Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 2. Особенности вариационных формулировок при сложных граничных условиях, в том числе для многосвязных областейВ гл. 3 и 4 приведены вариационные функционалы теорий упругости и оболочек для случая простых граничных условий, когда геометрические величины заданы на одном связном участке границы так же, как и статические (сюда включены и смешанные граничные условия — эти участки могут пересекаться). В более сложных случаях необходимо учитывать связь между перемещениями и усилиями на различных связных участках границы, влияющую либо на функционал, либо на дополнительные условия к нему. В этих случаях есть особенности и в методике вывода условий стационарности. Например, для многосвязных оболочек со статическими граничными условиями необходимо учитывать уравнения неразрывности контура, которые являются условиями - стационарности функционала Кастильяно и дополнительными условиями — для функционала Лагранжа. При вариационной формулировке любой сложной задачи нужно уделять особое внимание обеспечению полного набора независимых вариаций разрешающих функций. Тогда совокупность условий стационарности вместе с дополнительными условиями для используемого функционала представляют все уравнения, необходимые для правильной формулировки задачи, в том числе и граничных условий. В ряде случаев при решении задач со сложными граничными условиями можно использовать представление их как контактных задач, проводя искусственную линию контакта или поверхность контакта, при достаточно простых граничных условиях для каждой части. При этом дополнительными условиями к функционалам являются статические и (или) геометрические условия контакта. Ниже для функционалов Лагранжа и Кастильяно разобрано несколько характерных примеров, которые дают представление об общей методике учета сложных граничных условий при вариационной постановке задач теории упругости и теории оболочек. Для других функционалов можно использовать эту методику, а также теорию преобразования вариационных проблем с функционалами Лагранжа и Кастильяно в качестве исходных пунктов, а для теории оболочек — статико-геометрическую аналогию в вариационной форме (гл. 4, § 7). 2.1. Некоторые дополнительные сведения о связи перемещений с деформациями и напряжений с функциями напряжений понадобятся при обсуждении примеров со сложными граничными условиями. а) Векторы перемещений помощью формул Чезаро (см., например, [3.3])
Вектор углов поворота в данной точке связан с вектором перемещений в ее окрестности:
Чтобы перемещения определялись формулами (1) однозначно (независимо от пути интегрирования), необходимо чтобы равенства
выполнялись для любого замкнутого контура б) Перемещения Из этих формул следуют уравнения, которым должны удовлетворять деформации, чтобы вычисленные по ним перемещения были однозначными:
для любого замкнутого контура I на поверхности в) Функции напряжений Уравнения равновесия любой части
(которые получаются с помощью (1.45), гл. 4 и интегрирования по частям). Отсюда можно вывести дифференциальные уравнения равновесия с помощью формулы Грииа. Если вектор нагрузки
где контур I может состоять из нескольких замкнутых кривых. В случае односвязной оболочки эти уравнения представляют собой условия однозначности функций напряжений (независимости от пути интегрирования). В многосвлзной оболочке интегралы (6) по контуру, охватывающему отверстие, зависят от главного вектора и главного момента внешних сил, приложенных к контуру отверстия; поэтому они могут быть любыми наперед заданными величинами и определяют «статические дисторсии» (сравните с г) Функции напряжений в трехмерном теле определяются напряжениями с точностью не до шести констант, как перемещения — деформациями, а с точностью до произвольных функций, дающих нулевые напряжения и эквивалентных бесконечному множеству констант. Вероятно, поэтому для определения функций напряжений нет формул, аналогичных (1). При рассмотрении сложных граничных условий в теории упругости могут быть полезны равенства, выражающие главный вектор начала координат) через функции напряжений
Кроме того, нужно иметь в виду, что уравнения равновесия любой части тела представляют собой условия равенства нулю главного вектора и главного момента приложенных к ней сил:
