§ 2. Различные варианты принципов Лагранжа и Кастильяно — исходные пункты для преобразования вариационных принципов

Вариационные принципы Лагранжа и Кастильяно изучены в литературе с точки зрения как стационарности, так и экстремальности соответствующих функционалов. Поэтому их целесообразно использовать как исходные пункты для построения и исследования системы полных и частных вариационных функционалов теории упругости. В соответствии с § 2 гл. 2 здесь рассмотрены различные варианты принципов Лагранжа и Кастильяно. Экстремальные свойства соответствующих им функционалов будут использованы в §6.

2.1. Различные варианты функционала Лагранжа (табл. 3.1).

а) Функционал Лагранжа в перемещениях, наиболее распространенный в литературе, рассматривается здесь как частный функционал в пространстве перемещений при дополнительных условиях (1.5).

Данный функционал может быть преобразован путем расширения пространства состояний за счет замены переменных и искусственного введения соответствующих дополнительных условий в другие разновидности, имеющие различные особенности. Некоторые из полученных таким путем вариантов функционала Лагранжа (наиболее интересные с точки зрения авторов) представлены в табл. 3.1.

Как видно из табл. 3.1, условия стационарности различных вариантов функционала Лагранжа — уравнения равновесия, но в различной форме,

выраженные через компоненты того пространства состояний, в котором сформулирован данный функционал.

б) Функционал Лагранжа в перемещениях и деформациях. Пространство перемещений расширено за счет введения тензора деформаций по формуле (1.1) и дополнительного условия Искусственное расширение пространства состояний сделано с целью увеличения возможностей для преобразований функционалов. В частности, может быть преобразован в функционалы Ху - Вашицу (табл. 3.3) и Кастильяно (табл. 3.2), которые нельзя получить из

в) Функционал Лагранжа в деформациях. В этой формулировке ни функционал, ни дополнительные условия не содержат варьируемых перемещений (а значит, и условия стационарности включают только деформации). Функционал в усеченном пространстве состояний получим, исключая перемещения из и из дополнительных условий к нему.

Исключение перемещений из геометрических уравнений в объеме (1.1) и на поверхности (1.5) рассмотрено в § 1: зависимости Коши (1.1) переходят в уравнения неразрывности деформаций (1.8), а граничные условия в перемещениях деформационные граничные условия (1.9).

В табл. 3.1 приведен наиболее простой частный случай, когда на части поверхности тела заданы все компоненты вектора перемещений, а на остальной части все компоненты вектора усилий, причем связное множество (т. е. состоит из одного целого куска любой формы). Если граничные условия (1.5) охватывают несколько связных участков поверхности то в список дополнительных условий должны быть включены уравнения вида (1.12).

Рассмотрим преобразование в указанном частном случае. В функционале перемещения содержатся в слагаемом

объемного интеграла и в поверхностном интеграле, который в рассматриваемом частном случае граничных условий имеет вид

Чтобы избавиться от перемещений в слагаемом (1), представим вектор в форме

где тензор можно рассматривать как частное решение уравнения равновесия (1.6), которое обычно легко найтн. Используя (3), преобразуем

В силу симметрии тензора напряжений справедливо равенство

так что выражение (4) можно представить в внде

Подставив (5) в (1) и преобразовав интеграл от первого слагаемого по формуле Остроградского (см. Приложение 2), получим

Поверхностный интеграл в преобразованном функционале имеет вид

Так как на должно выполняться граничное условие то в первом интеграле можно заменить в в переписать последнее выражение следующим образом:

В первое слагаемое входят известные, неварьируемые величины; оно не нуждается в дальнейших преобразованиях. Чтобы избавиться от перемещений во втором слагаемом, выразим вектор напряжений через компоненты тензора функций напряжений и некоторые функции от их нормальных производных в системе координат, связанной с

поверхностью (см. гл. 4, § 1.1). Для этого предположим, что в окрестности найден тензор удовлетворяющий уравнениям

т. е. что известно частное решение системы дифференциальных уравнений с частными производными (8) (способы нахождения частных решений здесь не обсуждаются). Для дальнейших преобразований используем равенство

В системе координат, связанной с поверхностью —вектор нормали к второе слагаемое имеет вид

где дискриминантный тензор.

