Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 3. Исследование экстремальных свойств полных и частных функционаловТеория Куранта — Гильберта во многих случаях позволяет проследить за изменением экстремальных свойств вариационных функционалов при преобразованиях, рассмотренных в § 2. Эта теория — не единственный способ исследования экстремальных свойств функционалов. Можно было бы, например, для каждого из функционалов исследовать вторую вариацию. Теория Куранта имеет то преимущество, что она позволяет подойти с единых позиций к исследованию их свойств. Другое ее преимущество в том, что все полученные функционалы имеют одно и то же стационарное значение, это важно для оценки точности приближенных решений (см. гл. 5). В данном параграфе, в отличие от [0.9], при исследовании вопросов преобразования экстремальных задач использованы некоторые результаты из выпуклого анализа, которые помогают глубже понять суть дела и дают достаточные условия применимости описанных процедур. 3.1. Определение минимакса, максимина, седловой точки.Пусть функционал
и тем самым определить функционал
Запись
(минимум по Аналогично с помощью равенства (2) определяется максимин:
и, и. Если в точке
3.2. Изменение экстремальных свойств при выводе полного функционала из частного.а) Использование общих решений для учета дополнительных условий (§ 2.2а). Задача на минимум, очевидно, переходит в задачу на минимум, а максимум — в максимум. Для минимаксных задач в каждом конкретном случае необходимо дополнительное исследование. б) Метод множителей Лагранжа. Пусть требуется найти экстремум (для определенности минимум) функционала
при дополнительных условиях
Полный функционал, построенный с помощью множителей Лагранжа, имеет вид (§ 2.26)
Пусть — решение задачи (5), (6), а
которое показывает, что точка стационарности полного функционала (7) есть точка минимакса. Действительно, рассмотрим любой фиксированный вектор С другой стороны, справедливо неравенство
для доказательства которого нужно при каждом фиксированном К взять Неравенство (9) показывает, что точка стационарности полного функционала может быть точкой максимина, а может и не быть — это зависит от вида функционала В тех случаях, когда (9) есть равенство
точка стационарности полного Достаточным условием того, чтобы в (9) выполнялось равенство, или, что то же самое, точка стационарности полного функционала была седловой точкой, является выпуклость вниз функционала Таким образом, если функционал
В противном случае можно лишь утверждать, что справедливо равенство (8). Следующий пример показывает, что указанное достаточное условие не необходимо:
Здесь функция в) При выводе полного функционала в усеченном пространстве из полного функционала в расширенном пространстве (§ 2.2в) и полного функционала с исключенными множителями Лагранжа (§ Полученные в гл. 3 и 4 полные функционалы теорий упругости и оболочек имеют в точке стационарности минимакс или максимин, или то и другое (сед-ловую точку), или не имеют ни экстремумов, ни минимаксов. Среди них не обнаружено полных функционалов, имеющих минимум или максимум. 3.3. Изменение экстремальных свойств при выводе частных функционалов из полного.Ограничимся случаем, когда полный функционал имеет седловую точку; вариационная задача примет вид (11). При наложении некоторых условий стационарности в качестве дополнительных условий экстремальное свойство (11) полного функционала (7) может сохраниться, а может теряться. Пусть векторную переменную и можно разделить на две группы и
Уравнение (12) есть необходимое условие минимума по и функционала
при условии (12). Равенства (13, 12) означают следующее: чтобы найти
т. е. выполнить преобразование Фридрихса
б) Дополнительное условие
При этом ограничении символ
Если уравнение (15) разрешить относительно
в) Дополнительное условие
есть одно из двух необходимых условий минимума по и функционала Левая часть равенства (18) означает производную функционала г) Дополнительное условие
может быть рассмотрено аналогично (18). Если
|
1 |
Оглавление
|