§ 2. Особенности вариационных формулировок при сложных граничных условиях, в том числе для многосвязных областей

В гл. 3 и 4 приведены вариационные функционалы теорий упругости и оболочек для случая простых граничных условий, когда геометрические величины заданы на одном связном участке границы так же, как и статические (сюда включены и смешанные граничные условия — эти участки могут пересекаться). В более сложных случаях необходимо учитывать связь между перемещениями и усилиями на различных связных участках границы, влияющую либо на функционал, либо на дополнительные условия к нему. В этих

случаях есть особенности и в методике вывода условий стационарности. Например, для многосвязных оболочек со статическими граничными условиями необходимо учитывать уравнения неразрывности контура, которые являются условиями - стационарности функционала Кастильяно и дополнительными условиями — для функционала Лагранжа.

При вариационной формулировке любой сложной задачи нужно уделять особое внимание обеспечению полного набора независимых вариаций разрешающих функций. Тогда совокупность условий стационарности вместе с дополнительными условиями для используемого функционала представляют все уравнения, необходимые для правильной формулировки задачи, в том числе и граничных условий.

В ряде случаев при решении задач со сложными граничными условиями можно использовать представление их как контактных задач, проводя искусственную линию контакта или поверхность контакта, при достаточно простых граничных условиях для каждой части. При этом дополнительными условиями к функционалам являются статические и (или) геометрические условия контакта.

Ниже для функционалов Лагранжа и Кастильяно разобрано несколько характерных примеров, которые дают представление об общей методике учета сложных граничных условий при вариационной постановке задач теории упругости и теории оболочек. Для других функционалов можно использовать эту методику, а также теорию преобразования вариационных проблем с функционалами Лагранжа и Кастильяно в качестве исходных пунктов, а для теории оболочек — статико-геометрическую аналогию в вариационной форме (гл. 4, § 7).

2.1. Некоторые дополнительные сведения о связи перемещений с деформациями и напряжений с функциями напряжений понадобятся при обсуждении примеров со сложными граничными условиями.

а) Векторы перемещений и углов поворота в любой точке В трехмерного тела можно определить по известным начальным значениям в точке А и известным деформациям с

помощью формул Чезаро (см., например, [3.3])

Вектор углов поворота в данной точке связан с вектором перемещений в ее окрестности:

Чтобы перемещения определялись формулами (1) однозначно (независимо от пути интегрирования), необходимо чтобы равенства

выполнялись для любого замкнутого контура Отсюда, используя формулу Стокса, можно вывести дифференциальные уравнения неразрывности Сен-Венана (см., например, [5.13]).

б) Перемещения и углы поворота в точке В базисной поверхности оболочки при известных их значениях в начальной точке А и известных деформациях поверхности определяются формулами (1.41) гл. 4.

Из этих формул следуют уравнения, которым должны удовлетворять деформации, чтобы вычисленные по ним перемещения были однозначными:

для любого замкнутого контура I на поверхности (выражение получается из (1.41) гл. 4 интегрированием по частям). Из (4) могут быть с помощью формулы Грина выведены уравнения неразрывности (1.13) гл. 4. Векторы по аналогии с в) назовем главным вектором и «главным моментом» деформаций элементов контура

в) Функции напряжений и «углы напряжений» в оболочке при известных усилиях можно определить с точностью до начальных значений в точке по формулам (1.45) гл. 4.

Уравнения равновесия любой части оболочки, ограниченной замкнутым контуром представляют собой условия равенства нулю главного вектора и главного момента внешних и внутренних сил, приложенных к этой части:

(которые получаются с помощью (1.45), гл. 4 и интегрирования по частям). Отсюда можно вывести дифференциальные уравнения равновесия с помощью формулы Грииа. Если вектор нагрузки выразить через то поверхностные интегралы можно преобразовать в контурные; получим уразнения равновесия (5) в виде

где контур I может состоять из нескольких замкнутых кривых. В случае односвязной оболочки эти уравнения представляют собой условия однозначности функций напряжений (независимости от пути интегрирования). В многосвлзной оболочке интегралы (6) по контуру, охватывающему отверстие, зависят от главного вектора и главного момента внешних сил, приложенных к контуру отверстия; поэтому они могут быть любыми наперед заданными величинами и определяют «статические дисторсии» (сравните с Следовательно, если в многосвязной оболочке к контуру отверстия приложена несамоуравновешениая нагрузка, то функции напряжений могут быть многозначными с многозначностями типа дисторсий.