Подставим (8) с учетом (9) и (10) в (7) и преобразуем поверхностные интегралы от производных вида в контурные по формуле Грина (см. Приложение 2); получим

Заменяя в формулах на и на и подставляя их в перейдем к функционалу (табл. 3.1).

Заметим, что хотя в принципе преобразование всегда возможно, его практическое выполнение при конкретных нагрузках может натолкнуться на значительные трудности, связанные с отысканием частного решения системы

уравнений (8). Такое частное решение легко найти, например, когда в этом случае можно принять

В вычислительном отношении функционалы имеют несколько различные области применения с точки зрения учета граничных условий. Функционал удобнее применять в случае деформационных граничных условий.

Функционал легко преобразуется в полный функционал и функционал Кастильяно в функциях напряжений, которые можно получить и из или но окольным путем.

г) Функционал Лагранжа в основном пространстве состояний ( получается из за счет расширения пространства состояний. Вводятся новые неизвестные — компоненты тензора напряжений а и соответствующие дополнительные условия — закон Гука (1.2). Эта форма функционала удобна для дальнейших преобразований.

Функционалы имеют отличия по форме и дополнительным условиям к ним. Различия в вычислительном аспекте между ними несущественны. Однако разнообразие форм исходного пункта преобразований приводит к важным особенностям полученных из них функционалов не только по форме, но и в вычислительных, и, в частности, экстремальных свойствах (см. §§ 3, 5 и 6).

д) Функционалы Лагранжа с неполными полями Функционалы выражены через все компоненты используемых тензоров и представлены в тензорной форме. Вводя в качестве новых переменных некоторые компоненты тензоров деформаций и напряжений или исключая отдельные компоненты вектора перемещений из функционала или и дополнительных условий, в некоторых системах координат можно получить формулировки принципа Лагранжа в пространствах состояний, содержащих лишь часть компонентов полей напряжений, деформаций и перемещений. Это возможно, например, в декартовой координатной системе.

В табл. 3.1 приведено лишь два примера функционалов такого рода — из

которых могут быть получены полные и частные функционалы с неполными полями.

2.2. Различные варианты принципа Кастильяно (табл. 3.2).

а) Функционал Кастильяно в напряжениях получен из функционала Лагранжа по следующей схеме (преобразование Фридрихса, см. гл. 2, § 2.4):

где - полный функционал Ху - Вашицу (табл. 3.3). Это позволяет утверждать, что функционалы имеют одно и то же стационарное значение.

При преобразовании Фридрихса (12) дополнительные условия (геометрические уравнения) и условия стационарности (статические уравнения) функционала Лагранжа переходят соответственно в условия стационарности и дополнительные условия функционала Кастильяно. См. также § 3.2г, в котором схема (12) дополнена обратным преобразованием Фридрихса, и § 3.2в, где дана аналогичная схема для функционалов Лагранжа в деформациях и Кастильяно в функциях напряжений.

Другие разновидности функционала Кастильяно могут быть получены из с помощью общего решения (1.7) уравнения равновесия (1.6) и замены переменных либо преобразованием Фридрихса из функционалов Лагранжа (табл. 3.1). Как видно из табл. 3.2, условия стационарности различных вариантов функционала Кастильяно — уравнения неразрывности в объеме и деформационные граничные условия на поверхности. В табл. 3.2 приведены условия стационарности лишь для простого случая, когда компоненты перемещений заданы на связной части поверхности В гл. 5 показано, как из этих функционалов извлечь условия стационарности в некоторых более сложных случаях.

