Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Приложение 1. ПОНЯТИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО ИВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА В ВАРИАЦИОННОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК«Вариационное нечисление фактически стало одним из разделов функционального анализа и занимает в нем такое же место, как теория максимумов и минимумов в обычиом анализе. Л. Янг Цель данного приложения — очертить круг понятий функционального и выпуклого анализа, которые применяются в вариационных формулировках теории упругости и теории оболочек. Их использование является перспективным для развития данной теории и, в частности, позволило рассмотреть в данной книге полные и частные вариационные принципы и теоремы, сделать ряд выводов об экстремальных свойствах функционалов и т. д. Основные определения, теоремы и обозначения функционального и выпуклого анализа см. в [1.2]. 1. Пространства состояний упругой системы как линейные и аффиииые пространства.Совокупность возможных состояний упругой системы (т. е. полей перемещений, усилий, деформаций, функций напряжений), среди которых отыскивается нстниное состояние, целесообразно рассматривать как линейное (векторное) пространство (пространство состояний, см. гл. 2). Его элементами являются трехмерные (или двумерные) векторные или тензорные функции Линейное пространство — частный случай аффинного пространства, т. е. пространства, которое вместе с любыми двумя точками х, у содержит всю проходящую через них прямую линию (множество Иногда удобно от аффинного пространства А перейти к линейному пространству
где
где поля и удовлетворяют однородным граничным условиям и, следовательно, составляют линейное пространство. Рассматриваемые в книге подпространства пространств состояний определяются, как правило, теми или иными линейными уравнениями. Линейное однородно» уравнение определяет в линейном пространстве линейное подпространство (в аффинном — аффинное), линейное неоднородное уравнение определяет аффинное подпространство. Например, поля напряжений, удовлетворяющие неоднородному уравнению разновесия Пространства состояний вида 2. Функции и функционалы в теории упругости и теории оболочек. В книге рассматриваются главным образом линейные и аффинные функции (отображения, операторы) в функциональных пространствах. Например, выражение Функции, отображающие какое-либо линейное пространство в множество действительных чисел, называются функционалами. Различные виды энергии упругого тела (полная потенциальная, дополнительная, смешанная и т. д.) представляют собой функционалы, определенные на пространствах состояний. В линейной теории упругости и оболочек эти функционалы квадратичные. 3. Выпуклые множества и выпуклые функционалы в аффинных пространствах.В книге выпуклые множества представляют собой, как правило, линейные или аффинные подпространства. В частности, все решения линейного уравнения (однородного или неоднородного) образуют выпуклое множество. Выпуклые вниз функционалы иногда сокращенно называют просто выпуклыми. Функционал фиксированном 4. Скалярное произведение, норма, метрика в пространствах состояний упругой системы.Если в линейном пространстве определить скалярное произведение, то оно становится евклидовым пространством. Например, в пространстве перемещений
В пространстве напряжений 2 рассматривают скалярное произведение вида
Для вариационной теории особый интерес представляет энергетическое скалярное произведение. Оно может быть определено в тех пространствах состояний, в которых вариационные принципы формулируются на основе выпуклых (вверх или вниз) функционалов; это соответствует положительной определенности [0.11] операторов, являющихся
В пространстве 2 напряжений, удовлетворяющих всем однородным уравнениям равновесия, можно рассматривать скалярное произведение
В пространстве
Энергетическое скалярное произведение порождает энергетическую норму [0.11]
На основе норм, соответствующих различным скалярным произведениям, можно определить различные метрики характеризующие «расстояние» между двумя элементами
С помощью метрики оценивают близость приближенного решения задачи к точному. В энергетической метрике-расстояние между любыми двумя полями перемещений, отличающимися на смещение твердого тела, равно нулю, т. е. эти поля не различаются и их отождествляют. С метрикой связаны понятия полноты и сепарабельности пространств, имеющие важное значение в вопросах существования решений и применимости приближенных методов; эти вопросы, однако, выходят за рамки данной книги. 5. Дифференцирование вариационных функционалов.Нормирование пространства состояний позволяет при исследовании вариационных формулировок применять понятия производной и дифференциала. Дифференциал функционала энергии в нормированном пространстве (дифференциал Фреше) в вариационном исчислении называют вариацией. Производная функционала энергии (производное отображение) является дифференциальным оператором соответствующей краевой задачи. Этот оператор получают, преобразуя вариацию функционала методами вариационного исчисления (см гл. 1). Производную функционала иногда называют его градиентом. Точкой стационарности функционала называется такое значение его аргумента, при котором его градиент равен нулю, т. е. соответствующие дифференциальные операторы обращаются в нуль. Если пространство состояний представляет собой прямую сумму нескольких пространств, то можно рассматривать частные производные отображения. Например, выражение
обозначает производную в подпространстве Заметим, что в
|
1 |
Оглавление
|