Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 3. О классификации прямых вариационных методов расчетаТеория преобразования вариационных проблем дает в наше распоряжение все множество вариационных функционалов, точки стационарности которых являются решением задачи теории упругости или теории оболочек; наиболее интересные из них приведены в гл. 3 и 4. В каждой вариационной формулировке задачи принципиально можно применить любой из прямых методов решения: вариационные методы в аналитической, численной и комбинированной форме. Расчет упругой системы вариационным методом можно разделить на две взаимосвязанные составные части. Первая состоит в выборе наиболее подходящего функционала, вторая — в решении вариационной задачи для выбранного функционала. С этими двумя частями расчета связаны два основания для классификации вариационных методов расчета: по используемому функционалу и по методу решения вариационной задачи. Этот подход отражен на рис. 5.11, на котором радиусы разделяют методы, связанные с выбором функционала, а окружности — методы решения вариационной задачи (методы дискретизации). Выбор метода расчета приводи к одному из криволинейных прямоугольников схеме. Для трудных задач выбор вариационного метода может оказаться сложным процессом поиска оптимального криволинейного прямоугольника на рис. 5.11.
Рис. 5.11. Схема классификации прямых вариационных методов расчета: множество методов делится радиусами на подмножества в соответствии с выбором функционала и окружностями в соответствии со способом дискретизации. 3.1. О выборе вариационного функционала для расчета упругой системы.Как в теоретическом отношении, так и с точки зрения вычислительных свойств, совокупность вариационных функционалов изучена еще недостаточно; рациональные области применения многих из них еще не определены. Можно высказать лишь некоторые соображения по этому вопросу. При выборе функционала учитывают, какие и сколько разрешающих функций являются его аргументами. Количество аргументов обычно стремятся уменьшить: это связано с объемом информации, которую нужно хранить при вычислениях. Но уменьшение количества функций достигается обычно за счет введения дополнительных условий. Сложность выполнения дополнительных условий — второй фактор, который необходимо иметь в виду при выборе функционала. В частности, при сложной форме области возникают трудности в выполнении граничных условий, а при наличии анизотропии и неоднородности — в выполнении физических уравнений. Третий фактор — экстремальные свойства функционала. Для функционала, имеющего экстремум или минимакс, в отдельных случаях могут быть применены континуальные варианты методов математического программирования (оптимизация в гильбертовых пространствах [1.1, 1.5]). Чаще же всего применяются различные методы дискретизации; при этом экстремальные свойства выбранного функционала переносятся на дискретный функционал, и это помогает при решении задачи (см. § 5). Исторически сложилось так, что экстремальные функционалы появились раньше и больше разрабатывались. Однако есть примеры, показывающие, что минимаксные функционалы используются и дают хорошие результаты. Выбор метода дискретизации тесно связан с выбором функционала. В частности, вариационно-разностные схемы могут быть построены на основе общей идеи расчленения сложной системы на элементы. При этом возникает понятие метода конечных элементов (МКЭ). С математической точки зрения расчленение означает выбор определенного частного функционала и дополнительных условий к нему, т. е. расчленение всей разрешающей системы уравнений на две части, одна из которых (дополнительные условия) должна выполняться предварительно, до использования другой. Расчленение обычно сопровождается механической трактовкой, которая выражается в выборе так называемой основной системы (для которой дополнительные условия выполнены) и неизвестных (отыскиваются с помощью частного функционала). Для построения расчетных схем, основанных на МКЭ, могут быть использованы различные функционалы для разрывных полей перемещений, напряжений и т. д. (см. гл. 3 § 6 и гл. 4 § 6), а в более сложных случаях — комплекс полных и частных функционалов для многоконтактных задач [4.1]. Особый интерес представляют функционалы граничных условий, которые могут быть использованы как в варианте МКЭ, основанном на методе Ритца, так и в варианте, основанном на аппроксимации функционала. Первый представляет интерес для энергетических оценок погрешности; он может быть реализован при достаточно простых законах распределения упругих констант и нагрузок в области, таких, что все уравнения (геометрические, физические, статические) внутри конечного элемента могут быть выполнены за счет выбора аппроксимирующих функций; это возможно, например, для однородного анизотропного тела при отсутствии объемных сил. Задача о стационарном значении функционала граничных условий служит для приближенного выполнения граничных условий и условий контакта между элементами. Можно показать, что классические методы строительной механики (методы сил, перемещений, смешанные), система функционалов для строительной механики стержневых систем, предложенная И.И. Гольденблатом [5.8], как и некоторые варианты метода конечных элементов [5.11], исходят из функционала граничных условий многоконтактной задачи. Различные схемы МКЭ систематизируются на основе вариационных принципов в [5.16]. 3.2. Методы дискретизации.