§ 3. Полные функционалы

В соответствии с теорией преобразования вариационных проблем (см. гл. 2, § 2), различные варианты исходной вариационной задачи приводят к различным полным функционалам и соответствующим общим вариационным принципам в различных пространствах состояний.

Из функционалов (табл. 3.1) построены полные функционалы (табл. 3.3), которые мы будем называть лагранжевой серией полных функционалов. Соответственно кастильянова серия полных функционалов (табл. 3.4) получена из (табл. 3.2). Полные функционалы имеют, как правило, те же номера, что и частные, из которых они получены.

Каждый полный функционал позволяет сформулировать вариационную задачу без каких-либо дополнительных условий. Здесь независимо варьируются

все параметры, указанные а скобках: например, независимо варьируются поля

Между многими полными функционалами может быть установлена взаимосвязь посредством преобразований одного пространства состояний в другое: усеченное, расширенное или эквивалентное (см. гл. 2, § 2.2).

Из полных функционалов получаются частные, в том числе функционалы Лагранжа (табл. 3.1) и Кастильяно (табл. 3.2) в различной форме.

3.1. Лагранжева серия полных функционалов (табл. 3.3).

а) Полный функционал в перемещениях и поверхностных реактивных напряжениях. Построен путем внесения дополнительных условий (граничных условий в перемещениях) в функционал (табл. 3.1) с множителями Лагранжа Величины являются, как показывают условия стационарности, компонентами напряжений, соответствующими заданным компонентам перемещений т.е. реакциями.

Условия стационарности уравнения равновесия, статические и геометрические граничные условия в перемещениях плюс уравнения для вычисления реакций по известным перемещениям.

б) Полный функционал в перемещениях Если выражения для реакций через перемещения подставить в (т. е., с точки зрения теории преобразования вариационных проблем, наложить некоторые из условий стационарности в качестве дополнительных условий и с их помощью исключить то перейдет в полный функционал в перемещениях который обсуждался Рюдигером [3.11], а для разрывных полей перемещений — В. Прагером [0.12] (см. также § 6).

в) Полный функционал Ху - Вашицу в основном пространстве состояний получен из с помощью множителей Лагранжа о при геометрических соотношениях. Как видно из условий стационарности (физических соотношений), множители Лагранжа являются напряжениями.

Условия стационарности функционала Ху - Вашицу имеют классическую, наиболее употребительную в теории упругости форму: геометрические соотношения (1.1), статические уравнения (1.6) и физические уравнения (1.2) в объеме геометрические (1.5) и статические (1.4) граничные условия на поверхности

Исключение множителей Лагранжа а из функционала Ху - Вашицу в соответствии с § 2.2г гл. 2 приводит к полному функционалу в пространстве который оказывается одной из форм функционала Рейсснера [0.2]:

Можно исключить из деформации (в соответствии с § 2.2 в гл. 2) и прийти к другой форме функционала Рейсснера (табл. 3.4) в пространстве

г) Полный функционал в деформациях и функциях напряжений получен из (табл. 3.1) с множителями Лагранжа

Условия стационарности функционала геометрические уравнения в деформациях в объеме и на поверхности и зависимости между деформациями и функциями напряжений, которые одновременно играют роль статических и физических уравнений. Отсюда следует, что множители Лагранжа совпадают с компонентами тензора функций напряжений в форме Финци — Блоха — Круткова (см. § 1).

Заметим, что использование можно рассматривать как инструмент для установления зависимости между напряжениями и функциями напряжений, т. е. для получения общего решения уравнений равновесия. Иными словами, преобразование функционала Лагранжа фактически привело к преобразованию условий стационарности

(статических уравнений) к форме, являющейся их общим решением. Этот пример раскрывает то богатство возможностей, которое заключено в вариационных формулировках и их преобразованиях.

д) Полный функционал в расширенном основном пространстве состояний получается из (табл. 3.1) с помощью множителей Лагранжа Как видно из условий стационарности, имеет смысл —

Функционал является промежуточным звеном преобразования

е) Полный функционал в симметризованном основном пространстве состояний [0.1] получен из путем исключения множителей Лагранжа в соответствии с § 2.2г гл. 2.

Функционал линейный (неоднородный) относительно каждого из параметров а при фиксированных остальных. Отсюда следует его особенность, заключающаяся в том, что каждое условие стационарности содержит два параметра и не содержит третий, по которому варьировался функционал (см. схему на рис. 3.1).

