§ 5. Экстремальные свойства полных и частных функционалов теории упругости

В соответствии с теорией (гл. 2, § 3) здесь приведено исследование экстремальных свойств для некоторых характерных функционалов. С этой целью используются свойства выпуклости (см. Приложение 1) одних функционалов Лагранжа и Кастильяно и невыпуклости других. Результаты для этих и других полученных в §§ 2, 3, 4 функционалов представлены в табл. 3.6.

5.1. Выпуклость различных вариантов функционала Лагранжа и их экстремальность.

В качестве характерного примера докажем, что функционал (табл. 3.1) - выпуклый вниз. На основании определения выпуклости (Приложение 1) нужно показать, что для любого числа а такого, что и любых неотрицательна разность

Учитывая, что

эту разность можно преобразовать:

Так как — положительно определенная квадратичная форма функционал выпуклый вниз.

Аналогично можно доказать, что функционалы (табл. 3.1) выпуклы вниз. Функционал не выпуклый ни вннз, ни вверх. Для доказательства этого утверждения

достаточно взять любые В этом случае разность (1) равна

а при разность (1) положительна, Дополнительные условия ко всем функционалам Лагранжа являются линейными уравнениями и определяют выпуклые подмножества в пространстве переменных (см. гл. 2, § 3).

Из выпуклости функционалов и линейности их дополнительных условий следует тот хорошо известный факт, что они в точке стационарности имеют минимум. Минимальность следует из того, что он получен из просто заменой переменных.

5.2. Выпуклость различных вариантов функционала Кастильяно и их экстремальность.

Все функционалы в табл. 3.2 выпуклы вверх, кроме который не выпуклый ни вверх, ни вниз.

Докажем выпуклость вверх, например, функционала Для этого, как и в § 5.1, вычислим разность

Так как положительно определенная квадратичная форма и то при любых выпуклый верх.

Для доказательства невыпуклости достаточно, как и в § 5.1 для проверить, что при при

Все дополнительные условия к функционалам (табл. -линейные уравнения и

определяют выпуклые множества в соответствующих пространствах состояний (см. гл. 2, § 3).

В литературе встречаются два утверждения об экстремальных свойствах функционала Кастильяно: о том, что он в точке стационарности имеет максимум [4.11] и минимум [0.9, 3.7, 4.10]. Оба утверждения, конечно, правильные, но относятся к разным функционалам: первое — к (табл. 3.2), а второе — к Здесь функционалами Кастильяно названы разновидности , связанные с функционалами Лагранжа преобразованием Фридрихса и имеющие то же стационарное значение:

Максимальность функционалов в точке стационарности следует из их выпуклости вверх и линейности дополнительных условий (см. Приложение 1), а максимальность из того, что он получен из заменой переменных.

5.3. Экстремальные свойства полных функционалов лагранжевой серии (табл. 3.3).

На основании § 3 гл. 2 задачам минимизации выпуклых функционалов (табл. 3.1) соответствуют задачи отыскания седловых точек (т. е. одновременно минимакса и максимина) полных функционалов (табл. 3.3) (см. табл. 3.6). Невыпуклому функционалу соответствует задача отыскания минимакса, но не максимина полного функционала (см. § 3.26 гл. 2). Функционал получен из путем исключения множителей Лагранжа. Для определения его экстремальных свойств необходимо дополнительное исследование (см. гл. 2, § 3.3), которое показывает, что этот функционал не имеет ни седловой точки, ни минимакса, ни максимина. Действительно, при каждом фиксированном наборе части переменных он линейно зависит от остальных переменных и, следовательно, принимает все значения от до т. е. не имеет ни конечного максимума, ни конечного минимума.

5.4. Экстремальные свойства полных функционалов кастильяновой серии (табл. 3.4).

Полные функционалы (табл. 3.4), выведенные с помощью множителей Лагранжа из выпуклых

функционалов Кастильяно на основании § 3 гл. 2, имеют в точке стационарности одновременно минимакс и максимин, т. е. седловую точку (см. табл. 3.6). Функционал полученный из невыпуклого варианта функционала Кастильяно имеет в точке стационарности максимин, но не минимакс, что соответствует § 3 гл. 2. Дальнейшее преобразование приводит к полному функционалу 34а, вовсе не имеющему экстремумов (сравните с

5.5. Экстремальные свойства частных функционалов (табл. 3.5).

Если известны экстремальные свойства полных функционалов, то можно во многих случаях выявить свойства полученных из них частных функционалов с помощью гл. 2, § 3.

а) Функционал граничных условий (табл. 3.5). С одной стороны, его проще всего получить из полного функционала Рейсснера (табл. 3.4), наложив все условия стационарности в объеме V в качестве дополнительных условий. Так как уравнение не содержит неизвестных и, то на основании гл. можно сделать вывод, что имеет в точке стационарности

С другой стороны, можно вывести из функционала Ху - Вашицу (табл. 3.3), также наложив все условия стационарности в объеме V в качестве дополнительных условий. Уравнение не содержит неизвестных о, и поэтому на основании гл. функционал имеет

Таким образом, точка стационарности функционала граничных условий Рейсснера есть его седловая точка.

б) Функционал для статических граничных условий имеет в точке стационарности минимум, так как его можно вывести из функционала Лагранжа имеющего минимум.

в) Функционал для статических граничных условий в точке стационарности имеет максимум, так как промежуточным звеном при выводе его из

(табл. 3.4) служит функционал Кастильяно

г) Функционал условиями стационарности которого являются статические граничные условия в функциях напряжений и деформационные граничные условия, в некотором смысле аналогичен функционалу граничных условий Рейсснера Для доказательства того, что имеет седловую точку, нужно, по аналогии с § 5.5а, получить его из (табл. 3.3) и из (табл. 3.4).

д) Промежуточным звеном при получении функционала для статических граничных условий в функциях напряжений из (табл. 3.4) служит функционал Кастильяно а при получении функционала для деформационных граничных условий из (табл. 3.3) - функционал Лагранжа Поэтому в точке стационарности имеет максимум, а минимум

е) Частный функционал получен из (табл. 3.3) при использовании в качестве дополнительных условий уравнений, не содержащих переменную и, и части уравнений не содержащих переменную а. На основании гл. имеет седловую точку.

Точно так же можно проверить, что частный функционал имеет седловую точку.

ж) Функционал для геометрических и статических уравнений имеет седловую точку:

Для доказательства можно использовать уже известное экстремальное свойство функционала Рейсснера Функционал можно получить из 53, введя новую переменную и дополнительное условие Так как это уравнение связывает новую переменную лишь с переменной а, по которой имеет максимум, то имеет место (5.6).

Аналогично, используя уже известное экстремальное свойство полного функционала можно доказать, что

з) функционал имеет седловую точку.

и) Функционалы для физических уравнений имеют седловые точки в соответствии с гл. 2, § 3.3в, так как дополнительные условия к каждому из них можно разделить на две части, одна из которых содержит только переменную , а другая — только а.