§ 3. Некоторые достаточные условия экстремума

Необходимое условие экстремума (2.8) является прямым обобщением такого же условия для функций конечного числа переменных и имеет аналогичный вид. Иначе обстоит дело с достаточным условием.

Для того чтобы функция конечного числа переменных имела в точке локальный минимум, достаточно, чтобы при любых ненулевых приращениях независимых переменных ее первый дифференциал был равен нулю, а второй дифференциал был положительным:

Для функционалов в бесконечномерных пространствах второй дифференциал (вторая вариация) определяется как

т. е. как квадратичное выражение, отвечающее отображению (функционалу) пространства на вещественную ось Как показывает контрпример, приведенный в [1.2], условие вида (1): в точке стационарности — недостаточно для минимума функционала определенного в пространстве бесконечного числа измерений.

Достаточным условием локального минимума функционала является его выпуклость вниз в некоторой окрестности точки стационарности [1.1, 1.5].

Функционал является выпуклым вниз в некоторой выпуклой области евклидова пространства если его вторая вариация неотрицательна при любых в каждой точке области

Все, что написано выше о достаточных условиях минимума, переносится на максимум с заменой неравенства на и выпуклости вниз на выпуклость вверх.

Условие выпуклости позволяет иногда решить вопрос и о глобальном экстремуме: выпуклый вниз функционал имеет на выпуклом множестве не более одного минимума, а выпуклый вверх — не более одного максимума.