Отсюда с помощью формулы Остроградского можно вывести дифференциальные уравнения равновесия (см., например, [3.3]). д) Дисторсии в теории упругости и теории оболочек. На основании теоремы едннствеииости теории упругости в односвязном теле при отсутствии внешних сил напряжения и деформации равны нулю. В поверхностно-многосвязном теле и при отсутствии нагрузок может существовать ненулевое напряженно-деформированное состояние, которое может быть получено следующим образом. Превратим миогосвязное тело в одиосвязное путем необходимого числа разрезов, сдвинем обе стороны сечеиий друг относительно друга и соединим сечения, убирая или добавляя материал там, где это необходимо, и снова получая миогосвязное тело. При этом векторы взаимных смещении
которые показывают, что Аналогичным образом вводятся дисторсии в многосвязной оболочке. Для оболочек существует лишь одно понятие многосвязиости, так что иеодносвязиая оболочка обладает свойствами, аналогичными тем, которые имеют пространственно-неодносвязные тела, и тем, которые имеют поверхностно-неодносвязпые трехмерные тела. Ниже мы увидим, что особые свойства пространственно-многосвязных тел связаны с уравнениями равновесия и условиями стационарности функционала Лагранжа, а поверхностно-многосвязных — с уравнениями неразрывности и условиями стационарности функционала Кастильяно. 2.2. Учет сложных граничных условий при использовании различных вариантов функционала Лагранжа в теории оболочек. а) Несколько связных участков контура с заданными перемещениями
Рис. 5.1. Два связных участка контура оболочки с заданными перемещениями, а) Края В этом случае функционалы Лагранжа Для функционала помощью формул (1.41) гл. 4 могут быть записаны в виде в
где Эти уравнения являются условиями стационарности функционала Кастильяно (см. § 2.3а). Для функционала
Рис. 5.2. Деформационные граничные условия для оболочки. а) Участок контура б) Несколько связных участков контура с заданными деформациями вектор и главный момент нагрузки. В этом случае функционалы
где Условия стационарности функционалов
где слагаемое
где условий стационарности функционала Лагранжа есть уравнения вида
которые уместно назвать уравнениями равновесия подкрепленных частей контура. Они являются дополнительными условиями к функционалу Кастильяно для данной задачи (см. § 2.36) и аналогичны уравнениям неразрывности контура (см. § 2.2а, в и § 2.3а). В частности, в случае многосвязной базисной поверхности оболочки, имеющей подкрепленные абсолютно жесткой шайбой отверстия (как на рис. 5.2, б), из функционала Лагранжа следуют уравнения равновесия контура отверстия вида (14), где интегралы берутся по замкнутому контуру.
Рис. 5.3. Два связных участка контура со статическими граничными условиями. Если подкрепленные участки контура не нагружены (величины в) Статические граничные условия в усилиях при многосвязной базисной поверхности оболочки (рис. 5.3,6). В этом случае отличие от табл. 4.1 имеют дополнительные условия функционала
Этот факт легко обнаружить при выводе функционала Уравнения неразрывности представляют собой условия однозначности перемещений, определяемых по данным деформациям; эти условия можно записать в виде (4), где I — любой замкнутый контур. Для односвязной области условия однозначности перемещений (4) следуют из уравнений неразрывности в области; для многосвязной области дифференциальных уравнений неразрывности недостаточно для (4), если замкнутый контур охватывает отверстие. Поэтому при переходе от (4) к уравнениям неразрывности в области необходимо сохранить для каждого отверстия по одному набору уравнений (15) вида (4). В случае геометрических граничных условий они выполняются автоматически. Проведенное рассуждение позволяет поставить для функционала Уравнения неразрывности контура (151 являются условиями стационарности функционала Кастильяно (см. § 2.3а) и связаны статико-геометрической аналогией с уравнениями равновесия контура (§§ 2.26, 2.36). 2.3. Учет сложных граничных условий в теории оболочек при использовании различных вариантов функционала Кастильяно. Разберем три примера граничных условий, аналогичных приведенным в § 2.2, и еще несколько интересных примеров, встречавшихся авторам в расчетной практике. При этом будем использовать статико-геометрическую аналогию и теорию преобразования вариационных проблем, в частности преобразование Фридрихса. а) Несколько связных участков контура с заданными усилиями
