§ 2. Метод Эйлера — Лагранжа решения вариационных задач. Условия стационарности

Для отыскания экстремумов в вариационном исчислении используют обобщение основного понятия анализа бесконечно малых — дифференциала. Дифференциал

функции и, рассматриваемой как аргумент функционала называется вариацией функции . Здесь — две разные функции, принадлежащие области определения функционала Следует отличать вариацию и от дифференциала

который является приращением одной функции и, вызванным изменением ее аргумента х.

Дифференциал т. е. главную линейную часть приращения функционала вызванного вариацией называют вариацией функционала

Естественный и наиболее распространенный способ решения задачи об отыскании экстремума функционала вида (1.1) при условии (1.3) состоит в использовании необходимого условия: в точке экстремума выполняется уравнение (1.3) и вариация равна нулю при любых допустимых вариациях и неизвестной функции и:

где производная (градиент) функционала (см. Приложение 1). Допустимыми считаются таки

бы, для которых бы принадлежит области определения функционала и удовлетворяет дополнительному условию (1.3)

Необходимое условие (3) является обобщением аналогичного условия для экстремума функции конечного числа переменных и выводится с помощью аналогичных рассуждении. Так как то (4) можно преобразовать:

Отсюда следует, что допустимыми можно считать такие бы, для которых

так как условие (4) эквивалентно (5) с точностью до бесконечно малых более высокого порядка чем бы [1.2].

Если удовлетворяет ограничению (1.3) и при функционал (1.1) удовлетворяет условию (3) при всех бы, удовлетворяющих (5), то говорят, что имеет в точке условное стационарное значение, а есть его точка стационарности. При отсутствии условия (1.3) стационарное значение называют безусловным.

Необходимым условием наличия экстремума функционала в точке является его стационарность в этой точке. Следовательно, стационарность — более общее свойство функционала в данной точке, чем экстремальность. Функционал может иметь стационарное значение в точке перегиба, мннимакса, макси-мина, в седловои точке (см. гл. 2, § 2). Задачи об отыскании точек стационарности функционалов вида (1.1) тоже называют вариационными.

Таким образом, вариационная задача может быть сформулирована как задача об экстремуме функционала (1.1):

или как более общая задача о стационарном значении (3):