Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 6. Вариационные принципы и экстремальные свойства функционалов теории упругости при разрывных перемещениях, деформациях, напряжениях и функциях напряженийВ контактных задачах, а также при численном решении задач теории упругости, в частности при использовании метода Ритца и метода конечных элементов, иногда возникает необходимость рассматривать в качестве варьируемых переменных разрывные поля параметров напряженно-деформированного состояния. Теория Куранта-Гильберта позволяет построить для этого случая систему полных и частных функционалов и исследовать их экстремальные свойства. 6.1. Определение разрывов.Следуя [0.12], предположим, что область V разделена на конечное число смежных подобластей, в каждой из которых поля перемещений, деформаций и напряжений обладают свойствами непрерывности и дифференцируемости, принятыми в основных уравнениях теории упругости. Эти смежные области регулярности разделены поверхностями разрывов, на которых некоторые компоненты усилий и дополнительные компоненты перемещений изменяются не обязательно непрерывным образом. Будем использовать термины «статические» и «кинематические», чтобы различать разрывы соответственно в компонентах усилий и перемещений. Для определения разрыва тензора напряжений а в точке Таким образом, указывается направление внешней нормали для одной из смежных областей регулярности и направление внутренней нормали для другой области. Скачок Ниже будут часто встречаться разрывы скалярных величин
где штрих и двойной штрих соответственно указывают, что скалярное умножение вектора усилий 6.2. Различные варианты функционала Лагранжа с разрывными полями.Говоря о функционале Лагранжа Действительно, пусть тензор напряжений
Чтобы получить условия стационарности, нужно (2) преобразовать с помощью формулы Остроградского (см. Приложение 2), учитывая, что
Так как формула Остроградского применима только к непрерывной функции
Равенство (3) показывает, что одно из условий стационарности функционала Это справедливо и для остальных разновидностей функционала Лагранжа (табл. 3.1): отсутствие статических разрывов является их условием стационарности. Так как в качестве При необходимости рассматривать разрывные поля перемещений принцип минимума потенциальной энергии можно сформулировать следующим образом. Рассмотрим поля перемещений, непрерывные и дифференцируемые в каждой области регулярности и, возможно, имеющие разрывы на поверхности
Другими словами, область V разделяется на подобласти с разрывами, которые затем ликвидируются с помощью (4); б) из всех полученных непрерывных полей выбрать такое, которое доставляет минимум функционалу Таким образом, если при отыскании состояния равновесия рассматриваются кусочно-непрерывные поля перемещений (область поиска расширена), то состояние равновесия характеризуется системой условий Само по себе равенство (4) ничего не добавляет к условиям непрерывности, которые участвуют в формулировке вариационной задачи для Как и в § 2, с помощью замены переменных Так как функционал 6.3. Полные функционалы лагранжевой серии с разрывными полями.Вводя в функционал Лагранжа можно получить полные функционалы (табл. 3.9), аналогичные табл. 3.3. Их условием стационарности, кроме обычных уравнений теории упругости, приведенных в табл. 3.3, служат условия отсутствия статических и кинематических разрывов на 6.4. Различные варианты функционала Кастильяно с разрывными полями.Часть условий стационарности— физические и статические уравнения, в том числе и условия отсутствия статических разрывов на 6.5. Полные функционалы кастильяиовой серии с разрывными полями.Из различных вариантов функционалов Кастильяно можно получить полные функционалы, аналогичные табл. 3.4, условия стационарности которых включают отсутствие статических и кинематических разрывов на поверхности 6.6. Частные функционалы для разрывных полейЧастные функционалы для разрывных полей отличаются от функционалов, представленных в табл. 3.5, наличием интегралов по поверхности и дополнительных условий на этой поверхности. Они могут быть получены из соответствующих полных функционалов и в данной книге не приводятся. 6.7. Экстремальные свойства функционалов для разрывных полейЭкстремальные свойства функционалов для разрывных полей исследуются точно так же, как в § 6. Функционалы Все функционалы Лагранжа в точке стационарности имеют минимум, функционалы Кастильяно — максимум. Экстремальные свойства всех функционалов с разрывными полями перемещений, деформаций, напряжений и функций напряжений такие же, как овойства функционалов с непрерывными полями, сводка которых дана в табл. 3.6. Замечание. Некоторые вариационные принципы теории упругости при разрывных полях перемещений, деформаций и напряжений впервые были рассмотрены без исследования экстремальных свойств в [0.12]. Функционалы с разрывными функциями напряжений и экстремальные свойства получены авторами.
|
1 |
Оглавление
|