравнений для получения частных функционалов из показано на схеме рис. 3.4.

Неравноправие геометрических дополнительных условий с другими по отношению к функционалу

(§ 4.2а) может привести к тому, что при наложении геометрических и физических или геометрических и статических дополнительных условий перейдет в функционал Лагранжа который не содержит напряжений. Тогда мы получим в качестве условий стационарности статические уравнения с учетом физических, как и в схеме на рис. 3.3. Но так как цель состоит в том, чтобы принять два дополнительных условия, должно получиться, что при этих дополнительных условиях из следуют частные функционалы в соответствии со схемой на рис. 3.4. Действительно, принимая вначале не геометрические, а физические или статические уравнения, приходим к результату на схеме рис. 3.4. Заметим, что этот же результат получается, если к частным функционалам на рис. 3.3 принять соответствующее второе дополнительное условие, как на рис. 3.4.

При геометрических и статических дополнительных условиях переходит в функционал (табл. 3.5), условиями стационарности которого являются физические соотношения в форме

При наложении статических и физических условий переходит в одну из разновидностей функционала Кастильяно

с дополнительными условиями

Этот функционал легко преобразуется в

в) Использование одной группы из множества статических, геометрических и физических уравнений в качестве дополнительных условий, накладываемых на полный функционал , можно проиллюстрировать схемой, аналогичной рис. 3.3, заменив на нем и на на о и о на и поменяв местами геометрические и статические уравнения. Здесь, аналогично § 4.2а, обнаруживается неравноправность

статических условий функционала по отношению к остальным. При статических дополнительных условиях переходит в функционал Кастильяно который не содержит деформаций и условия стационарности которого состоят из одной группы уравнений — геометрических-, а физические уравнения оказываются выполненными.

При наложении в качестве дополнительных условий геометрических уравнений переходит в функционал для физических и статических соотношений (табл. 3.5). Этот функционал является промежуточным звеном преобразования в (см. § 4.1в). Функционал преобразуется в (табл. 3.4), если для удовлетворения дополнительных условий к нему использовать общее решение (1.1) уравнений неразрывности.

При наложении физических условий переходит в функционалы для статических и геометрических уравнений.

г) Использование двух групп из множества статических, геометрических и физических уравнений для получения частных функционалов из можно проиллюстрировать схемой, аналогичной рис. 3.4 (см. § 4.26).

При статических и геометрических дополнительных условиях 52 переходит в функционал (табл. 3.5), условиями стационарности которого являются физические соотношения в форме

При наложении геометрических и физических уравнений переходит в одну из разновидностей функционала Лагранжа

с дополнительными условиями

Этот функционал легко преобразуется в (табл. 3.1).

4.3. Функционал физических соотношений.

Условиями стационарности функционала

являются физические соотношения в прямой и обратной формах. Хотя он и не входит в систему преобразованных функционалов Лагранжа и Кастильяно, но близко к ней примыкает и обладает интересными свойствами с точки зрения стационарности и экстремальности (см. также § 5).

Функционал (1) можно получить из функционалов рассматриваемой системы следующим образом. Из (табл. 3.5) вычтем функционал Кастильяно (табл. 3.2) и положим

Так как имеют одни и те же дополнительные условия — статические уравнения, то естественно считать, что также имеет в качестве дополнительных условий статические уравнения, а в качестве условий стационарности — геометрические и физические. Этот вывод показывает, что стационарное значение равно нулю, так как равен разности двух функционалов с одним и тем же стационарным значением, достигающимся в одной и той же точке.

Другой вывод состоит в использовании функционала Лагранжа (табл. 3.1) и функционала для физических и статических соотношений (табл. 3.5):

Отсюда видно, что дополнительными условиями к можно считать геометрические уравнения, и тогда условия стационарности суть статические и физические соотношения.

Если в качестве дополнительных условий к принять и геометрические, и статические уравнения, то он превратится в разность функционалов Лагранжа и Кастильяно; его условиями стационарности будут и геометрические, и статические уравнения с учетом физических, как это наглядно показано в примере, разобранном в статье [4.3].

Третий путь вывода функционала (1) становится очевидным, если его преобразовать к виду

Эквивалентная запись равенства (4)

показывает, что использование функционала (1) сводится к одному из вариантов метода наименьших квадратов для решения физических уравнений, так как подынтегральное выражение в (5) является неотрицательно определенной квадратичной формой, принимающей нулевое значение для тех деформаций и напряжений, которые удовлетворяют физическим уравнениям.

Равенство (4) или (5) (см. замечание 1 в конце данного пункта) показывает, что функционал (1) можно считать не имеющим дополнительных условий; в этом случае его условия стационарности — физические зависимости, задача о его минимуме имеет бесконечное множество решений а для полного решения краевой задачи теории упругости нужно привлекать еще геометрические и статические уравнения в объеме и на поверхности.

Так как функционал (1) неотрицательно определен, а его стационарное значение равно нулю, то это стационарное значение является минимумом. Этот факт может быть полезен для оценки точности приближенных решений (см. гл.5); при этом функционал (1) имеет некоторые преимущества по сравнению с функционалами Лагранжа и Кастильяно,

Замечание 1. Функционалы обладают любопытным свойством: варьирование по некоторым переменным по по по о) без выполнения дополнительных условий приводит к физическим уравнениям в прямой (1.2) или обратной (1.3) форме в качестве условий стационарности, т. е. независимое варьирование некоторых переменных не приводит к ошибке.