б) Функционал Кастильяно в напряжениях и функциях напряжений. Этот функционал

получен из путем замены дополнительных условий в форме уравнений равновесия (1.6) на эквивалентные им зависимости между напряжениями и функциями напряжений (1.7), в связи с чем зависит не только от о, но и от Поверхностный интеграл в путем замены на и применения формулы Стокса записан в функциях напряжений (см. аналогичные преобразования в § 2.1в), с тем чтобы функционал имел вид, аналогичный функционалу (тензор функций напряжений соответствует вектору перемещений и, а тензор напряжений а — тензору деформаций

Функционал связан преобразованием Фридрихса с функционалом Лагранжа

Функционал является промежуточной ступенью при преобразовании . В то же время имеет большие возможности, чем как исходный пункт для преобразований, подобно аналогичному ему функционалу Лагранжа Из можно получить полный функционал и функционал Лагранжа

в) Функционал Кастильяно в функциях напряжений получен из путем исключения тензора напряжений а с помощью (1.7). Дополнительное условие (1.6) в объеме V оказывается выполненным, остается лишь граничное условие для

Переход от означает учет дополнительного условия (1.6) с помощью общего решения (1.7).

Уравнение равновесия (1.6) имеет и другие общие решения [3.3, 3.9], которые могут служить основой для других разновидностей функционала Кастильяно в функциях напряжений. В частности, ряд разновидностей общего решения (1.7) можно получить, полагая некоторые компоненты тензора функций напряжений равными нулю [3.3]. В декартовой системе координат существует пять, а в криволинейной системе — больше различных общих решений, в которых напряжения выражены через три компонента

тензора Среди них известные решения Максвелла

и Морера

Используя общее решение (1.7), легко доказать, что условиями стационарности функционала Кастильяно являются уравнения неразрывности (1.8) (в отличие от длинного доказательства Саусвелла, приведенного в [3.6]).

Действительно, вариационное уравнение для функционала Кастильяно (табл. 3.2) имеет вид

Отсюда следуют уравнения неразрывности (1.8). Кроме того, из вариационного уравнения (15) следуют деформационные граничные условия (1.11).

Саусвелл первоначально дал вывод уравнений неразрывности, основанный на применении общих решений Максвелла и Морера, т. е. фактически использовал тензор функций напряжений По-видимому, появление нового длинного и запутанного доказательства объясняется тем, что этот вывод его не удовлетворил по следующей причине.

Равенство (1.8) содержит шесть уравнений. При использовании общих решений (13) и (14), в которых участвуют по три компонента тензора функций напряжений, т. е. по три варьируемых функции, вариационное уравнение Кастильяно принимает вид

соответственно (16) и (17):

где

где

Равенства (16) и (17) показывают, что при использовании каждого из общих решений Максвелла или Морера условиями стационарности функционала Кастильяно являются различные системы из трех уравнений неразрывности и соответствующих деформационных граничных условий. Из функционала (табл. 3.2), в котором используется общее решение (1.7) с шестью функциями напряжений (оно имеет вид «Максвелл Морера»), следует шесть уравнений неразрывности с соответствующими граничными условиями [5.3]. Использование других общих решений приводит к несоответствию между вариационной и дифференциальной формулировками задачи [5.3]; этот вопрос нуждается в дальнейшем исследовании.

г) Функционал Кастильяно в квазиосновном пространстве состояний получен из путем расширения пространства за счет искусственного введения новой переменной — тензора деформаций дополнительного условия (1.3) (закон Гука в обратной форме). Он соответствует функционалу Лагранжа и служит

для преобразований и построения новых вариационных принципов, в частности полного функционала (табл. 3.4).

д) Функционалы Кастильяно с неполными полями Функционалы выражены через все компоненты используемых тензоров ей представлены в тензорной форме. В декартовой и некоторых других системах координат существуют разновидности функционала Кастильяно, в которых аргументами являются не все, а лишь часть компонентов тензоров функций напряжений, напряжений и деформаций. Такие разновидности можно вывести, например, из (табл. 3.2), вводя некоторые компоненты функций напряжений в качестве параметров общего решения части уравнений равновесия, или из вводя в качестве новых переменных некоторые компоненты напряжений и деформаций и исключая часть компонентов функций напряжений.

В табл. 3.2 приведено лишь два примера функционалов такогорода, , из которых могут быть получены полные функционалы с неполными полями.