Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 2.2. Приведение вариационной задачи с ограничениями к свободной задаче: два пути учета ограничений.Для задач с ограничениями вида (1.3) необходимое условие экстремума (3) означает, что в точке условного экстремума (или стационарности) Для вывода условий стационарности в задачах с ограничениями эти задачи преобразуют в эквивалентные им свободные. Существует два способа учета ограничений (1.3) в форме равенств: использование общих решений уравнений (1.3) и метод неопределенных множителей Лагранжа. Использование первого способа практически возможно лишь при достаточно простых уравнениях (1.3), имеющих общее решение. Этот путь обычно приводит к уменьшению количества неизвестных за счет усложнения выражения для функционала и условий стационарности. При использовании второго способа за счет увеличения количества неизвестных достигается общность и универсальность метода и простота записи разрешающих уравнений. Оба способа учета дополнительных условий используются в теории преобразования вариационных проблем (см. гл. 2, §§ 2 и 3). а) Использование общих решений. Уравнение (1.3) является недоопределенным и имеет бесконечное множество решений (в противном случае задача об экстремуме была бы тривиальной). В некоторых случаях уравнение (1.3) удается разрешить относительно части компонентов
Если любое решение уравнения (1.3) представимо в виде (17), то выражение (17) называется общим решением уравнения (1.3). Множество элементов Подставив (17) в функционал (1.1), получим новый функционал
Задачу об условной стационарности функционала Уравнение (1.3) может не иметь общего решения вида (17), особенно если оно дифференциальное, но иметь параметрическое решение
где Подставив (19) в (1.1), получим свободную вариационную задачу для функционала Заметим, что при использовании общих решений задача на условный экстремум заменяется вспомогательной задачей на безусловный экстремум, в отличие от метода множителей Лагранжа, в котором, вообще говоря, можно утверждать лишь наличие точки стационарности у вспомогательного функционала (см. гл. 2, § 3). В гл. 3 и 4 будут использоваться, например, следующие общие решения: решение б) Метод неопределенных множителей Лагранжа. Для облегчения дальнейшего изложения целесообразно уточнить, что функция
таково, например, геометрическое граничное условие которых одни могут быть конечномерными, а другие — функциональными; сюда включаются случаи, когда дополнительное условие (1.3) состоит из уравнений в области и на границе. В бесконечномерном случае пространство Метод множителей Лагранжа является обобщением правила множителей Лагранжа для функций нескольких переменных и состоит в том, что для отыскания точки условной стационарности функционала (1.1) используется другой, вспомогательный функционал
где
Применение функционала (21) основано на теореме: существует такой элемент Подчеркнем, что вариационные задачи для функционалов Справедлива и обратная теорема: все точки стационарности выполняется, так как оно совпадает
показывает, что при любом К, для которого Приведем пример построения функционала (21). Функционал Лагранжа и дополнительные условия для задачи изгиба плиты (см. гл. 4) в пространстве
Пространство
а функционал (21) данной задачи имеет вид
где Заметим, что понятия свободной и несвободной вариационной задачи относительны. Например, сформулированную выше несвободную вариационную задачу для функционала
|
1 |
Оглавление
|