Вариационная задача состоит в отыскании точки стационарности функционала, определенного в бесконечномерном евклидовом пространстве (см. гл. 1). Для отыскания бесконечного множества координат точки стационарности в подавляющем большинстве случаев требуется бесконечное количество вычислений, а значит, и бесконечное время счета. Поэтому задачи расчета континуальных систем решают приближенно, ограничиваясь конечным числом вычислений, выполняемых в ограниченное время. Возможность приближенного решения вариационной задачи определяется тем, что существует последовательность конечномерных задач на стационарное значение, размерность которых стремится к бесконечности и решения которых сходятся к решению исходной задачи. Существование такой последовательности связано с сепарабельностью (см. Приложение 1) пространства или, что эквивалентно, с наличием в нем счетной базы. Все пространства состояний, на которых определены функционалы, рассмотренные в гл. 3 и 4, сепарабельны. Существуют различные способы сведения бесконечномерной вариационной задачи к последовательности конечномерных, которые объединены общим названием «Прямые вариационные методы». Все эти способы можно разделить на два пересекающихся класса, которые условно можно назвать «аналитическими» и «численными» (вариационно-разностными) методами. Теория преобразования вариационных проблем помогает прояснить некоторые вопросы классификации прямых вариационных методов, в частности указать в ней место метода Трефтца и методов, основанных на сложных конечных элементах (суперэлементах). 3.2.1. «Аналитические» методы состоят в построении последовательности конечномерных подпространств данного пространства состояний и отыскании стационарных значений данного функционала на этих подпространствах и соответствующих точек стационарности в качестве приближенных решений. Метод Ритца — наиболее распространенный представитель «аналитических» методов приведения бесконечномерной вариационной задачи к конечномерной. Суть его в том, что приближенное решение
где координатные элементы следующим трем условиям: 1) все элементы Метод Трефтца (см., например, [0.11]) отличается тем, что координатные функции в (1) выбирают таким образом, чтобы они удовлетворяли всем уравнениям данной задачи в области; задача о стационарном значении функционала используется для приближенного выполнения граничных условий. Другими словами, этот способ заключается в использовании функционала граничных условий, так что с точки зрения системы функционалов, представленной в гл. 3 и 4, метод Трефтца можно трактовать как метод Ритца по отношению к функционалу граничных условий. Метод Бубнова — Галеркина (см. исторический очерк в [0.11]) возник как видоизменение метода Ритца, связанное с вычислением коэффициентов системы алгебраических уравнений Ритца на основе вариационного уравнения. Позднее было замечено, а затем и доказано, что аналогичным образом можно приближенно решать также и некоторые дифференциальные уравнения, не являющиеся условиями стационарности никакого функционала (краевые задачи для несамосопряженных операторов), т. е. что метод Бубнова — Галеркина является более общим, чем метод Ритца. По отношению к вариационным задачам, приведенным в данной книге (гл. 3 и 4), метод Бубнова — Галеркина следует рассматривать как один из вариантов метода Ритца, отличающийся способом вычисления коэффициентов алгебраических уравнений. Метод Л. В. Канторовича приведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям существенно отличается от метода Ритца. Приближенное решение ищут в виде
где К методу 3.2.2. Вариационно-разностные методы дискретизации отличаются большей универсальностью, чем «аналитические». Они заключаются в том, что искомая функция и, доставляющая стационарное значение используемому функционалу точках определяются с помощью того или иного способа интерполяции; при этом производные заменяются конечными разностями. Интеграл может быть вычислен либо точно, либо с помощью кубатуриой формулы той или иной точности. В первом случае переход к конечномерной (разностной) задаче можно трактовать как метод Ритца со специальным выбором координатных функций, он связан с аппроксимацией пространства состояний Метод конечных разностей
Рис. 5.12. Неоднозначная интерполяция функции Метод локальных вариаций [5.19] с точки зрения классификации вариационных методов является методом конечных разностей. Особенность его заключается в способе решения дискретизованной задачи, который является одним из вариантов метода координатного спуска (см. § 5). 3.2.3. Комбинированные методы. Методы дискретизации, основанные на совместном применении «аналитических» и «численных» методов, будем называть комбинированными. Одним из примеров может служить метод прямых для задач с частными производными, в котором используется разностная аппроксимация производных по одному направлению и аналитическое решение — по другому. К классу комбинированных методов относится использование некоторых сложных конечных элементов (суперэлементов), которые можно определить [5.1] как элементы, внутри области которых выполняются все уравнения данной теории; следовательно, применение сложных конечных элементов связано с функционалом граничных условий. Эти уравнения могут быть выполнены точно (в этом случае получаем метод Ритца для функционала граничных условий) или приближенно— с помощью аналитических или численных методов. Здесь заключена возможность и удобство комбинированного применения МКЭ с другими методами, в том числе с МКР и разными вариантами МКЭ.
|
1 |
Оглавление
|