При выводе условий стационарности функционала Кастильяно при данных граничных условиях с использованием функций напряжений необходимо учитывать, что граничные значения функций напряжений определяются граничными условиями не однозначно, а с точностью до постоянных (шесть констант для каждого связного нагруженного участка). Выразив эти константы через величины В случае многосвязной оболочки (рис. 5.3,6), когда оба конца нагруженного участка совпадают, Замечание. Уравнения неразрывности контура отверстия были выведены авторами [5.3] в качестве условий стационарности функционала Кастильяно. Преобразование Фридрихса
Рис. 5.4. Граничные условия для оболочки, при которых на участках с заданными усилиями могут быть определены функции напряжений. а) Разность функций напряжений в точках При этом получение уравнений (15), а также (14) и др., как естественных и дополнительных условий различных функционалов, позволяет правильно учесть граничные условия и лучше понять физический смысл уравнений. Теория преобразований и расчетная практика позволяют рекомендовать такую взаимную проверку при решении сложных задач. Одни условия или стороны задачи легче и яснее формулируются в связи с одними функционалами, другие — с другими. Теория преобразования вариационных проблем служит инструментом для исследования всех сторон задачи и взаимной проверки различных вариационных (и дифференциальных) формулировок. б) Несколько участков контура с заданными функциями напряжений (рис. 5.4, а, б). Вообще говоря, задать функции напряжений из физических соображений в соответствии с условиями задачи нельзя: всегда задают усилия. Однако в случае одного связного участка контура со статическими граничными условиями легко по заданным усилиям В случае нескольких связных участков со статическими граничными условиями, описанном в § 2.3а, функции напряжений на каждом связном участке определяются с точностью до шести констант, которые нужно варьировать. В случаях, изображенных на рис. 5.4, задав функции напряжений на одном участке, на другом их можно определить однозначно. Действительно, при наличии абсолютно жесткого подкрепления (рис. 5.4,а) разность «углов напряжений» и функций напряжений в точках По аналогии с § 2.2а можно заключить, что при рассматриваемых граничных условиях имеет особенности функционал кроме них должны быть поставлены уравнения равновесия участков
Для функционала
Рис. 5.5. Балка-стенка (плоская задача теории упругости): коитур имеет два связных участка с заданными перемещениями и два — с заданными усилиями. в) Деформационные граничные условия при многосвязной базисной поверхности (рис. 5.2,6). В этом случае отличие от табл. 4.2 имеют дополнительные условия функционала г) Расчет жестко защемленной по боковым сторонам балки-стенки (плоская задача теории упругости) в функциях напряжений (рис. 5.5). Для решения плоской задачи теории упругости можно использовать функционалы теории оболочек, исключив члены, учитывающие кривизну и изгиб базисной поверхности. Функционал Кастильяно в декартовых координатах имеет вид
(контурный интеграл отсутствует, так как
и статические граничные условия. Общее решение уравнений равновесия имеет вид
На стороне
нагрузке на стороне
Из шести констант
где д) Использование смешанного функционала
Рис. 5.6. Оболочка типа гиперболического параболоида. Учет граничных условий для
Отсюда следует линейный закон распределения функции напряжений вдоль контурных кромок, который может быть представлен с помощью четырех параметров — значений Например, можно выбрать При этих граничных условиях, кроме уравнений в области и деформационных граничных условий:
из вариационного уравнения (1.7) для смешанного функционала следует уравнение (25) — условие обращения в нуль множителя при
Здесь Таким образом, мембранная часть граничных условий (22) реализуется линейным характером распределения функции напряжений вдоль кромок (рис. 5.6,б) и уравнениями (24), (25). Действительно, выполнение условий (24), т. е. В оболочках рассматриваемого вида условие (25) является весьма существенным, так как учитывает основную особенность их деформации, вызываемую их формой (две оси антисимметрии), — стремление к перекосу в плане даже при симметричной нагрузке. 2.4. Учет сложных граничных условий в теории упругости. В отличие от теории оболочек, в которой существует одно понятие многосвязной области, в трехмерной теории упругости необходимо в одних задачах учитывать пространственную многосвязность объема, занятого телом (например, полый шар), а в других — поверхностную многосвязность (например, тор). а) Несколько связных участков поверхности с заданными перемещениями (рис. 5.7). Сюда относятся в принципе и пространственно-неодносвяз-ные тела.
