§ 2. Преобразование задач о стационарном значении

В данном параграфе изложены основные положения теории преобразования вариационных проблем Р. Куранта и Д. Гильберта [0.9] с точки зрения стационарности функционалов. Вопросы исследования экстремальных свойств функционалов, полученных в соответствии с этой теорией, обсуждаются в § 3. Рассматриваемая в §§ 2 и 3 область преобразований несколько шире, чем это предусмотрено в [0.9]. В эту область включены и преобразования функционалов с исключенными множителями Лагранжа. Эти функционалы обладают интересными свойствами (см. гл. 3 и 4).

2.1. Основные определения.

Пусть требуется найти точку стационарности функционала определенного в евклидовом пространстве Е:

при дополнительных условиях в форме равенств

Функция определена на и принимает значения в гильбертовом пространстве (см. гл. 1). Уравнение (2) включает в себя дифференциальные уравнения и граничные условия.

Условия стационарности данной вариационной задачи (1), (2) (уравнения Эйлера и естественные граничные условия) будем называть естественными условиями, в отличие от дополнительных условий (2).

Теория Куранта — Гильберта построена на основе двух общих положений. Первое положение очевидно и состоит в том, что любое из условий стационарности функционала (полного или частного) можно включить в список дополнительных условий, причем полученная вариационная задача эквивалентна исходной.

Второе заключается в использовании метода множителей Лагранжа для учета дополнительных условий; эквивалентность получающейся при этом вариационной задачи с исходной доказана в гл. 1.

Во многих задачах, например для выпуклых функционалов, использование этих двух положений позволяет проследить и за изменением экстремальных свойств функционалов (см. § 3). В ряде задач без ограничений можно искусственно ввести дополнительные условия, чтобы затем внести их в функционал с множителями Лагранжа и производить дальнейшие преобразования. Эта идея оказалась очень плодотворной. Она позволяет получить множество различных формулировок одной и той же вариационной задачи с различными переменными и, в частности, осуществлять важное преобразование Фридрихса (см. § 2.4).

2.2. Вывод полных функционалов.

Как показано в гл. 1, существует два способа преобразовать частный функционал участвующий в формулировке вариационной задачи (1) с дополнительным условием (2), в полный функционал (не имеющий дополнительных условий): использование общих решений и метод множителей Лагранжа. Кроме того, ниже рассмотрены две часто используемых в гл. 3 и 4 усложненные схемы, содержащие в себе в качестве промежуточных этапов эти два способа и переход от полных функционалов к частным.

а) Преобразование частного функционала в полный в усеченном пространстве состояний с помощью общих решений уравнения (2). В тех случаях, когда уравнение (2) имеет общее решение

задачу (1) с ограничением (2) можно заменить задачей об отыскании точки стационарности полного функционала

в усеченном пространстве параметров Параметр обычно векторный или функциональный; в частности, он может иметь вид (см. гл. 1).

Пространство усеченное, так как оно определяет с помощью (3) подпространство в Хотя все рассматриваемые функциональные пространства имеют одну и ту же - счетную — размерность [1.2], обычно содержит меньше параметров, чем Например, три уравнения равновесия в теории оболочек связывают шесть функциональных неизвестных — усилий, а их общее решение выражает эти неизвестные через три функции напряжений (см. гл. 4).

Для одного и того же уравнения (2) может существовать несколько различных форм общих решений (3) (см., например, гл. 3, § 2).

Вообще говоря, задача

о стационарности функционала (4) не эквивалентна задаче (1), (2). Это подтверждается простым примером [5.3]. Пусть функция двух переменных а ограничение (2) имеет вид (х,у) Ясно, что данная задача об условной стационарности решения не имеет. Если же использовать общее решение уравнения то функционал имеет точку стационарности которой соответствуют значения «Ложная» точка стационарности появилась потому, что при обращаются в нуль обе производные а значит, и дифференциалы это не дает возможности проверить условие (2.5) гл. 1 в определении условной стационарности.

