2.1. Условия стационарности для свободной вариационной задачи.

Вообще говоря, поставленная-вариационная задача для функционала может не иметь решения. Не останавливаясь на вопросе о существовании решения, предположим, что точка стационарности функционала существует.

Для дифференцируемых функционалов при отсутствии дополнительных условий, т. е. когда вариации и независимы, равенство (3) эквивалентно уравнению

которое означает, что в точке стационарности производная функционала есть нулевой элемент соответствующего линейного пространства (пространства сопряженного с и называется условием стационарности функционала Если гильбертово пространство, то изоморфны [1.2], и поэтому линейный оператор можно считать элементом из а бы — скалярным произведением [1.2].

Чтобы воспользоваться условием (3) или (8), нужно выяснить конкретный вид вариации и производной соответствующих функционалу (1.1).

а) Условия стационарности для функционала, зависящего от одной функции и ее первых частных производных

Здесь индекс после запятой обозначает производную функции и по переменной Для того чтобы найти дифференциал рассмотрим разность

При отыскании главной линейной части выражения (9) по и (этого требует определение дифференциала и производной) трудность состоит в том, что подынтегральная функция зависит не только от функции и, но и от ее производных по переменным Поэтому здесь нельзя применить правило дифференцирования сложной функции, так как неизвестно, что такое

Разложим разность в ряд Тейлора по по в каждой точке множества считая временно функцию и ее производные независимыми. Получим

с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем

Теперь учтем зависимость производных от функции и, которая приводит к равенству Так как производные линейные функции от то главная линейная часть разности (9) есть

Преобразуем слагаемые с производными от и следующим образом. Представим эти слагаемые с помощью формулы дифференцирования произведения в виде

Затем с помощью формулы Грина, Стокса или Остроградского (см. Приложение 2) преобразуем интегралы по области от слагаемых вида в интегралы по ее границе (для одномерных

ннтегралов используется основная теорема интегрального исчисления). В результате получим

где компоненты вектора нормали к границе .

Если на границе заданы значения функции и, то второе слагаемое в (13) равно нулю, так как и этом случае есть линейный функционал, который каждой функции и ставит в соответствие число по закону

Следовательно, выражение в фигурных скобках в (14) можно рассматривать как Равенство (8) принимает вид

Оно является условием стационарности функционала (1.1) и называется уравнением Эйлера данной вариационной задачи.

При отсутствии граничного условия для функции и на всей границе или на ее части чтобы было при любом необходимо выполнение уравнения Эйлера (15) и равенства

которое называется естественным граничным условием данной вариационной задачи.

б) Функционалы, зависящие от производных более высокого порядка. Если подынтегральная функция в функционале (1.1) зависит не только от первых, но

и от вторых производных и (или) от производных более высокого порядка функции и, то вывод условий стационарности (уравнений Эйлера и естественных граничных условий) сводится к повторному применению формулы интегрирования по частям, или Грина, или Остроградского. Во многих случаях приходится, кроме того, преобразовывать интеграл по границе в выражении вида (13), так как этот интеграл должен содержать независимые вариации функции и и ее производных по нормали к границе. Для этого используется формула интегрирования по частям, если граница—контур, и формула Стокса или Грина (см. Приложение 2), если граница является поверхностью.

в) Функционалы, зависящие от нескольких функций, можно записать в виде (1.1), если считать функцию и векторной. В этом случае вариация также является вектором, и вывод условий стационарности сводится к преобразованию каждой его компоненты.

Подробнее о выводе условий стационарности различных конкретных функционалов см. в гл. 3 и 4.