Рис. 5.7. Два связных участка поверхности с заданными перемещениями: А — упругое тело, В — абсолютно жесткое тело. В этом случае функционалы Лагранжа
которые следует включить в список дополнительных условий функционала С помощью преобразования Фридрихса функционала б) Несколько связных участков поверхности с заданными деформациями. Примерами таких граничных условий могут служить: контактная задача для жесткого штампа, вдавливаемого в упругое тело силой
Рис. 5.8. Деформационные граничные условия в теории упругости. а) Вдавливание абсолютно жесткого штампа В в упругое тело В этом случае, как и в аналогичных задачах теории оболочек (§ 2.26), все разновидности функционала Лагранжа, приведенные в табл. 3.1, должны быть дополнены слагаемыми неинтегрального вида
где Условия стационарности функционалов Лагранжа
Эти уравнения можно получить такими же различными способами, как подобные уравнения в § 2.26. Функционал Кастильяно при рассматриваемых граничных условиях имеет дополнительные условия вида (28). Этот факт можно обнаружить непосредственно либо при преобразовании Фридрихса функционала Лагранжа в) Несколько связных участков поверхности с заданными напряжениями (в том числе пространственно-многосвязные тела) (рис. 5 9). На каждом из этих
Рис. 5.9. Несколько связиых участков поверхности со статическими граничными условиями, а) Односвязное упругое тело А (иа верхней и нижней гранях заданы напряжения, боковые грани составляют связный участок поверхности с заданными перемещениями, В — абсолютно жесткое тело); б) пространственно-многосвязное упругое тело (тело с полостью). Рис. 5.7. Два связных участка поверхности с заданными перемещениями: А — упругое тело, В — абсолютно жесткое тело.участков функции напряжений определяются заданными напряжениями не однозначно, а с точностью до некоторых произвольных функций. Казалось бы, функционал Кастильяно должен иметь, как и в аналогичной задаче теории оболочек (§ 2.3а), специфические условия стационарности, которые согласовывали бы значения произвольных функций на разных участках. Но ни один вариант функционала Лагранжа, очевидно, не имеет в данной задаче никаких особых дополнительных условий, так как перемещения заданы на одном связном участке, то их не надо согласовывать, в отличие от аналогичной задачи теории оболочек, в которой наличие нескольких связных участков Из отсутствия в данной задаче каких-либо специфических условий стационарности функционала Кастильяно можно сделать вывод, что выбор упомянутых выше произвольных функций не влияет на напряженное состояние тела; другими словами, отсюда следует, что для данного поля напряжений а, удовлетворяющего уравнениям равновесия в объеме тела и статическим граничным условиям на поверхности, можно найти поле функций напряжений, которое на каждом связном участке с заданными напряжениями имеет любые наперед заданные значения г) Статические граничные условия в напряжениях для поверхностно-многосвязного тела (например, тор) (рис. 5.10).
Рис. 5.10. Поверхностно-многосвязное тело — тор. В данном случае имеются особенности в дополнительных условиях функционала Лагранжа Поверхностно-многосвязные тела (типа тора) могут иметь днсторсии, см. § 2.1 д. Для решения задач с дисторсиями в перемещениях необходимо делать разрезы, превращающие область в односвязную, и затем решать контактную задачу, склеивая эти разрезы. Функционал Лагранжа в деформациях Преобразование Фридрихса позволяет определить, что при данных граничных условиях уравнения вида (3) являются условиями стационарности функционала Кастильяно, несмотря на то, что вся поверхность Преобразование Фридрихса показывает также, каким образом из функционала Кастильяно следуют уравнения неразрывности контура (3). Построим из
Смысл Выходит, чтобы правильно решить задачу теории упругости для поверхностно-многосвязиой области V с помощью функционала Кастильяно, необходимо рассматривать в качестве варьируемых параметров не только непрерывные функции напряжений, но и имеющие разрывы на некотором контуре Очевидно, разрывные функции напряжений можно рассматривать и для односвязных тел, но получающиеся при варьировании разрывов уравнения вида (3) являются в этом случае следствием уравнений неразрывности Сен-Венана.
|
1 |
Оглавление
|