Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Глава 4. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ УПРУГИХ ТОНКИХ НЕОДНОРОДНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫВ данной главе рассматриваются полные и частные функционалы, участвующие в формулировке вариационных принципов линейной технической теории тонких оболочек. Соответствующие общие и частные вариационные принципы в различных пространствах состояний могут быть сформулированы на основе общих определений (гл. 2, § 1). Существует несколько эквивалентных разновидностей теории тонких оболочек, отличающихся выбором деформаций и усилий. В этой книге использован вариант [4.12], который признан авторами работы [4.12] «наилучшим»; он обладает статико-геометрической аналогией, тензорной формой и построен на основе симметричных деформаций, усилий и моментов. О связи этого варианта теории с другими, например § 1. Вводные замечания1.1. Система координат.Рассматриваемая тонкая непологая анизотропная оболочка переменной толщины имеет срединную (а точнее, базисную) поверхность
где компоненты дискриминантного тензора первой квадратичной формы (см. Приложение 2). Уравнения теории оболочек записывают в специальной криволинейной системе координат, нормально связанной с поверхностью
Векторы локального базиса в точках, лежащих на
Рис. 4.1. Криволинейные координаты, нормально связанные с базисной поверхностью оболочки. Оболочка занимает часть трехмерного пространства, ограниченную двумя поверхностями 1.2. Перемещения и деформации в оболочке. Геометрические уравнения. Перемещения точек базисной поверхности
где Гипотезы Кирхгофа — Лява позволяют приближенно выразить перемещения
где — углы поворота поверхности
Гипотеза о ненадавливании волокон, т. е. равенство
Деформации
где
Величины
Рис. 4.2. Усилия и моменты в оболочке. Чтобы ее обеспечить, для запнсн уравнений теории оболочек используют другие деформации, связанные с
и несимметричиьш тензор усилии уравнений неразрывности и равновесия, должны быть подчинены условиям
выражающим симметрию трехмерных тензоров деформаций и напряжений. В дайной книге в качестве меры изгибной деформации используется симметричный тензор [4.12]
Деформациям
Из (6), (7), (10) следуют выражения
Шесть компонентов деформации:
где
Геометрические граничные условия теории оболочек, согласующиеся с гипотезами (2), (4), имеют вид
Здесь, как и в гл. 3, штрих и двойной штрих соответственно означают, что равенство относится к тем компонентам усилий (перемещений), для которых заданы статические или геометрические граничные условия; звездочкой обозначены заданные на контуре величины. Соотношения (6), (12), (15), а также (13) являются геометрическими уравнениями теории оболочек в области 1.3. Усилия и моменты, физические зависимости.Энергетические компоненты усилий и моментов, соответствующие выбранным компонентам деформаций (т.е. работающие на этих деформациях), удобнее всего ввести вариационным путем на основе функционала Лагранжа. После того, как перемещения и деформации в оболочке как трехмерном теле выражены через перемещения и деформации
т.е. функционалом Лагранжа для двумерной краевой задачи расчета оболочки. Дополнительными условиями к нему являются геометрические уравнения (6), (12), (15). Полученная двумерная вариационная задача отличаетси от трехмерной тем, что минимум функционала отыскивается не по всем трехмерным полям перемещений и деформаций, а только по тем, которые совместимы с гипотезами Кирхгофа — Лява. Квадратичная часть функционала (16) представляет собой интеграл от квадратичной формы Квадратичная форма записать в виде
где
В (18), вообще говоря, 48 различных коэффициентов
В (19) содержится 27 равенств, которые вместе с 21 уравнением, указанными выше, составляют систему из 48 уравнений, однозначно определяющих 48 коэффициентов в (18), среди которых не более 21 различных. Обобщенные усилия
Равенства (20) являются физическими зависимостями теории оболочек и позволяют записать функционал (16) в форме, представленной в табл. 4.1. Физические константы
Исходя из трехмерного функционала Лагранжа и учитывая, что
Отсюда следует физический смысл величин Физические зависимости (20) могут быть представлены в обратной форме:
Рис. 4.3. Усилия и момент на контуре оболочки. 1.4. Статические уравнения.Симметричные усилия и моменты (20) должны удовлетворять уравнениям равновесия [4.12], которые можно вывести, например, из функционала Лагранжа (16) в качестве условий стационарности:
где
где
Здесь штрих обозначает, что равенства (26) относятся к тем компонентам усилий и моментов, для которых заданы статические граничные условия. Уравнения равновесия (24) имеют параметрическое общее решение
где параметры
Соотношения (24) и (26), а также (29), являются статическими уравнениями теории оболочек в области 1.5. О взаимосвязи различных форм геометрических и статических граничных условий.Геометрические граничные условия во многих случаях могут быть поставлены в деформациях. В частности, уравнения (15) могут быть преобразованы к деформационным граничным условиям следующим образом. Производную по контуру от трехмерного вектора перемещений контурных точек можно выразить через теизоры трехмерных деформаций
Как известно, три ненулевых компонента кососимметричного тензора
На основе гипотезы прямых нормалей компоненты
Вектор
В силу гипотезы прямых нормалей третье слагаемое равно иулю, а первые два представляют собой деформации базисной поверхности
Вектор
Производная по контуру от вектора
представляет собой вектор искривлений граничного элемента, который с помощью гипотезы прямых нормалей может быть выражен через деформации базисной поверхности:
С помощью (6), (12) нетрудно проверить, что величины
Компоненты вектора
Деформационные граничные условия имеют вид
Уравнения (42) являются условиями стационарности функционала Кастильяно в функциях напряжений [5.3], см. § 2.2. Заметим, что деформационные граничные условия получены в Статические граничные условия в функциях напряжений
могут быть поставлены взамен граничных условий в усилиях (26), например в тех случаях, когда (26) заданы на одной связной части контура С. Для этого граничные усилия (28) должны быть выражены через граничные значения функций напряжений
Граничные значения вектора функций напряжений можно получить, интегрируя, по аналогии с (41), вектор в соответствии с равенствами
где Граничные условия (15) и (42) эквивалентны с точностью до постоянных интегрирования. Если уравнения (15) заданы на одной связной части контура С, то (15) и (42) эквивалентны с точностью до жесткого смещения контура. В данной главе, как правило, рассмотрены функцноналы для задач с этими простыми граничными условиями. В случаях, когда условия (15) охватывают несколько различных связных частей контура С (в частности, при многосвязной области 1.6. Некоторые соотношения теории пологих оболочек.Теория пологих оболочек является частным случаем общей теории оболочек при дополнительных к основным гипотезам допущениях. Геометрическая гипотеза
т. е. внутреннюю геометрию оболочки можно приближенно считать совпадающей с геометрией плоскости ее проекции. Это означает также, что в исходных уравнениях приближенно принимается равной нулю гауссова кривязна поверхности
Статическая гипотеза. В уравнениях равновесия можно пренебречь моментными членами, содержащими в качестве коэффициентов выражения кривизн При этих допущениях уравнения теории оболочек упрощаются и принимают следующую форму. Геометрические уравнения:
Статические уравнения:
Соответственно упрощаются уравнения неразрывности (13)
и общее решение уравнений равновесия
Упрощаются также зависимости (40) между деформациями граничного элемента и перемещениями
и выражения (44) для граничных усилий через функции напряжении
Так как метрика базисной поверхности пологой оболочки считается совпадающей с метрикой плоскости, то пологне оболочки можно рассчитывать в декартовых координатах. В этом случае во всех уравнениях надо положить
|
1 |
Оглавление
|