Глава 4. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ УПРУГИХ ТОНКИХ НЕОДНОРОДНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ

В данной главе рассматриваются полные и частные функционалы, участвующие в формулировке вариационных принципов линейной технической теории тонких оболочек. Соответствующие общие и частные вариационные принципы в различных пространствах состояний могут быть сформулированы на основе общих определений (гл. 2, § 1).

Существует несколько эквивалентных разновидностей теории тонких оболочек, отличающихся выбором деформаций и усилий. В этой книге использован вариант [4.12], который признан авторами работы [4.12] «наилучшим»; он обладает статико-геометрической аналогией, тензорной формой и построен на основе симметричных деформаций, усилий и моментов. О связи этого варианта теории с другими, например [4.11], см. §§ 1 и 8. Функционалы, рассматриваемые в данной главе, помещены в табл. 4.1-4.10 в конце книги.

§ 1. Вводные замечания

1.1. Система координат.

Рассматриваемая тонкая непологая анизотропная оболочка переменной толщины имеет срединную (а точнее, базисную) поверхность с нормалью , ограниченную контуром С. Контур С имеет единичный вектор касательной и единичный вектор тангенциальной нормали (т. е. нормали, расположенной в касательной плоскости к поверхности S), рис. 4.1. Поверхность может быть определена векторным параметрическим уравнением

где радиус-вектор точки, лежащей на и характеризуется коэффициентами первой квадратичной формы и второй квадратичной формы через обозначены

компоненты дискриминантного тензора первой квадратичной формы (см. Приложение 2).

Уравнения теории оболочек записывают в специальной криволинейной системе координат, нормально связанной с поверхностью (ряс. 4.1). В ней радиус-вектор точки равен

Векторы локального базиса в точках, лежащих на равны: При этом используют понятия поверхностного вектора и тензора. Компоненты поверхностных векторов имеют индексы, обозначенные греческими буквами и принимающие значения 1, 2. Символ в данной главе обозначает ковариантную производную на поверхности от компонентов поверхностного тензора (см. Приложение 2).

Рис. 4.1. Криволинейные координаты, нормально связанные с базисной поверхностью оболочки.

Оболочка занимает часть трехмерного пространства, ограниченную двумя поверхностями точки которых имеют координаты и (если оболочка не замкнутая) третьей поверхностью, образованной движением нормали вдоль контура С. Величина есть толщина оболочки.

1.2. Перемещения и деформации в оболочке. Геометрические уравнения. Перемещения точек базисной поверхности характеризуются вектором

где — компоненты поверхностного вектора тангенциальных перемещений, перемещение по нормали к 5 (прогиб).

Гипотезы Кирхгофа — Лява позволяют приближенно выразить перемещения и деформации ) в оболочке как трехмерном теле через перемещения и деформации базисной поверхности Гипотеза о прямолинейном нормальном элементе (гипотеза прямых нормалей) сводится к равенствам

где — углы поворота поверхности

Гипотеза о ненадавливании волокон, т. е. равенство позволяет выразить деформацию через

Деформации можно выразить через вычислив компоненты трехмерного метрического тензора в недеформированном состоянии и в деформированном с учетом (2) и сохранив в выражении лишь слагаемые, линейные относительно перемещений:

где и — симметричные поверхностные тензоры соответственно тангенциальных и изгибных деформаций базисной поверхности, зависящие от ее перемещений:

Величины имеют ясный геометрический смысл: совпадают с компонентами трехмерного тензора деформации в точках поверхности представляют собой разность кривизны оболочки до и после деформирования. Однако эти деформации имеют недостаток: между ними и соответствующими им (в энергетическом смысле) компонентами усилий и момен. тов статико-геометрической аналогии [4.12] (см. § 7).

Рис. 4.2. Усилия и моменты в оболочке.

Чтобы ее обеспечить, для запнсн уравнений теории оболочек используют другие деформации, связанные с линейными зависимостями, и соответствующие им усилия. Например, в [4.11] наряду с рассматривается несимметричный теизор изгибиой деформации

и несимметричиьш тензор усилии (рис. 4.2). Несимметричность приводит к тому, что они, кроме диффереициальных

уравнений неразрывности и равновесия, должны быть подчинены условиям

выражающим симметрию трехмерных тензоров деформаций и напряжений.