г) Функции напряжений в трехмерном теле определяются напряжениями с точностью не до шести констант, как перемещения — деформациями, а с точностью до произвольных функций, дающих нулевые напряжения и эквивалентных бесконечному множеству констант. Вероятно, поэтому для определения функций напряжений нет формул, аналогичных (1).

При рассмотрении сложных граничных условий в теории упругости могут быть полезны равенства, выражающие главный вектор и главный момент поверхностных сил (относительно

начала координат) через функции напряжений

Кроме того, нужно иметь в виду, что уравнения равновесия любой части тела представляют собой условия равенства нулю главного вектора и главного момента приложенных к ней сил:

Отсюда с помощью формулы Остроградского можно вывести дифференциальные уравнения равновесия (см., например, [3.3]).

д) Дисторсии в теории упругости и теории оболочек. На основании теоремы едннствеииости теории упругости в односвязном теле при отсутствии внешних сил напряжения и деформации равны нулю. В поверхностно-многосвязном теле и при отсутствии нагрузок может существовать ненулевое напряженно-деформированное состояние, которое может быть получено следующим образом.

Превратим миогосвязное тело в одиосвязное путем необходимого числа разрезов, сдвинем обе стороны сечеиий друг относительно друга и соединим сечения, убирая или добавляя материал там, где это необходимо, и снова получая миогосвязное тело. При этом векторы взаимных смещении и углов поворота До соединяемых сечений выражаются формулами (см., например, [3.3, 5.13])

которые показывают, что представляет собой жесткое смещение, так что края склеиваемых сечений должны иметь одинаковую форму. Этот способ получения напряжений в поверхностно-многосвязиом теле (типа тора) называется дисгарсиями (или дислокациями) Вольтерра, которые характеризуются векторами и .

Аналогичным образом вводятся дисторсии в многосвязной оболочке. Для оболочек существует лишь одно понятие многосвязиости, так что иеодносвязиая оболочка обладает свойствами, аналогичными тем, которые имеют пространственно-неодносвязные

тела, и тем, которые имеют поверхностно-неодносвязпые трехмерные тела. Ниже мы увидим, что особые свойства пространственно-многосвязных тел связаны с уравнениями равновесия и условиями стационарности функционала Лагранжа, а поверхностно-многосвязных — с уравнениями неразрывности и условиями стационарности функционала Кастильяно.

2.2. Учет сложных граничных условий при использовании различных вариантов функционала Лагранжа в теории оболочек.

а) Несколько связных участков контура с заданными перемещениями (рис. 5.1 ,а,б).

Рис. 5.1. Два связных участка контура оболочки с заданными перемещениями, а) Края и жестко закреплены; б) контур оболочки и контур отверстия жестко закреплены.

В этом случае функционалы Лагранжа и их дополнительные условия и условия стационарности не имеют никаких особенностей по сравнению с табл. 4.1. При переходе от требования непрерывности перемещений должны быть сформулированы в деформациях; в рассматриваемом случае граничных условий при этом появляются специфические уравнения, отличные от приведенных в табл. 4.1.

Для функционала дополнительные условия (1.42) гл. 4 (деформационные граничные условия) содержат не всю информацию о взаимных перемещениях различных участков контура, поэтому, кроме них, должны быть поставлены дополнительные условия в деформациях, задающие взаимные перемещения и углы поворота различных связных участков части контура С, на которой поставлены геометрические граничные условия. Эти дополнительные условия с

помощью формул (1.41) гл. 4 могут быть записаны в виде в

где заданные векторы перемещений в точках принадлежащих различным связным участкам части контура заданные векторы углов поворота в точках

Эти уравнения являются условиями стационарности функционала Кастильяно (см. § 2.3а).

