Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 7. О применении различных функционалов для оценки точности приближенных решенийОдним из наиболее эффективных способов определения меры погрешности и ее вычисления или оценки является применение энергетических оценок, основанных на том или ином вариационном функционале; при этом используются его экстремальные свойства. 7.1. Различные критерии точности решения и меры погрешности.При расчете конструкции инженер может использовать различные критерии точности решения в зависимости от смысла и практического назначения задачи. В соответствии с этим в каждом конкретном случае может быть выбрана наиболее подходящая мера погрешности. Оценка погрешности приближенного решения связана с определением расстояния а) равномерная метрика для перемещений
в которой расстояние б) равномерная метрика для напряжений
где в) энергетическая метрика
где г) среднеквадратичная метрика для перемещений
д) среднеквадратичная метрика для невязок разрешающих уравнений
где Можно определить и ряд других мер расстояния. Таким же образом определяются метрики в теории оболочек. Вообще говоря, метрики (1) — (5) не эквивалентны: последовательность приближенных решений то метрики (3), (4) и (5) связаны между собой неравенствами
где у, К — некоторые положительные числа. В [0.11] приведены также примеры получения равномерных оценок погрешности (1) на основе энергетической оценки с метрикой (3). Метрики (3), (4) и (5) имеют, вообще говоря, различную область применимости. Например, (5) может не иметь смысла на элементах 7.2. Априорные оценкиАприорные оценки дают возможность оценить погрешность еще до того, как приближенное решение построено [0.11]. Как правило, априорные оценки суть оценки асимптотические — они дают лишь порядок убывания погрешности при бесконечном возрастании числа параметров, используемых при дискретизации: координатных элементов в методе Ритца или числа узлов сетки в вариационно-разностном методе. Другими словами, большинство априорных оценок не дает возможности указать заранее, какое число членов ряда в методе Ритца или число узлов сетки следует взять, чтобы обеспечить нужную точность решения; они только говорят: «чтобы уменьшить погрешность в Априорные оценки для метода Ритца рассмотрены в [0.11]. Основой для получения как среднеквадратичных оценок, так и равномерной в [0.11] служит энергетическая оценка вида (3). Эти результаты применимы для вариационно-разностных схем, построенных на основе метода Ритца (см. § 3). Пример априорной оценки погрешности вариационно-разностных схем, основанных на аппроксимации функционала (см. § 3), приведен в § 6. Сделанный там вывод о порядке убывания погрешности вычисления функционала Лагранжа стороны, что минимальное значение
так как различные значения (6.8) можно рассматривать как приближенные значения (6.1) при всевозможных функциях
Из (7) и (8) следует, что
Соотношение (9) является энергетической оценкой (3) погрешности, которую дает замена истинных функций Для погрешности схемы 2 из § 6 удается получить с помощью аналогичных рассуждений и формулы (6.14) лишь оценку 7.3. Апостериорная оценкаАпостериорная оценка — это оценка погрешности уже построенного приближенного решения. Для некоторых решений можно вычислить меру погрешности (5), если эти решения принадлежат области определения оператора Погрешность более широкого класса решений поддается оценке в энергетической метрике (3). Для этого требуется использовать экстремальные функционалы: расстояние (3) между точным и приближенным решениями определяется разностью точного и приближенного значений функционала. Для вычисления апостериорной энергетической оценки решения, полученного, например, на основе минимального функционала, необходимо знать либо его минимальное значение Оценку снизу для минимального значения функционала можно получить, если приближенно решить данную задачу с помощью какого-либо максимального функционала, приведенного в гл. 3 или 4, так как все функционалы в гл. 3 или 4, кроме 7.4. Экстремальные функционалы в теории упругости и теории оболочек.а) Минимум имеют всевозможные разновидности функционала Лагранжа (табл. 3.1, 4.1) и другие частные функционалы, которые могут быть из них получены путем включения в список дополнительных условий некоторых условий стационарности. Сюда относятся функционалы б) Максимум имеют всевозможные разновидности функционала Кастильяно (табл. 3.2, 4.2) и другие частные функционалы, которые могут быть из них получены путем включения в список дополнительных условий некоторых условий стационарности: функционалы для геометрических граничных условий и др. в) Экстремальные функционалы для некоторых частных задач, отсутствующие в гл. 3 и 4, могут быть получены с помощью преобразований Фридрихса из рассмотренных выше. Приведем два примера. Для плоской задачи теории упругости (анизотропное однородное тело) при нулевых статических граничных условиях функционал, имеющий минимум, может быть получен с помощью преобразования Фридрихса из функционала Кастильяно
