§ 6. Примеры построения алгоритмов расчета пологих анизотропных оболочек вариационно-разностным методом

В данном параграфе описаны вариационно-разностные схемы и приведены некоторые другие данные об алгоритмах, на основе которых составлен комплекс программ для расчета пологих оболочек, имеющих ребра различной ориентации, отверстия, вырезы и другие особенности [5.2, 5.4].

6.1. Разностные схемы построены на основе аппроксимации функционала. Функционал Лагранжа

записан в перемещениях, деформациях и усилиях (см. гл. 4, § 8) в декартовых координатах:

где

Контур оболочки — любая ломаная линия, состоящая из отрезков, параллельных осям координат; могут быть отверстия и вырезы, ограниченные такими ломаными.

Рис. 5.14. Два вида прямоугольной сетки для вариационио-разностных методов расчета оболочек, а) Деформации и усилия вычисляются в узлах основной сетки; б) деформации и усилия вычисляются как в узлах основной сетки, так и в узлах дополнительной сетки.

Наличие ребер и других особенностей конструктивной, приобретенной и естественной анизотропии учитывается матрицей согласно Приложению 3.

Значения неизвестных функций отыскиваются в узлах прямоугольной сетки с шагом X по направлению оси и по оси у (рис. 5.14,а).

Разностные схемы имеют погрешность такого же порядка малости, как и при этом оказываются ненамного сложнее, чем менее точные схемы

с погрешностью Увеличение порядка погрешности до и далее требует значительного усложнения разностного метода. Практически проще увеличить точность расчета путем сгущения сетки.

Схема 1 применена в [5.2] для расчета пологих оболочек из изотропного материала, подкрепленных ортогональной сеткой ребер, параллельных осям координат. Для таких оболочек матрица в (3) упрощается, и функционал (1) можно представить в виде

где элементы матрицы в которой для данной задачи

Вычисление производных. Первые производные в (4) вычисляются в виде но их значения приписываются точкам между узлами (это затем учитывается при приближенном вычислении интеграла). Для этого вводится дополнительная сетка (рис. 5.14), узлами которой являются промежуточные точки. Остальные производные вычисляются в узлах

основной или дополнительной сетки по формулам

Для того чтобы в произведениях вида в функционале (4) оба сомножителя соответствовали одной и той же точке, кроме (5) применяются еще разностные формулы

и т. д., которые можно получить из (5) интерполированием. Для вычисления значений в узлах дополнительной сетки также применяется интерполяция:

Вместо неизвестных производных в контурных точках используются прогибы в законтурных точках; угловая законтурная точка не вводится.

Разностные и интерполяционные формулы (5) — (7) имеют погрешность порядка т. е. такого же порядка малости, как (см., например, [5.17]).

Вычисление интеграла производится приближенно с помощью кубатурных формул таким образом, чтобы погрешность имела порядок малости Это согласуется с погрешностью вычисления производных: при менее точных кубатурных формулах теряется точность, достигнутая в применять более

точные (а значит, и более сложные) кубатурные формулы нет смысла, так как из-за (5) — (7) общая погрешность все равно будет порядка Функционал (1) заменяется суммой вида

(см. скан)

где весовые множители, которые равны отношению площади занимаемой оболочкой части площадки размерами в центре которой находится узел или к площади всей площадки. Таким образом, интеграл от первой группы слагаемых в (4) заменяется суммой по площадкам с

центрами в точках от второй — по площадкам

Для внутренней точки замена интеграла по площадке произведением где значение подынтегральной функции, вносит погрешность порядка Действительно, разложим подынтегральную функцию в ряд в окрестности точки

где бесконечно малая величина такого же порядка, как и вычислим интеграл:

Здесь интеграл от равен нулю благодаря особому положению точки в центре площадки интегрирования. Для контурных точек, которые находятся не в центре площадки интегрирования, погрешность вычисления интеграла по каждой площадке имеет порядок малости

Так как количество внутренних точек пропорционально то сумма по всем внутренним точкам в (8) отличается от соответствующего интеграла на величину порядка малости Количество контурных и угловых точек пропорционально поэтому сумма по контурным и угловым точкам в (8) тоже имеет погрешность порядка

Аналогичным образом можно показать, что погрешность замены интегралов по площадкам конечными суммами имеет порядок

Таким образом, разностная схема 1 аппроксимации функционала имеет погрешность

Схема 2. Производные, входящие в (2), вычисляются в узлах основной сетки: вторые по формулам (5) с погрешностью а первые и смешанные вторые с помощью нецентральных разностей (погрешность

При этом деформации (2) имеют аппроксимации четырех видов:

где соответствует нецентральным разностям, взятым в направлении оси противоположном направлении; не зависят от так что можно считать

Для определения углов поворота рассматривается ряд законтурных точек.

