Приложение 2. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ВЕКТОРНОГО И ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА

Приводятся обозначения и некоторые соотношения векторного и тензорного анализа, используемые в гл. 3—5 для записи функционалов и их преобразований и вывода условий стационарности. При составлении этого приложения были использованы книги [П.7, П.12. 3.3, 3.7, 4.11].

1. Метрический тензор; ковариантиые и контравариантные компоненты векторов и тензоров.

Пусть -мерное (в данной книге или евклидово пространство, элементы базиса (базисные векторы); скалярное произведение в обозначим Базис характеризуется числами

которые определяют длины базисных векторов и углы между ними и называются ковариантными компонентами метрического тензора данной системы координат. Кроме данного основного базиса в тензорном исчислении вводят взаимный базис связанный с основным соотношением

где элементы матрицы, обратной к Здесь и во всей книге используется обычное в тензорном исчислении соглашение о суммировании по повторяющимся индексам от 1 до

Нетрудно проверить, что так что величины являются компонентами метрического тензора, но связанного с взаимным базисом: они называются контравариантными компонентами. Из (2) следует также, что где символ Кронекера, определяемый равенствами при

Любой элемент (вектор) а пространства можно представить в виде лииейиой комбинации векторов осиовиого или взаимного базиса:

Величины а называются контравариантными, ковариантными компонентами вектора а; они связаны между собой соотношениями

Их можно вычислить по формулам

Пусть какой-либо другой набор базисных векторов, взаимный базнс к Векторы можно разложить по базисным векторам

где элементы матрицы преобразования координат, которые на основании (5) равны Взаимные векторы связаны с соотношениями

где матрица, обратная к Отсюда следует, что при переходе от базиса в; к базису контраварнантные и ковариантные компоненты вектора а преобразуются по закону

т. е. соответственно как векторы взаимного и основного базиса.

Равенства (8) являются необходимыми и достаточными условиями того, чтобы набор величин можно было рассматривать как ковариантные (контраварнантные) компоненты вектора, элемента пространства Другими словами, эти равенства могут рассматриваться как аналитическое определение вектора.

Это определение позволяет обобщить понятие вектора. Пусть какой-либо объект а в каждой системе координат характеризуется величинами Такой объект называют экстенсивом валентности (по числу индексов). Экстенсив а называется тензором, если его компоненты при линейном преобразовании координат (6), (7) меняются по закону

В частности, вектор есть тензор первой валентности, а скалир — тензор нулевой валентности. Компоненты (9) тензора а называются раз ковариантными и раз контравариантными. С помощью метрического тензора можно по формулам, аналогичным (4), поднять или опустить любой индекс у компонентов тензора а и получить контраварнантные или ковариантные по этим индексам компоненты.

Коварнантные компоненты дискриминантного тензора (в пространстве определяются условиями: если среди индексов есть хотя бы два одинаковых; если все числа различны, то или — в зависимостн от того, является четной или нечетной перестановка, переводящая индексы здесь — определитель матрицы Контравариантные компоненты тензора определяются теми же условиями с заменой на

2. Операции над тензорами.

Тензоры одной и той же валентности образуют линейное пространство по отношению к сложению и умножению на число, которые в любой системе координат выполняются покомпонентно, причем складываться могут лишь одинаковое число раз ковариаитиые (контравариантные) компоненты.

Если два тензора, то величины вида

являются раз контравариантными и раз ковариантными компонентами -валентного тензора с, который называется диадным, или тензорным произведением тензоров и обозначается Суммы вида

являются раз ковариантпыми и раз контравариантными компонентами нового -валентного тензора с, который называется сверткой тензора а по индексам и Например, свертка двухвалентного тензора есть скаляр.

Векторным произведением тензоров валентности соответственно в трехмерном пространстве называется -валентный теизор с компонентами вида

где дискриминантиый тензор.

Скалярным произведением тензоров a и b называется свертка тензора по последнему индексу а и первому индексу . Двойное скалярное произведение есть двойная свертка: последний индекс а с первым индексом предпоследний — со вторым.

3. Криволинейные координаты, локальный базис, тензорное поле.

