§ 7. Вариационная форма статико-геометрической аналогии

Между однородными уравнениями равновесия в усилиях (1.24) и уравнениями неразрывности в деформациях (1.13) существует статико-геометрическая аналогия [4.7, П.9, П.10], которая заключается в том, что соотношения (1.24) переходят в (1.13) при замене

Этот факт облегчил построение общего решения уравнений равновесия в форме (1.29) по аналогии с общим решением (1.6), (1.12) уравнений неразрывности.

Наличие аналогии между геометрическими и статическими уравнениями теории оболочек наводит на мысль о существовании аналогии между статическим вариационным принципом Лагранжа, в формулировке которого участвуют геометрические переменные и геометрическим принципом Кастильяно со статическими переменными . И действительно, такая аналогия имеет место между функционалами Лагранжа и Кастильяно, записанными в форме табл. 4.1 и 4.2, и их дополнительными и естественными условиями. Например, функционал Лагранжа переходит в после замены на

и т. д. по схеме (7.1) с учетом (1.6), (1.12), (1.23) и (1.29). При этом аналогия в вариационной форме имеет место между квадратичными частями двумерных интегралов, подобно тому как аналогия в дифференциальной форме существует между однородными частями дифференциальных уравнений. Входящие в функционалы Лагранжа и Кастильяно контурные интегралы оказываются полностью аналогичными, если между статическими и геометрическими граничными величинами установить соответствие

Нетрудно проверить, что соответствие (7.3) является следствием (7.1): при замене переходит в и обратно, см. (1.39), (1.28); для проверки можно использовать равенства

Статико-геометрическая аналогия в вариационной форме распространяется на все функционалы, полученные из исходных пунктов — функционалов Лагранжа и Кастильяно. Таким образом, каждому полному или частному функционалу теории оболочек, представленному или не представленному в табл. 4.1 — 4.5, можно поставить в соответствие его статико-геометрический аналог, который можно построить с помощью (7.1) — (7.3) и который имеет аналогичные дополнительные условия и условия стационарности. Смешанный функционал теории пологих оболочек является своим собственным аналогом.

Важная черта статико-геометрической аналогии в вариационной форме состоит в том, что она распространяется на экстремальные свойства вариационных функционалов теории оболочек. При этом минимуму функционала по какой-либо группе переменных соответствует максимум его аналога по соответствующей группе переменных; минимаксу соответствует

максимин, седловой точке — седловая точка, а отсутствию каких-либо экстремумов — отсутствие экстремумов. Поэтому табл. 4.6, в которой приведена сводка экстремальных свойств функционалов, служит одновременно для иллюстрации статико-геометрической аналогии в вариационной форме.

Следует иметь в виду, что любой данный функционал и его статико-геометрический аналог относятся, вообще говоря, к разным задачам.

Например, для задачи расчета оболочки с чисто статическими граничными условиями функционал Лагранжа представленный в табл. 4.1, не имеет дополнительных условий; для этой же задачи функционал Кастильяно не имеет контурного интеграла, но имеет дополнительные условия, указанные в табл. 4.2; а статико-геометрический аналог данного функционала Лагранжа, который имеет контурный интеграл и не имеет дополнительных условий, относится к задаче расчета оболочки с чисто геометрическими граничными условиями.

Другой пример дают задачи расчета многосвязных оболочек, разобранные в гл. 5. Функционал Кастильяно для многосвязной оболочки при статических граничных условиях имеет в качестве одного из условий стационарности уравнения неразрывности контура отверстия; его аналог — функционал Лагранжа — имеет в качестве условий стационарности уравнения равновесия контура отверстия, но для задачи с деформационными граничными условиями. Этот пример показывает, что вариационная форма статико-геометрической аналогии позволяет глубже увидеть связь уравнений и найти ее между соотношениями, которые раньше казались несвязанными.

Таким образом, статико-геометрическая аналогия в вариационной форме проявляется по всем четырем взаимосвязанным каналам: 1) между функционалами; 2) между дополнительными условиями; 3) между естественными условиями в области и на контуре; 4) между экстремальными свойствами функционалов. Она имеет место как для односвязных, так и для многосвязных областей.

При расчете оболочек по линейной теории всегда решаются две задачи: исходная и ее аналог. Например, алгоритм или программа, предназначенная для решения задач теории оболочек в перемещениях, будет давать решение сразу двух задач: данной в перемещениях и ее аналога — в функциях напряжений. Существование аналогии облегчает вывод вариационных формулировок многих задач теории оболочек.

При использовании статико-геометрической аналогии в вариационной форме проявляется преимущество вариационных формулировок, охватывающих все стороны задачи и согласующих дифференциальные уравнения и граничные условия. В частности, эта форма содержит в себе аналогию между статическими и геометрическими граничными величинами, между геометрическими граничными условиями в перемещениях или деформациях и статическими — в функциях напряжений или усилиях, а также между сложными граничными условиями для односвязных и многосвязных областей.

Замечание. Из табл. 4.1-4.6 можно получить статико-геометрическую аналогию в вариационной форме для различных вариантов теории оболочек, обладающих ею в дифференциальной форме и отличающихся от использованного в данной книге варианта [4.12] выбором деформаций и усилий, например, [П. 10, 4.7, 4.11]. Для этого нужно использовать связь деформаций и усилий рассматриваемой теории с [4.12] (см., например, §§ 1 и 8).