§ 8. Развернутая форма записи функционалов в различных системах координат

В данном параграфе приведены характеристики некоторых наиболее употребительных систем координат (метрические тензоры, символы Криетоффеля) и рассмотрен переход от тензорной формы записи функционалов к развернутой. Приведен ряд полных и частных функционалов в развернутой форме в криволинейных ортогональных координатах.

8.1. Различные системы координат и их метрические тензоры и символы Криетоффеля.

8.1.1. Ортогональные (прямоугольные) координаты. В любых ортогональных координатах компонент метрического тензора

равен нулю. Остальные два компонента обычно заменяют величинами параметрами Ляме базисной поверхности — по формулам

Если, кроме того, координатные линии совпадают с линиями кривизны, то некоторые коэффициенты второй квадратичной формы равны нулю что приводит к дополнительным упрощениям.

В табл. 4.7 приведены коэффициенты первой второй квадратичных форм и символы Кристоффеля для некоторых наиболее распространенных систем координат. Эти величины дают возможность легко записать все формулы из §§ 1—7 в развернутой форме. В некоторых системах ортогональных координат (например, в круговых цилиндрических) метрические коэффициенты —константы, поэтому символы Кристоффеля обращаются нуль, и выражения для ковариантпых производных упрощаются.

Различные частные виды ортогональных координат используют при расчете оболочек, имеющих соответствующую форму: цилиндрические координаты — для расчета цилиндрических оболочек, сферические — для сферических оболочек и т. д.

8.1.2. Прямолинейные косоугольные координаты на плоскости (табл. 4.7) — важный частный вид координатной системы. Эти координаты удобны, например, при расчете параллелограммных пластинок с ребрами. Система функционалов для параллелограммных ребристых пластинок в развернутой форме приведена в [0.21.

8.2. Развернутая форма записи функционалов в криволинейных ортогональных координатах.

Чтобы представить функционалы в развернутой форме, нужно использовать, аналогично § 7 гл. 3, формулы и правила из Приложения 2. Ниже будем рассматривать координатные сетки, образованные линиями главных кривизн, т. е. сопряженные координаты, в которых

8.2.1. Развернутая форма записи некоторых выражений, приведенных ниже, использована в § 8.2.2.

а) Уравнения равновесия. Левая часть моментного уравнения равновесия (1.25)

в физических компонентах имеет вид 2

Преобразуем члены, содержащие производные, воспользовавшись формулами для физических компонентов ковариантных производных (Приложение 2):

Перейдем к усилиям и моментам которые определены в сопряженных координатах и связаны с равенствами

при этом

где

В этих усилиях и моментах выражение (4) принимает вид

Преобразуем к развернутой форме левые части тангенциальных уравнений равновесия (1.25)

Первый физический компонент выражения (10) имеет вид

Используя формулы для физических компонентов ковариантных производных (Приложение 2) и переходя к усилиям (6), получим

Аналогично получается развернутое выражение к которому можно перейти от (12), выполнив замену индексов (12). Соотношения (9) и (12) дают развернутую форму записи уравнений равновесия для оболочек в криволинейных ортогональных координатах.

б) Геометрические уравнения. Зависимости между тангенциальными деформациями и перемещениями

в физических составляющих имеют вид

где физические компоненты коварнантной производной (см. Приложение 2). Через компоненты деформации

величины могут быть выражены в сопряженных координатах следующим образом:

Физические компоненты зависимостей между изгибными деформациями и перемещениями

в компонентах деформации (15) имеют вид

где

в) Уравнения неразрывности деформаций (1.13) преобразуются аналогичным образом и в компонентах деформации (15) имеют вид

г) Развернутая форма записи физических зависимостей (1.20) в компонентах деформаций (15) и усилий (6) очевидна.

д) Развернутая форма записи статических граничных условий (1.26)

где

При этом

где между направлением и нормалью к контуру С.

Круглые скобки у индексов физических компонентов всюду опущены.

е) Развернутая форма записи деформаций граничного элемента (1.36), (1.39):

где

8.2.2. Развернутая форма записи функционалов приведена в табл. 4.8-4.10 и в [0.2]. Их вывод аналогичен § 7 гл. 3 и основывается на формулах § 8.2.1.