Положение точки в евклидовом пространстве может быть задано с помощью криволинейных координат а, которые связаны с декартовыми координатами нелинейными соотношениями

где радиус-вектор точки, непрерывно-дифференцируемые функции. Чтобы в криволинейных координатах использовать понятия производной и тензора, в определении которых существенную роль играет линейность, в каждой точке пространства вводят локальный базис, векторы которого определены формулами

Любые непрерывно-дифференцируемые преобразования криволинейных координат определяют (согласно правилу дифференцирования сложной функции) линейные преобразования локального базиса

Определение тензора в криволинейных координатах рассматривается по отношению к этим линейным преобразованиям: матрицей преобразования их служит матрица Якоби ; обратная матрица есть

Заметим, что не всякий объект, являющийся тензором по отношению к линейным преобразованиям декартовых координат, есть тензор по отношению к преобразованиям криволинейных координат; например, большие перемещения, рассматриваемые в геометрически нелинейной теории упругости, при нелинейных преобразованиях (13) преобразуются по нелинейному закону, а не по векторному. В данной книге используются только бесконечно малые перемещения и деформации, являющиеся векторами и тензорами.

Векторную (тензорную) функцию, заданную в области V евклидова пространства, называют также векторным (тензорным) полем.

4. Дифференцирование векторов и тензоров.

При отыскании производных от векторных и тензорных полей в криволинейных координатах приходится учитывать то обстоятельство, что координатные векторы являются переменными величинами. Различие координатных систем в точках приводит к тому, что компоненты производной вектора а не совпадают с частными производными а вычисляются по формулам

где -величины (вообще говоря, нетензорные), называемые символами Кристоффеля второго рода. Для вычислений применяют символы Кристоффеля первого рода

связанные с соотношениями

Величины называются ковариантными производными от ковариантных (контравариантных) компонентов вектора а. Аналогично ковариантные производные от компонентов тензора вычисляются по формулам вида

Совокупность величин образует тензор на единицу большей валентности, чем а, который называется градиентом тензора а. В частности, градиент скаляра — вектор.

Для ковариантнон производной справедливы те же правила дифференцирования суммы, произведения и т. д., что и для обычной производной. Ковариантные производные от компонентов метрического и днскриминантиого тензоров равны нулю, так что эти компоненты при ковариантном дифференцировании должны рассматриваться как постоянные.

В трехмерных задачах часто используется символический набла-оператор Гамильтона V, который рассматривается как вектор, компоненты которого представляют собой дифференциальные операторы V,. Диадное произведение есть градиент тензора рассматривают также произведение отличное от например, если а — вектор, то набор компонентов представляет собой транспонированную матрицу по отношению к а сумма представляет собой симметричную часть тензоров и имеет компоненты

Векторное произведение называется ротором (вихрем) тензора а, скалярное произведение — дивергенцией тензора а.

В книге часто встречается выражение , где а и с — двухвалентные симметричные тензоры; приведем его координатную запись:

5. Поверхность в трехмерном пространстве

Поверхность в трехмерном пространстве обычно задают с помощью параметрического уравнения

где Параметры представляют собой криволинейные координаты на поверхности. Поверхность представляет собой двумерное пространство, которое, вообще говоря, не является евклидовым, так как для большинства поверхностей не существует системы координат, в которой компоненты метрического тензора были бы постоянными, т. е. все системы координат на них — криволинейные.

На поверхности задают локальный базис и метрический тензор а с помощью соотношений

при этом поверхность становится римановын пространством. Компоненты метрического тензора а называют также коэффициентами первой квадратичной формы поверхности определяют внутреннюю геометрию поверхности. В полученном римановом пространстве вводят тензоры и ковариантные производные по отношению к преобразованиям двумерного локального базиса, которые называют поверхностными тензорами и поверхностными ковариантными производными. Заметим, что в рнмановом пространстве ковариантные производные не перестановочны:

Положение поверхности в трехмерном пространстве характеризуется двухвалентным тензором компоненты которого называют коэффициентами второй квадратичной формы поверхности. Коэффициенты определяют кривизну поверхности и связаны с поведением единичного вектора нормали

6. Интегрирование тензорных величин.