Функционал (1) заменяется усредненной суммой

где заменяют контурные интегралы. При этом в угловых и контурных точках выражение в квадратных скобках в (13) считается равным нулю, если для вычисления хотя бы одной из входящих в него деформаций требуются перемещения или в законтурных точках (так как за границей оболочки нет

Рассуждая так же, как при рассмотрении схемы 1, можно для погрешности аппроксимации (13)

функционала (1) получить лишь оценку

так как деформации (11) вычисляются с погрешностью

Дискретизация функционала (1) в форме (13) (схема 2) имеет более универсальный характер, чем в форме (8), которая соответствует одной конкретной матрице физических зависимостей Представление (13) пригодно для любой неоднородной анизотропной оболочки.

Расчетный опыт показывает, что схема 2 имеет хорошую точность для тех задач, в которых направления анизотропии совпадают с направлениями координатных осей. Для задач с «косой» анизотропией, особенно дискретного характера (например, для оболочек с ребрами произвольного направления) схему 2 лучше модифицировать, добавив к (11), (12) формулы вычисления деформаций по направлениям диагоналей сетки и включив в функционал (13) соответствующие слагаемые (т. е. «усреднять» значения функционала не по четырем, а по восьми направлениям вычисления нецентральных разностей).

Применительно к схеме 1 идея совмещения направления анизотропии с направлением дифференцирования реализована в программе расчета оболочек с ребрами произвольного направления [5.4] путем введения дополнительной системы координат, связанной с направлением ребер.

6.2. Алгоритм расчета.

Разностная схема (5) — (8) была использована для составления программ расчета пологих ребристых оболочек с узкими и широкими ребрами, параллельными контуру или наклонными [5.2, 5.4]. Дифференцированием функционала (8) с учетом (5) — (7) были выведены формулы для коэффициентов разностных уравнений, которые затем программировались.

Например, для оболочки с ортогональной сеткой параллельных контуру ребер три разностных уравнения в каждой точке содержат 62 различных ненулевых коэффициента. На рис. 5.15 изображены

шаблоны для трех уравнений, записанных в точке шаблон для уравнения получается из шаблона а), если его повернуть на 90 градусов и поменять местами В квадратиках записаны неизвестные, коэффициенты при которых, вообще говоря, отличны от нуля.

Рис. 5.15. Шаблоны сеточных уравнений вариационно-разностного метода расчета оболочек с ребрами, параллельными контуру.

Весовые множители позволяют использовать эти шаблоны для составления уравнений как для внутренних, так и для контурных и законтурных точек.

Коэффициенты уравнений вычисляются подпрограммой вычисления коэффициентов и записываются на магнитный барабан. Тот факт, что коэффициенты уравнений, записанных в различных точках, могут быть одинаковыми, используется для экономии места на барабане и для экономии времени счета за счет уменьшения количества обменов информацией между оперативной памятью и барабаном: на барабане хранятся только различные строки коэффициентов и информация об их соответствии точкам сетки. Программа для ЭВМ типа с оперативной памятью 4096 ячеек может решать задачи с сеткой более 800 узлов.

Разностная схема (11)-(13) была использована для составления программы расчета пологих неоднородных анизотропных оболочек переменной толщины и кривизны. Шаблоны разностных уравнений показаны на рис. 5.16; в них содержится ненулевых коэффициентов.

Рис. 5.16. Шаблоны сеточных уравнений вариационно-разностного метода расчета неоднородных анизотропных оболочек (в том числе ребристых),

Коэффициенты разностных уравнений вычисляются подпрограммой вычисления коэффициентов способом, описанным в § 4; при этом вся информация (физические константы и кривизны в каждом узле сетки и информация о форме области и граничных условиях) не помещается в оперативной памяти и хранится на барабане.

Решение системы уравнений выполняется итерационным методом релаксации (методом Гаусса — Зейделя) с использованием различных приемов ускорения сходимости (см. § 5). Для метода неполной релаксации применялся автоматический поиск «оптимального» коэффициента релаксации, обеспечивающего самое быстрое убывание невязок уравнений, градиента функционала.