§ 3. Полные функционалы

Различные варианты исходной вариационной задачи (§ 2) приводят, в соответствии с теорией преобразования вариационных проблем (см; гл. 2, § 2), к различным полным функционалам и соответствующим общим вариационным принципам в различных пространствах состояний.

Из разных видов функционала Лагранжа (табл. 4.1) построен ряд полных функционалов (табл. 4.3), который, как и в гл. 3, § 3, назван лагранжевой серией полных функционалов. Соответственно кастильянова серия полных функционалов (табл. 4.4) получена из функционала Кастильяно (табл. 4.2). Полные функционалы имеют те же номера, что и частные, из которых они получены с помощью множителей Лагранжа.

Каждый полный функционал позволяет сформулировать вариационную задачу без каких-либо дополнительных условий. При этом независимо варьируются все параметры, указанные в скобках. Например, независимо варьируются поля перемещений, тангенциальных и изгибных деформаций и усилий моментов.

Из полных функционалов могут быть получены разнообразные частные, в том числе функционалы Лагранжа (табл. 4.1) и Кастильяно (табл. 4.2) в различных формах.

3.1. Лагранжева серия полных функционалов.

а) Полный функционал в перемещениях и контурных реактивных усилиях построен из (табл. 4.1) путем учета ограничений (граничных условий в перемещениях) с помощью множителей Лагранжа они являются, как показывают условия стационарности, компонентами вектора усилий и изгибающим моментом соответствующими заданным компонентам т. е. реакциями.

Условия стационарности — уравнения равновесия и статические и геометрические граничные условия в

перемещениях плюс уравнения для вычисления реакций по известным перемещениям.

б) Полный функционал в перемещениях получается, если выражения для реакций через перемещения подставить в т. е. с точки зрения теории преобразования вариационных проблем наложить некоторые из условий стационарности в качестве дополнительных условий и с их помощью исключить (см. гл. 2, § 2).

в) Полный функционал в основном пространстве состояний ) (функционал Ху - Вашицу) получен из с помощью множителей Лагранжа при геометрических соотношениях. Как видно из условий стационарности (2.16) (физических соотношений), множители Лагранжа являются усилиями и моментами.

Условиями стационарности функционала являются уравнения и граничные условия теории оболочек в классической, наиболее распространенной форме: геометрические уравнения в области (1.12) и на контуре С (1.15), физические соотношения (2.16), статические уравнения в области (1.24) и статические граничные условия (1.26).

Исключение множителей Лагранжа из функционала в соответствии с гл. 2, § приводит к полному функционалу в пространстве ( который является одной из форм функционала Рейсснера [0.2]:

Можно исключить из деформации (в соответствии с гл. 2, § 2.2в) и перейти к другой форме

функционала Рейсснера (табл. 4.4) в пространстве .

г) Полный функционал в деформациях и функциях напряжений построен путем учета с помощью множителей Лагранжа дополнительных условий функционала Условия стационарности геометрические уравнения в деформациях в области и на контуре и зависимости между деформациями и множителями Лагранжа которые одновременно играют роль статических и физических уравнений. Последние зависимости показывают, что множители Лагранжа совпадают с компонентами вектора функций напряжений.

Отсюда видно, что использование полного функционала можно рассматривать как инструмент для получения общего решения уравнений равновесия, более универсальный, чем статико-геомегрическая аналогия. Преобразование функционала Лагранжа в привело к преобразованию условий стационарности (уравнений равновесия в деформациях) к форме, являющейся их общим решением. Этот пример показывает, какое богатство возможностей заключено в вариационных формулировках и их преобразованиях.

д) Полный функционал в расширенном основном пространстве состояний получается из (и, (табл. 4.1) с помощью множителей Лагранжа

Функционал является промежуточным звеном преобразования .

е) Полный функционал в симметризованном основном пространстве состояний получен из путем исключения множителей Лагранжа к с помощью условий стационарности в соответствии с гл. 2, § 2.2 г.

Функционал ) линейный (неоднородный) относительно каждой группы переменных при фиксированных двух других группах. Отсюда следует его особенность, заключающаяся в том, что каждое условие стационарности связывает две группы переменных из вышеуказанного списка и

не содержит третью группу параметров, по которым варьировался функционал (см. схему на рис. 4.4).