Чтобы обеспечить эквивалентность задач (1), (2) и (5), необходимо потребовать, чтобы общее решение (3) удовлетворяло еще одному условию: при всех при которых выражение

должно быть общим решением уравнения

должно содержать все решения этого уравнения (неизвестным является бы). Действительно, если при выполнено (5) и последнее условие, то при всех удовлетворяющих (7), вариация имеет вид

и все условия, содержащиеся в определении условной стационарности (гл. 1, § 2), выполнены.

Обычно на общее решение (3) накладывают более сильное требование невырожденности: требуют, чтобы производная была невырожденным линейным оператором при всех значениях т. е. чтобы равенство выполнялось только при Для наших целей невырожденность — слишком сильное ограничение, так как ему не удовлетворяют общие решения дифференциальных уравнений равновесия, неразрывности и другие (гл. 3 и 4).

б) Вывод полного функционала в расширенном пространстве состояний из частного с помощью множителей Лагранжа. Метод множителей Лагранжа для учета дополнительных условий (2) (см. гл. 1) приводит к построению нового функционала

В литературе функционал (8) часто называют функционалом Лагранжа вариационной задачи (1), (2). Мы не будем пользоваться этим термином, оставив его для функционала, участвующего в формулировке принципа Лагранжа (принцип минимума потенциальной энергии) в теории упругости и теории оболочек. Функционал (8), как и все функционалы без дополнительных условий, полный.

Вариационная задача (1), (2) при этом переходит в следующую:

Здесь превращение частного функционала в полный достигается ценой увеличения количества

неизвестных: нужно искать стационарное значение не только по и, но и по

Условия стационарности функционала (8) имеют вид

Уравнение (11) есть дополнительное условие (2) к функционалу (1), а -условие стационарности для задачи (1), (2), содержащее вспомогательную переменную Исключая из (10), можно получить условие стационарности для задачи (1), (2), выраженное только через и:

В гл. I показано, что существует взаимно однозначное соответствие между точками условной стационарности для задачи (1), (2) и компонентами точек безусловной стационарности функционала (8). Задачи (1), (2) и (9) в этом смысле эквивалентны.

Значение соответствующее точке условной стационарности может быть не единственным. Чтобы обеспечить единственность обычно накладывают требование независимости на уравнения, содержащиеся в дополнительном условии (2); это требование выражается в том, что матрица Якоби множества функций, сокращенно записанных должна иметь соответствующий ранг (см., например, [0.9, 1.6]). В данной книге нет необходимости заботиться об единственности множителей Лагранжа. В гл. 3 и 4 будут часто встречаться случаи, когда существует бесконечное множество (например, функционал где тензор функций напряжений является множителем Лагранжа, гл. 3). В этих случаях нас устраивает любое из бесконечного множества значений так как все они определяют одно и то же решение Исходной задачи (1), (2).

в) Вывод полного функционала в усеченном пространстве состояний из полного функционала в расширенном пространстве. Пусть -полный функционал. Во многих случаях среди его условий стационарности есть уравнение которое можно разрешить относительно выразить через и использовать для исключения из В результате получится полный функционал

эквивалентный в том смысле, что компонент точки стационарности функционала является точкой стационарности

Действительно, это преобразование можно разбить на два этапа. Сначала, в соответствии с первым общим положением теории преобразования вариационных проблем (§ 2.1), наложим условие стационарности и получим частный функционал, эквивалентный (см. также § 2.3). Затем исключим в соответствии с § 2.2а; общее решение вида удовлетворяет всем наложенным там требованиям, необходимым для эквивалентности преобразования. Таким образом, функционалы эквивалентны.

г) Вывод полного функционала с исключенными множителями Лагранжа. Пусть полный функционал построен из в соответствии в § 2.26. Иногда оказывается возможным исключить из множители Лагранжа с помощью § 2.2в и получить полный функционал в том же пространстве состояний, в котором был определен Таким путем построены, например, функционалы и

Заметим, что схема г) вывода полного функционала является усложненным вариантом схемы в), а схема -усложненным вариантом схемы а).