где
Внесем дополнительные условия (12) в функционал (11) с множителями Лагранжа
с дополнительными условиями Для задачи изгиба однородной изотропной пластинки при однородных геометрических граничных условиях с помощью преобразования Фридрихса из функционала Лагранжа в перемещениях может быть выведен еще один функционал, имеющий максимум и аналогичный (13):
с дополнительными условиями Функционалы (13) и (14) соответствуют методу негармонического остатка получения энергетических оценок (см. ниже). 7.5. Различные методы получения энергетических оценок погрешности и их трактовка с точки зрения теории преобразования вариационных проблем.Будем считать, что имеется приближенное решение вариационной задачи на основе одного из экстремальных (для определенности — минимальных) функционалов. Для энергетической оценки погрешности нужно [0.11] построить максимальный функционал
и будет служить оценкой погрешности для обоих приближенных решений
Принципиальное звено здесь — построение максимального функционала. В [0.11] приведено несколько способов построения максимального функционала, предложенных различными авторами. Покажем, что все эти способы можно свести к преобразованиям функционалов по Куранту-Гильберту [0.9]. Нетрудно проверить, что все рассмотренные ниже минимальные функционалы выпуклы вниз, откуда следует, что преобразованные функционалы имеют максимум. а) Метод ортогональных проекций для задачи Дирихле сводится к тому, что для данного функционала
условием стационарности которого является краевая задача Дирихле для уравнения Пуассона
строят новый функционал (двойственный), имеющий максимум:
где вектор
Функционал (20) легко получить из (18) с помощью преобразования Фридрихса (так же, как функционал Кастильяно из Лагранжа, гл. 3 и 4), если, согласно общей методике преобразований
Функционал (18) примет вид
Построив с помощью множителей Лагранжа Точно так же легко свести к преобразованию Фридрихса приведенную в [0.11] общую формулировку метода ортогональных проекций. В свете этого преобразования можно естественным образом сформулировать указанные в [0.11] условия применимости метода ортогональных проекций, которые заключаются в выполнении дополнительных условий функционала (20). Теория преобразования вариационных проблем позволяет получить множество других минимальных и максимальных функционалов для решения задачи Дирихле, в частности функционал метода Трефтца. б) Метод Трефтца оценки погрешности решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа (24) при граничном условии (25)
заключается в том, что вместе с минимумом функционала
при условии (25) отыскивают максимум функционала
с дополнительным условием Таким образом, метод Трефтда и различные его обобщения сводятся к применению функционалов граничных условий. в) Метод негармонического остатка для оценки погрешности решений бигармонического уравнения заключается в том, что вместе с задачей максимизации функционала (10) решают задачу минимизации функционала (13). Отсюда видно, что этот метод укладывается в рамки теории преобразования вариационных проблем. Таким образом, теория преобразования вариационных проблем дает общий алгоритм построения минимальных и максимальных функционалов для оценки точности решения. Среди всех минимальных и максимальных функционалов данной теории можно выбрать наиболее подходящую пару и использовать ее для решения задачи с одновременным получением оценки погрешности. 7.6. Пример.Оценка погрешности решения Навье для шарнирно опертой пластинки с равномерно распределенной нагрузкой с помощью функционалов Лаграижа и Кастильяно. Решение Навье соответствует применению метода Ритца к функционалу Лагранжа в перемещениях и имеет вид
где
Функционал Кастильяно при данной нагрузке и граничных условиях можно представить следующим образом:
с дополнительным условием
Моменты
Выберем в качестве координатных функций метода Ритца тригонометрические полиномы и представим функции
которые удовлетворяют уравнению равновесия (30) и граничным условиям (31), а также и геометрическим (деформационным) граничным условиям. Максимуму функционала (29) соответствуют значения коэффициентов (32)
Для квадратной пластинки с Приведенные в табл. 5.1 разности Таблица 5.1 (см. скан) Энергетическая погрешность решения метода Рнтца для функционалов Лагранжа и Кастильяно при различном числе членов ряда В статье [5.20] приведен пример оценкя погрешности для этой же задачи, решенной с помощью функционалов Лагранжа и Кастильяно методом конечных элементов с использованием статико-геометрической аналогии. Энергетические оценки погрешности применялись также в [5.7].
|
1 |
Оглавление
|