§ 7. Развернутая форма записи некоторых функционалов в различных системах координат

В данном параграфе приведены характеристики некоторых наиболее употребительных систем координат (метрические тензоры, символы Кристоффеля) и рассмотрен переход от тензорной формы записи функционалов к развернутой. Приведен ряд полных и частных функционалов в развернутой форме в криволинейных координатах.

7.1. Различные системы координат, их метрические тензоры и символы Кристоффеля.

7.1.1. Ортогональные (прямоугольные) координаты различного внда используются чаще всего. В любых ортогональных координатах три компонента метрического тензора равны нулю: при Остальные три компонента обычно заменяют тремя величинами параметрами Ляме — по формулам

Другие формулы для вычисления параметров Ляме:

где декартовы координаты;

Параметры Ляме имеют ясный геометрический смысл: они являются масштабными факторами, связывающими приращения длин дуг координатных линнн с приращениями соответствующих им криволинейных координат:

В табл. 3.10 приведены компоненты метрического тензора и символы Кристоффеля для некоторых наиболее распространенных

ортогональных систем координат. Эти величины дают возможность легко записать все формулы из §§ 2—6 в развернутой форме.

В некоторых системах ортогональных координат часть параметров Ляме — константы; поэтому часть символов Кристоффеля обращается в нуль, и слагаемые, содержащие производные, еще более упрощаются Например, в цилиндрической системе координат а в сферической —

Наиболее простой вид все функционалы и их дополнительные и естественные условия имеют в прямоугольной декартовой системе координат, в которой все параметры Ляме равны единице, а все символы Кристоффеля равны нулю.

7.1.2. Прямолинейные косоугольные (аффинные) координаты (табл. важный частный вид координатной системы. Эти координаты удобны, например, при расчете кристаллов и других тел, имеющих форму наклонного параллелепипеда, призмы или пирамиды.

7.1.3. Особо должна быть рассмотрена система координат, нормально связанных с поверхностью Такие координаты используются в теории оболочек. В этих координатах компоненты метрического и дискрнминантного тензоров и символы Кристоффеля выражаются через коэффициенты первой и второй квадратичных форм поверхности (табл. 3.10).

7.2 Развернутая форма записи функционалов в криволинейных ортогональных координатах.

Чтобы представить функционалы в развернутой форме, нужно использовать формулы и правила из Приложения 2. Определенную трудность представляет развертывание выражений, содержащих производные.

7.2.1. Развернутая форма записи выражений вида использована в табл. Ниже подробно описан переход к развернутой форме первого выражения и сокращенно — для остальных.

а) Преобразуем запись выражения

которое в индексной форме имеет вид

1) придадим свободному индексу значение

2) развернем сумму по

3) выполним ковариантиое дифференцирование:

4) раскроем суммирование по и подставим выражения символов Кристоффеля:

5, 6) выразим компоненты метрического тензора через параметры Ляме выразим через физические компоненты по формулам Приложения 2; приведем подобные члены:

Выражение в квадратных скобках совпадает с левой частью уравнения равновесия в криволинейных ортогональных координатах Аналогично получаются

В дальнейшем, чтобы не загромождать запись, скобки при индексах в развернутых выражениях, где это не вызывает двусмысленности, будем опускать, б) Рассмотрим выражение

В индексной форме:

Выполнение коаариантного дифференцирования и развертывание сумм даег

Придавая значения 1,1 и 1, 2, после замены компонентов метрического тензора на параметры Ляме и компонентов

через физические составляющие получим

Скобки у индексов физических компонентов опущены. Приравнивая нулю, можно получить выражения для компонентов деформаций Точно так же для других значений индексов

в) Поступая аналогичным образом, можно получить развернутую форму записи выражений

или

В силу симметрии различными будут только шесть выражений. Например, при получим до выполнения ковариантного дифференцирования

В прямоугольных декартовых координатах, когда ковариаитиые и обычные производные совпадают, получается

Приравняв нулю, приходим к одному из известных уравнений совместности деформаций.

г) Легко получить развернутую форму записи

В индексной форме

Переход к физическим компонентам и раскрытие сумм дает

Придавая значения 1, 2, 3 и приравнивая нулю, получим уравнения закона Гука. Аналогичным образом можно получить обратные зависимости через а, рассмотрев

7.2.2. Развернутая форма записи некоторых функционалов. На примере функционала Рейсснера (табл. 3.4) покажем, как преобразуются функционалы. Преобразование выражений, содержащих (5) или (6), ясно из вышерассмотреииого примера. В остальных членах, содержащихся в объемном и

поверхностных интегралах, нужио только перейти к физическим компонентам (Приложение 2). Например,

В результате приходим к развернутой форме функционала (табл. 3.11).

В табл. 3.12 представлен полный функционал в развернутой форме. Из него можно получить частные функционалы. используя преобразования Куранта — Гильберта, не прибегая к развертыванию тензорной записи соответствующих частных функционалов.

В табл. 3.13 приведев функционал в), в котором не выполнено ковариантное дифференцирование. Чтобы получить окончательную развернутую форму, которая представляет в общем случае криволинейных ортогональных координат громоздкое выражение, необходимо воспользоваться формулами дифференцирования (Приложение 2) и выразить через физические компоненты.

Некоторые другие функционалы в развернутой форме приведены в [0.2].