Для функционала из шести условий (10) нужно ставить лишь три, связывающие перемещения и углы поворота различных связных участков

Рис. 5.2. Деформационные граничные условия для оболочки. а) Участок контура подкреплен абсолютно жестким телом; б) отверстие подкреплено абсолютно жесткой шайбой

б) Несколько связных участков контура с заданными деформациями гц (например, рис. 5.2: а) часть контура подкреплена незакрепленным абсолютно жестким телом; б) отверстие, подкрепленное абсолютно жесткой шайбой). Здесь фактически смешанные граничные условия: на подкрепленных участках контура известны как деформации, так и главный

вектор и главный момент нагрузки. В этом случае функционалы отличаются от представленных в табл. 4.1 тем, что содержат слагаемые неинтегрального вида, представляющие собой работу внешних сил на соответствующих им перемещениях:

где компоненты главного вектора, компоненты главного момента нагрузки на жесткое подкрепление относительно какой-либо точки расположенной в жестком подкрепляющем элементе, компоненты вектора перемещений и вектора углов поворота в этой точке. Заменить в этих слагаемых векторы перемещений и углов поворота на деформации невозможно, так что функционал зависит не только от деформаций, но и от перемещений и углов поворота (по шесть параметров на каждый подкрепленный участок).

Условия стационарности функционалов в данном случае содержат, кроме равенств, приведенных в табл. 4.1, еще уравнения интегрального вида (см. ниже (14)), по шесть на каждый участок. Эти условия легче всего вывести из функционала Лагранжа который в данном случае имеет вид

где слагаемое представлено в табл. 4.1. Деформационные граничные условия (условия недеформируемости подкрепленных частей контура), записанные в перемещениях, представляют собой дифференциальные уравнения относительно перемещений; их общее решение можно представить в виде

где какое-либо частное решение, неизвестные векторы (произвольные постоянные), для определения которых нет геометрических условий. Эти константы можно выразить через векторы перемещений и углов поворота подкрепленного участка, участвующие в (11). Варьируя найдем, что среди

условий стационарности функционала Лагранжа есть уравнения вида

которые уместно назвать уравнениями равновесия подкрепленных частей контура. Они являются дополнительными условиями к функционалу Кастильяно для данной задачи (см. § 2.36) и аналогичны уравнениям неразрывности контура (см. § 2.2а, в и § 2.3а).

В частности, в случае многосвязной базисной поверхности оболочки, имеющей подкрепленные абсолютно жесткой шайбой отверстия (как на рис. 5.2, б), из функционала Лагранжа следуют уравнения равновесия контура отверстия вида (14), где интегралы берутся по замкнутому контуру.

Рис. 5.3. Два связных участка контура со статическими граничными условиями.

Если подкрепленные участки контура не нагружены (величины равны нулю), то функционал (12) не отличается от (табл. 4.1), а среди его условий стационарности есть однородные уравнения вида (14).

в) Статические граничные условия в усилиях при многосвязной базисной поверхности оболочки (рис. 5.3,6). В этом случае отличие от табл. 4.1 имеют

дополнительные условия функционала кроме уравнений неразрывности в области для него должны быть поставлены еще дополнительные условия интегрального вида, которые уместно назвать уравнениями неразрывности контура отверстия:

Этот факт легко обнаружить при выводе функционала из При этом условие непрерывности перемещений, которое для выполняется автоматически за счет выбора пространства состояний, переходит в систему уравнений неразрывности, среди которых в данной задаче есть (15). Ниже дан вывод условий (15).

Уравнения неразрывности представляют собой условия однозначности перемещений, определяемых по данным деформациям; эти условия можно записать в виде (4), где I — любой замкнутый контур. Для односвязной области условия однозначности перемещений (4) следуют из уравнений неразрывности в области; для многосвязной области дифференциальных уравнений неразрывности недостаточно для (4), если замкнутый контур охватывает отверстие. Поэтому при переходе от (4) к уравнениям неразрывности в области необходимо сохранить для каждого отверстия по одному набору уравнений (15) вида (4). В случае геометрических граничных условий они выполняются автоматически.

Проведенное рассуждение позволяет поставить для функционала задачу с дисторсиями (см. § 2.1д). В этом случае уравнения (15) неоднородные; в правых частях их стоят заданные взаимные перемещения и углы поворота двух краев разреза.

