Глава 2. ОБЩИЕ И ЧАСТНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ И ТЕОРЕМЫ. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВАРИАЦИОННЫХ ПРОБЛЕМ

В данной главе изложены общие вопросы теории преобразования вариационных проблем, которая позволяет выделить общие и частные вариационные принципы и теоремы и установить между ними эквивалентную взаимосвязь. Эта глава служит теоретической основой для исследования вариационных принципов теорий упругости и оболочек в гл. 3 и 4.

§ 1. Общие и частные вариационные принципы и теоремы

Основные положения механики могут быть сформулированы в трех эквивалентных формах: в виде дифференциальных уравнений, или интегральных уравнений, или вариационных принципов.

За всем комплексом зависимостей и уравнений теории упругости скрывается общий вариационный принцип, заключающий в себе смысл всей совокупности уравнений и граничных условий данной теории. Аналогичное утверждение справедливо и для теории оболочек, пластин, стержней, а также для систем, составленных из них.

Выявление этого общего принципа может быть основано на теории преобразования вариационных проблем, разработанной Р. Курантом и Д. Гильбертом [0.9]. Эта теория позволяет поставить в соответствие друг другу различные функционалы с дополнительными условиями и построить полный функционал без каких-либо дополнительных условий, из которого как частные случаи могут быть получены все возможные функционалы с дополнительными условиями и сформулированы частные вариационные принципы.

1.1. Выбор пространства состояний упругой системы.

Прежде чем сформулировать систему аксиом, описывающую упругую систему, нужно выделить совокупность независимых элементов, характеризующих ее состояние, например поля напряжений, деформаций, перемещений. Эти элементы удобно рассматривать как координаты изображающей точки в некотором пространстве, которое мы назовем пространством состояний. Это пространство можно считать линейным или евклидовым со скалярным умножением вида (1.2) гл. 1. Оно может состоять из различных комбинаций полей перемещений, деформаций и других, обладающих необходимыми свойствами непрерывности и дифференцируемости.

Совокупность полей перемещений, деформаций и напряжений (усилий) назовем основным пространством состояний. Его можно представить как прямую сумму линейных пространств перемещений, деформаций и напряжений, т. е. как множество точек с покомпонентными операциями сложения и умножения на число.

Можно также выделить квазиосновное пространство состояний , представляющее собой совокупность полей функций напряжений, напряжений и деформаций. Квазиосновное пространство в некотором смысле симметрично основному.

Могут быть рассмотрены усеченные (частные) пространства, являющиеся некоторой частью основного пространства (подпространством). Усеченные пространства могут быть смешанными, т. е. содержать только некоторые компоненты вектора перемещений и тензоров напряжений и (или) деформаций, функций напряжений.

Подпространство (усеченное пространство) часто бывает определено системой уравнений. При этом особую роль в теории Куранта — Гильберта играют уравнения, являющиеся дополнительными условиями к функционалам.

Расширенное пространство состояний может быть получено как из основного, так и из его подпространств за счет введения вспомогательных элементов,

не содержащихся в них. Пространство расширяют, например, за счет введения общих решений уравнений равновесия в функциях напряжений, а также при использовании множителей Лагранжа (см. § 2 и гл. 3, 4).

Пространство состояний может быть, кроме того, преобразовано линейной заменой переменных в ряд других, изоморфных ему. При этом преобразуются и функционалы, и дополнительные условия (если они имеются), так что получаются разные эквивалентные формулировки одной и той же задачи в одинаковых (изоморфных) пространствах. Такие преобразования показаны на примере функционалов (гл. 3 и 4).

1.2. Полные и частные функционалы.

В каждом из пространств состояний системы может быть определено бесконечное множество различных функционалов. Среди них нас интересуют лишь некоторые, особые, с помощью которых могут быть сформулированы вариационные принципы для данной системы (см. §§ 1.3 и 1.4).

Все вариационные принципы и соответствующие функционалы, рассматриваемые в гл. 1—4, представляется целесообразным разделить на два класса: полные и частные.

Функционалы, для которых вариационная задача формулируется без дополнительных условий, охватывая все компоненты полей выбранного пространства состояний, будем называть полными функционалами. Полный функционал является наиболее общей энергетической характеристикой данной системы, выраженной через все компоненты выбранного пространства состояний. Общность состоит, во-первых, в том, что из полного функционала могут быть получены все возможные частные функционалы в данном пространстве и, во-вторых, в том, что его достаточно для определения всех компонентов полей, т. е. для полного решения задачи в данном пространстве состояний.

Например, в основном пространстве состояний полный функционал характеризует состояние системы

всеми компонентами полей перемещений, деформаций и напряжений.

