Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 2. Преобразование задач о стационарном значенииВ данном параграфе изложены основные положения теории преобразования вариационных проблем Р. Куранта и Д. Гильберта [0.9] с точки зрения стационарности функционалов. Вопросы исследования экстремальных свойств функционалов, полученных в соответствии с этой теорией, обсуждаются в § 3. Рассматриваемая в §§ 2 и 3 область преобразований несколько шире, чем это предусмотрено в [0.9]. В эту область включены и преобразования функционалов с исключенными множителями Лагранжа. Эти функционалы обладают интересными свойствами (см. гл. 3 и 4). 2.1. Основные определения.Пусть требуется найти точку стационарности функционала
при дополнительных условиях в форме равенств
Функция Условия стационарности данной вариационной задачи (1), (2) (уравнения Эйлера и естественные граничные условия) будем называть естественными условиями, в отличие от дополнительных условий (2). Теория Куранта — Гильберта построена на основе двух общих положений. Первое положение очевидно и состоит в том, что любое из условий стационарности функционала (полного или частного) можно включить в список дополнительных условий, причем полученная вариационная задача эквивалентна исходной. Второе заключается в использовании метода множителей Лагранжа для учета дополнительных условий; эквивалентность получающейся при этом вариационной задачи с исходной доказана в гл. 1. Во многих задачах, например для выпуклых функционалов, использование этих двух положений позволяет проследить и за изменением экстремальных свойств функционалов (см. § 3). В ряде задач без ограничений можно искусственно ввести дополнительные условия, чтобы затем внести их в функционал с множителями Лагранжа и производить дальнейшие преобразования. Эта идея оказалась очень плодотворной. Она позволяет получить множество различных формулировок одной и той же вариационной задачи с различными переменными и, в частности, осуществлять важное преобразование Фридрихса (см. § 2.4). 2.2. Вывод полных функционалов.Как показано в гл. 1, существует два способа преобразовать частный функционал а) Преобразование частного функционала в полный в усеченном пространстве состояний с помощью общих решений уравнения (2). В тех случаях, когда уравнение (2) имеет общее решение
задачу (1) с ограничением (2) можно заменить задачей об отыскании точки стационарности полного функционала
в усеченном пространстве Пространство Для одного и того же уравнения (2) может существовать несколько различных форм общих решений (3) (см., например, гл. 3, § 2). Вообще говоря, задача
о стационарности функционала (4) не эквивалентна задаче (1), (2). Это подтверждается простым примером [5.3]. Пусть Чтобы обеспечить эквивалентность задач (1), (2) и (5), необходимо потребовать, чтобы общее решение (3) удовлетворяло еще одному условию: при всех
должно быть общим решением уравнения
и все условия, содержащиеся в определении условной стационарности (гл. 1, § 2), выполнены. Обычно на общее решение (3) накладывают более сильное требование невырожденности: требуют, чтобы производная была невырожденным линейным оператором при всех значениях б) Вывод полного функционала в расширенном пространстве состояний из частного с помощью множителей Лагранжа. Метод множителей Лагранжа для учета дополнительных условий (2) (см. гл. 1) приводит к построению нового функционала
В литературе функционал (8) часто называют функционалом Лагранжа вариационной задачи (1), (2). Мы не будем пользоваться этим термином, оставив его для функционала, участвующего в формулировке принципа Лагранжа (принцип минимума потенциальной энергии) в теории упругости и теории оболочек. Функционал (8), как и все функционалы без дополнительных условий, полный. Вариационная задача (1), (2) при этом переходит в следующую:
Здесь превращение частного функционала в полный достигается ценой увеличения количества неизвестных: нужно искать стационарное значение Условия стационарности функционала (8) имеют вид
Уравнение (11) есть дополнительное условие (2) к функционалу (1), а
В гл. I показано, что существует взаимно однозначное соответствие между точками условной стационарности Значение соответствующее точке условной стационарности в) Вывод полного функционала в усеченном пространстве состояний из полного функционала в расширенном пространстве. Пусть
эквивалентный Действительно, это преобразование можно разбить на два этапа. Сначала, в соответствии с первым общим положением теории преобразования вариационных проблем (§ 2.1), наложим условие стационарности г) Вывод полного функционала с исключенными множителями Лагранжа. Пусть полный функционал Заметим, что схема г) вывода полного функционала является усложненным вариантом схемы в), а схема 2.3. Вывод частных функционалов из полного.Вывод осуществляется на основе общего положения о том, что любое из условий стационарности можно наложить в качестве дополнительного условия (см. § 2.1). При этом выражение для функционала обычно упрощается, так как некоторые слагаемые обращаются в нуль (см. гл. 3 и 4). Преобразования можно продолжить, используя § 2.2. 2.3.1. Условия стационарности полных функционалов в качестве дополнительных условий к частным функционалам и возможные схемы их классификации. Переход от полных функционалов к частным оказывается гораздо богаче, чем переход от исходного частного функционала к полному. Здесь может быть получен не только исходный частный функционал, но и множество других в соответствии с множеством вариантов условий стационарности, каждый из которых может быть принят в качестве дополнительных условий. Условия стационарности полного функционала можно разделить на группы в соответствии с двумя раз: личными схемами классификации: а) по физическому смыслу уравнений — геометрические, статические, физические; б) по геометрическому расположению — уравнения в области и граничные условия. Эти группы могут быть разбиты на еще более мелкие подгруппы, если рассмотреть компоненты векторных уравнений. В качестве дополнительных условий могут быть приняты различные комбинации из этих групп и подгрупп (здесь должна быть использована теоретико-множественная операция объединения множеств уравнений). Число таких комбинаций для большинства полных функционалов в теории упругости и оболочек велико. В гл. 3, 4 будут рассмотрены только некоторые, наиболее интересные из них. 2.3.2. Особенности вывода частных функционалов из полных функционалов с неисключенными множителями Лагранжа. Вывод частных функционалов из полного функционала (8), полученного из (1), (2) с помощью множителей Лагранжа, имеет некоторые особенности, которое будуг использованы при исследовании экстремальных свойств (см. § 3). а) Уравнение совпадает с (2), так что при условии б) Дополнительное условие в) Дополнительные условия
можно при различном выборе г) Дальнейшие преобразования. Преобразования, проведенные с помощью способов, описанных в § 2.3.2а, 2.4. Преобразование Фридрихса.Преобразование
выполненное в соответствии с § 2.26 и 2.3.26, можно продолжить, если уравнение Дополнительные условия к Примеры преобразования Фридрихса и дополнительные разъяснения приведены в гл. 3, §§ 2.2 и 3.2в, г; гл. 4 §§ 2.2 и 3.2 в, г; гл. 5, §§ 7.4 в и 7.5а.
|
1 |
Оглавление
|