§ 7. О применении различных функционалов для оценки точности приближенных решений

Одним из наиболее эффективных способов определения меры погрешности и ее вычисления или оценки является применение энергетических оценок, основанных на том или ином вариационном функционале; при этом используются его экстремальные свойства.

7.1. Различные критерии точности решения и меры погрешности.

При расчете конструкции инженер может использовать различные критерии точности решения в зависимости от смысла и практического назначения задачи. В соответствии с этим в каждом конкретном случае может быть выбрана наиболее подходящая мера погрешности.

Оценка погрешности приближенного решения связана с определением расстояния между приближенным решением и точным решением Как известно, в одном и том же линейном пространстве могут быть введены различные меры расстояния, или метрики (см. Приложение 1). Например, при решении задачи теории упругости в перемещениях мерами расстояния между точками пространства состояний могут служить:

а) равномерная метрика для перемещений

в которой расстояние определяется как максимальное отклонение и от в объеме V, занятом упругим телом;

б) равномерная метрика для напряжений

где напряжения, вычисленные по перемещениям соответственно. Расстояние (2) связано с разностью производных от перемещений

в) энергетическая метрика

где какой-либо функционал в перемещениях, имеющий минимум (см. § 7.4), — его точка минимума. Другие варианты энергетической метрики могут быть построены на основе других функционалов, имеющих экстремум (минимум или максимум); минимаксные функционалы не определяют метрику, так как расстояние между различными точками пространства состояний должно быть положительным;

г) среднеквадратичная метрика для перемещений

д) среднеквадратичная метрика для невязок разрешающих уравнений

где решение краевой задачи теории упругости.

Можно определить и ряд других мер расстояния. Таким же образом определяются метрики в теории оболочек.

Вообще говоря, метрики (1) — (5) не эквивалентны: последовательность приближенных решений может сходиться к точному при одном способе определения расстояния между ними и не сходиться — при другом. Но во многих задачах различные метрики оказываются взаимосвязанными. Взаимосвязь между различными метриками дают теоремы вложения Соболева [5.18]. В [0.11] показано, если оператор положительно определенный (это зависит от формы области и физических зависимостей), а элементы принадлежат его области определения, т. е. являются достаточно гладкими функциями,

то метрики (3), (4) и (5) связаны между собой неравенствами

где у, К — некоторые положительные числа. В [0.11] приведены также примеры получения равномерных оценок погрешности (1) на основе энергетической оценки с метрикой (3).

Метрики (3), (4) и (5) имеют, вообще говоря, различную область применимости. Например, (5) может не иметь смысла на элементах выбираемых в качестве приближенного решения; это относится ко многим разновидностям вариационно-разностного метода. Наиболее универсальна энергетическая метрика (3).

7.2. Априорные оценки

Априорные оценки дают возможность оценить погрешность еще до того, как приближенное решение построено [0.11]. Как правило, априорные оценки суть оценки асимптотические — они дают лишь порядок убывания погрешности при бесконечном возрастании числа параметров, используемых при дискретизации: координатных элементов в методе Ритца или числа узлов сетки в вариационно-разностном методе. Другими словами, большинство априорных оценок не дает возможности указать заранее, какое число членов ряда в методе Ритца или число узлов сетки следует взять, чтобы обеспечить нужную точность решения; они только говорят: «чтобы уменьшить погрешность в раз, достаточно увеличить число варьируемых параметров в раз.

Априорные оценки для метода Ритца рассмотрены в [0.11]. Основой для получения как среднеквадратичных оценок, так и равномерной в [0.11] служит энергетическая оценка вида (3). Эти результаты применимы для вариационно-разностных схем, построенных на основе метода Ритца (см. § 3).

Пример априорной оценки погрешности вариационно-разностных схем, основанных на аппроксимации функционала (см. § 3), приведен в § 6. Сделанный там вывод о порядке убывания погрешности вычисления функционала Лагранжа означает, с одной

стороны, что минимальное значение дискретизованного функционала (6.8) отличается от минимума исходного функционала (6.1) на величину порядка малости

так как различные значения (6.8) можно рассматривать как приближенные значения (6.1) при всевозможных функциях удовлетворяющих дополнительным условиям. С другой стороны, является приближенным значением для любой гладкой функции имеющей в узлах сетки значения и поэтому

Из (7) и (8) следует, что

Соотношение (9) является энергетической оценкой (3) погрешности, которую дает замена истинных функций функциями полученными из решения сеточной задачи с помощью любого способа интерполяции, для которого погрешность вычисления всех производных, входящих в функционал, не больше чем Используя [0.11], можно на основании (9) получить другие оценки сеточного решения, в частности равномерную.