В дайной книге в качестве меры изгибной деформации используется симметричный тензор [4.12]

Деформациям соответствуют симметричные тензоры усилий и моментов

Из (6), (7), (10) следуют выражения через перемещения

Шесть компонентов деформации: связаны между собой уравнениями неразрывности базисной поверхности

где

Геометрические граничные условия теории оболочек, согласующиеся с гипотезами (2), (4), имеют вид

Здесь, как и в гл. 3, штрих и двойной штрих соответственно означают, что равенство относится к тем компонентам усилий (перемещений), для которых заданы статические или геометрические граничные условия; звездочкой обозначены заданные на контуре величины.

Соотношения (6), (12), (15), а также (13) являются геометрическими уравнениями теории оболочек в области и на контуре С.

1.3. Усилия и моменты, физические зависимости.

Энергетические компоненты усилий и моментов, соответствующие выбранным компонентам деформаций (т.е. работающие на этих деформациях), удобнее всего ввести вариационным путем на основе функционала Лагранжа.

После того, как перемещения и деформации в оболочке как трехмерном теле выражены через перемещения и деформации ее базисной поверхности, а геометрические граничные условия для через контурные условия для трехмерный функционал Лагранжа для оболочки становится квадратичной функцией от

т.е. функционалом Лагранжа для двумерной краевой задачи расчета оболочки. Дополнительными условиями к нему являются геометрические уравнения (6), (12), (15).

Полученная двумерная вариационная задача отличаетси от трехмерной тем, что минимум функционала отыскивается не по всем трехмерным полям перемещений и деформаций, а только по тем, которые совместимы с гипотезами Кирхгофа — Лява.

Квадратичная часть функционала (16) представляет собой интеграл от квадратичной формы зависящей от шести деформаций которые можно считать обобщенными перемещениями.

Квадратичная форма имеет 21 различный коэффициент, которые однозначно определяются выражением (16); ее можно

записать в виде

где Для обеспечения тензорной формы записи в качестве аргументов рассматривают восемь переменных связанных двумя условиями симметрии при этом

В (18), вообще говоря, 48 различных коэффициентов они связаны с из (17) 21 уравнением, которые можно получить, если в (17) и (18) приравнять коэффициенты при одинаковых произведениях деформаций с учетом симметрии Таким образом, коэффициенты определяются выражением (18) неоднозначно. Целесообразно их выбрать симметричными, положив

В (19) содержится 27 равенств, которые вместе с 21 уравнением, указанными выше, составляют систему из 48 уравнений, однозначно определяющих 48 коэффициентов в (18), среди которых не более 21 различных.

Обобщенные усилия и моменты можно ввести формально как производные от (16) по обобщенным перемещениям условия (19) обеспечивают симметрию тензоров :

Равенства (20) являются физическими зависимостями теории оболочек и позволяют записать функционал (16) в форме, представленной в табл. 4.1. Физические константы совпадают с коэффициентами квадратичной формы (18). Из (16) следует, что они зависят от кривизн Однако обычно их упрощают, пренебрегая (в соответствии с точностью уравнений теории оболочек) величинами такого же порядка малости, как по сравнению с единицей в (5). Выражения для упрощенных таким образом физических коэффициентов не содержат кривизн из следует:

Исходя из трехмерного функционала Лагранжа и учитывая, что не зависят от можно (16) записать в виде:

Отсюда следует физический смысл величин как интегральных характеристик напряженного состояния оболочки и тот факт, что введенные, согласно (20), совпадают с построенными в на основе (11).

Физические зависимости (20) могут быть представлены в обратной форме:

Рис. 4.3. Усилия и момент на контуре оболочки.

1.4. Статические уравнения.

Симметричные усилия и моменты (20) должны удовлетворять уравнениям равновесия [4.12], которые можно вывести, например, из функционала Лагранжа (16) в качестве условий стационарности:

где

вектор нагрузки на поверхности Кроме того должны удовлетворять статическим граничным условиям (рис. 4 3)

где

Здесь штрих обозначает, что равенства (26) относятся к тем компонентам усилий и моментов, для которых заданы статические граничные условия.

Уравнения равновесия (24) имеют параметрическое общее решение

где параметры компоненты вектора функций напряжений

— «углы напряжений»

— какое-либо частное решение неоднородных уравнений равновесия.

