Приложение 1. ПОНЯТИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО ИВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА В ВАРИАЦИОННОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК

«Вариационное нечисление фактически стало одним из разделов функционального анализа и занимает в нем такое же место, как теория максимумов и минимумов в обычиом анализе. Л. Янг

Цель данного приложения — очертить круг понятий функционального и выпуклого анализа, которые применяются в вариационных формулировках теории упругости и теории оболочек. Их использование является перспективным для развития данной теории и, в частности, позволило рассмотреть в данной книге полные и частные вариационные принципы и теоремы, сделать ряд выводов об экстремальных свойствах функционалов и т. д.

Основные определения, теоремы и обозначения функционального и выпуклого анализа см. в [1.2].

1. Пространства состояний упругой системы как линейные и аффиииые пространства.

Совокупность возможных состояний упругой системы (т. е. полей перемещений, усилий, деформаций, функций напряжений), среди которых отыскивается нстниное состояние, целесообразно рассматривать как линейное (векторное) пространство (пространство состояний, см. гл. 2). Его элементами являются трехмерные (или двумерные) векторные или тензорные функции положения точки в области V, занимаемой упругим телом (или в области занимаемой базисной поверхностью оболочки); здесь -радиус-вектор точки в какой-либо декартовой системе координат. Таким образом, различные пространства состояний упругой системы являются пространствами функций, определенных на V или (функциональными пространствами) и имеют бесконечную размерность.

Линейное пространство — частный случай аффинного пространства, т. е. пространства, которое вместе с любыми двумя точками х, у содержит всю проходящую через них прямую линию (множество а — любое вещественное число). Линейное пространство отличается тем, что всегда содержит нулевой элемент. В книге встречаются пространства состояний, являющиеся лишь аффинными, например множество полей перемещений, удовлетворяющих неоднородным геометрическим граничным условиям (пространство, связанное с функционалом Лагранжа), пространство напряжений, удовлетворяющих неоднородным уравнениям равновесия (на котором определен функционал Кастильяно).

Иногда удобно от аффинного пространства А перейти к линейному пространству представив все элементы в виде

где какой-либо фиксированный элемент из в этом случае элементы составляют линейное пространство. Например, построив какое-либо поле перемещений удовлетворяющее неоднородным граничным условиям данной задачи, можно любое допустимое поле перемещений представить в виде

где поля и удовлетворяют однородным граничным условиям и, следовательно, составляют линейное пространство.

Рассматриваемые в книге подпространства пространств состояний определяются, как правило, теми или иными линейными уравнениями. Линейное однородно» уравнение определяет в линейном пространстве линейное подпространство (в аффинном — аффинное), линейное неоднородное уравнение определяет аффинное подпространство. Например, поля напряжений, удовлетворяющие неоднородному уравнению разновесия составляют аффинное подпространство в линейном пространстве напряжений.

Пространства состояний вида или удобно рассматривать как прямые (декартовы) суммы или пространств перемещений напряжений 2, деформаций и функций напряжений

2. Функции и функционалы в теории упругости и теории оболочек. В книге рассматриваются главным образом линейные и аффинные функции (отображения, операторы) в функциональных пространствах. Например, выражение определяет линейное отображение пространства перемещений в пространство деформаций (линейный оператор); -аффинное отображение пространства напряжений 2 в пространство объемных сил (аффинный оператор). Соответственно равенство есть линейное однородное уравнение, а линейное неоднородное уравнение (здесь следует рассматривать как нулевой элемент пространства).

Функции, отображающие какое-либо линейное пространство в множество действительных чисел, называются функционалами. Различные виды энергии упругого тела (полная потенциальная, дополнительная, смешанная и т. д.) представляют собой функционалы, определенные на пространствах состояний. В линейной теории упругости и оболочек эти функционалы квадратичные.

3. Выпуклые множества и выпуклые функционалы в аффинных пространствах.

В книге выпуклые множества представляют собой, как правило, линейные или аффинные подпространства. В частности, все решения линейного уравнения (однородного или неоднородного) образуют выпуклое множество.

Выпуклые вниз функционалы иногда сокращенно называют просто выпуклыми. Функционал определенный на прямой сумме двух аффинных пространств называется выпукло-вогнутым, если он является выпуклым вниз на А при каждом

фиксированном и выпуклым вверх (вогнутым) на В при каждом фиксированном а

4. Скалярное произведение, норма, метрика в пространствах состояний упругой системы.

Если в линейном пространстве определить скалярное произведение, то оно становится евклидовым пространством. Например, в пространстве перемещений скалярное произведение и можно определить равенством

В пространстве напряжений 2 рассматривают скалярное произведение вида

Для вариационной теории особый интерес представляет энергетическое скалярное произведение. Оно может быть определено в тех пространствах состояний, в которых вариационные принципы формулируются на основе выпуклых (вверх или вниз) функционалов; это соответствует положительной определенности [0.11] операторов, являющихся градиентами. Например, в пространстве перемещений, удовлетворяющих геометрическим однородным граничным условиям, энергетическое скалярное произведение имеет вид

В пространстве 2 напряжений, удовлетворяющих всем однородным уравнениям равновесия, можно рассматривать скалярное произведение

В пространстве перемещений, удовлетворяющих всем уравнениям теории упругости в области и однородным геометрическим граничным условиям, скалярное произведение можно определить на основе функционала граничных условий

Энергетическое скалярное произведение порождает энергетическую норму [0.11]

На основе норм, соответствующих различным скалярным произведениям, можно определить различные метрики

характеризующие «расстояние» между двумя элементами рассматриваемого пространства:

С помощью метрики оценивают близость приближенного решения задачи к точному. В энергетической метрике-расстояние между любыми двумя полями перемещений, отличающимися на смещение твердого тела, равно нулю, т. е. эти поля не различаются и их отождествляют.

С метрикой связаны понятия полноты и сепарабельности пространств, имеющие важное значение в вопросах существования решений и применимости приближенных методов; эти вопросы, однако, выходят за рамки данной книги.

5. Дифференцирование вариационных функционалов.

Нормирование пространства состояний позволяет при исследовании вариационных формулировок применять понятия производной и дифференциала. Дифференциал функционала энергии в нормированном пространстве (дифференциал Фреше) в вариационном исчислении называют вариацией. Производная функционала энергии (производное отображение) является дифференциальным оператором соответствующей краевой задачи. Этот оператор получают, преобразуя вариацию функционала методами вариационного исчисления (см гл. 1). Производную функционала иногда называют его градиентом. Точкой стационарности функционала называется такое значение его аргумента, при котором его градиент равен нулю, т. е. соответствующие дифференциальные операторы обращаются в нуль.

Если пространство состояний представляет собой прямую сумму нескольких пространств, то можно рассматривать частные производные отображения. Например, выражение

обозначает производную в подпространстве при фиксированных

Заметим, что в на основе функционального анализа рассмотрены вопросы построения вариационных формулировок, соответствующих данным краевым задачам, и применения их для приближенного решения.