§ 3. О классификации прямых вариационных методов расчета

Теория преобразования вариационных проблем дает в наше распоряжение все множество вариационных функционалов, точки стационарности которых являются решением задачи теории упругости или теории оболочек; наиболее интересные из них приведены в гл. 3 и 4. В каждой вариационной формулировке задачи принципиально можно применить любой из прямых методов решения: вариационные методы в аналитической, численной и комбинированной форме.

Расчет упругой системы вариационным методом можно разделить на две взаимосвязанные составные части. Первая состоит в выборе наиболее подходящего функционала, вторая — в решении вариационной задачи для выбранного функционала.

С этими двумя частями расчета связаны два основания для классификации вариационных методов расчета: по используемому функционалу и по методу решения вариационной задачи. Этот подход отражен на рис. 5.11, на котором радиусы разделяют методы, связанные с выбором функционала, а окружности — методы решения вариационной задачи (методы дискретизации). Выбор метода расчета приводи к одному из криволинейных прямоугольников этой

схеме. Для трудных задач выбор вариационного метода может оказаться сложным процессом поиска оптимального криволинейного прямоугольника на рис. 5.11.

Рис. 5.11. Схема классификации прямых вариационных методов расчета: множество методов делится радиусами на подмножества в соответствии с выбором функционала и окружностями в соответствии со способом дискретизации.

3.1. О выборе вариационного функционала для расчета упругой системы.

Как в теоретическом отношении, так и с точки зрения вычислительных свойств, совокупность вариационных функционалов изучена еще недостаточно; рациональные области применения многих из них еще не определены. Можно высказать лишь некоторые соображения по этому вопросу.

При выборе функционала учитывают, какие и сколько разрешающих функций являются его аргументами. Количество аргументов обычно стремятся

уменьшить: это связано с объемом информации, которую нужно хранить при вычислениях. Но уменьшение количества функций достигается обычно за счет введения дополнительных условий.

Сложность выполнения дополнительных условий — второй фактор, который необходимо иметь в виду при выборе функционала. В частности, при сложной форме области возникают трудности в выполнении граничных условий, а при наличии анизотропии и неоднородности — в выполнении физических уравнений.

Третий фактор — экстремальные свойства функционала. Для функционала, имеющего экстремум или минимакс, в отдельных случаях могут быть применены континуальные варианты методов математического программирования (оптимизация в гильбертовых пространствах [1.1, 1.5]). Чаще же всего применяются различные методы дискретизации; при этом экстремальные свойства выбранного функционала переносятся на дискретный функционал, и это помогает при решении задачи (см. § 5). Исторически сложилось так, что экстремальные функционалы появились раньше и больше разрабатывались. Однако есть примеры, показывающие, что минимаксные функционалы используются и дают хорошие результаты.

Выбор метода дискретизации тесно связан с выбором функционала. В частности, вариационно-разностные схемы могут быть построены на основе общей идеи расчленения сложной системы на элементы. При этом возникает понятие метода конечных элементов (МКЭ). С математической точки зрения расчленение означает выбор определенного частного функционала и дополнительных условий к нему, т. е. расчленение всей разрешающей системы уравнений на две части, одна из которых (дополнительные условия) должна выполняться предварительно, до использования другой. Расчленение обычно сопровождается механической трактовкой, которая выражается в выборе так называемой основной системы (для которой дополнительные условия выполнены) и неизвестных (отыскиваются с помощью частного функционала).

Для построения расчетных схем, основанных на МКЭ, могут быть использованы различные функционалы для разрывных полей перемещений, напряжений и т. д. (см. гл. 3 § 6 и гл. 4 § 6), а в более сложных случаях — комплекс полных и частных функционалов для многоконтактных задач [4.1]. Особый интерес представляют функционалы граничных условий, которые могут быть использованы как в варианте МКЭ, основанном на методе Ритца, так и в варианте, основанном на аппроксимации функционала. Первый представляет интерес для энергетических оценок погрешности; он может быть реализован при достаточно простых законах распределения упругих констант и нагрузок в области, таких, что все уравнения (геометрические, физические, статические) внутри конечного элемента могут быть выполнены за счет выбора аппроксимирующих функций; это возможно, например, для однородного анизотропного тела при отсутствии объемных сил. Задача о стационарном значении функционала граничных условий служит для приближенного выполнения граничных условий и условий контакта между элементами.

