§ 5. Использование экстремальных свойств функционалов при решении конечномерных (дискретизованных) задач

При применении прямых методов получение достаточно точных решений связано с решением больших систем уравнений, решение которых затруднено из-за ограниченных возможностей вычислительных машин (память, быстродействие, ошибки округления). Поэтому при составлении программ решения больших систем линейных алгебраических уравнений, полученных при дискретизации вариационных задач, стремятся учесть особый вид матриц таких систем; например, их малую заполненность, ленточную структуру и т. д. Такие системы можно решать на ЭВМ «точными» методами (Гаусса, Жордана), если использовать внешние запоминающие устройства и применять специальные приемы, направленные на экономию памяти и времени счета, например блочный метод Гаусса.

Системы вариационно-разностных уравнений хорошо приспособлены для решения итерационными методами. Это становится очевидным, если учесть, что большинство итерационных методов можно трактовать как различные методы спуска из выпуклого программирования (см., например, [5.14]). При этом становятся ясными вопросы их сходимости. Важное достоинство итерационных методов в том, что они являются самоисправляющимися, т. е. не только не накапливают, но и исправляют ошибки округления.

В частности, наиболее распространенный метод Гаусса — Зейделя является методом циклического координатного спуска и состоит в том, что каждая

неизвестная по очереди изменяется таким образом (при фиксированных остальных), чтобы функционал принял экстремальное значение по этой неизвестной. Отсюда ясно, что метод Зейделя всегда сходится для функционалов, имеющих экстремум (минимум или максимум); его сходимость для минимаксных и других неэкстремальных функционалов нуждается в изучении в каждом конкретном случае.

С точки зрения экстремума функционала легко объяснить, в чем заключаются некоторые приемы ускорения сходимости итерационных методов. Например, одним из лучших способов ускорения сходимости метода Зейделя (который называют также методом релаксации) является метод неполной релаксации. С позиций поиска экстремума он заключается в том, что, найдя минимум функционала по переменной в качестве нового значения берут промежуточное значение между предыдущим значением и точкой минимума — «нижняя» релаксация) или продвигаются несколько дальше минимума «верхняя» релаксация). Из рис. 5.13 ясно видно, что «верхняя» релаксация представляет собой метод борьбы с «оврагами» функционала и что метод неполной релаксации всегда сходится при значениях коэффициента релаксации

Имеются и другие примеры использования свойств функционалов для поиска коэффициента релаксации и ускорения сходимости метода Зейделя [5.2, 5.5].

В некоторых задачах, особенно с ограничениями в форме неравенств (например, односторонние связи) может оказаться эффективным метод локальных вариаций [5.19], который представляет собой один из вариантов метода координатного спуска без вычисления производных.

Решение систем алгебраических уравнений, соответствующих неэкстремальным функционалам (какими являются все полные функционалы), сложнее как для «точных», так и для итерационных методов.

Для отыскания седловой точки дискретизованных минимаксных функционалов (Рейсснера, Ху - Вашицу и др.) могут быть использованы методы поиска минимакса из нелинейного программирования и теории игр, например [5.6, 5.9, 5.10, 5.15].

Рис. 5.13. Два способа поиска экстремума функционала в конечномерном пространстве, I — линии уровня выпуклого функционала, имеющего экстремум в точке А.