Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Приложение 2. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ВЕКТОРНОГО И ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗАПриводятся обозначения и некоторые соотношения векторного и тензорного анализа, используемые в гл. 3—5 для записи функционалов и их преобразований и вывода условий стационарности. При составлении этого приложения были использованы книги [П.7, П.12. 3.3, 3.7, 4.11]. 1. Метрический тензор; ковариантиые и контравариантные компоненты векторов и тензоров.Пусть
которые определяют длины базисных векторов
где Нетрудно проверить, что Любой элемент (вектор) а пространства
Величины а называются контравариантными,
Их можно вычислить по формулам
Пусть
где
где
т. е. соответственно как векторы взаимного и основного базиса. Равенства (8) являются необходимыми и достаточными условиями того, чтобы набор величин Это определение позволяет обобщить понятие вектора. Пусть какой-либо объект а в каждой системе координат характеризуется
В частности, вектор есть тензор первой валентности, а скалир — тензор нулевой валентности. Компоненты (9) тензора а называются Коварнантные компоненты дискриминантного тензора 2. Операции над тензорами.Тензоры одной и той же валентности образуют линейное пространство по отношению к сложению и умножению на число, которые в любой системе координат выполняются покомпонентно, причем складываться могут лишь одинаковое число раз ковариаитиые (контравариантные) компоненты. Если
являются
являются Векторным произведением тензоров
где Скалярным произведением 3. Криволинейные координаты, локальный базис, тензорное поле.Положение точки в евклидовом пространстве может быть задано с помощью криволинейных координат а, которые связаны с декартовыми координатами
где
Любые непрерывно-дифференцируемые преобразования криволинейных координат
Определение тензора в криволинейных координатах рассматривается по отношению к этим линейным преобразованиям: матрицей преобразования их служит матрица Якоби Заметим, что не всякий объект, являющийся тензором по отношению к линейным преобразованиям декартовых координат, есть тензор по отношению к преобразованиям криволинейных координат; например, большие перемещения, рассматриваемые в геометрически нелинейной теории упругости, при нелинейных преобразованиях (13) преобразуются по нелинейному закону, а не по векторному. В данной книге используются только бесконечно малые перемещения и деформации, являющиеся векторами и тензорами. Векторную (тензорную) функцию, заданную в области V евклидова пространства, называют также векторным (тензорным) полем. 4. Дифференцирование векторов и тензоров.При отыскании производных от векторных и тензорных полей в криволинейных координатах приходится учитывать то обстоятельство, что координатные векторы являются переменными величинами. Различие координатных систем в точках
где
связанные с
Величины
Совокупность величин Для ковариантнон производной справедливы те же правила дифференцирования суммы, произведения и т. д., что и для обычной производной. Ковариантные производные от компонентов метрического и днскриминантиого тензоров равны нулю, так что эти компоненты при ковариантном дифференцировании должны рассматриваться как постоянные. В трехмерных задачах часто используется символический набла-оператор Гамильтона V, который рассматривается как вектор, компоненты которого представляют собой дифференциальные операторы V,. Диадное произведение Векторное произведение В книге часто встречается выражение
5. Поверхность в трехмерном пространствеПоверхность в трехмерном пространстве обычно задают с помощью параметрического уравнения
где На поверхности задают локальный базис
при этом поверхность становится римановын пространством. Компоненты метрического тензора а называют также коэффициентами первой квадратичной формы поверхности
Положение поверхности в трехмерном пространстве характеризуется двухвалентным тензором компоненты которого называют коэффициентами второй квадратичной формы поверхности. Коэффициенты
6. Интегрирование тензорных величин.Элемент объема (поверхности) в евклидовом или римановом пространстве определяется выражением
Для тензорных функций, удовлетворяющих известным условиям непрерывности и дифференцнруемости, справедливы формулы преобразования интеграла по области в интеграл по ее границе. Эти формулы в книге применяются для интегрирования по частям при преобразованиях функционалов. Формула Грина связывает интеграл от векторной функции
где Формула Остроградского — аналог формулы Грина для трехмерного пространства — связывает интеграл от функции
Формула Стокса является обобщением формулы Грина:
где 7. Физические компоненты тензоров и векторов.В криволинейных координатах векторы локального базиса (14) не нормированы, и компоненты векторов и тензоров в этом базисе «измерены» в каждой точке в своих единицах, которыми служат длины базисных векторов. Но для практики представляют интерес компоненты, «измеренные» в одних и тех же единицах, не зависящих от системы координат, т. е. в нормированных базисах. Рассмотрим ортогональную систему координат с единичными векторами
Обратная связь дается формулами
В (28) и (29) не нужно суммировать по повторяющимся индексам. Физические компоненты для неортогональной системы координат введены, например, в [4.11]. Для физических составляющих поверхностных ковариантных производных в ортогональных координатах справедливы формулы [4.11]
где 8. Переход от тензорной формы записи к развернутой.В задачах теории упругости и теории оболочек физические компоненты векторов и тензоров (представляющие практический интерес) можно получить двумя путями: 1) решить соответствующую краевую или вариационную задачу в обычных компонентах и затем по формлам (28) перейти к физическим; 2) записать в физических компонентах все необходимые уравнения и функционалы и получить решение. Ниже приведены правила, которые можно использовать при реализации второго пути. Чтобы записать какое-либо тензорное выражение из теории упругости в развернутой форме в физических компонентах, нужно: 1) придать свободным индексам значения 1, 2, 3; 2) развернуть сокращенную запись сумм; 3) выполнить ковариантное дифференцирование по формулам (16) или (19); 4) подставить выражения символов Кристоффеля; 5) выразить компоненты метрического тензора 6) заменить соответствующие величины через физические компоненты. В результате получаются развернутые формулы рассматриваемых выражений. В некоторых более простых случаях отдельные этапы выпадают. 9. Односвязные и многосвязные областиОдносвязные и многосвязные области (см., например: Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. I, III-М.: Наука, 1966, 1969). Область любые две точки Связная область Связная область V в трехмерном евклидовом пространстве называется поверхностно-односвязной, если, каков бы ни был простой замкнутый кусочно-гладкий контур I в области V, существует кусочно-гладкая самонепересекающаяся поверхность Область V называется пространственно-односвязной, если, какова бы
|
1 |
Оглавление
|