Главная > Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Глава 2. ОБЩИЕ И ЧАСТНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ И ТЕОРЕМЫ. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВАРИАЦИОННЫХ ПРОБЛЕМ

В данной главе изложены общие вопросы теории преобразования вариационных проблем, которая позволяет выделить общие и частные вариационные принципы и теоремы и установить между ними эквивалентную взаимосвязь. Эта глава служит теоретической основой для исследования вариационных принципов теорий упругости и оболочек в гл. 3 и 4.

§ 1. Общие и частные вариационные принципы и теоремы

Основные положения механики могут быть сформулированы в трех эквивалентных формах: в виде дифференциальных уравнений, или интегральных уравнений, или вариационных принципов.

За всем комплексом зависимостей и уравнений теории упругости скрывается общий вариационный принцип, заключающий в себе смысл всей совокупности уравнений и граничных условий данной теории. Аналогичное утверждение справедливо и для теории оболочек, пластин, стержней, а также для систем, составленных из них.

Выявление этого общего принципа может быть основано на теории преобразования вариационных проблем, разработанной Р. Курантом и Д. Гильбертом [0.9]. Эта теория позволяет поставить в соответствие друг другу различные функционалы с дополнительными условиями и построить полный функционал без каких-либо дополнительных условий, из которого как частные случаи могут быть получены все возможные функционалы с дополнительными условиями и сформулированы частные вариационные принципы.

1.1. Выбор пространства состояний упругой системы.

Прежде чем сформулировать систему аксиом, описывающую упругую систему, нужно выделить совокупность независимых элементов, характеризующих ее состояние, например поля напряжений, деформаций, перемещений. Эти элементы удобно рассматривать как координаты изображающей точки в некотором пространстве, которое мы назовем пространством состояний. Это пространство можно считать линейным или евклидовым со скалярным умножением вида (1.2) гл. 1. Оно может состоять из различных комбинаций полей перемещений, деформаций и других, обладающих необходимыми свойствами непрерывности и дифференцируемости.

Совокупность полей перемещений, деформаций и напряжений (усилий) назовем основным пространством состояний. Его можно представить как прямую сумму линейных пространств перемещений, деформаций и напряжений, т. е. как множество точек с покомпонентными операциями сложения и умножения на число.

Можно также выделить квазиосновное пространство состояний , представляющее собой совокупность полей функций напряжений, напряжений и деформаций. Квазиосновное пространство в некотором смысле симметрично основному.

Могут быть рассмотрены усеченные (частные) пространства, являющиеся некоторой частью основного пространства (подпространством). Усеченные пространства могут быть смешанными, т. е. содержать только некоторые компоненты вектора перемещений и тензоров напряжений и (или) деформаций, функций напряжений.

Подпространство (усеченное пространство) часто бывает определено системой уравнений. При этом особую роль в теории Куранта — Гильберта играют уравнения, являющиеся дополнительными условиями к функционалам.

Расширенное пространство состояний может быть получено как из основного, так и из его подпространств за счет введения вспомогательных элементов,

не содержащихся в них. Пространство расширяют, например, за счет введения общих решений уравнений равновесия в функциях напряжений, а также при использовании множителей Лагранжа (см. § 2 и гл. 3, 4).

Пространство состояний может быть, кроме того, преобразовано линейной заменой переменных в ряд других, изоморфных ему. При этом преобразуются и функционалы, и дополнительные условия (если они имеются), так что получаются разные эквивалентные формулировки одной и той же задачи в одинаковых (изоморфных) пространствах. Такие преобразования показаны на примере функционалов (гл. 3 и 4).

1.2. Полные и частные функционалы.

В каждом из пространств состояний системы может быть определено бесконечное множество различных функционалов. Среди них нас интересуют лишь некоторые, особые, с помощью которых могут быть сформулированы вариационные принципы для данной системы (см. §§ 1.3 и 1.4).

Все вариационные принципы и соответствующие функционалы, рассматриваемые в гл. 1—4, представляется целесообразным разделить на два класса: полные и частные.

Функционалы, для которых вариационная задача формулируется без дополнительных условий, охватывая все компоненты полей выбранного пространства состояний, будем называть полными функционалами. Полный функционал является наиболее общей энергетической характеристикой данной системы, выраженной через все компоненты выбранного пространства состояний. Общность состоит, во-первых, в том, что из полного функционала могут быть получены все возможные частные функционалы в данном пространстве и, во-вторых, в том, что его достаточно для определения всех компонентов полей, т. е. для полного решения задачи в данном пространстве состояний.

Например, в основном пространстве состояний полный функционал характеризует состояние системы

всеми компонентами полей перемещений, деформаций и напряжений.