Рис. 4.4. Симметричный характер условий стационарности полного функционала

Линейное преобразование пространства состояний в по формулам

переводит функционал . Обратное преобразование определяется формулами

По свойствам, связанным со стационарностью, функционалы эквивалентны. Они имеют различные экстремальные свойства (см. § 5).

ж) Полный функционал с неполными полями перемещений, деформаций и функций напряжений для пологих оболочек построен с помощью множителя Лагранжа из (табл. 4.1). Его условия стационарности — уравнения для пологих оболочек в смешанной форме, которые показывают, что функция напряжений для решения двух уравнений равновесия (1.49).

Исключение в соответствии с гл. 2, § 2.2 в, переводит в смешанный функционал (см. § 4).

3.2. Кастильянова серия полных функционалов.

а) Полный функционал в функциях напряжений и деформациях граничных элементов может быть получен из (табл. 4.2) путем внесения дополнительных условий (статических граничных условий в функциях напряжений) в "функционал с множителями Лагранжа.

Условия стационарности уравнения неразрывности, деформационные граничные условия и статические граничные условия в функциях напряжений и равенства, раскрывающие смысл множителей Лагранжа: выражение незаданных деформаций на контуре С через функции напряжений.

б) Полный функционал в функциях напряжений выведен из в соответствии с § 2.2г гл. 2, т. е. путем исключения множителей Лагранжа Функционал является аналогом полного функционала в перемещениях (см. § 3.16).

в) Полный функционал в квазиосновном пространстве состояний, получен из путем внесения дополнительных условий (общих решений уравнений равновесия в области и граничных условий в функциях напряжений на контуре С) в функционал с множителями Лагранжа Смысл величин раскрывается условиями стационарности: множители Лагранжа являются деформациями в области и на контуре.

Условия стационарности — полный набор уравнений и граничных условий теории оболочек в функциях

Функционал является промежуточным звеном преобразования Фридрихса (см. гл. 2, § 2.4) Обратное преобразование производится через полный функционал так что эти четыре функционала связаны между собой по схеме, изображенной на рис. 4.5.

г) Полный функционал в усилиях и перемещениях (функционал Рейсснера [0.13]) получен внесением в (табл. 4.2) статических

дополнительных условии с множителями Лагранжа и, которые следует считать, как показывают условия стационарности, перемещениями.

Функционал 5з является промежуточным звеном преобразования Фридрихса (см. гл. 2, § 2.4) Промежуточным звеном обратного преобразования служит функционал Ху - Вашицу (табл. 4.3), так что эти четыре функционала связаны между собой по схеме, аналогичной рис. 4.5,

Рис. 4.5. Взаимосвязь функционалов Кастильяно и Лагранжа Элзс полными функционалами: прямое и обратное преобразование Фридрихса.

Используя линейное преобразование пространства состояний

можно преобразовать в функционал Рейсснера (1) в деформациях и перемещениях (см. § 3.1в).

д) Полный функционал в расширенном квазиосновном пространстве состояний получен из с помощью множителей Лагранжа

Функционал 54 имеет вид, аналогичный (табл. 4.3), и является промежуточным звеном для перехода к 54а (ср. § 3.1 д).

Условия стационарности — уравнения теории оболочек, записанные с помощью вспомогательных переменных

е) Полный функционал в квазиосновном симметризованном пространстве выведен из путем исключения множителей Лагранжа в соответствии с гл. 2, § 2.2г.

Между (§ 3.2 в) существует связь, аналогичная связи между переходит в при замене переменных

Обратное преобразование дается формулами

По свойствам, связанным со стационарностью, функционалы эквивалентны. Они имеют различные экстремальные свойства (см. § 5).

ж) Полный функционал с неполными полями функций напряжений, усилий-моментов и перемещений для пологих оболочек построен с помощью множителя Лагранжа из функционала Кастильяно (табл. 4.2). Условия стационарности — уравнения теории пологих оболочек в функциях Исключив в соответствии с гл. 2, § 2.3.2в, нетрудно преобразовать в смешанный функционал (см. § 4).