Уравнения неразрывности контура (151 являются условиями стационарности функционала Кастильяно (см. § 2.3а) и связаны статико-геометрической аналогией с уравнениями равновесия контура (§§ 2.26, 2.36).

2.3. Учет сложных граничных условий в теории оболочек при использовании различных вариантов функционала Кастильяно. Разберем три примера граничных условий, аналогичных приведенным в § 2.2, и еще несколько интересных примеров, встречавшихся авторам в расчетной практике. При этом будем использовать статико-геометрическую аналогию и теорию преобразования вариационных проблем, в частности преобразование Фридрихса.

а) Несколько связных участков контура с заданными усилиями (рис. 5.3, а,б). Этот случай можно рассмотреть так же, как в § 2.26, пользуясь вариационной формой статико-геометрической аналогии. Функционалы при этих граничных условиях отличаются от представленных в табл. 4.2 слагаемыми неинтегрального вида, см. (4), (5):

При выводе условий стационарности функционала Кастильяно при данных граничных условиях с использованием функций напряжений необходимо учитывать, что граничные значения функций напряжений определяются граничными условиями не однозначно, а с точностью до постоянных (шесть констант для каждого связного нагруженного участка). Выразив эти константы через величины и варьируя последние, можно обнаружить, что среди условий стационарности функционала Кастильяно есть уравнения неразрывности контура вида (15), где деформации должны быть выражены через усилия или функции напряжений.

В случае многосвязной оболочки (рис. 5.3,6), когда оба конца нагруженного участка совпадают, представляют собой заданные дисторсии. При отсутствии дисторсий и функционал Кастильяно не отличается по виду от табл. 4.2. Но приведенное рассуждение показывает, что величины все равно нужно варьировать, и в результате получаются однородные уравнения неразрывности контура.

Замечание. Уравнения неразрывности контура отверстия были выведены авторами [5.3] в качестве условий стационарности функционала Кастильяно. Преобразование Фридрихса показало, что эти условия являются дополнительными для функционала Лагранжа после чего они были получены путем рассуждений, приведенных в § 2.2в.

Рис. 5.4. Граничные условия для оболочки, при которых на участках с заданными усилиями могут быть определены функции напряжений. а) Разность функций напряжений в точках определяется главным вектором и главным моментом внешних сил, приложенных к подкрепленному участку разность функций напряжений в точках определяется из условий равновесия и симметрии.

При этом получение уравнений (15), а также (14) и др., как естественных и дополнительных условий различных функционалов, позволяет правильно учесть граничные условия и лучше понять физический смысл уравнений. Теория преобразований и расчетная практика позволяют рекомендовать такую взаимную проверку при решении сложных задач. Одни условия или стороны задачи легче и яснее формулируются в связи с одними функционалами, другие — с другими. Теория преобразования вариационных проблем служит инструментом для исследования всех сторон задачи и взаимной проверки различных вариационных (и дифференциальных) формулировок.

б) Несколько участков контура с заданными функциями напряжений (рис. 5.4, а, б). Вообще говоря,

задать функции напряжений из физических соображений в соответствии с условиями задачи нельзя: всегда задают усилия.

Однако в случае одного связного участка контура со статическими граничными условиями легко по заданным усилиям определить удовлетворяющие этим условиям функции напряжений наоборот, по функциям напряжений определить усилия (см. § 2.1в). В этом случае годятся любые из всех, отличающихся друг от друга на слагаемые типа «жесткого смещения».

В случае нескольких связных участков со статическими граничными условиями, описанном в § 2.3а, функции напряжений на каждом связном участке определяются с точностью до шести констант, которые нужно варьировать.