Соотношения (24) и (26), а также (29), являются статическими уравнениями теории оболочек в области и на контуре С.

1.5. О взаимосвязи различных форм геометрических и статических граничных условий.

Геометрические граничные условия во многих случаях могут быть поставлены в деформациях. В частности, уравнения (15) могут быть преобразованы к деформационным граничным условиям следующим образом.

Производную по контуру от трехмерного вектора перемещений контурных точек можно выразить через теизоры трехмерных деформаций и углов поворота и в окрестности данной точки:

Как известно, три ненулевых компонента кососимметричного тензора можно выразить через компоненты вектора углов поворота откуда

На основе гипотезы прямых нормалей компоненты в системе координат, связанной с базисной поверхностью, равны

Вектор системе координат связанной с контуром, можно представить в виде

В силу гипотезы прямых нормалей третье слагаемое равно иулю, а первые два представляют собой деформации базисной поверхности

Вектор можно представить в виде и тогда равенство (32) с учетом (35) примет

Производная по контуру от вектора

представляет собой вектор искривлений граничного элемента, который с помощью гипотезы прямых нормалей может быть выражен через деформации базисной поверхности:

С помощью (6), (12) нетрудно проверить, что величины являются функциями перемещений и угла поворота на коитуре С и их производных по С:

Компоненты вектора вместе с составляют набоо деформаций контура, которые определяют перемещения и углы поворота на контуре с точностью до шести констант, определяющих жесткое смещение. Действительно, интегрируя равенства (38) и (37), можно по известным и начальным значениям векторов в точке А иайти перемещения и углы поворота в точке В контура:

Деформационные граничные условия имеют вид

Уравнения (42) являются условиями стационарности функционала Кастильяно в функциях напряжений [5.3], см. § 2.2. Заметим, что деформационные граничные условия получены в невариационным путем в координатах и выражены через компоненты деформаций их можно преобразовать к (42), используя (8) и правило преобразования компонентов векторов при замене координат (см. Приложение 2).

Статические граничные условия в функциях напряжений

могут быть поставлены взамен граничных условий в усилиях (26), например в тех случаях, когда (26) заданы на одной связной части контура С. Для этого граничные усилия (28) должны быть выражены через граничные значения функций напряжений и нормальной производной которую можно заменить «углом напряжений» см. (31):

Граничные значения вектора функций напряжений можно получить, интегрируя, по аналогии с (41), вектор и момент

в соответствии с равенствами

где — вспомогательный вектор, который, пользуясь аналогией с можно назвать вектором «углов напряжений» элемента контура оболочки.

Граничные условия (15) и (42) эквивалентны с точностью до постоянных интегрирования. Если уравнения (15) заданы на одной связной части контура С, то (15) и (42) эквивалентны с точностью до жесткого смещения контура. В данной главе, как правило, рассмотрены функцноналы для задач с этими простыми граничными условиями. В случаях, когда условия (15) охватывают несколько различных связных частей контура С (в частности, при многосвязной области необходимо учитывать уравнения, согласующие взаимные смешения различных связных частей. Некоторые из этих случаев рассмотрены в гл. 5. Данное замечание относится и к статическим граничным условиям (43) и (26).

1.6. Некоторые соотношения теории пологих оболочек.

Теория пологих оболочек является частным случаем общей теории оболочек при дополнительных к основным гипотезам допущениях.

Геометрическая гипотеза

т. е. внутреннюю геометрию оболочки можно приближенно считать совпадающей с геометрией плоскости ее проекции. Это означает также, что в исходных уравнениях приближенно принимается равной нулю гауссова кривязна поверхности

Статическая гипотеза. В уравнениях равновесия можно пренебречь моментными членами, содержащими в качестве коэффициентов выражения кривизн и их производных.

При этих допущениях уравнения теории оболочек упрощаются и принимают следующую форму.

Геометрические уравнения:

Статические уравнения:

Соответственно упрощаются уравнения неразрывности (13)

и общее решение уравнений равновесия

Упрощаются также зависимости (40) между деформациями граничного элемента и перемещениями

и выражения (44) для граничных усилий через функции напряжении

Так как метрика базисной поверхности пологой оболочки считается совпадающей с метрикой плоскости, то пологне оболочки можно рассчитывать в декартовых координатах. В этом случае во всех уравнениях надо положить