Можно показать, что классические методы строительной механики (методы сил, перемещений, смешанные), система функционалов для строительной механики стержневых систем, предложенная И.И. Гольденблатом [5.8], как и некоторые варианты метода конечных элементов [5.11], исходят из функционала граничных условий многоконтактной задачи.

Различные схемы МКЭ систематизируются на основе вариационных принципов в [5.16].

3.2. Методы дискретизации.

Вариационная задача состоит в отыскании точки стационарности функционала, определенного в бесконечномерном евклидовом пространстве (см. гл. 1). Для отыскания бесконечного множества координат точки стационарности в подавляющем большинстве случаев требуется бесконечное количество вычислений, а значит, и бесконечное время счета. Поэтому задачи расчета континуальных систем решают приближенно, ограничиваясь конечным числом вычислений, выполняемых в ограниченное время.

Возможность приближенного решения вариационной задачи определяется тем, что существует последовательность конечномерных задач на стационарное значение, размерность которых стремится к бесконечности и решения которых сходятся к решению исходной задачи. Существование такой последовательности связано с сепарабельностью (см. Приложение 1) пространства или, что эквивалентно, с наличием в нем счетной базы.

Все пространства состояний, на которых определены функционалы, рассмотренные в гл. 3 и 4, сепарабельны.

Существуют различные способы сведения бесконечномерной вариационной задачи к последовательности конечномерных, которые объединены общим названием «Прямые вариационные методы». Все эти способы можно разделить на два пересекающихся класса, которые условно можно назвать «аналитическими» и «численными» (вариационно-разностными) методами. Теория преобразования вариационных проблем помогает прояснить некоторые вопросы классификации прямых вариационных методов, в частности указать в ней место метода Трефтца и методов, основанных на сложных конечных элементах (суперэлементах).

3.2.1. «Аналитические» методы состоят в построении последовательности конечномерных подпространств данного пространства состояний и отыскании стационарных значений данного функционала на этих подпространствах и соответствующих точек стационарности в качестве приближенных решений.

Метод Ритца — наиболее распространенный представитель «аналитических» методов приведения бесконечномерной вариационной задачи к конечномерной. Суть его в том, что приближенное решение приближение) отыскивается в виде линейной комбинации

где координатные элементы берутся из последовательности которая удовлетворяет

следующим трем условиям: 1) все элементы принадлежат области определения функционала и удовлетворяют всем его дополнительным условиям; 2) при любом элементы линейно независимы; 3) последовательность полна в пространстве состояний, т. е. этой последовательностью может быть как угодно точно аппроксимирован (в соответствующей метрике) любой элемент пространства. Замена в функционале неизвестной функции и суммой (1) приводит к задаче определения точки стационарности функции конечного числа переменных. Обоснование метода Ритца для экстремальных функционалов, а также вопросы его сходимости и устойчивости подробно рассмотрены в книгах [0.11]. Для неэкстремальных функционалов (минимаксных и не имеющих экстремумов) эти вопросы еще не решены; тем не менее метод Ритца в ряде случаев успешно применяется.

Метод Трефтца (см., например, [0.11]) отличается тем, что координатные функции в (1) выбирают таким образом, чтобы они удовлетворяли всем уравнениям данной задачи в области; задача о стационарном значении функционала используется для приближенного выполнения граничных условий. Другими словами, этот способ заключается в использовании функционала граничных условий, так что с точки зрения системы функционалов, представленной в гл. 3 и 4, метод Трефтца можно трактовать как метод Ритца по отношению к функционалу граничных условий.