В случаях, изображенных на рис. 5.4, задав функции напряжений на одном участке, на другом их можно определить однозначно. Действительно, при наличии абсолютно жесткого подкрепления (рис. 5.4,а) разность «углов напряжений» и функций напряжений в точках определяется главным вектором и главным моментом внешних сил, приложенных к участку (см. (5), (6)), которые в данном случае известны. Для многосвязных оболочек иногда можно из некоторых соображений (например, из симметрии) определить главный вектор и главный момент усилий, действующих в сечении (рис. 5.4,б), а следовательно, и разность «углов напряжений» и функций напряжений в точках при нагрузках, указанных на рис. они равны нулю. Эту задачу можно решать как способом, описанным в § 2.3а, так и описанным ниже способом, в котором константы в уже найдены из соображений симметрии и не варьируются. В любом случае необходимо использовать разрывные функции напряжений (см. § 2.1в).

По аналогии с § 2.2а можно заключить, что при рассматриваемых граничных условиях имеет особенности функционал Статические граничные условия в усилиях (1.26), гл. 4, содержат не всю информацию о нагрузке на различных участках контура;

кроме них должны быть поставлены уравнения равновесия участков (рис. 5.4) или, что то же самое, уравнения, согласующие значения функций напряжений и «углов напряжений» в точках А и В:

Для функционала из шести условий (17) нужно ставить лишь три (сравните с § 2.2а).

Рис. 5.5. Балка-стенка (плоская задача теории упругости): коитур имеет два связных участка с заданными перемещениями и два — с заданными усилиями.

в) Деформационные граничные условия при многосвязной базисной поверхности (рис. 5.2,6). В этом случае отличие от табл. 4.2 имеют дополнительные условия функционала кроме уравнений равновесия в области для него должны быть поставлены дополнительные условия интегрального вида (14) (уравнения равновесия контура отверстия), по шесть на каждое отверстие в поверхности Эти дополнительные условия функционала можно получить тремя путями: 1) формально по статико-геометрической аналогии с уравнениями неразрывности контура (§ 2.2в); 2) при преобразовании Фридрихса функционала Лагранжа (см. § 2.26); 3) с помощью рассуждений, аналогичных проведенным в § 2.2в, используя вывод уравнений равновесия из условий (5).

г) Расчет жестко защемленной по боковым сторонам балки-стенки (плоская задача теории упругости) в функциях напряжений (рис. 5.5). Для решения плоской задачи теории упругости можно использовать

функционалы теории оболочек, исключив члены, учитывающие кривизну и изгиб базисной поверхности. Функционал Кастильяно в декартовых координатах имеет вид

(контурный интеграл отсутствует, так как Дополнительные условия к нему — уравнения равновесия в области

и статические граничные условия.

Общее решение уравнений равновесия имеет вид

На стороне можно выбрать функцию напряжений и ее нормальную производную в виде

нагрузке на стороне соответствуют любые из величин вида

Из шести констант три можно выбрать произвольно и не варьировать, так как изменение трех констант соответствует прибавлению к функции полинома первой степени а это не влияет на напряжения и, следовательно, на значения функционала. Например, выберем тогда нужно находить из условий стационарности функционала (18), среди которых есть уравнения

где (см. гл. 4, § 1), а должны быть выражены через

д) Использование смешанного функционала (табл. 4.5) для расчета пологой изотропной оболочки типа гиперболического параболоида (рис. 5.6, а) с граничными условиями вида

Рис. 5.6. Оболочка типа гиперболического параболоида.

Учет граничных условий для не связан с какими-либо затруднениями. Статические граничные условия должны быть представлены через функцию напряжений

Отсюда следует линейный закон распределения функции напряжений вдоль контурных кромок, который может быть представлен с помощью четырех параметров — значений функции напряжений в углах. Три из этих параметров можно зафиксировать, так как функции напряжений, отличающиеся друг от друга на полином первой степени а , дают одни и те же усилия а значит, одно и то же значение функционала Другими словами, стационарное значение функционала достигается на любом элементе из множества функций напряжений, отличающихся друг от друга слагаемыми вида а и поэтому, чтобы найти один какой-либо представитель этого множества, параметры с следует зафиксировать.

