2.2. Приведение вариационной задачи с ограничениями к свободной задаче: два пути учета ограничений.

Для задач с ограничениями вида (1.3) необходимое условие экстремума (3) означает, что в точке условного экстремума (или стационарности) линейный функционал (не обязательно нулевой) отображает в нуль те функции которые удовлетворяют уравнению (5). Условие (3) здесь не приводит к условию стационарности (8), так как функция и, для которой справедливо (8), может не удовлетворять ограничениям (1.3). Поэтому прямое использование условия (3) для вывода условий стационарности, как правило, невозможно.

Для вывода условий стационарности в задачах с ограничениями эти задачи преобразуют в эквивалентные им свободные. Существует два способа учета ограничений (1.3) в форме равенств: использование общих решений уравнений (1.3) и метод неопределенных множителей Лагранжа.

Использование первого способа практически возможно лишь при достаточно простых уравнениях

(1.3), имеющих общее решение. Этот путь обычно приводит к уменьшению количества неизвестных за счет усложнения выражения для функционала и условий стационарности.

При использовании второго способа за счет увеличения количества неизвестных достигается общность и универсальность метода и простота записи разрешающих уравнений.

Оба способа учета дополнительных условий используются в теории преобразования вариационных проблем (см. гл. 2, §§ 2 и 3).

а) Использование общих решений. Уравнение (1.3) является недоопределенным и имеет бесконечное множество решений (в противном случае задача об экстремуме была бы тривиальной).

В некоторых случаях уравнение (1.3) удается разрешить относительно части компонентов векторной переменной и, т. е. выразить их через остальные компоненты

Если любое решение уравнения (1.3) представимо в виде (17), то выражение (17) называется общим решением уравнения (1.3). Множество элементов образует подпространство в данном пространстве

Подставив (17) в функционал (1.1), получим новый функционал

Задачу об условной стационарности функционала теперь можно заменить задачей о безусловной стационарности: среди всех элементов пространства найти такой, что функционал (18) имеет стационарное значение. Условия стационарности этой задачи выводятся так же, как в § 2.1.

Уравнение (1.3) может не иметь общего решения вида (17), особенно если оно дифференциальное, но иметь параметрическое решение

где параметр (возможно, векторный или функциональный). Если любое решение уравнения (1.3) можно представить в виде (19), то (19) тоже называется общим решением уравнения (1.3).

Подставив (19) в (1.1), получим свободную вариационную задачу для функционала которую можно решать в соответствии с § 2.1.

Заметим, что при использовании общих решений задача на условный экстремум заменяется вспомогательной задачей на безусловный экстремум, в отличие от метода множителей Лагранжа, в котором, вообще говоря, можно утверждать лишь наличие точки стационарности у вспомогательного функционала (см. гл. 2, § 3).

В гл. 3 и 4 будут использоваться, например, следующие общие решения: решение вида (17) системы физических уравнений параметрические общие решения уравнений равновесия в функциях напряжений, уравнений неразрывности (параметры — перемещения), статических граничных условий в функциях напряжений и деформационных граничных условий для оболочек и др.

б) Метод неопределенных множителей Лагранжа. Для облегчения дальнейшего изложения целесообразно уточнить, что функция в ограничении (1.3) представляет собой отображение данного евклидова пространства в евклидово пространство которое может быть множеством действительных чисел, конечномерным евклидовым пространством или (чаще всего) функциональным пространством со скалярным произведением вида (1.2). Например, может быть множеством функций, определенных на границе области со скалярным произведением

таково, например, геометрическое граничное условие в гл. 3 и 4. Пространство может представлять собой также прямое произведение нескольких евклидовых пространств различного строения, из

которых одни могут быть конечномерными, а другие — функциональными; сюда включаются случаи, когда дополнительное условие (1.3) состоит из уравнений в области и на границе.

В бесконечномерном случае пространство можно считать гильбертовым; если не гильбертово, то может быть рассмотрено его пополнение (см. Приложение 1).

Метод множителей Лагранжа является обобщением правила множителей Лагранжа для функций нескольких переменных и состоит в том, что для отыскания точки условной стационарности функционала (1.1) используется другой, вспомогательный функционал

где линейный функционал на Так как гильбертово пространство, то можно считать [1.2], что есть скалярное произведение в и писать вместо (20)

Применение функционала (21) основано на теореме: существует такой элемент что решение задачи на условный экстремум функционала (1.1) при ограничениях (1.3) (или, в более общем случае, точка условной стационарности) совпадает с безусловной точкой стационарности по и функционала Значения и определяются уравнениями Доказательство см. в [1.2].

Подчеркнем, что вариационные задачи для функционалов эквивалентны с точки зрения стационарности по и, но не экстремальности: может не иметь экстремума в точке стационарности (см. пример в гл. 2, § 3.26).

Справедлива и обратная теорема: все точки стационарности функционала (21) соответствуют точкам условной стационарности функционала (1.1). Действительно, в точке уравнение (1.3)

выполняется, так как оно совпадает Второе условие стационарности

показывает, что при любом К, для которого выполняется (3). Тем более (3) выполняется, если Таким образом, при все пункты определения условной стационарности выполнены, так что любая точка стационарности функционала (21) соответствует точке условной стационарности функционала (1.1).

Приведем пример построения функционала (21). Функционал Лагранжа и дополнительные условия для задачи изгиба плиты (см. гл. 4) в пространстве функций, определенных в плоской области и принимающих любые значения на границе, имеют вид

Пространство состоит из функций, определенных на части контура плиты С. Скалярное произведение в определяется равенством

а функционал (21) данной задачи имеет вид

где множители Лагранжа.

Заметим, что понятия свободной и несвободной вариационной задачи относительны. Например, сформулированную выше несвободную вариационную задачу для функционала в пространстве можно рассматривать как свободную в пространстве функций, определенных в области и принимающих на ее границе заданные значения: