Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 6. Примеры построения алгоритмов расчета пологих анизотропных оболочек вариационно-разностным методомВ данном параграфе описаны вариационно-разностные схемы и приведены некоторые другие данные об алгоритмах, на основе которых составлен комплекс программ для расчета пологих оболочек, имеющих ребра различной ориентации, отверстия, вырезы и другие особенности [5.2, 5.4]. 6.1. Разностные схемы построены на основе аппроксимации функционала. Функционал Лагранжа записан в перемещениях, деформациях и усилиях
где
Контур оболочки — любая ломаная линия, состоящая из отрезков, параллельных осям координат; могут быть отверстия и вырезы, ограниченные такими ломаными.
Рис. 5.14. Два вида прямоугольной сетки для вариационио-разностных методов расчета оболочек, а) Деформации и усилия вычисляются в узлах Наличие ребер и других особенностей конструктивной, приобретенной и естественной анизотропии учитывается матрицей Значения неизвестных функций Разностные схемы имеют погрешность с погрешностью Схема 1 применена в [5.2] для расчета пологих оболочек из изотропного материала, подкрепленных ортогональной сеткой ребер, параллельных осям координат. Для таких оболочек матрица
где
Вычисление производных. Первые производные в (4) вычисляются в виде основной или дополнительной сетки по формулам
Для того чтобы в произведениях вида
и т. д., которые можно получить из (5) интерполированием. Для вычисления значений
Вместо неизвестных производных Разностные и интерполяционные формулы (5) — (7) имеют погрешность порядка Вычисление интеграла производится приближенно с помощью кубатурных формул таким образом, чтобы погрешность имела порядок малости точные (а значит, и более сложные) кубатурные формулы нет смысла, так как из-за (5) — (7) общая погрешность все равно будет порядка (см. скан) где центрами в точках Для внутренней точки
где
Здесь интеграл от Так как количество внутренних точек пропорционально Аналогичным образом можно показать, что погрешность замены интегралов по площадкам Таким образом, разностная схема 1 аппроксимации функционала имеет погрешность Схема 2. Производные, входящие в (2), вычисляются в узлах При этом деформации (2) имеют аппроксимации четырех видов:
где
Для определения углов поворота Функционал (1) заменяется усредненной суммой
где Рассуждая так же, как при рассмотрении схемы 1, можно для погрешности функционала (1) получить лишь оценку
так как деформации (11) вычисляются с погрешностью Дискретизация функционала (1) в форме (13) (схема 2) имеет более универсальный характер, чем в форме (8), которая соответствует одной конкретной матрице физических зависимостей Расчетный опыт показывает, что схема 2 имеет хорошую точность для тех задач, в которых направления анизотропии совпадают с направлениями координатных осей. Для задач с «косой» анизотропией, особенно дискретного характера (например, для оболочек с ребрами произвольного направления) схему 2 лучше модифицировать, добавив к (11), (12) формулы вычисления деформаций по направлениям диагоналей сетки и включив в функционал (13) соответствующие слагаемые (т. е. «усреднять» значения функционала не по четырем, а по восьми направлениям вычисления нецентральных разностей). Применительно к схеме 1 идея совмещения направления анизотропии с направлением дифференцирования реализована в программе расчета оболочек с ребрами произвольного направления [5.4] путем введения дополнительной системы координат, связанной с направлением ребер. 6.2. Алгоритм расчета.Разностная схема (5) — (8) была использована для составления программ расчета пологих ребристых оболочек с узкими и широкими ребрами, параллельными контуру или наклонными [5.2, 5.4]. Дифференцированием функционала (8) с учетом (5) — (7) были выведены формулы для коэффициентов разностных уравнений, которые затем программировались. Например, для оболочки с ортогональной сеткой параллельных контуру ребер три разностных уравнения в каждой точке содержат 62 различных ненулевых коэффициента. На рис. 5.15 изображены шаблоны для трех уравнений, записанных в точке
Рис. 5.15. Шаблоны сеточных уравнений вариационно-разностного метода расчета оболочек с ребрами, параллельными контуру. Весовые множители позволяют использовать эти шаблоны для составления уравнений как для внутренних, так и для контурных и законтурных точек. Коэффициенты уравнений вычисляются подпрограммой вычисления коэффициентов и записываются на магнитный барабан. Тот факт, что коэффициенты уравнений, записанных в различных точках, могут быть одинаковыми, используется для экономии места на барабане и для экономии времени счета за счет уменьшения количества обменов информацией между оперативной памятью и барабаном: на барабане хранятся только различные строки коэффициентов и информация об их соответствии точкам сетки. Программа для ЭВМ типа Разностная схема (11)-(13) была использована для составления программы расчета пологих неоднородных анизотропных оболочек переменной толщины и кривизны. Шаблоны разностных уравнений показаны на рис. 5.16; в них содержится
Рис. 5.16. Шаблоны сеточных уравнений вариационно-разностного метода расчета неоднородных анизотропных оболочек (в том числе ребристых), Коэффициенты разностных уравнений вычисляются подпрограммой вычисления коэффициентов способом, описанным в § 4; при этом вся информация (физические константы и кривизны в каждом узле сетки и информация о форме области и граничных условиях) не помещается в оперативной памяти и хранится на барабане. Решение системы уравнений выполняется итерационным методом релаксации (методом Гаусса — Зейделя) с использованием различных приемов ускорения сходимости (см. § 5). Для метода неполной релаксации применялся автоматический поиск «оптимального» коэффициента релаксации, обеспечивающего самое быстрое убывание невязок уравнений,
|
1 |
Оглавление
|