§ 3. Исследование экстремальных свойств полных и частных функционалов

Теория Куранта — Гильберта во многих случаях позволяет проследить за изменением экстремальных свойств вариационных функционалов при преобразованиях, рассмотренных в § 2. Эта теория — не единственный способ исследования экстремальных свойств функционалов. Можно было бы, например, для каждого из функционалов исследовать вторую вариацию. Теория Куранта имеет то преимущество, что она позволяет подойти с единых позиций к исследованию их свойств. Другое ее преимущество в том, что все полученные функционалы имеют одно и то же стационарное значение, это важно для оценки точности приближенных решений (см. гл. 5).

В данном параграфе, в отличие от [0.9], при исследовании вопросов преобразования экстремальных задач использованы некоторые результаты из выпуклого анализа, которые помогают глубже понять суть дела и дают достаточные условия применимости описанных процедур.

3.1. Определение минимакса, максимина, седловой точки.

Пусть функционал зависит от двух переменных (возможно, векторных или функциональных) . Другими словами, функционал определен на прямом произведении евклидовых пространств Каждому фиксированному значению можно поставить в соответствие число

и тем самым определить функционал на множестве тех элементов пространства для которых существует указанный максимум. Точно так же можно определить функционал

Запись

(минимум по максимумов по функционала означает, что при функционал (1) имеет минимум, причем указанный в (1) максимум достигается при При этом говорят, что функционал имеет в точке минимакс. Другими словами, выражение (3) означает, что сначала для каждого фиксированного находится максимум функционала по а затем из всех найденных значений выбирается минимальное.

Аналогично с помощью равенства (2) определяется максимин:

и, и.

Если в точке функционал имеет одновременно и минимакс (3) и максимин (4), то говорят, что является его седловой точкой. Часто используют другое, эквивалентное определение [1.1, 1.5]: точка называется седловой точкой функционала если при любых

3.2. Изменение экстремальных свойств при выводе полного функционала из частного.

а) Использование общих решений для учета дополнительных условий (§ 2.2а). Задача на минимум, очевидно, переходит в задачу на минимум, а максимум — в максимум. Для минимаксных задач в каждом конкретном случае необходимо дополнительное исследование.

б) Метод множителей Лагранжа. Пусть требуется найти экстремум (для определенности минимум) функционала

при дополнительных условиях

Полный функционал, построенный с помощью множителей Лагранжа, имеет вид (§ 2.26)

Пусть — решение задачи (5), (6), а точка стационарности полного функционала (7). Тогда так как значения функционалов в точке стационарности совпадают. Для функционала всегда выполняется равенство

которое показывает, что точка стационарности полного функционала (7) есть точка минимакса. Действительно, рассмотрим любой фиксированный вектор . Если он не удовлетворяет условиям (6), то Если же условия (6) выполнены, то не зависит от и поэтому Таким образом, минимальное значение (по и) функционала совпадает с условным минимумом при условиях (6).

С другой стороны, справедливо неравенство

для доказательства которого нужно при каждом фиксированном К взять в качестве одного из испытуемых значений и при отыскании минимума [0.3] (при этом

Неравенство (9) показывает, что точка стационарности полного функционала может быть точкой максимина, а может и не быть — это зависит от вида функционала и функции

В тех случаях, когда (9) есть равенство

точка стационарности полного функционала является одновременно точкой максимина и минимакса (так как равенство (8) всегда справедливо), т. е. по определению седловой точкой.

Достаточным условием того, чтобы в (9) выполнялось равенство, или, что то же самое, точка стационарности полного функционала была седловой точкой, является выпуклость вниз функционала и выпуклость множества, определяемого ограничением (6) [1.1, 1.5]. Очевидно, ограничение - равенство тогда и только тогда определяет выпуклое множество, когда оно является линейным уравнением. Поэтому вышеуказанное условие можно сформулировать следующим образом: для выполнения равенств (8) и (10) достаточно, чтобы функционал был выпуклым вниз, а равенство линейным уравнением.

Таким образом, если функционал выпуклый вниз, а условия (6) — линейные уравнения, то для полного функционала (7) вариационная задача формулируется следующим образом: найти седловую точку функционала или

В противном случае можно лишь утверждать, что справедливо равенство (8).

Следующий пример показывает, что указанное достаточное условие не необходимо:

Здесь функция определяет невыпуклое множество (эллипс) на плоскости (х,у), а точка стационарности функционала есть его седловая точка.

в) При выводе полного функционала в усеченном пространстве из полного функционала в расширенном пространстве (§ 2.2в) и полного функционала с исключенными множителями Лагранжа (§ не представляется возможным установить общие закономерности изменения их экстремальных свойств. В этих случаях при наличии минимакса и максимина у исходного полного функционала полученные функционалы могут не иметь ни экстремума, ни седловой точки, ни минимакса, ни максимина: см., например, полные функционалы в гл. 3 и 4.

Полученные в гл. 3 и 4 полные функционалы теорий упругости и оболочек имеют в точке стационарности минимакс или максимин, или то и другое (сед-ловую точку), или не имеют ни экстремумов, ни минимаксов. Среди них не обнаружено полных функционалов, имеющих минимум или максимум.

3.3. Изменение экстремальных свойств при выводе частных функционалов из полного.

Ограничимся случаем, когда полный функционал имеет седловую точку; вариационная задача примет вид (11).

При наложении некоторых условий стационарности в качестве дополнительных условий экстремальное свойство (11) полного функционала (7) может сохраниться, а может теряться. Пусть векторную переменную и можно разделить на две группы и и то же самое для Возможны следующие случаи при наложении условий стационарности в качестве дополнительных условий, а) Дополнительное условие

Уравнение (12) есть необходимое условие минимума по и функционала при фиксированном Если имеет единственный минимум при каждом фиксированном (например, если функционал выпуклый по ), то при дополнительном условии (12) символ в равенстве (10) теряет смысл (так как минимум уже найден) и оно переходит в

при условии (12). Равенства (13, 12) означают следующее: чтобы найти нужно при каждом фиксированном выбирать значение и, удовлетворяющее уравнению (12), и из полученных пар выбрать ту, которая доставляет максимум функционалу В тех случаях, когда равенство (12) таково, что его можно разрешить относительно и, т. е. выразить и через преобразование можно продолжить: подставить выражение для и в (13) и перейти к равенству

т. е. выполнить преобразование Фридрихса § 2.4. Таким образом, преобразование Фридрихса для выпуклого функционала принимает вид

б) Дополнительное условие

При этом ограничении символ в равенстве (8) теряет смысл и оно переходит в

Если уравнение (15) разрешить относительно то (16) можно преобразовать в

в) Дополнительное условие

есть одно из двух необходимых условий минимума по и функционала при фиксированном

Левая часть равенства (18) означает производную функционала на подпространстве при фиксированных Так как в (10) отыскивается минимум по и при фиксированном X, то при дополнительном условии (18) равенство (10) сохраняется. В равенстве (8) минимакс по данным переменным может быть нарушен, так как при отыскании максимума по X при фиксированном и (18) накладывает ограничения на X, и минимакс может быть найден неверно. Равенство (8) сохраняется, если (18) не содержит X: тогда в (8) просто сужается область поиска минимума по и.

г) Дополнительное условие

может быть рассмотрено аналогично (18).

Если множители Лагранжа, то при условии (19) функционал не зависит от переменной и равенства (8) и (10) переходят в (и, X). (3.20)