Для погрешности схемы 2 из § 6 удается получить с помощью аналогичных рассуждений и формулы (6.14) лишь оценку Однако полученные на ее основе решения, как показывают выполненные авторами расчеты, имеют такую же точность, как и на основе схемы 1, что, по-видимому, связано с усреднением в (6.13).

7.3. Апостериорная оценка

Апостериорная оценка — это оценка погрешности уже построенного приближенного решения.

Для некоторых решений можно вычислить меру погрешности (5), если эти решения принадлежат

области определения оператора имеют соответствующее число производных. Этой области не принадлежат многие функции, используемые для построения вариационно-разностных схем, например кусочно-линейные функции, применяемые в методе конечных элементов. Невозможно вычислить значение дифференциального оператора А и для функции, определенной лишь в узлах сетки, при решении задачи вариационно-разностными методами, основанными на аппроксимации функционала.

Погрешность более широкого класса решений поддается оценке в энергетической метрике (3). Для этого требуется использовать экстремальные функционалы: расстояние (3) между точным и приближенным решениями определяется разностью точного и приближенного значений функционала.

Для вычисления апостериорной энергетической оценки решения, полученного, например, на основе минимального функционала, необходимо знать либо его минимальное значение либо оценку снизу для этого значения, см. далее (15) - (17). В гл. 3 и 4 есть по одному функционалу, минимальные значения которых известны: это функционалы физических соотношений минимум которых равен нулю. Минимальные значения остальных функционалов, имеющих минимум, заранее неизвестны и поэтому нуждаются в оценке снизу. Соответственно, чтобы вычислить энергетическую оценку погрешности решения, полученного на основе максимального функционала, необходимо оценить его стационарное значение сверху.

Оценку снизу для минимального значения функционала можно получить, если приближенно решить данную задачу с помощью какого-либо максимального функционала, приведенного в гл. 3 или 4, так как все функционалы в гл. 3 или 4, кроме имеют одно и то же стационарное значение; минимальные функционалы дают оценку сверху для этого значения, а максимальные — оценку снизу.

7.4. Экстремальные функционалы в теории упругости и теории оболочек.

а) Минимум имеют всевозможные разновидности функционала Лагранжа (табл. 3.1, 4.1) и другие частные функционалы, которые могут быть из них получены путем включения в список дополнительных условий некоторых условий стационарности. Сюда относятся функционалы а также, например, функционал Лагранжа, имеющий в списке дополнительных условий не только геометрические граничные условия, но и статические.

б) Максимум имеют всевозможные разновидности функционала Кастильяно (табл. 3.2, 4.2) и другие частные функционалы, которые могут быть из них получены путем включения в список дополнительных условий некоторых условий стационарности: функционалы для геометрических граничных условий и др.

в) Экстремальные функционалы для некоторых частных задач, отсутствующие в гл. 3 и 4, могут быть получены с помощью преобразований Фридрихса из рассмотренных выше. Приведем два примера.

Для плоской задачи теории упругости (анизотропное однородное тело) при нулевых статических граничных условиях функционал, имеющий минимум, может быть получен с помощью преобразования Фридрихса из функционала Кастильяно в функциях напряжений, который для этой задачи можно преобразовать к виду

где - оператор Лапласа, с дополнительными условиями Условие стационарности его — бигармоническое уравнение. Запись (10) показывает, что можно следующим образом ввести новую переменную и соответствующие дополнительные условия:

Внесем дополнительные условия (12) в функционал (11) с множителями Лагранжа выведем условия стационарности и исключим с их помощью переменные из функционала и из дополнительных условий; получим задачу о минимуме функционала

с дополнительными условиями эквивалентную (10), а значит, и всем рассматриваемым вариационным постановкам плоской задачи теории упругости.

Для задачи изгиба однородной изотропной пластинки при однородных геометрических граничных условиях с помощью преобразования Фридрихса из функционала Лагранжа в перемещениях может быть выведен еще один функционал, имеющий максимум и аналогичный (13):

с дополнительными условиями где - поперечная нагрузка.

Функционалы (13) и (14) соответствуют методу негармонического остатка получения энергетических оценок (см. ниже).

7.5. Различные методы получения энергетических оценок погрешности и их трактовка с точки зрения теории преобразования вариационных проблем.

