§ 5. Экстремальные свойства полных и частных функционалов теории оболочек

Для исследования экстремальных свойств функционалов, участвующих в формулировке вариационных принципов теории оболочек, так же как и для функционалов теории упругости, может быть использовано свойство выпуклости (см. Приложение 1) одних функционалов Лагранжа и Кастильяно (исходных пунктов преобразований) и невыпуклости других. Экстремальные свойства различных полных и частных функционалов можно выяснить, используя § 3 гл. 2. Результаты представлены в табл. 4.6; в этой таблице стрелки обозначают, что знаки можно поменять местами, так что данный функционал имеет седловую точку.

5.1. Выпуклость различных вариантов функционалов Лагранжа и Кастильяно и их экстремальность. Исследование выпуклости функционалов Лагранжа и Кастильяно в теории оболочек ничем не отличается от аналогичного исследования в теории упругости (см. гл. 3, § 5).

Используя тот факт, что энергия деформирования срединной поверхности оболочки

является положительно определенной квадратичной формой, и исследуя знак разности вида (5.1) в гл. 3, нетрудно установить, что все приведенные в табл. 4.1 разновидности функционала Лагранжа, кроме , выпуклые вниз, а все разновидности функционала Кастильяно (табл. 4.2), кроме выпуклые вверх, функционалы не выпуклые ни вниз, ни вверх.

Отсюда следует, что все варианты функционала Лагранжа в точке стационарности имеют условный минимум, а все варианты функционала Кастильяно — условный максимум. Условная экстремальность функционалов следует, из того, что они получены соответственно из и из заменой переменных.

5.2. Экстремальные свойства полных функционалов лагранжевой и кастильяновой серий и частных функционалов представлены в табл. 4.6. Они выводятся точно так же, как свойства аналогичных функционалов теории упругости (см. гл. 3, § 5).