Функционалы, для которых вариационная задача формулируется с дополнительными условиями (определяющими подпространство в выбранном пространстве состояний), назовем частными функционалами.

Частные функционалы получаются из полных путем наложения дополнительных условий на некоторые компоненты данного пространства состояний (см. § 2). Они являются некоторыми энергетическими характеристиками системы в усеченных пространствах.

Таким образом, в выбранном пространстве состояний понятия полного и частного функционалов строго определены и имеют абсолютный характер. При переходе от одного пространства к другому эти понятия становятся относительными. Полный функционал, определенный в некотором пространстве, можно рассматривать как частный в расширенном пространстве; он является частным (менее общим) по отношению к полному функционалу в расширенном пространстве.

Например, функционал Рейсснера является полным в пространстве перемещений и напряжений и частным в пространстве перемещений, деформаций и напряжений (по отношению, например, к полному функционалу Ху - Вашицу). Функционал Лагранжа -частный в любом пространстве, содержащем поля перемещений и деформаций.

1.3. Общий вариационный принцип и общая вариационная теорема.

Общий вариационный принцип. Истинные поля параметров напряженно-деформированного состояния системы отличаются от всех других полей в данном пространстве состояний тем, что полный функционал имеет стационарное значение.

Например, применительно к основному пространству состояний общий вариационный принцип читается так: истинные поля перемещений, деформаций, напряжений (усилий) системы таковы, что полный функционал имеет стационарное значение.

Стационарному значению полного функционала непосредственно соответствуют истинные поля тех

параметров напряженно-деформированного состояния системы, от которых он зависит (которые входят в соответствующее пространство состояний). Например, полный функционал в основном пространстве определяет все компоненты истинных полей перемещений, деформаций и напряжений.

Если полный функционал определен в усеченном пространстве (например, функционал Рейсснера — в пространстве перемещений и напряжений), то истинные значения недостающих параметров напряженно-деформированного состояния (в данном примере — поля деформаций) в случае необходимости могут быть определены с помощью зависимостей, связывающих полный функционал в усеченном пространстве с каким-либо полным функционалом в основном пространстве. Эта часть расчета является вторичным этапом (обработкой).

В случае расширенного пространства состояний стационарному значению полного функционала в этом пространстве соответствуют, кроме истинных полей перемещений, напряжений и деформаций, еще некоторые поля вспомогательных величин, которые дополняют основное пространство до расширенного. Примером здесь служит функционал (гл. 3, § 3.1), зависящий не только от но и от вспомогательных величин

Общая вариационная теорема. Полный функционал имеет в качестве уравнений Эйлера и естественных граничных условий полный комплекс уравнений и граничных условий данной теории, выраженных через компоненты соответствующего пространства состояний.

Иными словами, полный функционал содержит в необходимой и достаточной мере всю информацию о данной теории и классе задач в используемом пространстве состояний, так что для их решения не требуется каких-либо дополнительных условий.

Так как уравнения Эйлера и естественные граничные условия являются необходимыми и достаточными условиями стационарности то общую вариационную теорему можно сформулировать и как

утверждение об эквивалентности вариационного принципа и системы дифференциальных уравнений: в данном пространстве состояний математические модели упругой системы, построенные на основе системы дифференциальных уравнений и общего вариационного принципа, совпадают.

Как правило, может быть дана более сильная формулировка общего вариационного принципа: истинному напряженно-деформированному состоянию системы соответствует не просто стационарное значение, а минимакс (или максимин, или седловая точка) полного функционала. Исключение составляют функционалы, не имеющие ни экстремумов, ни минимаксов, ни максиминов, например .

1.4. Частный вариационный принцип и частная вариационная теорема.

Частный вариационный принцип. От всех возможных, т. е. удовлетворяющих данным ограничениям (дополнительным условиям), состояний упругой системы истинное состояние отличается тем, что частный функционал имеет стационарное значение при данных дополнительных условиях, т. е. в подпространстве данного пространства состояний.

Как правило, справедлива более сильная формулировка: частный функционал имеет не просто стационарное значение, а условный экстремум, или минимакс, или максимин, или седловую точку.

Частная вариационная теорема. Уравнения Эйлера и естественные граничные условия задачи на условное стационарное значение частного функционала составляют вместе с дополнительными условиями полный комплекс уравнений и граничных условий данной теории.

Отсюда следует тождественность постановки вариационных задач на основе полных и частных функционалов.

Доказательство вариационных теорем основано на выводе условий стационарности функционалов (см. гл. 1).

Примерами частных вариационных принципов служат различные варианты принципа минимума

потенциальной энергии (принципа Лагранжа), принципа максимума дополнительной энергии (принципа Кастильяно) и др. (гл. 3 и 4).

1
Оглавление
email@scask.ru