Рис. 3.1. Симметричный характер условий стационарности полного функционала (табл. 3.3).

Линейное преобразование пространства состояний по формулам

переводит функционал Обратное преобразование определяется формулами

По свойствам, связанным со стационарностью, функционалы эквивалентны, но имеют различные экстремальные свойства (см. § 5).

ж) Полные функционалы с неполными полями перемещений, деформаций, напряжений и функций напряжений могут быть построены с помощью множителей Лагранжа из соответствующих разновидностей функционала Лагранжа в декартовой и некоторых других системах координат. В табл. 3.3 представлено лишь два таких функционала, полученных из (табл. 3.1).

Условия стационарности этих функционалов — уравнения смешанного метода в теории упругости [3.2].

3.2. Кастильянова серия полных функционалов (табл. 3.4).

а) Полный функционал в функциях напряжений и деформациях поверхности тела получен из (табл. 3.2) путем внесения в функционал дополнительных условий (статических граничных условий в функциях напряжений) с множителями Лагранжа. Множители Лагранжа целесообразно записать в виде а при в виде с тем чтобы оба поверхностных интеграла в 5; имели одинаковую форму.

Условия стационарности — уравнения неразрывности и деформационные граничные условия и статические граничные условия в функциях напряжений, а также равенства, раскрывающие смысл множителей Лагранжа: выражение незаданных деформаций поверхности через функции напряжений.

б) Полный функционал в функциях напряжений получен из функционала путем исключения множителей Лагранжа в соответствии с § 2.2г гл. 2. Функционал аналог полного функционала в перемещениях см. § 3.16.

в) Полный функционал в квазиосновном пространстве состояний получен из

тем внесения дополнительных условий (общих решений уравнений равновесия в объеме V и граничных условий в функциях напряжений на поверхности в функционал с множителями Лагранжа. Множители Лагранжа являются деформациями в объеме и на поверхности. Условия стационарности — полный набор уравнений и граничных условий теории упругости в функциях

Функционал является промежуточным звеном преобразования Фридрихса (см. гл. 2, § 2.4) Обратное преобразование производится через полный функционал (табл. 3.3), так что эти четыре функционала связаны между собой по схеме, изображенной на рис. 3.2.

Рис. 3.2. Взаимосвязь функционалов Кастильяно и Лагранжа Элзс полными функционалами: прямое и обратное преобразование Фридрихса.

г) Полный функционал в напряжениях и перемещениях (функционал Рейсснера [0.13]) получен внесением в (табл. 3.2) статических дополнительных условий с множителями Лагранжа и, которые можно считать, как видно из условий стационарности, перемещениями.

Функционал Рейсснера является промежуточным звеном преобразования Фридрихса (см. гл. 2, § 2.4) Промежуточным звеном обратного преобразования служит функционал Ху - Вашицу (табл. 3.3), так что эти четыре функционала связаны между собой по схеме, аналогичной рис. 3.2.

Используя линейное преобразование пространства состояний

можно преобразовать в функционал Рейсснера (1) в деформациях и перемещениях (см. § 3.1в).

д) Полный функционал в расширенном квазиосновном пространстве состояний. Получен из Множители Лагранжа — тензоры Их физический смысл определен вторым и третьим условиями стационарности.

Функционал имеет вид, аналогичный (табл. 3.3) и является промежуточным звеном для перехода к (сравните с § 3.1д).

е) Полный функционал в квазиосновном симметризованном пространстве выведен из путем исключения множителей Лагранжа

Между существует связь, аналогичная связи между переходит в при замене (5); обратное преобразование дается формулами (6):

По свойствам, связанным со стационарностью, функционалы эквивалентны, но имеют различные экстремальные свойства (см. § 5).

Функционал , подобно линейный (неоднородный) относительно каждой из трех переменных и имеет в этом смысле аналогичные свойства: связь с его условиями стационарности имеет симметричный вид, аналогично схеме на рис. 3.1.

ж) Полные функционалы с неполными полями функций напряжений, деформаций и перемещений могут быть построены с помощью множителей Лагранжа соответствующих разновидностей функционала

Кастильяно в декартовой и некоторых других системах координат по аналогии с (табл. 3.3 и § 3.1ж).