Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

В данной главе приведены необходимые для чтения книги сведения из вариационного исчисления. Подробное изложение с доказательствами можно найти в [1.3], а также в [1.6, 1.7].

§ 1. Формулировка вариационной задачи

Классическое вариационное исчисление имеет дело с отысканием максимумов или минимумов функционалов, имеющих вид определенных интегралов:

Область определения функционала -множество непрерывных или непрерывно-дифференцируемых функций (возможно, векторных или тензорных), определенных в области -мерного (чаще всего одно-, двух- или трехмерного) евклидова пространства. Функция может зависеть не только от функции и, но и от ее частных производных.

Множество функций можно считать линейным пространством (см. Приложение 1), если определить на нем обычным образом операции сложения и умножения на число. Это линейное пространство можно превратить в (бесконечномерное) евклидово пространство если ввести скалярное произведение с помощью равенства

Пополнение евклидова пространства является гильбертовым пространством

На функции могут быть наложены дополнительные условия в форме равенств

В этом случае вариационная задача — задача об условном экстремуме формулируется следующим образом: среди всех функций удовлетворяющих условию (3), найти такую, для которой функционал (1) имеет экстремум. Условие (3) обычно имеет вид системы дифференциальных (а иногда и алгебраических) уравнений.

Вариационную задачу без дополнительных условий называют свободной, а задачу об условном экстремуме — несвободной.

Вариационная задача является обобщением задачи об отыскании экстремума функции нескольких переменных. Решение последней задачи есть конечный набор значений аргументов, реализующий экстремум данной функции. Решением вариационной задачи является неизвестная функция, реализующая экстремум функционала. Связь между этими задачами можно увидеть, рассматривая функцию как бесконечный набор аргументов. Аргументов в этом наборе столько же, сколько точек в множестве каждой точке поставлен в соответствие аргумент функционала

Если в обычной экстремальной задаче необходимое условие экстремума представляет собой систему конечного числа уравнений (алгебраических или трансцендентных), то условия экстремума (или стационарности, см. § 2) вариационной задачи выражаются бесконечной системой подобных уравнений — дифференциальными уравнениями (уравнениями Эйлера, см. §§ 2, 3).

Вариационная задача отличается от обычной экстремальной не только количеством нензвестных, но и характером наложенных на них связей: значения функции и, являющиеся аргументами функционала (1), обычно связаны между собой условиями непрерывности или дифференцируемости. Именно это приводит к различиям в методах решения.

В вариационном исчислении различают классические задачи, имеющие ограничения в форме равенств, и неклассические задачи, ограничения в которых могут быть в виде неравенств и в других формах. В данной книге рассматриваются классические вариационные задачи, с помощью которых формулируются вариационные принципы механики твердого деформируемого тела.