Будем считать, что имеется приближенное решение вариационной задачи на основе одного из экстремальных (для определенности — минимальных) функционалов. Для энергетической оценки погрешности нужно [0.11] построить максимальный функционал имеющий то же стационарное значение, что и данный решить приближенно вариационную задачу для построенного функционала и вычислить его значение. Разность

и будет служить оценкой погрешности для обоих приближенных решений так как, очевидно,

Принципиальное звено здесь — построение максимального функционала. В [0.11] приведено несколько способов построения максимального функционала, предложенных различными авторами. Покажем, что все эти способы можно свести к преобразованиям функционалов по Куранту-Гильберту [0.9].

Нетрудно проверить, что все рассмотренные ниже минимальные функционалы выпуклы вниз, откуда следует, что преобразованные функционалы имеют максимум.

а) Метод ортогональных проекций для задачи Дирихле сводится к тому, что для данного функционала

условием стационарности которого является краевая задача Дирихле для уравнения Пуассона

строят новый функционал (двойственный), имеющий максимум:

где вектор подчинен дополнительному условию

Функционал (20) легко получить из (18) с помощью преобразования Фридрихса (так же, как функционал Кастильяно из Лагранжа, гл. 3 и 4), если, согласно общей методике преобразований искусственно ввести новый переменный вектор и дополнительное условие

Функционал (18) примет вид

Построив с помощью множителей Лагранжа полный функционал и исключив из него с помощью условий стационарности переменные получим функционал (20) с дополнительным условием (21), который эквивалентен (18).

Точно так же легко свести к преобразованию Фридрихса приведенную в [0.11] общую формулировку метода ортогональных проекций. В свете этого преобразования можно естественным образом сформулировать указанные в [0.11] условия применимости метода ортогональных проекций, которые заключаются в выполнении дополнительных условий функционала (20).

Теория преобразования вариационных проблем позволяет получить множество других минимальных и максимальных функционалов для решения задачи Дирихле, в частности функционал метода Трефтца.

б) Метод Трефтца оценки погрешности решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа (24) при граничном условии (25)

заключается в том, что вместе с минимумом функционала

при условии (25) отыскивают максимум функционала

с дополнительным условием который является функционалом граничного условия (25) для данной задачи и может быть выведен таким же путем, как функционалы граничных условий в теории упругости и теории оболочек (гл. 3 и 4).

Таким образом, метод Трефтда и различные его обобщения сводятся к применению функционалов граничных условий.

в) Метод негармонического остатка для оценки погрешности решений бигармонического уравнения заключается в том, что вместе с задачей максимизации функционала (10) решают задачу минимизации функционала (13). Отсюда видно, что этот метод укладывается в рамки теории преобразования вариационных проблем.

Таким образом, теория преобразования вариационных проблем дает общий алгоритм построения минимальных и максимальных функционалов для оценки точности решения. Среди всех минимальных и максимальных функционалов данной теории можно выбрать наиболее подходящую пару и использовать ее для решения задачи с одновременным получением оценки погрешности.

7.6. Пример.

Оценка погрешности решения Навье для шарнирно опертой пластинки с равномерно распределенной нагрузкой с помощью функционалов Лаграижа и Кастильяно. Решение

Навье соответствует применению метода Ритца к функционалу Лагранжа в перемещениях и имеет вид

где размеры пластинки, цилиндрическая жесткость,

Функционал Кастильяно при данной нагрузке и граничных условиях можно представить следующим образом:

с дополнительным условием

Моменты Мху должны удовлетворять граничным условиям

Выберем в качестве координатных функций метода Ритца тригонометрические полиномы и представим функции Мху в внде сумм

которые удовлетворяют уравнению равновесия (30) и граничным условиям (31), а также и геометрическим (деформационным) граничным условиям. Максимуму функционала (29) соответствуют значения коэффициентов (32)

Для квадратной пластинки с значения функционалов Лагранжа и Кастнльяно при различном числе членов ряда представлены в табл. 5.1 и иллюстрируют сходимость метода Рнтца при выбранных координатных функциях.

Приведенные в табл. 5.1 разности значений функционалов Лагранжа и Кастильяно показывают, что энергия системы в состоянии, соответствующем решению с данным числом членов ряда отличается от энергии, соответствующей истинным значениям параметров напряженно-деформированного состояния, не больше чем на

Таблица 5.1 (см. скан) Энергетическая погрешность решения метода Рнтца для функционалов Лагранжа и Кастильяно при различном числе членов ряда

В статье [5.20] приведен пример оценкя погрешности для этой же задачи, решенной с помощью функционалов Лагранжа и Кастильяно методом конечных элементов с использованием статико-геометрической аналогии.

Энергетические оценки погрешности применялись также в [5.7].