§ 6. О вариационных принципах и экстремальных свойствах функционалов теории оболочек при разрывных перемещениях, деформациях, усилиях и функциях напряжений. О контактных задачах в теории оболочек

В § 1—5 рассматривались вариационные принципы теории сплошных оболочек, в которых варьируемыми были непрерывные поля параметров напряженно-деформированного состояния.

Формулировку вариационных принципов этой теории, так же как и теории упругости для сплошного тела (см. гл. 3, § 6), можно обобщить, рассматривая в качестве варьируемых переменных разрывные поля перемещений, деформаций, усилий и функций напряжений. Вариационные принципы при разрывных полях параметров напряженно-деформированного состояния могут служить для построения алгоритмов расчета оболочек, в частности при использовании метода Ритца и метода конечных элементов, а также для решения некоторых контактных задач.

6.1. Всю систему вариационных функционалов для разрывных полей можно построить из исходных функционалов Лагранжа и Кастильяно для непрерывных полей, рассматривая, по аналогии с § 6 гл. 3, эти функционалы на пространствах разрывных перемещений (деформаций) и функций напряжений (усилий), но с соответствующими дополнительными условиями, обеспечивающими их непрерывность. Этот прием не меняет существа формулировок принципов Лагранжа и Кастильяно, но позволяет построить ряд полных и частных функционалов, одним из условий стационарности которых является непрерывность некоторых варьируемых полей (или условия контакта).

Не останавливаясь подробно на выводе функционалов теории оболочек для разрывных полей, укажем на некоторые особенности этой задачи по сравнению с аналогичными вопросами в случае трехмерного тела.

Особенность задач теории оболочек состоит в том, что в них нужно требовать непрерывность не только перемещений , но и углов поворота , которые являются функциями частных производных не только функций напряжений но и «углов напряжений» (или частных производных от не только усилий , но и поперечных сил (или производных от и т. д. При этом дополнительными компонентами к геометрическим величинам иа, на линии разрыва базисной поверхности оболочки с тангенциальной нормалью являются соответственно статические величины

6.2. Аналогичным путем можно построить полную систему вариационных функционалов для контактных задач теории оболочек. При рассмотрении контактных задач для оболочек, соединенных под углом, необходимо учитывать, что разные части оболочки рассчитываются в различных системах координат.

Вариационные принципы для контактных задач теории оболочек подробно рассмотрены в работах [0.1, 4.1], в которых разобраны случаи контакта оболочек под углом, контакта оболочек с ребрами и другие.