Функционалы, для которых вариационная задача формулируется с дополнительными условиями (определяющими подпространство в выбранном пространстве состояний), назовем частными функционалами.

Частные функционалы получаются из полных путем наложения дополнительных условий на некоторые компоненты данного пространства состояний (см. § 2). Они являются некоторыми энергетическими характеристиками системы в усеченных пространствах.

Таким образом, в выбранном пространстве состояний понятия полного и частного функционалов строго определены и имеют абсолютный характер. При переходе от одного пространства к другому эти понятия становятся относительными. Полный функционал, определенный в некотором пространстве, можно рассматривать как частный в расширенном пространстве; он является частным (менее общим) по отношению к полному функционалу в расширенном пространстве.

Например, функционал Рейсснера является полным в пространстве перемещений и напряжений и частным в пространстве перемещений, деформаций и напряжений (по отношению, например, к полному функционалу Ху - Вашицу). Функционал Лагранжа -частный в любом пространстве, содержащем поля перемещений и деформаций.

1.3. Общий вариационный принцип и общая вариационная теорема.

Общий вариационный принцип. Истинные поля параметров напряженно-деформированного состояния системы отличаются от всех других полей в данном пространстве состояний тем, что полный функционал имеет стационарное значение.

Например, применительно к основному пространству состояний общий вариационный принцип читается так: истинные поля перемещений, деформаций, напряжений (усилий) системы таковы, что полный функционал имеет стационарное значение.

Стационарному значению полного функционала непосредственно соответствуют истинные поля тех

параметров напряженно-деформированного состояния системы, от которых он зависит (которые входят в соответствующее пространство состояний). Например, полный функционал в основном пространстве определяет все компоненты истинных полей перемещений, деформаций и напряжений.

Если полный функционал определен в усеченном пространстве (например, функционал Рейсснера — в пространстве перемещений и напряжений), то истинные значения недостающих параметров напряженно-деформированного состояния (в данном примере — поля деформаций) в случае необходимости могут быть определены с помощью зависимостей, связывающих полный функционал в усеченном пространстве с каким-либо полным функционалом в основном пространстве. Эта часть расчета является вторичным этапом (обработкой).

В случае расширенного пространства состояний стационарному значению полного функционала в этом пространстве соответствуют, кроме истинных полей перемещений, напряжений и деформаций, еще некоторые поля вспомогательных величин, которые дополняют основное пространство до расширенного. Примером здесь служит функционал (гл. 3, § 3.1), зависящий не только от но и от вспомогательных величин

Общая вариационная теорема. Полный функционал имеет в качестве уравнений Эйлера и естественных граничных условий полный комплекс уравнений и граничных условий данной теории, выраженных через компоненты соответствующего пространства состояний.

Иными словами, полный функционал содержит в необходимой и достаточной мере всю информацию о данной теории и классе задач в используемом пространстве состояний, так что для их решения не требуется каких-либо дополнительных условий.

Так как уравнения Эйлера и естественные граничные условия являются необходимыми и достаточными условиями стационарности то общую вариационную теорему можно сформулировать и как

утверждение об эквивалентности вариационного принципа и системы дифференциальных уравнений: в данном пространстве состояний математические модели упругой системы, построенные на основе системы дифференциальных уравнений и общего вариационного принципа, совпадают.

Как правило, может быть дана более сильная формулировка общего вариационного принципа: истинному напряженно-деформированному состоянию системы соответствует не просто стационарное значение, а минимакс (или максимин, или седловая точка) полного функционала. Исключение составляют функционалы, не имеющие ни экстремумов, ни минимаксов, ни максиминов, например .

1.4. Частный вариационный принцип и частная вариационная теорема.

Частный вариационный принцип. От всех возможных, т. е. удовлетворяющих данным ограничениям (дополнительным условиям), состояний упругой системы истинное состояние отличается тем, что частный функционал имеет стационарное значение при данных дополнительных условиях, т. е. в подпространстве данного пространства состояний.

Как правило, справедлива более сильная формулировка: частный функционал имеет не просто стационарное значение, а условный экстремум, или минимакс, или максимин, или седловую точку.

Частная вариационная теорема. Уравнения Эйлера и естественные граничные условия задачи на условное стационарное значение частного функционала составляют вместе с дополнительными условиями полный комплекс уравнений и граничных условий данной теории.

Отсюда следует тождественность постановки вариационных задач на основе полных и частных функционалов.

Доказательство вариационных теорем основано на выводе условий стационарности функционалов (см. гл. 1).

Примерами частных вариационных принципов служат различные варианты принципа минимума

потенциальной энергии (принципа Лагранжа), принципа максимума дополнительной энергии (принципа Кастильяно) и др. (гл. 3 и 4).