Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 7. Развернутая форма записи некоторых функционалов в различных системах координатВ данном параграфе приведены характеристики некоторых наиболее употребительных систем координат (метрические тензоры, символы Кристоффеля) и рассмотрен переход от тензорной формы записи функционалов к развернутой. Приведен ряд полных и частных функционалов в развернутой форме в криволинейных координатах. 7.1. Различные системы координат, их метрические тензоры и символы Кристоффеля.7.1.1. Ортогональные (прямоугольные) координаты различного внда используются чаще всего. В любых ортогональных координатах три компонента метрического тензора равны нулю:
Другие формулы для вычисления параметров Ляме:
где
Параметры Ляме имеют ясный геометрический смысл: они являются масштабными факторами, связывающими приращения длин дуг координатных линнн с приращениями соответствующих им криволинейных координат:
В табл. 3.10 приведены компоненты метрического тензора и символы Кристоффеля для некоторых наиболее распространенных ортогональных систем координат. Эти величины дают возможность легко записать все формулы из §§ 2—6 в развернутой форме. В некоторых системах ортогональных координат часть параметров Ляме — константы; поэтому часть символов Кристоффеля обращается в нуль, и слагаемые, содержащие производные, еще более упрощаются Например, в цилиндрической системе координат Наиболее простой вид все функционалы и их дополнительные и естественные условия имеют в прямоугольной декартовой системе координат, в которой все параметры Ляме равны единице, а все символы Кристоффеля равны нулю. 7.1.2. Прямолинейные косоугольные (аффинные) координаты (табл. 7.1.3. Особо должна быть рассмотрена система координат, нормально связанных с поверхностью 7.2 Развернутая форма записи функционалов в криволинейных ортогональных координатах.Чтобы представить функционалы в развернутой форме, нужно использовать формулы и правила из Приложения 2. Определенную трудность представляет развертывание выражений, содержащих производные. 7.2.1. Развернутая форма записи выражений вида а) Преобразуем запись выражения
которое в индексной форме имеет вид
1) придадим свободному индексу 2) развернем сумму по 3) выполним ковариантиое дифференцирование:
4) раскроем суммирование по
5, 6) выразим компоненты метрического тензора
Выражение в квадратных скобках совпадает с левой частью уравнения равновесия в криволинейных ортогональных координатах В дальнейшем, чтобы не загромождать запись, скобки при индексах в развернутых выражениях, где это не вызывает двусмысленности, будем опускать, б) Рассмотрим выражение
В индексной форме:
Выполнение коаариантного дифференцирования и развертывание сумм даег
Придавая
Скобки у индексов физических компонентов опущены. Приравнивая в) Поступая аналогичным образом, можно получить развернутую форму записи выражений
или
В силу симметрии различными будут только шесть выражений. Например, при
В прямоугольных декартовых координатах, когда ковариаитиые и обычные производные совпадают, получается
Приравняв г) Легко получить развернутую форму записи
В индексной форме
Переход к физическим компонентам и раскрытие сумм дает
Придавая
7.2.2. Развернутая форма записи некоторых функционалов. На примере функционала Рейсснера поверхностных интегралах, нужио только перейти к физическим компонентам (Приложение 2). Например,
В результате приходим к развернутой форме функционала (табл. 3.11). В табл. 3.12 представлен полный функционал В табл. 3.13 приведев функционал Некоторые другие функционалы в развернутой форме приведены в [0.2].
|
1 |
Оглавление
|