Замечание 2. В гл. 2, § 2, было показано, как с помощью усечения пространства состояний преобразуются частные функционалы в полные. Здесь за счет определенного выбора подпространства преобразуются условия стационарности.

Рассмотрим функционал с дополнительными условиями условиями стационарности которого являются уравнения Выберем подпространство, в котором выполняются, например, условия стационарности данного функционала.

Так как известно (см. гл. 2, § 2), что точка стационарности функционала на всем пространстве совпадает с его точкой стационарности, отыскиваемой на этом подпространстве, то для идентификации точки стационарности на подпространстве можно использовать уравнение где производная берется всем пространстве. Раз мы взяли подпространство, то количество неизвестных уменьшается, соответственно уменьшается количество уравнений в выражении на данном подпространстве уравнение является тождеством.

Рассмотрим, например, полный функционал (табл. 3.3). Отыскивая точку его стационарности на подпространстве, состоящем из всех и тех которые удовлетворяют уравнению и применяя для идентификации точки стационарности условия получаем уравнение

второе условие стационарности на данном подпространстве выполняется тождественно. Если для выделения этого подпространства

использовано общее решение уравнения то уравнение (6) принимает вид

Эта форма физических зависимостей представляется интересной для класса задач, в которых решения статических и геометрических уравнений известны, а все отличия заключены в физических уравнениях (1.2).

4.4. Функционалы граничных условий.

Рассмотрим второй вариант классификации дополнительных условий, накладываемых на полные функционалы для перехода к частным (гл. 2 § 2.3.1): разделение их на уравнения в объеме и на поверхности.

Использование в качестве дополнительных условий уравнений на поверхности тела не приводит к существенным изменениям в структуре функционала. Один из поверхностных интегралов обращается в нуль, а условиями стационарности являются все уравнения в объеме.

Как с точки зрения структуры, так и в вычислительном аспекте (см. гл. 5) представляют интерес функционалы граничных условий, которые получаются из полных, если в список дополнительных условий включить все уравнения в объеме. Условиями стационарности полученных таким путем функционалов являются граничные условия — статические, или геометрические, или и те и другие. В табл. 3.5 представлено шесть наиболее характерных представителей обширного семейства функционалов граничных условий.

а) Функционал граничных условий в перемещениях и напряжениях. Может быть выведен из (табл. 3.4), или из или из (табл. 3.3) путем наложения всех условий стационарности в объеме V в качестве дополнительных условий и исключения (из переменной Условия стационарности

геометрические граничные условия в перемещениях и статические — в деформациях.

б) Функционал для статических граничных условий в перемещениях. Этот функционал можно вывести из ЭП(и,/), (табл. 3.3) или из (табл. 3.4), наложив все уравнения в объеме V и геометрические граничные условия в перемещениях на поверхности в качестве дополнительных условий и исключив все переменные, кроме и. Условия стационарности — статические граничные условия в перемещениях.

в) Функционал для геометрических (деформационных) граничных условий. Выводится из и других полных функционалов путем наложения в качестве дополнительных условий всех условий стационарности в объеме V и статических граничных условий на поверхности и исключения из функционала и дополнительных условий всех переменных, кроме а. Условия стационарности деформационные граничные условия, выраженные в напряжениях.

г) Функционал граничных условий в функциях напряжений и деформациях. Может быть получен из полных функционалов, зависящих от переменных (табл. 3.3),. (табл. 3.4) и др. Дополнительные условия — уравнения неразрывности в деформациях и зависимости между деформациями и функциями напряжений (в качестве статических и физических уравнений) в объеме Условия стационарности—статические граничные условия, выраженные в функциях напряжений, и деформационные граничные условия.

д) Функционал для геометрических (деформационных) граничных условий в функциях напряжений. Может быть выведен из (табл. 3.4) и других полных функционалов, содержащих переменную Дополнительные условия: уравнения неразрывности и статические граничные условия в функциях напряжений. Условия

стационарности — деформационные граничные условия в функциях напряжений.

е) Функционал для статических граничных условий в деформациях. Его можно вывести из и других полных функционалов, содержащих переменную Дополнительные условия: уравнения неразрывности и равновесия в деформациях в объеме тела и деформационные граничные условия на его поверхности. Условия стационарности — статические граничные условия, выраженные в деформациях.

Используя функционалы для деформационных граничных условий, следует иметь в виду ограничения на поверхностные условия при наличии нескольких связных участков поверхности с заданными перемещениями или напряжениями, см. § 1.

4.5. Смешанные функционалы

Смешанные функционалы с неполными полями перемещений и функций напряжений могут быть выведены из соответствующих полных функционалов в декартовой и некоторых других системах координат. В табл. 3.5 представлено два таких функционала: полученных из полных функционалов с использованием общих решений (7) и (8) уравнения равновесия и системы двух уравнений соответственно:

Дополнительными условиями к этим функционалам служат геометрические граничные условия для тех компонентов перемещений и статические — для тех компонентов функций напряжений, которые являются их аргументами. Условия стационарности — уравнения смешанного метода теории упругости [3.2] и соответствующие граничные условия.