Элемент объема (поверхности) в евклидовом или римановом пространстве определяется выражением

Для тензорных функций, удовлетворяющих известным условиям непрерывности и дифференцнруемости, справедливы формулы преобразования интеграла по области в интеграл по ее границе. Эти формулы в книге применяются для интегрирования по частям при преобразованиях функционалов.

Формула Грина связывает интеграл от векторной функции по границе (контуру) С двумерной области с интегралом от по

где компоненты вектора тангенциальной нормали к контуру С (т.е. нормали, лежащей в касательной плоскости к 5).

Формула Остроградского — аналог формулы Грина для трехмерного пространства — связывает интеграл от функции по поверхности ограничивающей область V в трехмерном пространстве, с интегралом по V:

Формула Стокса является обобщением формулы Грина:

где единичный вектор касательной к контуру С.

7. Физические компоненты тензоров и векторов.

В криволинейных координатах векторы локального базиса (14) не нормированы, и компоненты векторов и тензоров в этом базисе «измерены» в каждой точке в своих единицах, которыми служат длины базисных векторов. Но для практики представляют интерес компоненты, «измеренные» в одних и тех же единицах, не зависящих от системы координат, т. е. в нормированных базисах. Рассмотрим ортогональную систему координат с единичными векторами Взаимные векторы в силу ортотональности будут совпадать с Составляющие векторов и тензоров в этом базисе называют физическими компонентами и обозначают скобками, в которые заключают индексы. Физические и обычные компоненты связаны соотношениями вида

Обратная связь дается формулами

В (28) и (29) не нужно суммировать по повторяющимся индексам.

Физические компоненты для неортогональной системы координат введены, например, в [4.11].

Для физических составляющих поверхностных ковариантных производных в ортогональных координатах справедливы формулы [4.11]

где параметры Ляме,

8. Переход от тензорной формы записи к развернутой.

В задачах теории упругости и теории оболочек физические компоненты векторов и тензоров (представляющие практический интерес) можно получить двумя путями: 1) решить соответствующую краевую или вариационную задачу в обычных компонентах и затем по формлам (28) перейти к физическим; 2) записать в физических компонентах все необходимые уравнения и функционалы и получить решение. Ниже приведены правила, которые можно использовать при реализации второго пути.

Чтобы записать какое-либо тензорное выражение из теории упругости в развернутой форме в физических компонентах, нужно:

1) придать свободным индексам значения 1, 2, 3;

2) развернуть сокращенную запись сумм;

3) выполнить ковариантное дифференцирование по формулам (16) или (19);

4) подставить выражения символов Кристоффеля;

5) выразить компоненты метрического тензора через параметры Ляме

6) заменить соответствующие величины через физические компоненты.

В результате получаются развернутые формулы рассматриваемых выражений. В некоторых более простых случаях отдельные этапы выпадают.

9. Односвязные и многосвязные области

Односвязные и многосвязные области (см., например: Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. I, III-М.: Наука, 1966, 1969). Область евклидова или риманова пространства называется связной, если

любые две точки можно соединить кривой, целиком лежащей в

Связная область в двумерном римановом пространстве называется односвязной, если, каков бы ни был простой замкнутый контур, лежащий в ограниченная этим контуром область целиком принадлежит в противном случае область называется неодносвязной или многосвязной. Если речь идет о конечной области то понятие односвязности можно сформулировать проще: область должна быть ограничена единственным связным замкнутым контуром; многосвязная область имеет границу, состоящую из нескольких связных участков, т. е. имеет отверстия.

Связная область V в трехмерном евклидовом пространстве называется поверхностно-односвязной, если, каков бы ни был простой замкнутый кусочно-гладкий контур I в области V, существует кусочно-гладкая самонепересекающаяся поверхность ограниченная контуром I и целиком лежащая в V, в противном случае V называется поверхностно-чеодносвязной или поверхностно-многосвязной. Пример поверхностно-многосвязной области — тор.

Область V называется пространственно-односвязной, если, какова бы была принадлежащая V простая замкнутая поверхность области V целиком принадлежит тело ограниченное (извне) поверхностью в противном случае область V называется пространственно неодносвязной или пространственно-многосвязной. По отношению к конечной области V определение пространственной односвязности сводится к тому, что V должна быть ограничена единственной связной замкнутой поверхностью. Пример простраиственно-многосзязной области — полый шар.