Например, можно выбрать и получить распределение функции напряжений по контуру с одним неизвестным параметром (рис. 5.6,6). Тогда на кромках и а на кромках и соответственно Таким образом, варьируемыми параметрами на контуре являются функция и число

При этих граничных условиях, кроме уравнений в области и деформационных граничных условий:

из вариационного уравнения (1.7) для смешанного функционала следует уравнение (25) — условие

обращения в нуль множителя при

Здесь кривизна кручения, модуль упругости, коэффициент Пуассона материала, толщина оболочки. Выражение (25) представляет собой интегральную зависимость, связывающую функцию напряжений заданной деформацией перекоса (рис. 5.6, в), выраженной в левой части (25) через смещения угловых точек. При граничных условиях (22) левая часть (25) равна нулю.

Таким образом, мембранная часть граничных условий (22) реализуется линейным характером распределения функции напряжений вдоль кромок (рис. 5.6,б) и уравнениями (24), (25). Действительно, выполнение условий (24), т. е. на контуре, еще недостаточно для реализации условий отсутствия тангенциальных смещений. Остается возможность деформации перекоса (рис. 5.6,в), которая и фиксируется условием (25).

В оболочках рассматриваемого вида условие (25) является весьма существенным, так как учитывает основную особенность их деформации, вызываемую их формой (две оси антисимметрии), — стремление к перекосу в плане даже при симметричной нагрузке.

2.4. Учет сложных граничных условий в теории упругости. В отличие от теории оболочек, в которой существует одно понятие многосвязной области, в

трехмерной теории упругости необходимо в одних задачах учитывать пространственную многосвязность объема, занятого телом (например, полый шар), а в других — поверхностную многосвязность (например, тор).

а) Несколько связных участков поверхности с заданными перемещениями (рис. 5.7). Сюда относятся в принципе и пространственно-неодносвяз-ные тела.

Рис. 5.7. Два связных участка поверхности с заданными перемещениями: А — упругое тело, В — абсолютно жесткое тело.

В этом случае функционалы Лагранжа не отличаются от представленных в табл. 3.1, а имеет те же особенности, что и функционал в теории оболочек (§ 2.2а) с той разницей, что взаимные перемещения и углы поворота различных связных участков части поверхности могут быть выражены через деформации с помощью формул Чезаро (1) и задаются уравнениями

которые следует включить в список дополнительных условий функционала

С помощью преобразования Фридрихса функционала для данной задачи можно выяснить, что уравнения (26) являются условиями стационарности функционала Кастильяно и что для правильного решения ее с помощью функционала Кастильяно следует рассматривать не только непрерывные функции напряжений, но и имеющие разрывы на линиях, соединяющих различные участки (сравните с § 2.4г).

б) Несколько связных участков поверхности с заданными деформациями. Примерами таких граничных условий могут служить: контактная задача для жесткого штампа, вдавливаемого в упругое тело силой резиновый поршень, подкрепленный стальной пластиной; упругое тело с жесткими включениями (прост-ранственно-многосвязное тело) (рис. 5.8,а, б, в).

Рис. 5.8. Деформационные граничные условия в теории упругости.

а) Вдавливание абсолютно жесткого штампа В в упругое тело б) упругое тело А между абсолютно жесткими телами в) упругое тело с жестким включением.

В этом случае, как и в аналогичных задачах теории оболочек (§ 2.26), все разновидности функционала Лагранжа, приведенные в табл. 3.1, должны быть дополнены слагаемыми неинтегрального вида

где — главный вектор и главный момент нагрузки на подкрепленный участок (или на штамп).

Условия стационарности функционалов Лагранжа содержат, кроме равенств, приведенных в табл. 3.1, уравнения равновесия подкрепленных участков поверхности интегрального вида, по шесть на каждый участок (в соответствии с числом варьируемых параметров: по три компонента векторов

Эти уравнения можно получить такими же различными способами, как подобные уравнения в § 2.26.

Функционал Кастильяно при рассматриваемых граничных условиях имеет дополнительные условия вида (28). Этот факт можно обнаружить непосредственно либо при преобразовании Фридрихса функционала Лагранжа . С помощью формул (7) эти условия можно записать в функциях напряжений.

в) Несколько связных участков поверхности с заданными напряжениями (в том числе пространственно-многосвязные тела) (рис. 5 9). На каждом из этих

Рис. 5.9. Несколько связиых участков поверхности со статическими граничными условиями, а) Односвязное упругое тело А (иа верхней и нижней гранях заданы напряжения, боковые грани составляют связный участок поверхности с заданными перемещениями, В — абсолютно жесткое тело); б) пространственно-многосвязное упругое тело (тело с полостью).