Метод Бубнова — Галеркина (см. исторический очерк в [0.11]) возник как видоизменение метода Ритца, связанное с вычислением коэффициентов системы алгебраических уравнений Ритца на основе вариационного уравнения. Позднее было замечено, а затем и доказано, что аналогичным образом можно приближенно решать также и некоторые дифференциальные уравнения, не являющиеся условиями стационарности никакого функционала (краевые задачи для несамосопряженных операторов), т. е. что метод Бубнова — Галеркина является более общим, чем

метод Ритца. По отношению к вариационным задачам, приведенным в данной книге (гл. 3 и 4), метод Бубнова — Галеркина следует рассматривать как один из вариантов метода Ритца, отличающийся способом вычисления коэффициентов алгебраических уравнений.

Метод Л. В. Канторовича приведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям существенно отличается от метода Ритца. Приближенное решение ищут в виде

где известные функции такие, что сумма (2) удовлетворяет всем дополнительным условиям используемого функционала а функции одной переменной отыскивают из условия стационарности. Таким образом, вариационная задача, в которой неизвестный параметр — функция и нескольких переменных, сводится к вариационной задаче с неизвестными функциями одной переменной Условием стационарности полученной задачи является краевая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которая обычно проще исходной задачи с частными производными, но дает лишь приближенное решение.

К методу Канторовича близко примыкают некоторые способы сведения задачи расчета оболочки как трехмерного тела к последовательности двумерных задач. Например, упомянутый в гл. 4 способ вывода функционала Лагранжа для оболочки из трехмерного функционала Лагранжа на основе гипотез Кирхгофа — Лява можно рассматривать как получение первого члена такой последовательности.

3.2.2. Вариационно-разностные методы дискретизации отличаются большей универсальностью, чем «аналитические». Они заключаются в том, что искомая функция и, доставляющая стационарное значение используемому функционалу приближенно задается своими значениями в конечном числе точек области интегрирования, а значения в промежуточных

точках определяются с помощью того или иного способа интерполяции; при этом производные заменяются конечными разностями. Интеграл может быть вычислен либо точно, либо с помощью кубатуриой формулы той или иной точности. В первом случае переход к конечномерной (разностной) задаче можно трактовать как метод Ритца со специальным выбором координатных функций, он связан с аппроксимацией пространства состояний конечномерными подпространствами этот подкласс является общей частью (пересечением) классов вариационно-разностных и «аналитических» методов. Второй случай связан с аппроксимацией функционала [5.17].

Метод конечных разностей или метод сеток целесообразно рассматривать как вариационно-разностный метод, основанный на аппроксимации функционала. Он удобен тем, что для вычисления интеграла нужно знать значения подынтегральной функции только в узлах сетки, так что для вычисления производных в различных узлах можно применять разные интерполяционные формулы, не связанные друг с другом (рис. 5.12).

Рис. 5.12. Неоднозначная интерполяция функции в точке А: кривая связана с вычислением производной в точке С, а с вычислением производной в точке

Метод локальных вариаций [5.19] с точки зрения классификации вариационных методов является методом конечных разностей. Особенность его заключается в способе решения дискретизованной задачи, который является одним из вариантов метода координатного спуска (см. § 5).

3.2.3. Комбинированные методы. Методы дискретизации, основанные на совместном применении «аналитических» и «численных» методов, будем называть комбинированными. Одним из примеров может служить метод прямых для задач с частными производными, в котором используется разностная

аппроксимация производных по одному направлению и аналитическое решение — по другому.

К классу комбинированных методов относится использование некоторых сложных конечных элементов (суперэлементов), которые можно определить [5.1] как элементы, внутри области которых выполняются все уравнения данной теории; следовательно, применение сложных конечных элементов связано с функционалом граничных условий. Эти уравнения могут быть выполнены точно (в этом случае получаем метод Ритца для функционала граничных условий) или приближенно— с помощью аналитических или численных методов. Здесь заключена возможность и удобство комбинированного применения МКЭ с другими методами, в том числе с МКР и разными вариантами МКЭ.