2.3. Вывод частных функционалов из полного.

Вывод осуществляется на основе общего положения о том, что любое из условий стационарности можно наложить в качестве дополнительного условия (см. § 2.1).

При этом выражение для функционала обычно упрощается, так как некоторые слагаемые обращаются в нуль (см. гл. 3 и 4). Преобразования можно продолжить, используя § 2.2.

2.3.1. Условия стационарности полных функционалов в качестве дополнительных условий к частным функционалам и возможные схемы их классификации. Переход от полных функционалов к частным оказывается гораздо богаче, чем переход от исходного частного функционала к полному. Здесь может быть получен не только исходный частный функционал, но и множество других в соответствии с множеством вариантов условий стационарности, каждый из которых может быть принят в качестве дополнительных условий.

Условия стационарности полного функционала можно разделить на группы в соответствии с двумя раз: личными схемами классификации: а) по физическому смыслу уравнений — геометрические, статические, физические; б) по геометрическому расположению — уравнения в области и граничные условия. Эти группы могут быть разбиты на еще более мелкие подгруппы, если рассмотреть компоненты векторных уравнений. В качестве дополнительных условий могут быть приняты различные комбинации из этих групп и подгрупп (здесь должна быть использована теоретико-множественная операция объединения множеств уравнений). Число таких комбинаций для большинства полных функционалов в теории упругости и оболочек велико. В гл. 3, 4 будут рассмотрены только некоторые, наиболее интересные из них.

2.3.2. Особенности вывода частных функционалов из полных функционалов с неисключенными множителями Лагранжа. Вывод частных функционалов из полного функционала (8), полученного из (1), (2) с помощью множителей Лагранжа, имеет некоторые особенности, которое будуг использованы при исследовании экстремальных свойств (см. § 3).

а) Уравнение в качестве дополнительного условия. Нетрудно видеть, что это уравнений

совпадает с (2), так что при условии множитель при к в функционале (8) обращается в нуль, и вариационная задача (9) переходит в исходную задачу (1), (2).

б) Дополнительное условие При этом ограничении задача о стационарности полного функционала переходит в задачу об условной стационарности частного функционала

в) Дополнительные условия Переменные и, к обычно векторные. Их можно разделить различным образом на две группы Накладывая на функционал (8) дополнительные условия

можно при различном выборе получать различные частные функционалы.

г) Дальнейшие преобразования. Преобразования, проведенные с помощью способов, описанных в § 2.3.2а, можно продолжить, исключая некоторые переменные с помощью общих решений по аналогии с § 2.2а. Новые частные функционалы можно использовать для вывода новых полных в соответствии с § 2.2, и т. д. Среди всего этого множества взаимных переходов функционалов особое место занимает преобразование Фридрихса.

2.4. Преобразование Фридрихса.

Преобразование

выполненное в соответствии с § 2.26 и 2.3.26, можно продолжить, если уравнение при каждом к имеет единственное решение и. В этом случае можно и выразить через к (явным или неявным образом) и перейти к частному функционалу

Дополнительные условия к представляют собой уравнения полученные из после исключения и. Условия стационарности уравнения (2), выраженные через Таким образом, дополнительные условия функционала являются уравнениями, эквивалентными условиям стационарности функционала которые получаются из исключением К (см. § 2.26); условия стационарности являются преобразованными дополнительными условиями к Преобразование функционала (1) в называют преобразованием Фридрихса. Оно инволютивно: применив к преобразование Фридрихса, получим вариационную задачу (1), (2).

Примеры преобразования Фридрихса и дополнительные разъяснения приведены в гл. 3, §§ 2.2 и 3.2в, г; гл. 4 §§ 2.2 и 3.2 в, г; гл. 5, §§ 7.4 в и 7.5а.