Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 2.1. Условия стационарности для свободной вариационной задачи.Вообще говоря, поставленная-вариационная задача для функционала Для дифференцируемых функционалов при отсутствии дополнительных условий, т. е. когда вариации
которое означает, что в точке стационарности производная функционала Чтобы воспользоваться условием (3) или (8), нужно выяснить конкретный вид вариации а) Условия стационарности для функционала, зависящего от одной функции и ее первых частных производных
Здесь индекс
При отыскании главной линейной части выражения (9) по Разложим разность
с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем Теперь учтем зависимость производных
Преобразуем слагаемые с производными от
Затем с помощью формулы Грина, Стокса или Остроградского (см. Приложение 2) преобразуем интегралы по области ннтегралов используется основная теорема интегрального исчисления). В результате получим
где Если на границе
Следовательно, выражение в фигурных скобках в (14) можно рассматривать как
Оно является условием стационарности функционала (1.1) и называется уравнением Эйлера данной вариационной задачи. При отсутствии граничного условия для функции и на всей границе
которое называется естественным граничным условием данной вариационной задачи. б) Функционалы, зависящие от производных более высокого порядка. Если подынтегральная функция в функционале (1.1) зависит не только от первых, но и от вторых производных и (или) от производных более высокого порядка функции и, то вывод условий стационарности (уравнений Эйлера и естественных граничных условий) сводится к повторному применению формулы интегрирования по частям, или Грина, или Остроградского. Во многих случаях приходится, кроме того, преобразовывать интеграл по границе в выражении вида (13), так как этот интеграл должен содержать независимые вариации функции и и ее производных по нормали к границе. Для этого используется формула интегрирования по частям, если граница—контур, и формула Стокса или Грина (см. Приложение 2), если граница является поверхностью. в) Функционалы, зависящие от нескольких функций, можно записать в виде (1.1), если считать функцию и векторной. В этом случае вариация Подробнее о выводе условий стационарности различных конкретных функционалов см. в гл. 3 и 4.
|
1 |
Оглавление
|