§ 6. Вариационные принципы и экстремальные свойства функционалов теории упругости при разрывных перемещениях, деформациях, напряжениях и функциях напряжений

В контактных задачах, а также при численном решении задач теории упругости, в частности при использовании метода Ритца и метода конечных элементов, иногда возникает необходимость рассматривать в качестве варьируемых переменных разрывные поля параметров напряженно-деформированного состояния. Теория Куранта-Гильберта позволяет построить для этого случая систему полных и частных функционалов и исследовать их экстремальные свойства.

6.1. Определение разрывов.

Следуя [0.12], предположим, что область V разделена на конечное число смежных подобластей, в каждой из которых поля перемещений, деформаций и напряжений обладают свойствами непрерывности и дифференцируемости, принятыми в основных уравнениях теории упругости. Эти смежные области регулярности разделены поверхностями разрывов, на которых некоторые компоненты усилий и дополнительные компоненты перемещений изменяются не обязательно непрерывным образом. Будем использовать термины «статические» и «кинематические», чтобы различать разрывы соответственно в компонентах усилий и перемещений.

Для определения разрыва тензора напряжений а в точке на поверхности разрыва введен единичный вектор нормали к поверхности в точке

Таким образом, указывается направление внешней нормали для одной из смежных областей регулярности и направление внутренней нормали для другой области. Скачок параметра поля в точке определим как разность значений во второй и первой областях (точнее, как предел разности значений в точках второй и первой областей при стремлении этих точек к

Ниже будут часто встречаться разрывы скалярных величин . Обозначим

где штрих и двойной штрих соответственно указывают, что скалярное умножение вектора усилий а на вектор перемещений и выполняется в подпространстве трехмерного пространства, в котором задан статический или кинематический разрыв.

6.2. Различные варианты функционала Лагранжа с разрывными полями.

Говоря о функционале Лагранжа обычно требуют непрерывности перемещений и вместе со своими частными производными, т. е. вместе с деформациями и напряжениями. Эти требования непрерывности можно ослабить. А именно, напряжения могут быть лишь кусочно-непрерывными; их непрерывность, как и все условия равновесия, является условием стационарности функционала

Действительно, пусть тензор напряжений может иметь разрывы на поверхности которая разбивает объем V на конечное число частей. Вариация функционала Лагранжа имеет вид

Чтобы получить условия стационарности, нужно (2) преобразовать с помощью формулы Остроградского (см. Приложение 2), учитывая, что

Так как формула Остроградского применима только к непрерывной функции то объем V следует разбить на подобъемы, в которых тензор а непрерывен, выполнить преобразование и сложить полученные интегралы. В результате (2) примет вид

Равенство (3) показывает, что одно из условий стационарности функционала равенство нулю статических разрывов т. е. непрерывность тензора а.

Это справедливо и для остальных разновидностей функционала Лагранжа (табл. 3.1): отсутствие статических разрывов является их условием стационарности.

Так как в качестве можно взять любую поверхность, разделяющую объем V на конечное число частей, то можно рассматривать, вообще говоря, любые кусочно-непрерывные поля напряжений. Мы ограничимся рассмотрением полей, которые могут иметь разрывы лишь на заданной поверхности

При необходимости рассматривать разрывные поля перемещений принцип минимума потенциальной энергии можно сформулировать следующим образом.

Рассмотрим поля перемещений, непрерывные и дифференцируемые в каждой области регулярности и, возможно, имеющие разрывы на поверхности Чтобы среди них найти поле перемещений, соответствующее состоянию равновесия упругого тела, нужно выполнить следующие действия: а) выбрать из заданного множества кусочно-непрерывных полей перемещений непрерывные, т. е. удовлетворяющие условию (1.5) и уравнению

Другими словами, область V разделяется на подобласти с разрывами, которые затем ликвидируются с помощью (4); б) из всех полученных непрерывных

полей выбрать такое, которое доставляет минимум функционалу (табл. 3.1). Нетрудно проверить, что условие (4) определяет выпуклое множество.

Таким образом, если при отыскании состояния равновесия рассматриваются кусочно-непрерывные поля перемещений (область поиска расширена), то состояние равновесия характеризуется системой условий , (1.5), (4). Действия а) и б) отражают ход решения задачи теории упругости, например, методом конечных элементов.

Само по себе равенство (4) ничего не добавляет к условиям непрерывности, которые участвуют в формулировке вариационной задачи для (табл. 3.1) и не помогает при решении задачи, если решение выполняется с помощью принципа минимума потенциальной энергии. Однако это равенство позволяет переходить к другим функционалам, использование которых может упростить решение.

Как и в § 2, с помощью замены переменных и частного решения уравнения равновесия (1.6) можно получить ряд других разновидностей функционала Лагранжа для разрывных полей перемещений и деформаций; они представлены в табл. 3.7. Одно из условий стационарности для всех этих функционалов — непрерывность напряжений на

Так как функционал зависит только от деформаций и не зависит от перемещений, то условия непрерывности перемещений на поверхности заменены условиями непрерывности деформаций; для непрерывности перемещений необходимо, чтобы тангенциальные и изгибные деформации поверхности как границы одной области регулярности были равны соответствующим деформациям как границы смежной области регулярности.

6.3. Полные функционалы лагранжевой серии с разрывными полями.

Вводя в функционал Лагранжа (табл. 3.7) с множителями Лагранжа все дополнительные условия, в том числе и условие отсутствия кинематических разрывов на поверхности

можно получить полные функционалы (табл. 3.9), аналогичные табл. 3.3. Их условием стационарности, кроме обычных уравнений теории упругости, приведенных в табл. 3.3, служат условия отсутствия статических и кинематических разрывов на Разрывы тензора функций напряжений и его нормальных производных также будем называть статическими разрывами.

6.4. Различные варианты функционала Кастильяно с разрывными полями.

Часть условий стационарности— физические и статические уравнения, в том числе и условия отсутствия статических разрывов на можно наложить в качестве дополнительных условий и, исключив кинематические переменные, перейти к различным вариантам функционала Кастильяно (табл. 3.8). Их условия стационарности — все геометрические уравнения, в том числе и условия отсутствия кинематических разрывов на

6.5. Полные функционалы кастильяиовой серии с разрывными полями.

Из различных вариантов функционалов Кастильяно можно получить полные функционалы, аналогичные табл. 3.4, условия стационарности которых включают отсутствие статических и кинематических разрывов на поверхности и которые здесь не приводятся.

6.6. Частные функционалы для разрывных полей

Частные функционалы для разрывных полей отличаются от функционалов, представленных в табл. 3.5, наличием интегралов по поверхности и дополнительных условий на этой поверхности. Они могут быть получены из соответствующих полных функционалов и в данной книге не приводятся.

6.7. Экстремальные свойства функционалов для разрывных полей

Экстремальные свойства функционалов для разрывных полей исследуются точно так же, как в § 6.

Функционалы выпуклые вниз, выпуклые вверх, и — иевыпуклые.

Все функционалы Лагранжа в точке стационарности имеют минимум, функционалы Кастильяно — максимум. Экстремальные свойства всех функционалов с разрывными полями перемещений, деформаций,

напряжений и функций напряжений такие же, как овойства функционалов с непрерывными полями, сводка которых дана в табл. 3.6.

Замечание. Некоторые вариационные принципы теории упругости при разрывных полях перемещений, деформаций и напряжений впервые были рассмотрены без исследования экстремальных свойств в [0.12]. Функционалы с разрывными функциями напряжений и экстремальные свойства получены авторами.