§ 4. Формирование алгебраических уравнений прямых методов на основе вариации функционала

Пусть требуется решить вариационную задачу где -квадратичный функционал, который зависит от функции и (возможно, векторной) и от ее частных производных:

где дифференциальные операторы. Вариация функционала имеет вид

где — дифференциальные операторы от Ее можно преобразовать интегрированием по частям к форме

Пусть выбран какой-либо метод дискретизации для приближенного решения поставленной задачи; тогда функционал зависит от переменных и может быть представлен в виде

где дискретные аналоги дифференциальных оператов Задача о стационарности функционала

эквивалентна системе линейных алгебраических урав" нений

которая может быть записана в виде

Вариация в виде (5) может быть выведена способом, подобным применяемому в вариационном исчислении (суммированием по частям), из промежуточного звена

Если представить вариационное уравнение (5) в виде

то нетрудно видеть, что коэффициенты системы (7)

можно вычислить по формуле

где все остальные неизвестные и а также свободные члены равны нулю

При использовании метода Ритца или Бубнова — Галеркина так и поступают: коэффициенты вычисляют по формуле (10), в которой берут в виде (3). В некоторых случаях в методе Ритца удобнее использовать в виде (2); в этом случае можно брать менее гладкие координатные функции, так как в (2) стоят производные от и менее высокого порядка.

При решении задачи вариационно-разностным методом применяют несколько способов вычисления коэффициентов По первому способу получают выражение для функционала (4), заменяя производные в конечными разностями, дифференцируют его, чтобы получить выражения для коэффициентов через исходные данные (физические константы, шаг сетки и др.), и эти выражения используют для составления программ формирования систем уравнений. Второй способ состоит в использовании формулы (10) совместно с (3); при этом коэффициенты могут отличаться от вычисленных по первому способу, т. е. соответствовать другой разностной схеме.

Третий способ заключается в применении (10) совместно с (2) или, что то же самое, с (8) и имеет то преимущество, что он очень прост и удобен для программирования, хотя и связан с довольно большим объемом вычислений, что сказывается на затратах машинного времени: большая часть вычислений выполняется вычислительной машиной. На основе формулы (10) совместно с (8) могут быть легко составлены программы для решения вариационно-разностным методом сложных задач расчета неоднородных анизотропных упругих тел и оболочек; можно использовать сетку с переменным шагом и покрывать расчетную область сетками разных видов.

Вариация функционала в виде (8) может быть использована и для решения вариационных задач

методами спуска и другими методами нелинейного программирования без вычисления коэффициентов алгебраических уравнений. Данный способ составления системы уравнений был использован авторами для составления универсальной программы расчета неоднородных анизотропных оболочек, в том числе ребристых (см. § 6).