§ 4. Частные функционалы. Их взаимосвязь с полными функционалами

Согласно гл. 2 § 2, частные функционалы получаются из полных при наложении некоторых условий стационарности в качестве дополнительных условий. При этом выражение для функционала обычно упрощается, так как некоторые слагаемые обращаются в нуль. В частности, легко осуществляется переход к

функционалам Лагранжа и Кастильяно. Некоторые другие частные функционалы, представляющие, на наш взгляд, наибольший интерес, приведены в табл. 4.5.

4.1. Вывод различных вариантов частных функционалов Лагранжа и Кастильяно из полных функционалов (табл. 4.3 и 4.4) не имеет существенных отличий от преобразований, описанных в гл. 3, § 4.1, и поэтому здесь подробно не описан.

4.2. Вывод частных функционалов из полных путем наложения различных комбинаций геометрических, статических и физических уравнений в качестве дополнительных условий (в соответствии с классификацией в гл. 2, § 2.3.1) можно проиллюстрировать схемами на рис. 3.3, 3.4 гл. 3, заменив на них деформации трехмерного тела деформациями базисной поверхности оболочки а напряжения а — усилиями и моментами Для оболочек справедливы сделанные в гл 3, § 4.2 выводы о неравноправии некоторых из перечисленных выше групп уравнений с точки зрения их использования в качестве дополнительных условий при выводе частных функционалов из полных.

Разберем в качестве двух характерных примеров вывод частных функционалов из полных в основном и квазиосновном пространствах состояний.

Принимая в качестве дополнительных условий к полному функционалу в основном пространстве состояний или к полному функционалу в квазиосновном пространстве одну или две из указанных групп уравнений, можно получить следующие частные функционалы, отличные от функционалов Лаграижа и Кастильяно (см. табл. 4.5).

а) Функционал для физических и геометрических соотношений получен из (табл. 4.3) при наложении в качестве дополнительных условий статических уравнений.

Условия стационарности физические и геометрические уравнения. Этот функционал является промежуточным звеном преобразования в функционал Кастильяно (табл. 4.2).

б) Функционал для геометрических и статических уравнений получается из (табл. 4.3) при наложении физических уравнений в качестве дополнительных условий. Исключив из него деформации или усилия в соответствии с гл. 2, § 2.2в, можно получить полный функционал Рейсснера в форме (табл. 4.4) или

в) Функционал для физических и статических соотношений выведен из (табл. 4.4) путем наложения в качестве дополнительных условий геометрических уравнений в области (уравнения неразрывности) и на контуре (деформационные граничные условия).

Условия стационарности физические и статические уравнения. Этот функционал является промежуточным звеном преобразования в функционал Лагранжа (табл. 4.1).

г) Функционал для статических и геометрических уравнений получается из при наложении в качестве дополнительных условий физических уравнений. Его условия стационарности — статические уравнения в форме зависимостей между усилиями и функциями напряжений, геометрические уравнения (уравнения неразрывности) в области и граничные условия: статические в функг циях напряжений и геометрические в деформациях.

Исключив из усилия в соответствии с гл. 2, § 2.2в, можно получить полный функционал (табл. 4.3).

д) Функционалы для физических уравнений получены соответственно из полных функционалов (табл. 4.3) и (табл. 4.4) при наложении геометрических и статических уравнений в области и на контуре С в качестве дополнительных условий. Условиями стационарности служат уравнения, содержащие дифференциальные операторы от левых частей физических уравнений в прямой и, соответственно, обратной формах (см. табл. 4.5).

4.3. Функционал физических соотношений для оболочки имеет вид

Этот функционал можно получить всеми способами, которыми выведен в гл. 3, § 4.3 функционал физических соотношений для трехмерного тела; он обладает всеми свойствами, описанными в § 4.3 гл. 3.

Замечание. Функционалы обладают свойством, аналогичным гому, которое имеют функционалы с этими же названиями для трехмерного тела: в них можно независимо варьировать некоторые аргументы в функционале сравните с замечаниями к § 4.3 гл. 3).

Таким путем можно прийти к физическим уравнениям вида

которые могут служить разрешающими дифференциальными уравнениями данной краевой задачи.

4.4. Функционалы граничных условий соответствуют второму варианту классификации дополнительных условий, накладываемых на полные функционалы для перехода к частным (гл. 2, § 2.3.1): разделению их на уравнения в области и на контуре.

Включение в список дополнительных условий уравнений на контуре оболочки не приводит к существенным изменениям в структуре функционала. Как с точки зрения структуры, так и в вычислительном аспекте (см. гл. 5) представляют интерес функционалы граничных условий, которые получаются из полных, если в список дополнительных условий включить все уравнения в области. Условиями стационарности полученных функционалов являются граничные

условия: статические, или геометрические, или и те и другие. В табл. 4.5 представлено шесть наиболее характерных вариантов функционалов граничных условий.

а) Функционал граничных условий в перемещениях и усилиях может быть выведен из или из других полных функционалов, содержащих перемещения и усилия. Дополнительные условия — уравнения теории оболочек в перемещениях и усилиях в области Условия стационарности — геометрические граничные условия в перемещениях и статические — в усилиях.

б) Функционал для статических граничных условий в перемещениях можно вывести из и из других полных функционалов, содержащих перемещения. Дополнительные условия — уравнения теории оболочек и геометрические граничные условия в перемещениях. Условия стационарности — статические граничные условия в перемещениях.

в) Функционал для геометрических (деформационных) граничных условий в усилиях выводится из любого полного функционала (табл. 4.3 и 4.4), содержащего усилия. Условия стационарности — деформационные граничные условия, выраженные через усилия.

г) Функционал граничных условий в функциях напряжений и деформациях может быть получен из и других полных функционалов, зависящих от переменных Дополнительные условия — уравнения неразрывности в деформациях и зависимости между деформациями и функциями напряжений (в качестве статических и физических уравнений) в области Условия стационарности — статические граничные условия, выраженные в функциях напряжений, и деформационные граничные условия.

д) Функционал для геометрических (деформационных) граничных условий в функциях напряжений может быть выведен из (табл. 4.4) и других полных функционалов. Дополнительные

условия — уравнения неразрывности и статические граничные условия в функциях напряжений, условия стационарности — деформационные граничные условия в функциях напряжений.

е) Функционал для статических граничных условий в деформациях. Его можно вывести из и других полных функционалов, содержащих переменные Дополнительные условия — уравнения неразрывности и равновесия в деформациях в области и деформационные граничные условия на контуре. Условия стационарности — статические граничные условия, выраженные в деформациях.

4.5. Смешанный функционал в функциях для пологих оболочек Этот функционал можно вывести из (табл. 4.3) или из (табл. 4.4), исключая переменную в или в соответствии с гл. 2, § 2.3.2в. Дополнительными условиями к служат некоторые из геометрических и статических граничных условий. Условия стационарности — уравнения теории пологих оболочек в функциях и остальные статические и геометрические граничные условия.