Рис. 5.7. Два связных участка поверхности с заданными перемещениями: А — упругое тело, В — абсолютно жесткое тело.участков функции напряжений определяются заданными напряжениями не однозначно, а с точностью до некоторых произвольных функций. Казалось бы, функционал Кастильяно должен иметь, как и в аналогичной задаче теории оболочек (§ 2.3а), специфические условия стационарности, которые согласовывали бы значения произвольных функций на разных участках. Но ни один вариант функционала Лагранжа, очевидно, не имеет в данной задаче никаких особых дополнительных условий, так как связное множество; преобразование Фридрихса показывает, что и функционал Кастильяно не имеет никаких особых условий стационарности по сравнению с табл. 3.2. Отсутствие в данном случае специальных уравнений Следует и из физических соображений: так как

перемещения заданы на одном связном участке, то их не надо согласовывать, в отличие от аналогичной задачи теории оболочек, в которой наличие нескольких связных участков обязательно связано с существованием нескольких связных участков либо с многосвязностью базисной поверхности.

Из отсутствия в данной задаче каких-либо специфических условий стационарности функционала Кастильяно можно сделать вывод, что выбор упомянутых выше произвольных функций не влияет на напряженное состояние тела; другими словами, отсюда следует, что для данного поля напряжений а, удовлетворяющего уравнениям равновесия в объеме тела и статическим граничным условиям на поверхности, можно найти поле функций напряжений, которое на каждом связном участке с заданными напряжениями имеет любые наперед заданные значения лишь бы эти значения удовлетворяли условию

г) Статические граничные условия в напряжениях для поверхностно-многосвязного тела (например, тор) (рис. 5.10).

Рис. 5.10. Поверхностно-многосвязное тело — тор.

В данном случае имеются особенности в дополнительных условиях функционала Лагранжа по сравнению с табл. 3.1: в список его дополнительных условий следует включить уравнения интегрального вида (3), по шесть уравнений для каждой степени неодносвязносги. Эти уравнения можно вывести путем таких же рассуждений, как в § 2.2 для оболочек, с использованием вывода уравнений неразрывности из справедливости равенств (3) для каждого замкнутого контура.

Поверхностно-многосвязные тела (типа тора) могут иметь днсторсии, см. § 2.1 д. Для решения задач с дисторсиями в перемещениях необходимо делать разрезы, превращающие область в односвязную, и затем решать контактную задачу, склеивая эти разрезы. Функционал Лагранжа в деформациях позволяет решать эту задачу, не делая разрезов; дополнительные условия (3) в этом случае неоднородные: в правых частях их стоят заданные величины дисторсий.

Преобразование Фридрихса позволяет определить, что при данных граничных условиях уравнения вида (3) являются условиями стационарности функционала Кастильяно, несмотря на то, что вся поверхность представляет собой единственный связный участок с заданными напряжениями (в отличие от соответствующей задачи теории оболочек, в которой есть два различных участка со статическими граничными условиями).

Преобразование Фридрихса показывает также, каким образом из функционала Кастильяно следуют уравнения неразрывности контура (3). Построим из полный функционал внеся в него все дополнительные условия, в том числе и (3), с множителями Лагранжа; получим

Смысл можно выяснить, если предположить, что функции могут иметь разрывы вдоль контура тогда из вариационного уравнения следует, что представляют собой постоянные величины разрывов некоторых комбинаций компонентов на контуре

Выходит, чтобы правильно решить задачу теории упругости для поверхностно-многосвязиой области V с помощью функционала Кастильяно, необходимо рассматривать в качестве варьируемых параметров не только непрерывные функции напряжений, но и имеющие разрывы на некотором контуре Условия стационарности вида (3) получаются при варьировании величии разрывов.

Очевидно, разрывные функции напряжений можно рассматривать и для односвязных тел, но получающиеся при варьировании разрывов уравнения вида (3) являются в этом случае следствием уравнений неразрывности Сен-Венана.